黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中2015-2016学年高二（下）开学数学试卷（理科）（解析版）

2015-2016学年黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中高二（下）开学数学试卷（理科）
　
一、选择题60分（每题5分，共12小题）
1．在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．阅读程序框图，若输入m=4，n=6，则输出a，i分别是（　　）
A．a=12，i=3
B．a=12，i=4
C．a=8，i=3
D．a=8，i=4
3．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学生共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学生共有女生（　　）
A．1030人
B．97人
C．950人
D．970人
4．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（　　）
A．0.6
B．0.4
C．0.3
D．0.2
5．某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：
考试次数x
1
2
3
4
所减分数y
4.5
4
3
2.5
显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为（　　）
A．y=0.7x+5.25
B．y=﹣0.6x+5.25
C．y=﹣0.7x+6.25
D．y=﹣0.7x+5.25
6．设有一个回归方程=3﹣5x，变量x增加一个单位时（　　）
A．y平均增加3个单位
B．y平均减少5个单位
C．y平均增加5个单位
D．y平均减少3个单位
7．从1，2，3，4这4个数中，依次不放回地任意取两个数，两个数都为偶数的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．用秦九韶算法计算多项式f（x）=2x6+3x5+5x3+6x2+7x+8在x=2时的值时，V2的值为（　　）
A．2
B．19
C．14
D．33
9．盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
11．平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（　　）
A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0
B．2x+y+=0或2x+y﹣=0
C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0
D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0
12．8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同的调换方式有（　　）
A．C83
B．C83A83
C．C83A22
D．3C83
　
二、填空题20分（每题5分，共4小题）
13．（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于______．
14．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，
3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别是______．
15．在A，B两个袋中都有6张分别写有数字0，1，2，3，4，5的卡片，现从每个袋中任取一张卡片，两张卡片上的数字之和为X，则P（X=7）=______．
16．若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是______．
　
三、解答题70分
17．已知展开式中，第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是14：3．
（1）求n．
（2）求含x2项的系数．
（3）求展开式中所有有理项．
18．已知曲线方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．
（1）当m=﹣6时，求圆心和半径；
（2）若曲线C表示的圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N，且，求m的值．
19．连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额利润资料如表：
商品名称
A
B
C
D
E
销售额x/千万元
3
5
6
7
9
利润额y/百万元
2
3
3
4
5
（1）画出销售额和利润额的散点图
（2）若销售额和利润额具有相关关系，试计算利润额y对销售额x的回归直线方程．
（3）估计要达到1000万元的利润额，销售额约为多少万元．
（参考公式：
==，
=﹣x）
20．2014年5月，北京市提出地铁分段计价的相关意见，针对“你能接受的最高票价是多少？”这个问题，在某地铁站口随机对50人进行调查，调查数据的频率分布直方图及被调查者中35岁以下的人数与统计结果如下：
（Ⅰ）根据频率分布直方图，求a的值，并估计众数，说明此众数的实际意义；
（Ⅱ）从“能接受的最高票价”落在[8，10），[10，12]的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中35岁以上（含35岁）的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
最高票价
35岁以下人数
[2，4）
2
[4，6）
8
[6，8）
12
[8，10）
5
[10，12]
3
21．某校为了解高三年级不同性别的学生对取消艺术课的态度（支持或反对），进行了如下的调查研究．全年级共有1350人，男女生比例为8：7，现按分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为，通过对被抽取学生的问卷调查，得到如下2x2列联表：
支持
反对
总计
男生
30
女生
25
总计
（I）完成列联表，并判断能否有99.9%的把握认为态度与性别有关？
（皿）若某班有6名男生被抽到，其中2人支持，4人反对；有4名女生被抽到，其中2人支持，2人反对，现从这10人中随机抽取一男一女进一步调查原因．求其中恰有一人支持一人反对的概率．
参考公式及临界表：K2=P（K2≥k0）
0.10
0.050
0.010
0.005
0.001
k0
2.706%
3.841
6.635
7.879
10.828
22．某校随机抽取某次高三数学模拟考试甲、乙两班各10名同学的客观题成绩（满分60分），统计后获得成绩数据的茎叶图（以十位数字为茎，个位数字为叶），如图所示：
