湘教版（2024）八年级上册数学教案（全册）
文档属性
| 名称 | 湘教版（2024）八年级上册数学教案（全册） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 4.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-04 00:00:00 | ||
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文档简介
课 题：多项式的因式分解 第 课时 总序第 1 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.了解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法的区别和联系，会判断一个变形是否是因式分解； 2.学习代数式的变形和转化与化归能力，了解因式分解的意义； 批 注
教学重点：了解因式分解的意义，掌握因式分解与整式乘法的区别和联系.
教学难点：知道因式分解与整式乘法的区别和联系.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 一、创设情境，导入新知 问题1 6等于2乘哪个整数？ 问题2 x2－1等于x+1乘哪个多项式？ 二、合作交流，探究新知 探究一 因式分解的定义 做一做 (1) 因为(x+1) = ，所以x +2x+1=(x+1)( )； (2) 因为x(x－)= ，所以x －x=x( ). 观察“所以”后面的式子，有什么共同点？ [抽象]一般地，对于多项式f与g，如果有多项式h使得f = gh，那么把g叫作f的一个因式，此时，h也是f的一个因式. 由于x +2x+1=(x+1) ，则x+1是多项式x +2x+1的因式. 类似地，由于x －x=x(x－)，则x和x－都是x －x的因式. [归纳]多项式因式分解的定义： 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式.例如：x +2x+1=(x+1) x －x=x(x－) 探究二 因式分解与多项式乘法运算的关系 想一想：多项式的乘法运算与因式分解有什么关系？ 多项式的乘法运算与因式分解是互逆的变形过程，即 x2－y2 (x+y)(x－y)
因式分解等式的特征：左边是多项式，右边是几个多项式的乘积. 辨一辨：在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ；不是因式分解的有 ，请说明为什么. ①am+bm+c=m(a+b)+c②24x2y=3x·8xy③x2－1=(x+1)(x－1)④(2x+1)2=4x2+4x+1 提示：判定一个变形是因式分解的条件： (1) 必须是等式；(2) 左边是至少含两项的多项式；(3) 右边是整式的乘积的形式. 三、典例分析，运用新知 例1 填空： 因为(x－2)(x－3) = ，所以 = (x－2)(x－3)是多项式 的因式分解. 例2 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. (1) x(x－2y)=x2－2xy；(2) x2－2x+1=x(x－2)+1； (3) 3x2－x=x(3x－)；(4) xy－x－y+1=(x－1)(y－1). 四、巩固练习，拓展提升 （一）巩固练习 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. (1)x2+xy=x(x+y)(2)4x2-8x-1=4x(x-2)-1(3)ax2-bx2-x=x(ac-bx-1) （二）拓展提升 1.若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和 (x﹣1)，求mn的值. 五、总结反思，升华认知
教学反思：
课 题：提公因式法 第 课时 总序第 2 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.理解公因式和提公因式法的概念；会确定多项式的公因式； 会用提公因式法因式分解. 2.通过讨论、观察、比较、概括等多种方法交叉教学，充分调动多种感官参与教学，激发学生学习的兴趣 批 注
教学重点：会确定多项式的公因式
教学难点：掌握提公因式法进行因式分解
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 一、新课引入 1.分别说出xy，3xz中次数大于0的因式，其中有相同的因式吗？ xy中，次数大于0的因式有x，y；3xz中，次数大于0的因式有x，z. 结论：两个单项式中都含有的相同的字母x. 二、讲授新课 探究点一：公因式 定义：几个多项式的相同因式称为它们的公因式. 例 请你确定多项式9ab2c－6a2b2＋12ab3c2的公因式． 方法总结：公因式的确定：(1)系数：各项系数的绝对值的最大公因数；(2)字母及指数：各项都含有的相同字母的最低次幂．确定公因式时，应先确定系数，再确定字母及指数，字母的指数为1时，指数1可省略不写． 探究点二：提单项式公因式因式分解 定义：如果一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法. 例1 把多项式4x2-6x3因式分解. 例2 把多项式8x2y4-12xy2z4因式分解. 例3 把多项式5x2-3xy+x因式分解. 例4 把多项式-3x2+6xy-3xz因式分解.
