河南省郑州市十校2025-2026学年高二上学期11月期中联考-数学试题（含答案）

河南省郑州市十校联考2025-2026学年高二上学期期中
数学试题
命题人： 审核人：
考试时间：120分钟 分值：150分
注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，，且，那么实数等于（　　）
A. 3 B. -3 C. 9 D. -9
2. 如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 过点且在、轴截距相等的直线方程为
B. 直线的倾斜角为
C. 直线在轴上的截距为
D. 过点并且倾斜角为的直线方程为
4. 若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为
A. B. C. D.
7. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若，则是锐角
C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面
10. 下列选项正确的是（ ）
A. 若直线与平行，则与的距离为
B. 过点且和直线平行的直线方程是
C. “”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件
D. 直线的倾斜角的取值范围是
11. 平面内到两个定点A，B的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（ ）
A. 点的轨迹的方程是
B. 过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是1
C. 直线与点的轨迹相离
D. 已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C，D，则四边形面积的最小值是3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标______
13. 圆与圆的公共弦长为______.
14. 在平面直角坐标系中，已知点，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为______，若椭圆上有且仅有8个点满足，则椭圆的离心率的取值范围是______
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
16. 在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，.
（1）用，，表示，，；
（2）求的长；
（3）求异面直线与所成角的余弦值.
17. 已知圆，过点作直线交于，两点．
（1）若，求直线的方程；
（2）若点是上的一动点，点是线段的中点，求动点的轨迹方程．
18. 如图（1），在四棱锥中，平面平面，，，，，，.
（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（2）设二面角的大小为，若，求的值；
（3）阅读下列“链接”材料，试判断异面直线BE和AD间的距离是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.
链接：运用空间向量求异面直线间的距离如图（2），设、分别为异面直线、上的点，是与直线、都垂直的向量，从而异面直线、间的距离为，即为向量在向量上的投影向量的模.
19. 在平面直角坐标系中，过点作斜率分别为的直线，若，则称直线是定积直线或定积直线.
（1）已知直线是定积直线，且直线，求直线的方程;
（2）如图所示，已知点，点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线上的点(与均不重合)，且直线是定积直线，直线是定积直线，直线是定积直线，求点的坐标;
（3）已知点，直线是定积直线，若，求三角形的面积.
数学答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. D．2. A.3. C.4. D5. B.6. .7. A.8. A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. ACD.10. AD 11. ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. . 14. ①. ②.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）证明：直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）．
（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是．
（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k，
∴A，B（0，1＋2k）．
又且1＋2k＞0，
∴k＞0．
故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
16. （1），，
（2） （3）
17. （1）或
（2）
18. （1） （2） （3）是，
19. （1） （2）； （3）