（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，并比较哪个班级的客观题平均成绩更好；
（Ⅱ）从这两组数据各取两个数据，求其中至少有2个满分的概率；
（Ⅲ）规定客观题成绩不低于55分为“优秀客观卷”，以这20人的样本数据来估计此次高三数学模拟的总体数据，若从总体中任选4人，记X表示抽到“优秀客观卷”的学生人数，求X的分布列及数学期望．
　
2015-2016学年黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中高二（下）开学数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题60分（每题5分，共12小题）
1．在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】几何概型．
【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可得到结论．
【解答】解：在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，
则﹣2≤X≤3，
则X≤1的概率P=，
故选：B．
　
2．阅读程序框图，若输入m=4，n=6，则输出a，i分别是（　　）
A．a=12，i=3
B．a=12，i=4
C．a=8，i=3
D．a=8，i=4
【考点】程序框图．
【分析】由程序框图依次计算第一、第二、第三次运行的结果，直到满足条件满足a被6整除，结束运行，输出此时a、i的值．
【解答】解：由程序框图得：
第一次运行i=1，a=4；
第二次运行i=2，a=8；
第三次运行i=3，a=12；满足a被6整除，结束运行，输出a=12，i=3．
故选A．
　
3．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学生共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学生共有女生（　　）
A．1030人
B．97人
C．950人
D．970人
【考点】分层抽样方法．
【分析】根据样本容量和女生比男生少6人，可得样本中女生数，再根据抽取的比例可得总体中的女生人数．
【解答】解：∵样本容量为200，女生比男生少6人，
∴样本中女生数为97人，
又分层抽样的抽取比例为=，
∴总体中女生数为970人．
故选：D．
　
4．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（　　）
A．0.6
B．0.4
C．0.3
D．0.2
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】根据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到P（0＜ξ＜2）=P（0＜ξ＜4），得到结果．
【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），
μ=2，得对称轴是x=2．
P（ξ＜4）=0.8
∴P（ξ≥4）=P（ξ≤0）=0.2，
∴P（0＜ξ＜4）=0.6　　
∴P（0＜ξ＜2）=0.3．
故选C．
　
5．某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：
考试次数x
1
2
3
4
所减分数y
4.5
4
3
2.5
显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为（　　）
A．y=0.7x+5.25
B．y=﹣0.6x+5.25
C．y=﹣0.7x+6.25
D．y=﹣0.7x+5.25
【考点】回归分析的初步应用．
【分析】先求样本中心点，利用线性回归方程一定过样本中心点，代入验证，可得结论．
【解答】解：先求样本中心点，，
由于线性回归方程一定过样本中心点，代入验证可知y=﹣0.7x+5.25，满足题意
故选D．
　
6．设有一个回归方程=3﹣5x，变量x增加一个单位时（　　）
A．y平均增加3个单位
B．y平均减少5个单位
C．y平均增加5个单位
D．y平均减少3个单位
【考点】线性回归方程．
【分析】回归方程=3﹣5x，变量x增加一个单位时，变量平均变化[3﹣5（x+1）]﹣（3﹣5x），及变量平均减少5个单位，得到结果．
【解答】解：∵﹣5是斜率的估计值，说明x每增加一个单位，y平均减少5个单位．
故选B
　
7．从1，2，3，4这4个数中，依次不放回地任意取两个数，两个数都为偶数的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】根据已知中从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，我们列出所有的基本事件个数，及满足条件两个数都是偶数的基本事件个数，代入古典概型概率公式，即可得到答案．
【解答】解：从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，共有
（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4）
（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共12种
其中满足条件两个数都是偶数的有（2，4），（4，2）两种情况
故从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率P=
故答案为
A
　
8．用秦九韶算法计算多项式f（x）=2x6+3x5+5x3+6x2+7x+8在x=2时的值时，V2的值为（　　）
A．2
B．19
C．14
D．33
【考点】秦九韶算法．
【分析】首先把一个n次多项式f（x）写成（…（（anx+a
n﹣1）x+an﹣2）x+…+a1）x+a0的形式，然后化简，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值，求出V2的值．
【解答】解：∵f（x）=2x6+3x5+5x3+6x2+7x+8
=（（（（（2x+3）x+0）x+5）x+6）x+7）x+8
∴v0=a6=2，
v1=v0x+a5=2×2+3=7，
v2=v1x+a4=7×2+0=14，
故选C．
　
9．盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】等可能事件的概率．
【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5+10=15种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有10种结果，得到概率．
【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5+10=15种结果，
满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有10种结果，