方法总结：（1）提取公因式后，括号内剩余的项数与原多项式的项数相同；（2）如果提取一个带“＋”号的公因式，括号内各项的符号与原多项式各项的符号相同；如果提取一个带“－”号的公因式，括号内各项的符号与原多项式各项的符号相反；（3）多项式中的某一项全部提取后，括号内剩余的因式“1”不能漏写；（4）多项式的首项为负时，常提取一个负的公因式． 探究点三：提单项式公因式因式分解的应用 类型一 利用提公因式法求值 例1 已知a＋b＝133，ab＝100，求a2b＋ab2的值 类型二 利用提公因式法进行简便运算 例2 利用因式分解计算：9992＋999. 类型三 利用提公因式法判断整除 例3 试说明：817－279－913能被45整除． 三、课堂小结
教学反思：
课 题：提公因式法 第 课时 总序第 3 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.进一步理解公因式的概念，并能熟练地找出多项式的公因式；进一步掌握用提公因式法把多项式因式分解.2.依据数学化归思想方法进行因式分解.主动积极地积累确定公因式的经验 批 注
教学重点：公因式是多项式的提公因式法因式分解
教学难点：适时添加括号或变形后找公因式
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 一、新课引入 1．因式分解：2ax－4a2y. 2．在多项式2ax－4a2y中，如果把其中的a用(a＋b)替换，则可得到多项式：2(a＋b)x－4(a＋b)2y，还可以进行因式分解吗？如果可以，怎样进行因式分解？ 二、讲授新课 探究点一：确定多项式公因式 类型一 直接确定公因式 例1 把多项式x(x-2)-y(x-2)因式分解. 类型二 通过变形确定公因式 例2 把多项式x(x-2)-y(2-x)因式分解. 探究点二：提多项式公因式进行因式分解 类型一 提公因式进行因式分解 例1 把多项式12xy2(x-y)2-18x2y(y-x)2因式分解. 例2 把多项式2x3y-10xy2因式分解.
类型二 利用因式分解整体代换求值 例 已知2a+b＝7，ab＝4，求2a2b+ab2的值． 类型三 因式分解化简多项式后，求代数式的值 例 先因式分解，再求值： (2x+1)2(3x-2)-(2x+1)(3x-2)2-x(2x+1)(2-3x)，其中x＝. 三、课堂小结 通过本节课的学习，你学会了哪些知识？你最深刻的体验是什么？你还有什么问题不清楚？ 四、板书设计 1．提公因式时，如果多项式的首项符号为负，常提取一个带“－”号的公因式． 2．(a-b)2n＝(b-a)2n，(a-b)2n＋1＝-(b-a)2n＋1(n为正整数)．
教学反思：
课 题：利用平方差公式进行因式分解 第 课时 总序第 4 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.使学生掌握用平方差公式分解因式. 2.让学生在分解因式的过程中理解多项式中如果有公因式要先提公因式.3.通过一定量的训练，深入理解因式分解的意义并能熟练化简代数式. 批 注
教学重点：理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点.
教学难点：能正确运用平方差公式把多项式分解因式.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 一、新课引入 (一)类比探究： 1.平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，从左边到右边的这个过程叫___ . 2.反过来，a2-b2=(a+b)(a-b)，从左边到右边的这个过程叫____. 因此，a2-b2=(a+b)(a-b)是因式分解中的一个公式. （二）新知探索：如何把x2-25进行因式分解？ 平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，把这个乘法公式从右到左地使用，得a2-b2=(a+b)(a-b). 因此 x2-25=x2-52=(x+5)(x-5). 像上述例子那样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解.这种因式分解的方法叫作公式法. 二、讲授新课 1．用平方差分解因式 （1）把公式a2-b2=(a+b)(a-b)中的字母a改为5x，字母b改为2y得到什么样的多项式？怎样把25x2-4y2分解因式？ 例1 把多项式25x2-4y2因式分解. （2）把公式a2-b2=(a+b)(a-b)中的字母a改为x+y，字母b改为x-y得到什么样的多项式 怎样把多项式(x+y)2-(x-y)2分解因式？ （3）把公式a2-b2=(a+b)(a-b)中的字母a改为x2，字母b改为y2得到什么样的多项式？怎样分解多项式x4-y4？ 2.综合运用平方差公式和提公因式法分解因式 例2 把多项式x4-y4因式分解.
