广东省深圳实验中学高中园、惠东高级中学2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题
1．（2025高二上·深圳月考）已知直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，
，，或．
故答案为：D．
【分析】用直线的方向向量与平面的法向量的数量积分析：若方向向量与法向量垂直，则直线与平面平行或直线在平面内；若方向向量与法向量平行，则直线与平面垂直.计算方向向量与法向量的数量积，再根据数量积结果判断位置关系.
2．（2025高二上·深圳月考）已知直线：，：，若 ，则实数（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，，
解得：或，
当时，：，：，符合题意；
当时，：，则，
所以直线：，此时与重合，舍去.
故答案为：A.
【分析】利用直线：和直线：，当时，则，代入后需验证，注意排除两直线重合的情况，从而得出满足要求的实数a的值.
3．（2025高二上·深圳月考）已知向量，是两两垂直的单位向量，且，则等于( )
A．15 B．3 C．－3 D．5
【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】将化简代入可得，利用向量的运算律求出结果.
4．（2025高二上·深圳月考）如图，在三棱锥中，平面，，，点为的中点，则（ ）
A．8 B．4 C．－8 D．－4
【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】用向量的线性运算表示出，再结合向量数量积的定义及运算性质求解.
5．（2025高二上·深圳月考）已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量，
所以向量在向量上的投影向量为
，
故答案为：B
【分析】根据投影向量的定义，先计算向量与的数量积，再计算的模长的平方，最后结合的坐标求出投影向量.
6．（2025高二上·深圳月考）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：已知直线的斜率，所以垂直直线的斜率为
而D项中的直线过点，且只有D中的直线的斜率为，
故答案为：D.
【分析】根据两直线垂直的斜率关系求出直线的斜率，再结合直线经过的点，利用点斜式方程推导直线的方程.
7．（2025高二上·深圳月考）瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式；两条直线的交点坐标；三角形五心
【解析】【解答】解：因为的顶点，可得的重心的坐标为，由，可得，所以的垂直平分线所在直线的斜率为，
可得的垂直平分线所在直线的方程为，
又由，可得AC的垂直平分线所在直线的方程为，
联立方程组，解得，即的外心的坐标为，
则，所以的方程为，即，
所以的欧拉线方程为.
故答案为：C.
【分析】要求直线方程，只需求出三角形外心和中心即可.根据题意，求得的重心的坐标为，再求得和AC的垂直平分线所在直线方程（平分求中点、垂直求斜率，利用点斜式可求得中垂线方程），联立方程组，求得外心的坐标，再结合点斜式方程（或两点式方程），即可求解.
8．（2025高二上·深圳月考）已知点是棱长都为2的正四棱锥的棱的中点，空间中一点满足，其中，，，且．当最小时，有（ ）
A．为钝角三角形
B．
C．与底面所成的角是
D．四棱锥的外接球被二面角所夹的几何体的体积为
【答案】D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；共面向量定理；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为，，
所以，又，所以四点共面，
所以当为四边形的中心时，最小，
对A，根据正棱锥的性质可得平面，因为平面，所以，三角形为直角三角形，故A错误；
对B，在直角三角形中，，，所以三角形为等腰直角三角形，因为是的中点，所以，故B错误；
对C，因为平面，所以点在底面的投影落在上，所以为直线与平面所成角，因为三角形为等腰直角三角形，所以，故C错误；
对D，根据正棱锥的性质可得三角形为等腰三角形，，所以，因为平面平面，所以为二面角的平面角，因为，所以为四棱锥外接球的球心，为直径，
所以四棱锥外接球被二面角所夹的几何体的体积为，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据共面向量定理确定M的位置，再结合正四棱锥的性质，逐一分析各选项.
9．（2025高二上·深圳月考）下面四个结论正确的是（ ）
A．向量，若，则
B．若空间四个点，，，，，则，，三点共线
C．已知向量，，若，则
D．任意向量，满足
【答案】A,B,C
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量平行的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：对A：因为，，则，正确；
对B：因为，则，即，又与
有公共点，所以三点共线，正确；
对C：因为向量，，，所以存在，使得，即，则，解得，正确；
对D：表示平行于的向量，表示平行于的向量，当与不平行时，一定不成立，错误.