∴根据等可能事件的概率得到P=
故选D．
　
10．若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【考点】二项式系数的性质．
【分析】二项式的通项公式Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r，对其进行整理，令x的指数为0，建立方程求出n的最小值．
【解答】解：由题意，（x6）n的展开式的项为Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r=Cnr=Cnr
令6n﹣r=0，得n=r，当r=4时，n取到最小值5
故选：C．
　
11．平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（　　）
A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0
B．2x+y+=0或2x+y﹣=0
C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0
D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0
【考点】圆的切线方程．
【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．
【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，
所以=，所以b=±5，
所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0
故选：A．
　
12．8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同的调换方式有（　　）
A．C83
B．C83A83
C．C83A22
D．3C83
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】先考虑从8人中任选3人的方法数，再考虑3人位置全调的方法数，利用分步计数原理可求．
【解答】解：从8人中任选3人有C83种，3人位置全调，由于不能是自己原来的位置，因此有A22种，故有C83A22种．
故选C．
　
二、填空题20分（每题5分，共4小题）
13．（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于　0　．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】令x=1，即可得到展开式中所有项的系数之和．
【解答】解：在（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中，令x=1，
即（1﹣2）（1﹣1）5=0，
所以展开式中所有项的系数和等于0．
故答案为：0．
　
14．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，
3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别是　4，3　．
【考点】极差、方差与标准差．
【分析】利用数据的平均数和方差的性质及计算公式直接求解．
【解答】解：∵一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，
∴另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数=3×2﹣2=4，
方差S2==3．
∴另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别是4，3．
故答案为：4，3．
　
15．在A，B两个袋中都有6张分别写有数字0，1，2，3，4，5的卡片，现从每个袋中任取一张卡片，两张卡片上的数字之和为X，则P（X=7）=　　．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】先求出基本事件总数n=6×6=36，再利用列举法求出X=7包含的基本事件个数，由此能求出P（X=7）．
【解答】解：在A，B两个袋中都有6张分别写有数字0，1，2，3，4，5的卡片，
现从每个袋中任取一张卡片，两张卡片上的数字之和为X，
基本事件总数n=6×6=36，
X=7包含的基本事件有：（2，5），（5，2），（3，4），（4，3），共有m=4个，
∴P（X=7）==．
故答案为：．
　
16．若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是　[1﹣，3]　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】曲线即
（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得
b=1+
b=1﹣．结合图象可得b的范围．
【解答】解：如图所示：曲线y=3﹣，即
（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（
1≤y≤3，0≤x≤4），
表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．
由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，∴b=1+，或b=1﹣．
结合图象可得1﹣≤b≤3，
故答案为：[1﹣，3]．
　
三、解答题70分
17．已知展开式中，第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是14：3．
（1）求n．
（2）求含x2项的系数．
（3）求展开式中所有有理项．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】（1）由题意可得=，由此求得n的值．
（2）在的开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求得r的值，可得含x2项的系数．
（3）根据∈z，r∈N，0≤r≤10，可得r=2，5，8，从而求得展开式中的有理项．
【解答】解：（1）由题意可得===，解得n=10．
（2）由于=，它的开式的通项公式为
Tr+1= ，
令=2，求得r=2，∴含x2项的系数为．
（3）根据∈z，r∈N，0≤r≤10，可得r=2，5，8，故第3、6、9项是有理项，
即有理项分别为、、．
　
18．已知曲线方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．
（1）当m=﹣6时，求圆心和半径；
（2）若曲线C表示的圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N，且，求m的值．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）当m=﹣6时，方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=11，即可求得圆心和半径；