（4）把公式a2-b2=(a+b)(a-b)中的字母a改为x5，字母b改为x3y2得到什么样的多项式？怎样分解多项式x5-x3y2？ 例3 把多项式x5-x3y2因式分解. （5）把公式a2-b2=(a+b)(a-b)中的字母a改为x4，字母b改为9得到什么样的多项式 怎样把多项式x4-9分解因式？ 3．有理数范围和实数范围内分解因式. 例4 把多项式x4-9因式分解. 4．模仿练习 (1)6.12-3.92; (2)0.122-0.882 5．平方差公式的识别 下面多项式是否适合用平方差公式分解因式？ （1）-a2+b2， （2）a2-(-b)2. （3）-a2+(-b)2 6．应用迁移，巩固提高 例 某校打算对操场的圆形跑道上铺塑胶路面，已知跑道外圆半径R=30.5 m，内圆半径r=24.5 m，求需要的塑胶总面积.（π取3.14，结果精确到0.1） 三、课堂小结 用平方差公式分解因式，关键是会识别一个多项式是否适合用公式，如果适合，什么式子相当于公式中的字母a，什么式子相当于公式中的字母b.
教学反思：
课 题：利用完全平方公式进行因式分解 第 课时 总序第 5 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.理解完全平方公式的结构特征，能够准确识别可以使用完全平方公式进行因式分解的多项式。2.掌握完全平方公式，并能够熟练运用该公式进行因式分解。 批 注
教学重点：完全平方公式的结构特征及应用。
教学难点：准确识别完全平方公式的结构特征
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 一，探究：公式法——完全平方公式 计算：. 解：在完全平方公式1中，将y用2代入得到等式 = 做一做：你能将进行因式分解吗？ 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式式分解： 议一议：具有什么特征的多项式可用完全平方公式分解因式？ 特征：1.含有三项 2.有两项可以写成某个数（或式子）的平方，并且这两项符号相同 3.第三项是这两个数（或式子）的乘积的±2倍 二，课堂练习； 1.下列把多项式因式分解： (1); (2). 解：(1) 注意：若首项系数为负，一般要提出“”，使括号内首项系数为正，但要注意，此时括号内的各项都应变号。 (2) 注意：若多项式各项有公因式，则先提公因式，再运用公式分解因式。
注意：若首项系数为负，一般要提出“”，使括号内首项系数为正，但要注意，此时括号内的各项都应变号。 (2) 注意：若多项式各项有公因式，则先提公因式，再运用公式分解因式。 例7把多项式因式分解. 注意：因式分解必须进行到每个因式都不能再分解为止。 三．课堂总结 教师活动： 完全平方公式的逆用：x2+2xy+y2=(x+y)2、x22xy+y2=(xy)2 主要特点： 特征：1.含有三项 2.有两项可以写成某个数（或式子）的平方，并且这两项符号相同 3.第三项是这两个数（或式子）的乘积的±2倍 注意：1.若首项系数为负，一般要提出“”，使括号内首项系数为正，但要注意，此时括号内的各项都应变号。 2.若多项式各项有公因式，则先提公因式，再运用公式分解因式。 3.因式分解必须进行到每个因式都不能再分解为止。 4.(x+y)2=x2+2xy+y2和(xy)2=x22xy+y2中的x,y，可以用任何数或任意单项式代入。
教学反思：
课 题：十字相乘法与分组分解法 第 课时 总序第 6 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：理解并掌握用十字相乘法和分组分解法分解因式；能准确识别适用于十字相乘法和分组分解法的多项式，熟练运用这两种方法进行因式分解. 批 注
教学重点：理解并掌握用十字相乘法和分组分解法分解因式
教学难点：能准确识别适用于十字相乘法和分组分解法的多项式