故答案为：ABC
【分析】根据空间向量的数量积、共线定理、共线的坐标表示以及数量积的运算性质对每个选项进行分析判断.
10．（2025高二上·深圳月考）下列选项正确的是（ ）
A．若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是
B．“”是“直线与直线垂直”的充要条件
C．“”是“直线与直线平行”的充要条件
D．直线的倾斜角的取值范围是
【答案】A,C,D
【知识点】充要条件；直线的倾斜角
【解析】【解答】解：对A，在直线中，一个方向向量是，则直线的斜率为
∴直线的倾斜角是，A正确；
对B，当时，直线与直线变为：与
显然垂直，充分性成立.当直线与直线垂直时，
解得：或，必要性不成立，故B错误；
对C，当时，直线与直线化为：与，即与，两直线平行，充分性满足要求.
若直线与直线平行，解得：，必要性成立，故C正确；
对D，在直线中，该直线的斜率为，
故倾斜角范围为.故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】对每个选项，利用直线的方向向量与倾斜角的关系、直线垂直和平行的条件、倾斜角的取值范围等知识点进行分析判断.
11．（2025高二上·深圳月考）如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若平面，则最小值为
B．若平面，则
C．若，则到平面的距离为
D．若，时，直线与平面所成角为，则
【答案】A,D
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图，以点为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则有
，则，，
对A：
设平面的一个法向量为，
则有，令，则，故
因为，平面，
所以，
得，又因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故A正确；
对B：，则，
若平面，则有，即，解得，故B错误；
对C：若，则，则到平面的距离为，故C错误；
对D：，当，时，，
则，当时，，
当时，，
当且仅当时，等号成立，故，即，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】建立空间直角坐标系，求出各点坐标及相关向量，利用空间向量的平行、垂直、点到平面的距离、线面角等知识逐一分析选项.
12．（2025高二上·深圳月考）已知点，，直线．若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】直线的斜率；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：因为直线，所以
令，解得，故直线恒过点，直线的斜率为，
则，，
依题意直线与线段有公共点，由图可知或，
即
故答案为：
【分析】确定直线所过的定点，再求出该定点与线段两端点连线的斜率，最后根据直线与线段有公共点的几何意义，结合斜率的范围确定实数的取值范围.
13．（2025高二上·深圳月考）已知空间中的三点，，，则点到直线AB的距离为 .
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为空间中的三点，，，
所以，，所以，，
点到直线AB的距离为．
故答案为：.
【分析】求出向量和，再利用空间点到直线的距离公式（距离）求解.
14．（2025高二上·深圳月考）如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上一点，，则的最小值为 ．
【答案】5﹣
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：设圆心为O，AB中点为D，由题得.
取AC中点M，由题得，
两方程平方相减得，
要使取最小值，就是PM最小，当圆弧AB的圆心与点P、M共线时，PM最小.
此时DM=，所以PM有最小值为2﹣，
代入求得的最小值为5﹣．
故答案为：5﹣
【分析】通过向量的中点性质将转化为与线段中点相关的向量模长形式，再结合圆的几何性质，求出向量模长的最小值，进而得到的最小值.
15．（2025高二上·深圳月考）已知直线过点．
（1）若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程；
（2）求与平行时的直线的方程．
【答案】（1）解：当直线在轴上的截距与在轴上的截距都为时，满足题意，所以此时的直线方程为，整理可得：
当直线在轴上的截距与在轴上的截距都不为时，可设直线方程为，
由题意可得：，解得：，
此时直线方程为，整理可得：.
即直线的方程为或；
（2）解：由直线方程化斜截式可得：，则直线的斜率为，
因为直线与平行，所以直线的斜率也为，
再由点斜式可得直线的方程为：，
整理得：.
【知识点】直线的点斜式方程；直线的截距式方程
【解析】【分析】(1)分截距为0和截距不为0两种情况，结合截距式或斜截式方程求解；
(2)用两直线平行斜率相等的性质，结合点斜式方程求解.