（2）利用圆心（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离公式可求得圆心到直线距离d，利用圆的半径、弦长之半、d构成的直角三角形即可求得m的值．
【解答】解：（1）当m=﹣6时，方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=11，
圆心坐标为（1，2），半径为；
（2）∵（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，
∴圆心（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离d=，
又圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m的半径r=，，
∴（）2+（）2=5﹣m，得m=4．
　
19．连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额利润资料如表：
商品名称
A
B
C
D
E
销售额x/千万元
3
5
6
7
9
利润额y/百万元
2
3
3
4
5
（1）画出销售额和利润额的散点图
（2）若销售额和利润额具有相关关系，试计算利润额y对销售额x的回归直线方程．
（3）估计要达到1000万元的利润额，销售额约为多少万元．
（参考公式：
==，
=﹣x）
【考点】线性回归方程．
【分析】（1）根据表中所给的数对，在平面直角坐标系中画出散点图即可；
（2）求出对应的数值、以及n、xiyi、和n，代入公式即可求出回归直线方程的系数与方程；
（3）根据题意，令=10，求出x的值即可．
【解答】解：（1）根据表中所给的五对数对，在平面直角坐标系中画出散点图，
如图所示；
（2）∵==6，
=，
∴n=5×6×=102，
xiyi=3×2+5×3+6×3+7×4+9×5=112，
=32+52+62+72+92=200，
n=5×62=180，
===0.5，
=﹣=﹣0.5×6==0.4，
∴利润额y对销售额x的回归直线方程是=0.5x+0.4
（3）根据题意，令=0.5x+0.4=10，
解得x=19.2（千万元），
∴销售额约为19.2千万元．
　
20．2014年5月，北京市提出地铁分段计价的相关意见，针对“你能接受的最高票价是多少？”这个问题，在某地铁站口随机对50人进行调查，调查数据的频率分布直方图及被调查者中35岁以下的人数与统计结果如下：
（Ⅰ）根据频率分布直方图，求a的值，并估计众数，说明此众数的实际意义；
（Ⅱ）从“能接受的最高票价”落在[8，10），[10，12]的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中35岁以上（含35岁）的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
最高票价
35岁以下人数
[2，4）
2
[4，6）
8
[6，8）
12
[8，10）
5
[10，12]
3
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）由题意得：0.04×2+a×2+0.2×2+0.06×2+0.04×2=1，由此能求出a；由频率分布直方图估计众数为7，说明在被调查的50人中，能接受最高票价为7元的人数比能接受最高票价为其他值得人数多．
（Ⅱ）由题意知，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．
【解答】（本题满分13分）
（Ⅰ）由题意得：0.04×2+a×2+0.2×2+0.06×2+0.04×2=1，
解得a=0.16…
由频率分布直方图估计众数为7，…
说明在被调查的50人中，能接受最高票价为7元的人数比能接受最高票价为其他值得人数多．…
（Ⅱ）由题意知，
50名被调查者中：选择最高票价在[8，10）的人数为0.06×2×50=6人．
选择最高票价在[10，12]的人数为0.04×2×50=4人
…
故X的可能取值为0，1，2，…
，
，
…
所以，X的分布列为：
X
0
1
2
P
…
　
21．某校为了解高三年级不同性别的学生对取消艺术课的态度（支持或反对），进行了如下的调查研究．全年级共有1350人，男女生比例为8：7，现按分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为，通过对被抽取学生的问卷调查，得到如下2x2列联表：
支持
反对
总计
男生
30
女生
25
总计
（I）完成列联表，并判断能否有99.9%的把握认为态度与性别有关？
（皿）若某班有6名男生被抽到，其中2人支持，4人反对；有4名女生被抽到，其中2人支持，2人反对，现从这10人中随机抽取一男一女进一步调查原因．求其中恰有一人支持一人反对的概率．
参考公式及临界表：K2=P（K2≥k0）
0.10
0.050
0.010
0.005
0.001
k0
2.706%
3.841
6.635
7.879
10.828
【考点】独立性检验．
【分析】（Ⅰ）利用所给数据，可以完成列联表；求出k0，与临界值比较，即可得出能否有99.9%的把握认为态度与性别有关；
（Ⅱ）确定基本事件的个数，根据概率公式，可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）列联表如下：
支持
反对
总计
男生
30
50
80
女生
45
25
70
总计
75
75
150
计算得K2=≈10.714＜10.828，
所以没有99.9%的把握认为态度与性别有关．…
（Ⅱ）随机抽取一男一女所有可能的情况有24种，其中恰有一人支持一人反对的可能情况有2×2+4×212种，所以概率为P=．…
　
22．某校随机抽取某次高三数学模拟考试甲、乙两班各10名同学的客观题成绩（满分60分），统计后获得成绩数据的茎叶图（以十位数字为茎，个位数字为叶），如图所示：
（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，并比较哪个班级的客观题平均成绩更好；
（Ⅱ）从这两组数据各取两个数据，求其中至少有2个满分的概率；
（Ⅲ）规定客观题成绩不低于55分为“优秀客观卷”，以这20人的样本数据来估计此次高三数学模拟的总体数据，若从总体中任选4人，记X表示抽到“优秀客观卷”的学生人数，求X的分布列及数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（I）根据数据计算两组数据的平均数；
（Ⅱ）从这两组数据中分别抽取一个数据，求其中至少有2个满分的概率；
（Ⅲ），求出其概率，可得X的分布列及数学期望．
【解答】解：（I）甲、乙两组数据的平均数分别为51.5，49，
甲班的客观题平均成绩更好．
（II）设从这两组数据各取两个数据，至少有2个满分为事件A，
则P（A）==；
（III）X
0
1
2
3
4
P
（人）…
　
2016年10月5日