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 复习导入 1.因式分解和整式乘法的关系是？ 2.我们已经学习了哪些因式分解的方法？ ①提公因式法；pa + pb + pc = p(a + b + c) ②公式法：1. a2 - b2 = (a + b)(a - b) 2. a2±2ab + b2 = (a ± b)2 二．探究新知 十字相乘法因式分解 探究：1.计算： (1) (x + 2 )(x + 3) = ___________； (2) (x + 1)(x - 4) =____________； (3) (x + 4 )( x - 2) =____________； 2. 根据题 1 和等式的性质填空： (1) x2 + 5x + 6 = ______________ ； (2) x2 - 3x - 4 =_______________； (3) x2 + 2x - 8 =_______________； 观察因式分解算结果，你能发现什么规律？ 规律 x2 + (p + q)x + pq = (x + p) (x + q). 可以将某些二次项系数是 1 的二次三项式因式分解 多项式 x ＋5x＋6 分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示： ①先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角； ②再分解常数项， 分别写在十字交叉线的右上角和右下角； ③然后交叉相乘并求和，使其等于一次项系数. 3，点例精析 例1 分解因式：x2－5x＋6.
合作探究 探究：计算： (x－1)(2x－5)＝ (2) (3x＋1)(x＋3)＝ ； (3) (dx＋m)(ex＋n)＝ 根据等式的性质填空： (1) 2x －7x＋5＝ ______________ ； (2) 3x ＋10x＋3＝_______________； (3) dex ＋(em＋dn)x＋mn＝ 利用分组法因式分解 例3 把多项式 x3－x －x＋1 因式分解. 分析：x3－x －x＋1 既不能直接使用提公因式法或公式法进行因式分解，也不能运用十字相乘法. 但若将其恰当分组，如分为 x3－x 与 －x＋1 两组，则可继续进行因式分解. 例3 把多项式 x3－x －x＋1 因式分解. 解：x3－x －x＋1 ＝(x3－x )－(x－1) ＝x (x－1)－(x－1) ＝(x－1)(x －1) ＝(x－1)(x＋1)(x－1) ＝(x＋1)(x－1) . 像例3那样，利用分组来分解因式的方法叫作分组分解法
教学反思：
课 题： 第一章因式分解复习 第 课时 总序第 7 个教案
课 型： 复习课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：系统回顾因式分解的概念、方法及其适用条件，包括提公因式法、公式法等。能够根据多项式的特征，灵活选择合适的方法进行因式分解， 批 注
教学重点：灵活运用因式分解方法解决实际问题，提高学生的综合解题能力。
教学难点：.根据多项式的特征，快速准确地选择合适的因式分解方法。
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 环节一：知识图谱 环节二：思考回顾 1.什么叫作多项式的因式分解？ 教师讲授：一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式. 【牛刀小试】下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 2.多项式的因式分解与多项式的乘法有什么关系？ 教师讲授：多项式的因式分解与多项式的乘法运算是互逆的变形过程。 【牛刀小试】若因式分解得：，则、的值为（ ） A．， B．， C．， D．， 3.如何找出多项式各项的公因式？ 教师讲授：确定公因式的方法
1.系数：当多项式的各项系数都是整数时,公因式的系数取各项系数的最大公因数，当多项式的各项系数都是分数时,公因式的系数的分子分母取各项系数分子分母的最大公因数； 2.字母：取各项相同的字母； 3.指数：取各项中相同字母的指数次数最低的。 4.举例说明如何利用提公因式法进行因式分解. 教师讲授： 第一步：找公因式 第二步：把所有公因式提到括号外面 5.举例说明如何利用平方差公式进行因式分解. 教师讲授: 平方差公式的逆用：x2y2=(x+y)(x) 主要特点：1.共有两项，2.两项符号相反 3.每项的绝对值都可以写成某个数（或式子）的平方 6.举例说明如何利用完全平方公式进行因式分解 完全平方公式的逆用：x2+2xy+y2=(x+y)2、x22xy+y2=(xy)2 主要特点：1.含有三项 2.有两项可以写成某个数（或式子）的平方，并且这两项符号相同 3.第三项是这两个数（或式子）的乘积的±2倍