（1）当直线在轴上的截距与在轴上的截距都为时，满足题意，
所以此时的直线方程为，整理可得：
当直线在轴上的截距与在轴上的截距都不为时，可设直线方程为，
由题意可得：，解得：，
此时直线方程为，整理可得：.
即直线的方程为或；
（2）由直线方程化斜截式可得：，
则直线的斜率为，
因为直线与平行，所以直线的斜率也为，
再由点斜式可得直线的方程为：，整理得：.
16．（2025高二上·深圳月考）如图，长方体中，，点为的中点，平面．
（1）求的长；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）解：以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，可得，
因为平面，且平面，所以，
则，解得，即的长为.
（2）解：因为平面，所以平面的一个法向量为，
在长方体中，可得平面，且，
即平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）解：由（2）知，平面的一个法向量为，且，
设点到平面的距离为，可得，
所以点到平面的距离为.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，设的长度为含参数的表达式，利用“线面垂直则线线垂直”的性质，结合向量垂直的数量积为来列方程求解；
（2）分别求出两个平面的法向量，再利用平面夹角与法向量夹角的关系，结合向量夹角公式计算余弦值；
（3）用点到平面的距离公式，结合平面的法向量和点与平面上一点的向量来计算.
（1）解：以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，设，则，
可得，
因为平面，且平面，所以，
则，解得，即的长为.
（2）解：因为平面，所以平面的一个法向量为，
在长方体中，可得平面，且，
即平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）解：由（2）知，平面的一个法向量为，且，
设点到平面的距离为，可得，
所以点到平面的距离为.
17．（2025高二上·深圳月考）已知直线过定点，且交轴负半轴于点、交轴正半轴于点，点为坐标原点．
（1）求的最小值，并求此时直线的方程．
（2）的面积为S（为坐标原点），求S的最小值并求此时直线的方程．
【答案】（1）解：由变形可得，
令，则；故直线过定点，
把代入可得：，
即交点，由交轴正半轴于点，得，
把代入可得：，
即交点，交轴负半轴于点，结合可得，
所以
，
因为，所以当且仅当时取等号，即的最小值为，此时直线方程为；
（2）解：由（1）得交点，，
所以的面积为，
因为，所以，
当且仅当，即时取等号，即S的最小值为，此时直线方程为.
【知识点】直线的一般式方程；平面内两点间的距离公式
【解析】 【分析】（1）确定直线过的定点，再求出、坐标，将转化为向量数量积或距离公式形式，结合基本不等式求最小值；
（2）根据、坐标表示出的面积，再用基本不等式求面积最小值.
（1）由变形可得，
令，则；
故直线过定点，
把代入可得：，
即交点，由交轴正半轴于点，得
把代入可得：，
即交点，交轴负半轴于点，结合可得，
所以
，
因为，所以当且仅当时取等号，即的最小值为，
此时直线方程为；
（2）由（1）得交点，，
所以的面积为，
因为，所以，
当且仅当，即时取等号，即S的最小值为，
此时直线方程为.
18．（2025高二上·深圳月考）如图1所示，在中，分别为的中点，为的中点，满足.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2.
（1）求证：平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值；
（3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明：在中，因为分别为的中点，所以，
又因为，所以，即，
又因为为的中点，所以，
又因为平面平面且两平面交于，平面，所以平面；
（2）解：取的中点，连接，可得，
由（1）得，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，可得，
设直线和平面所成的角为，则，
即直线和平面所成角的正弦值为；
（3）解：线段上存在点适合题意.设，其中，
设，则有，所以，即，，
因为，所以，
令，整理得，解得，
，故线段上存在点适合题意，且.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由题意，根据中位线性质，结合面面垂直的性质即可证明平面；
（2）取的中点，连接，可得，由（1）得，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（3）假设存在点，由直线和所成角的余弦值可得，从而可求得.
（1）因为在中，分别为的中点，所以，
又因为，所以，即.又为的中点，所以
因为平面平面且两平面交于，又平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接，所以.由（1）得，
如图建立空间直角坐标系.由题意得，，
所以.
设平面的法向量为，则即，
令，则，所以.
设直线和平面所成的角为，则，
所以直线和平面所成角的正弦值为.
（3）线段上存在点适合题意.设，其中.