教学反思：
课 题：第一章因式分解复习 第 课时 总序第 8 个教案
课 型： 练习课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：系统回顾因式分解的概念、方法及其适用条件，包括提公因式法、公式法等。能够根据多项式的特征，灵活选择合适的方法进行因式分解， 批 注
教学重点：灵活运用因式分解方法解决实际问题，提高学生的综合解题能力。
教学难点：根据多项式的特征，快速准确地选择合适的因式分解方法。
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 课堂练习； 1.多项式的公因式是（ ） A． B． C． D． 2.将多项式因式分解，结果为（ ） A． B． C． D． 3.下列多项式：①；②；③；④中，能用公式法分解因式的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.把因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（） A． B． C． D． 5.下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 6.下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 7.一个整式可因式分解为，那么这个整式是 ． 8.若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值为 ． 9.因式分解： ．
10.因式分解． 11.下面是嘉淇同学把多项式分解因式的具体步骤： ………………第一步 ……………………………………第二步 …………………………………第三步 ……………………………第四步 (1)事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是 ； (2)请给出这个问题的正确解法．
教学反思：
课 题：陈景润：勇攀科学高峰的典范 第 课时 总序第 9 个教案
课 型：数学文化课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.了解陈景润的传奇人生,学习陈景润身上的科学家精神。2.进一步学会数学阅读的方法，感受数学阅读的美好。3.进一步提升审辩式思维和爱国奉献的意识。 批 注
教学重点：感受数学阅读的美好
教学难点：提升审辩式思维
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 陈景润（1933一1996），福建福州人，数学家，中国科学院院士， 1950年考入厦门大学数理系，1956年到中国科学院数学研究所工作，他 主要从事解析数论方面的研究，1982年获国家自然科学奖一等奖，发表 研究论文50余篇，出版有《初等数论》《组合数学》《哥德巴赫猜想》 《组合数学简介》等著作。 一、爱好学习，喜欢探索 陈景润自幼就显得有些瘦弱，而且不太善于表达自己，但他爱好学 习，酷爱读书，尤其爱读数学书，常常进人痴迷状态，把所有精力都用 在学习上，他对待学习分秒必争，走到哪里就学到哪里，连去理发店理 发，要是见到人多，都会找一个空地坐下来，然后从口袋里掏出个小本 子，开始学习. 在厦门大学读书期间，他对数学的迷恋和热爱就如痴如醉，数学书 上的习题，已经被他从头到尾演算过一遍，而且他还要再找课外习题做， 他嗜书如命、舍命苦读的精神，令其他同学惊叹不已，于是，就有人给 他起了个“爱因斯坦”的外号，正如中国科学院林群院士所说： 科学好比登山，有的人登上一座山，浏览了峰顶的风光，就满足而归了，而陈景润却不一样，同样登山，倘若上山有十条小径，他每一条小径都要去爬一次，他重视的不全是结果，而是贵在过程，直到把上山的路径全摸透了，他才会感到满足，功底、基础就是这样一步一个脚印建立起来的. 二、刻苦钻研，勇于攀登 大学毕业参加工作后，由于身体等原因，他不得不辞职回到家乡， 靠摆书摊勉强度日，时任厦门大学校长王亚南得知后，决定把他调到该 校数学系资料室工作，重回厦门大学后，除了日常工作外，他夜以继日地 专注于数论研究. 1956年，在华罗庚的努力下，陈景润来到中国科学院数学研究所， 担任研究实习员，并成为华罗庚的学生. 数学研究几乎是陈景润的全部生活和精神寄托，为了心无旁骛地钻
研学术，他主动申请搬进了数学研究所的一间只有6平方米的废弃锅炉房 里，经过1000多个日日夜夜的奋斗，他攻克了世界著名数学难题“哥德 巴赫猜想”中的“1十2”，人们不知道他燃尽了多长的灯芯，烧尽了多 少的煤油，也无法知道他经历过多少次失败，只知道最后在他床底下发 现了几麻袋用于演算的手稿纸. 然而，在攻克“哥德巴赫猜想”中的“1十2”后，他并没因此而停 下脚步，因为他认为：“在科学的道路上我只是翻过了一个小山包，真正 的高峰还没有攀上去，还要继续努力！”或许宛如登山者“它就在那里” 的执念，在陈景润这位新中国“最美奋斗者”的心中，永远燃烧着追求 真理、勇攀数学高峰的豪迈理想和坚定信念。 三、胸怀祖国，淡泊名利 陈景润的工作引起了国内外数学同行的重视，1978年和1982年，他 分别两次被邀请出席国际数学家大会（ICM）作45分钟的主题发言，这是 国际数学界对一名数学家的极大认可，对提高他在国际上的知名度大有 好处，但由于当时我国在国际数学联合会的席位一直被中国台湾占据着， 于是，他经过慎重考虑，最后决定放弃参加，在答复国际数学联合会主席的信中表明：“世界上只有一个中国，唯一能代表中国广大人民利益的 是中华人民共和国，台湾是中华人民共和国不可分割的一部分，因为目 前台湾占据着国际数学联合会我国的席位，所以我不能出席，如果中国 只有一个代表的话，我是可以考虑参加这次会议的。” 在浩瀚宇宙的灿烂星河中，有一颗小行星——国际永久编号为7681 的“陈景润星”，那正是永恒闪耀的陈景润数学精神的象征，正是由于他 不畏艰难、努力拼搏、积极进取、勇攀科学高峰的精神，在中华人民共 和国成立60周年时他被评为“100位新中国成立以来感动中国人物”之 一，在庆祝改革开放40周年大会上，他被党中央、国务院授予“改革先 锋”称号，获评“激励青年勇攀科学高峰的典范”
教学反思：
课 题：分式的概念 第 课时 总序第 10 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.理解分式的含义，能区分整式与分式. 2.理解分式中分母不能为零，会求分式中字母满足什么条件分式有意义. 3.体会数学概念来源于实际，发展学生应用数学解决实际问题的意识. 批 注
教学重点：掌握分式的概念以及分式是否有意义的条件.
教学难点：理解和掌握分式值为零时的条件
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.类比引入 我们已经知道，6=3×2，于是6÷3=2. 类似地，由于x2-1=(x+1)(x-1)，因此(x2-1)÷(x+1)=x-1. 由于8=3×2+2，于是8不能被3整除，可把8除以3的结果记作. 类似地，由于x2+1=(x+1)(x-1)+2，因此x2+1不能被x+1整除，把x2+1除以x+1的结果记作. 分式的概念：设f和g都是多项式，其中g不为0.我们把f除以g的结果记作，称是分式，其中f称为分子，g称为分母. 练一练：下列式子中哪些是整式？ ，，，-，. 2.讲授新课 例1 已知分式. (1)当x取哪个数时，的值不存在？ (2)当x取哪个数时，的值等于0？
议一议：(1)当x取哪个数时，分式的值不存在？ (2)分式的值可能等于0吗？为什么？ 与例1比较，类比得出结论. 例2 (1)当x取3时，分式的值是多少？ (2)当x取-0.4时，分式的值是多少？ 3.实际应用 （1）某长方形画的面积为S m2，长为8 m，则它的宽为_____m． （2）某长方形画的面积为S m2，长为x m，则它的宽为_____m． （3）如果两块面积为x公顷，y公顷的稻田，分别产稻谷a kg，b kg，那么这两块稻田平均每公顷产稻谷________kg． 4.课堂小结 分式
教学反思：
课 题：分式的基本性质 第 课时 总序第 11 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.使学生理解并掌握分式的基本性质，并能运用这些性质进行分式约分. 2.通过对分式的基本性质的归纳，培养学生观察、类比、推理的能力. 批 注
教学重点：掌握分式的基本性质.