设，则有，所以，
从而，所以，
又，所以.
令，整理得.解得，舍去.
.所以线段上存在点适合题意，且.
19．（2025高二上·深圳月考）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中．
（1）求经过的直线的点方向式方程；
（2）已知平面，平面，平面，若，证明：；
（3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小．
【答案】（1）解：由，
得直线的方向向量为，
所以，直线的点方向式方程为．
（2）证明：由平面，
可知平面的法向量为，
由平面可知，平面的法向量为，
设交线的方向向量为，
则，
令，则，可得，
由平面可知，
平面的法向量为，
因为，
所以且，
则 ．
（3）解：因为平面经过三点，
可得，
设侧面所在平面的法向量，
则，
令，解得，可得，
由平面，
可知平面法向量为，
设平面与平面的交线的方向向量为，
则，
令，则，可得，
由平面，
可知平面的法向量为，
因为，
解得，
则，
所以，
则平面与平面夹角的大小为．
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究平面与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先求出直线的方向向量，再结合平面的点法向式方程定义，从而得出经过的直线的点方向式方程.
（2）根据题意可得平面、平面、平面的法向量，从而得出交线的方向向量，再利用空间向量的方法证出.
（3）根据题意可得平面的法向量和平面的法向量，从而可得交线的方向向量，再根据线面关系可得的值，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面的夹角大小.
（1）由得，直线的方向向量为，
故直线的点方向式方程为．
（2）由平面可知，平面的法向量为，
由平面可知，平面的法向量为，
设交线的方向向量为，则，
令，则，可得，
由平面可知，平面的法向量为，
因为，即，
且，所以．
（3）因平面经过三点，可得，
设侧面所在平面的法向量，
则，令，解得，可得，
由平面可知，平面法向量为，
设平面与平面的交线的方向向量为，
则，令，则，可得，
由平面可知，平面的法向量为，
因为，解得，即，
则，
故平面与平面夹角的大小为．
1 / 1广东省深圳实验中学高中园、惠东高级中学2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题
1．（2025高二上·深圳月考）已知直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ）
A． B．
C． D．或
2．（2025高二上·深圳月考）已知直线：，：，若 ，则实数（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（2025高二上·深圳月考）已知向量，是两两垂直的单位向量，且，则等于( )
A．15 B．3 C．－3 D．5
4．（2025高二上·深圳月考）如图，在三棱锥中，平面，，，点为的中点，则（ ）
A．8 B．4 C．－8 D．－4
5．（2025高二上·深圳月考）已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025高二上·深圳月考）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·深圳月考）瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·深圳月考）已知点是棱长都为2的正四棱锥的棱的中点，空间中一点满足，其中，，，且．当最小时，有（ ）
A．为钝角三角形
B．
C．与底面所成的角是
D．四棱锥的外接球被二面角所夹的几何体的体积为
9．（2025高二上·深圳月考）下面四个结论正确的是（ ）
A．向量，若，则
B．若空间四个点，，，，，则，，三点共线
C．已知向量，，若，则
D．任意向量，满足
10．（2025高二上·深圳月考）下列选项正确的是（ ）
A．若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是
B．“”是“直线与直线垂直”的充要条件
C．“”是“直线与直线平行”的充要条件
D．直线的倾斜角的取值范围是
11．（2025高二上·深圳月考）如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若平面，则最小值为
B．若平面，则
C．若，则到平面的距离为
D．若，时，直线与平面所成角为，则
12．（2025高二上·深圳月考）已知点，，直线．若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是 ．
13．（2025高二上·深圳月考）已知空间中的三点，，，则点到直线AB的距离为 .
14．（2025高二上·深圳月考）如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上一点，，则的最小值为 ．
15．（2025高二上·深圳月考）已知直线过点．
（1）若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程；
（2）求与平行时的直线的方程．
16．（2025高二上·深圳月考）如图，长方体中，，点为的中点，平面．
（1）求的长；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
17．（2025高二上·深圳月考）已知直线过定点，且交轴负半轴于点、交轴正半轴于点，点为坐标原点．
（1）求的最小值，并求此时直线的方程．
（2）的面积为S（为坐标原点），求S的最小值并求此时直线的方程．
18．（2025高二上·深圳月考）如图1所示，在中，分别为的中点，为的中点，满足.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2.