教学难点：运用分式的基本性质来化简分式.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 1.分数：，，，它们是否相等？为什么？ 2.请叙述分数的基本性质． 3.类比分数的基本性质，你能猜想分式的基本性质吗？ 2.讲授新课 1.类比分数的基本性质：=，=(c≠0)，其中a，b，c是数.猜想分式的基本性质. 【归纳结论】分式的分子与分母都乘同一个不为0的多项式(或除以它们的一个不为的公因式)，所得分式与原分式相等. 2．与分式相等吗？分式与分式相等吗？ 思考：下列关于分式的等式是否成立？为什么？ (1)=； (2)=. 3．根据分式的基本性质填空：=.
【归纳结论】像这样，利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去（即分子与分母都除以它们的公因式），叫作分式的约分. 如果分式的分子与分母没有公因式，那么称这个的分式是最简分式. 3.典型例题 例3 把下列分式化成最简分式： (1)； (2). 例4 当x=23，y=17时，求分式的值. 3.课堂小结 分式的基本性质：＝，＝(h≠0) 约分(找出分子与分母的公因式) 最简分式(分子与分母无公因式)
教学反思：
课 题：同分母分式的加减 第 课时 总序第 12 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算.2.通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想. 批 注
教学重点：同分母的分式加减法的运算.
教学难点：同分母的分式加减法的运算.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 做一做： 猜一猜： 2.讲授新课 1.你能根据分数的加减法运算法则，总结出当分母相同时，分式的加减法运算法则吗？ 【归纳结论】同分母的分式相加，分母不变，把分子相加. 用式子表示为：. 2.计算：. 3.从上式可以看出：与互为相反分式，即=. 于是可以规定：减去一个分式等于加上这个分式的相反分式. 同分母的分式的减法运算法则： 同分母的分式相减，分母不变，把分子相减.即.
4.吗？ 根据=，又=，因此. 3.典型例题 例1 计算： (1)； (2). 例2 计算：. 4.课堂小结 同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最后结果要化为最简分式或整式． 5.板书设计 1．同分母分式加减法的法则： ± ＝ . 2．分式的符号法则：＝，＝＝－.
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课 题：分式的通分 第 课时 总序第 13 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.会找最简公分母，能进行分式的通分。2.认真阅读课本，比照分数通分的方法，类比归纳分式通分的方法。3.通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想. 批 注
教学重点：分式的通分.
教学难点：找最简公分母.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 1.学生回顾：异分母分数，，是如何化成同分母分数的？ 2.提问：什么是分数的通分？其根据和关键是什么？ 3.启发：分式的通分与分数的通分类似，那么什么是分式的通分呢？其根据又是什么？ 4.尝试概括：你能通过类比分数的通分归纳分式通分的定义吗？ 2.讲授新课 1.什么是分式的通分呢？ 【归纳结论】根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分. 2.如何把分式，通分呢？ ，. 3.典型例题 例3 把分式与通分. ，. 做一做：找出下列分式的最简公分母，并将它们通分. (1)； (2)； (3). 例4 把分式与通分.