（1）求证：平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值；
（3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19．（2025高二上·深圳月考）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中．
（1）求经过的直线的点方向式方程；
（2）已知平面，平面，平面，若，证明：；
（3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，
，，或．
故答案为：D．
【分析】用直线的方向向量与平面的法向量的数量积分析：若方向向量与法向量垂直，则直线与平面平行或直线在平面内；若方向向量与法向量平行，则直线与平面垂直.计算方向向量与法向量的数量积，再根据数量积结果判断位置关系.
2．【答案】A
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，，
解得：或，
当时，：，：，符合题意；
当时，：，则，
所以直线：，此时与重合，舍去.
故答案为：A.
【分析】利用直线：和直线：，当时，则，代入后需验证，注意排除两直线重合的情况，从而得出满足要求的实数a的值.
3．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】将化简代入可得，利用向量的运算律求出结果.
4．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】用向量的线性运算表示出，再结合向量数量积的定义及运算性质求解.
5．【答案】B
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量，
所以向量在向量上的投影向量为
，
故答案为：B
【分析】根据投影向量的定义，先计算向量与的数量积，再计算的模长的平方，最后结合的坐标求出投影向量.
6．【答案】D
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：已知直线的斜率，所以垂直直线的斜率为
而D项中的直线过点，且只有D中的直线的斜率为，
故答案为：D.
【分析】根据两直线垂直的斜率关系求出直线的斜率，再结合直线经过的点，利用点斜式方程推导直线的方程.
7．【答案】C
【知识点】直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式；两条直线的交点坐标；三角形五心
【解析】【解答】解：因为的顶点，可得的重心的坐标为，由，可得，所以的垂直平分线所在直线的斜率为，
可得的垂直平分线所在直线的方程为，
又由，可得AC的垂直平分线所在直线的方程为，
联立方程组，解得，即的外心的坐标为，
则，所以的方程为，即，
所以的欧拉线方程为.
故答案为：C.
【分析】要求直线方程，只需求出三角形外心和中心即可.根据题意，求得的重心的坐标为，再求得和AC的垂直平分线所在直线方程（平分求中点、垂直求斜率，利用点斜式可求得中垂线方程），联立方程组，求得外心的坐标，再结合点斜式方程（或两点式方程），即可求解.
8．【答案】D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；共面向量定理；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为，，
所以，又，所以四点共面，
所以当为四边形的中心时，最小，
对A，根据正棱锥的性质可得平面，因为平面，所以，三角形为直角三角形，故A错误；
对B，在直角三角形中，，，所以三角形为等腰直角三角形，因为是的中点，所以，故B错误；
对C，因为平面，所以点在底面的投影落在上，所以为直线与平面所成角，因为三角形为等腰直角三角形，所以，故C错误；
对D，根据正棱锥的性质可得三角形为等腰三角形，，所以，因为平面平面，所以为二面角的平面角，因为，所以为四棱锥外接球的球心，为直径，
所以四棱锥外接球被二面角所夹的几何体的体积为，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据共面向量定理确定M的位置，再结合正四棱锥的性质，逐一分析各选项.
9．【答案】A,B,C
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量平行的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：对A：因为，，则，正确；
对B：因为，则，即，又与
有公共点，所以三点共线，正确；
对C：因为向量，，，所以存在，使得，即，则，解得，正确；
对D：表示平行于的向量，表示平行于的向量，当与不平行时，一定不成立，错误.
故答案为：ABC
【分析】根据空间向量的数量积、共线定理、共线的坐标表示以及数量积的运算性质对每个选项进行分析判断.
10．【答案】A,C,D
【知识点】充要条件；直线的倾斜角
【解析】【解答】解：对A，在直线中，一个方向向量是，则直线的斜率为
∴直线的倾斜角是，A正确；
对B，当时，直线与直线变为：与
显然垂直，充分性成立.当直线与直线垂直时，
解得：或，必要性不成立，故B错误；
对C，当时，直线与直线化为：与，即与，两直线平行，充分性满足要求.
若直线与直线平行，解得：，必要性成立，故C正确；
对D，在直线中，该直线的斜率为，
故倾斜角范围为.故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】对每个选项，利用直线的方向向量与倾斜角的关系、直线垂直和平行的条件、倾斜角的取值范围等知识点进行分析判断.
11．【答案】A,D
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：如图，以点为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则有
，则，，
对A：
设平面的一个法向量为，
则有，令，则，故
因为，平面，
所以，
得，又因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故A正确；
对B：，则，
若平面，则有，即，解得，故B错误；
对C：若，则，则到平面的距离为，故C错误；
对D：，当，时，，
则，当时，，
当时，，
当且仅当时，等号成立，故，即，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】建立空间直角坐标系，求出各点坐标及相关向量，利用空间向量的平行、垂直、点到平面的距离、线面角等知识逐一分析选项.
12．【答案】
【知识点】直线的斜率；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：因为直线，所以
令，解得，故直线恒过点，直线的斜率为，
则，，
依题意直线与线段有公共点，由图可知或，
即
故答案为：
【分析】确定直线所过的定点，再求出该定点与线段两端点连线的斜率，最后根据直线与线段有公共点的几何意义，结合斜率的范围确定实数的取值范围.
13．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为空间中的三点，，，
所以，，所以，，
点到直线AB的距离为．
故答案为：.
【分析】求出向量和，再利用空间点到直线的距离公式（距离）求解.
14．【答案】5﹣
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：设圆心为O，AB中点为D，由题得.
取AC中点M，由题得，
两方程平方相减得，
要使取最小值，就是PM最小，当圆弧AB的圆心与点P、M共线时，PM最小.
此时DM=，所以PM有最小值为2﹣，
代入求得的最小值为5﹣．
故答案为：5﹣
【分析】通过向量的中点性质将转化为与线段中点相关的向量模长形式，再结合圆的几何性质，求出向量模长的最小值，进而得到的最小值.
15．【答案】（1）解：当直线在轴上的截距与在轴上的截距都为时，满足题意，所以此时的直线方程为，整理可得：
当直线在轴上的截距与在轴上的截距都不为时，可设直线方程为，
由题意可得：，解得：，
此时直线方程为，整理可得：.
即直线的方程为或；
（2）解：由直线方程化斜截式可得：，则直线的斜率为，
因为直线与平行，所以直线的斜率也为，
再由点斜式可得直线的方程为：，
整理得：.
【知识点】直线的点斜式方程；直线的截距式方程
【解析】【分析】(1)分截距为0和截距不为0两种情况，结合截距式或斜截式方程求解；
(2)用两直线平行斜率相等的性质，结合点斜式方程求解.
（1）当直线在轴上的截距与在轴上的截距都为时，满足题意，
所以此时的直线方程为，整理可得：
当直线在轴上的截距与在轴上的截距都不为时，可设直线方程为，
由题意可得：，解得：，
此时直线方程为，整理可得：.
即直线的方程为或；
（2）由直线方程化斜截式可得：，
则直线的斜率为，
因为直线与平行，所以直线的斜率也为，
再由点斜式可得直线的方程为：，整理得：.
16．【答案】（1）解：以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，可得，
因为平面，且平面，所以，
则，解得，即的长为.
（2）解：因为平面，所以平面的一个法向量为，
在长方体中，可得平面，且，
即平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）解：由（2）知，平面的一个法向量为，且，
设点到平面的距离为，可得，
所以点到平面的距离为.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，设的长度为含参数的表达式，利用“线面垂直则线线垂直”的性质，结合向量垂直的数量积为来列方程求解；
（2）分别求出两个平面的法向量，再利用平面夹角与法向量夹角的关系，结合向量夹角公式计算余弦值；
（3）用点到平面的距离公式，结合平面的法向量和点与平面上一点的向量来计算.
（1）解：以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，设，则，
可得，
因为平面，且平面，所以，
则，解得，即的长为.
（2）解：因为平面，所以平面的一个法向量为，
在长方体中，可得平面，且，
即平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）解：由（2）知，平面的一个法向量为，且，
设点到平面的距离为，可得，
所以点到平面的距离为.
17．【答案】（1）解：由变形可得，
令，则；故直线过定点，
把代入可得：，
即交点，由交轴正半轴于点，得，
把代入可得：，
即交点，交轴负半轴于点，结合可得，
所以
，
因为，所以当且仅当时取等号，即的最小值为，此时直线方程为；
（2）解：由（1）得交点，，
所以的面积为，
因为，所以，
当且仅当，即时取等号，即S的最小值为，此时直线方程为.
【知识点】直线的一般式方程；平面内两点间的距离公式
【解析】 【分析】（1）确定直线过的定点，再求出、坐标，将转化为向量数量积或距离公式形式，结合基本不等式求最小值；
（2）根据、坐标表示出的面积，再用基本不等式求面积最小值.
（1）由变形可得，
令，则；
故直线过定点，
把代入可得：，
即交点，由交轴正半轴于点，得
把代入可得：，
即交点，交轴负半轴于点，结合可得，
所以
，
因为，所以当且仅当时取等号，即的最小值为，
此时直线方程为；
（2）由（1）得交点，，
所以的面积为，
因为，所以，
当且仅当，即时取等号，即S的最小值为，
此时直线方程为.
18．【答案】（1）证明：在中，因为分别为的中点，所以，
又因为，所以，即，
又因为为的中点，所以，
又因为平面平面且两平面交于，平面，所以平面；
（2）解：取的中点，连接，可得，
由（1）得，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，可得，
设直线和平面所成的角为，则，
即直线和平面所成角的正弦值为；
（3）解：线段上存在点适合题意.设，其中，
设，则有，所以，即，，
因为，所以，
令，整理得，解得，
，故线段上存在点适合题意，且.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由题意，根据中位线性质，结合面面垂直的性质即可证明平面；
（2）取的中点，连接，可得，由（1）得，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（3）假设存在点，由直线和所成角的余弦值可得，从而可求得.
（1）因为在中，分别为的中点，所以，
又因为，所以，即.又为的中点，所以
因为平面平面且两平面交于，又平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接，所以.由（1）得，
如图建立空间直角坐标系.由题意得，，
所以.
设平面的法向量为，则即，
令，则，所以.
设直线和平面所成的角为，则，
所以直线和平面所成角的正弦值为.
（3）线段上存在点适合题意.设，其中.
设，则有，所以，
从而，所以，
又，所以.
令，整理得.解得，舍去.
.所以线段上存在点适合题意，且.
19．【答案】（1）解：由，
得直线的方向向量为，
所以，直线的点方向式方程为．
（2）证明：由平面，
可知平面的法向量为，
由平面可知，平面的法向量为，
设交线的方向向量为，
则，
令，则，可得，
由平面可知，
平面的法向量为，
因为，
所以且，
则 ．
（3）解：因为平面经过三点，
可得，
设侧面所在平面的法向量，
则，
令，解得，可得，
由平面，
可知平面法向量为，
设平面与平面的交线的方向向量为，
则，
令，则，可得，
由平面，
可知平面的法向量为，
因为，
解得，
则，
所以，
则平面与平面夹角的大小为．
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究平面与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先求出直线的方向向量，再结合平面的点法向式方程定义，从而得出经过的直线的点方向式方程.
（2）根据题意可得平面、平面、平面的法向量，从而得出交线的方向向量，再利用空间向量的方法证出.
（3）根据题意可得平面的法向量和平面的法向量，从而可得交线的方向向量，再根据线面关系可得的值，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面的夹角大小.
（1）由得，直线的方向向量为，
故直线的点方向式方程为．
（2）由平面可知，平面的法向量为，
由平面可知，平面的法向量为，
设交线的方向向量为，则，
令，则，可得，
由平面可知，平面的法向量为，
因为，即，
且，所以．
（3）因平面经过三点，可得，
设侧面所在平面的法向量，
则，令，解得，可得，
由平面可知，平面法向量为，
设平面与平面的交线的方向向量为，
则，令，则，可得，
由平面可知，平面的法向量为，
因为，解得，即，
则，
故平面与平面夹角的大小为．
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