例5 把分式与通分. ， . 训练题补充： （1），，； （2），，； （3），； （4），； （5），； （6），. 4.课堂小结 1.最简公分母 2.通分 (1)依据：分式的基本性质. (2)方法：先确定最简公分母，再把各分式的分母化为最简公分母
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课 题：异分母分式的加减 第 课时 总序第 14 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.理解并掌握异分母分式加减法的法则.2.经历异分母分式的加减运算的探讨过程，训练学生的分式运算能力.3.培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识 批 注
教学重点：异分母分式加减法的计算
教学难点：异分母分式加减法的计算
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 1.同分母分式加、减怎么计算？ 2.计算： 下面两种方法那种方法更简单？ 解：方法一： 方法二： 第二种方法更简单，因为它取的公分母是最简单的.最简的公分母又是怎么确定的呢？（交流） 方法1 用短除法，如图：2×2×3×4=48 方法2 分解质因数，12=22×3，16=24，公分母就是24×3. 3.我们把=中的2，3分别用字母a，b用字母代替得到：怎么计算呢？这节课我们来学习异分母分式加、减法. 2.讲授新课 思考：如何计算？动手试一试.
3.典型例题 例6 计算：. 例7 计算： (1)； (2). 引导学生小结分式加减法的计算步骤： 第一步：通分，化为同分母分式； 第二步：将同分母分式中的分子相加减； 第三步：分子去括号，合并同类项； 第四步：化为最简分式. 例8 计算：x+1+. 4.课堂小结 分母是单项式：异分母分式相加减，先通分，再转化为同分母分式相加减. 分母是多项式：分母是多项式时，应先因式分解，再通分， 再进行通分运算.
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课 题： 分式的加法和减法同步练习课 第 课时 总序第 15 个教案
课 型： 练习课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：能准确复述分式加减法的法则（同分母、异分母），熟练完成分母是单项式或简单多项式的分式加减运算，运算准确率不低于85%。通过分层练习，掌握“找最简公分母→通分→计算→约分”的异分母分式加减步骤， 批 注
教学重点：熟练运用同分母分式加减法法则进行计算，并能对结果约分至最简。
教学难点：当分母是多项式时，能准确对分母进行因式分解，进而确定最简公分母
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 一、单选题 1．和的最简公分母是（ ） A．2a3 B．2a2 C．2a D．a2 2．把 ， ， 通分过程中，不正确的是（ ） A．最简公分母是 B． C． D． 3．分式 与 的最简公分母是（ ） A． B． C． 4．若，则（ ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（ ） A．1 B． C．a+b D．a-b 二、填空题 6．分式 的最简公分母是 7．计算：＝ ．
8．分式和的最简公分母是 9． 和 的最简公分母是 ，通分后为 10．各分母系数(都是整数)的最小公倍数与所有字母的 的积叫做最简公分母,它类似于小学分数中的 . 11．化简： 。 三、计算题 12．计算： （1）； （2）． 13．计算： （1） （2） 四、综合题 14．通分； （1） ； （2） ．
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课 题：分式的乘除及混合运算 第 课时 总序第 16教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：掌握分式乘除法则，能正确进行同分母、异分母分式的乘除运算。理解分式乘除混合运算的顺序（先乘除后加减，有括号先算括号内），能准确计算并化简结果。 批 注
教学重点：分式乘除的法则及其应用；分式混合运算的顺序和技巧。
教学难点：在分式混合运算中，正确处理运算顺序、通分、约分等环节
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 环节一：新知导入 教师活动1： 计算：（1）； （2）； （3） 回顾：分数的乘法运算法则是怎样的？ 分数的乘法运算法则：分数相乘，把分子乘分子，分母乘分母. 环节二：探究新知 教师活动2： 探究一：分式的乘法 【思考】前面已经类比分数的加减法学习了分式的加法和减法运算，如果分式的乘法也类似于分数的乘法，则分式的乘法运算法则应是怎样的？ 教师讲授： 分式的乘法运算法则：分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母. 【牛刀小试】 例1计算： 例2计算：
【归纳】 若分子、分母都是单项式，先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式.若分子、分母含有多项式，则先因式分解，能约分的先约分，再相乘 探究二：分式的除法 计算：（1）； （2）； （3）. 分数的除法运算法则：分数除以分数，把除数的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘. 【议一议】类似于分数的除法，分式的除法法则应是怎样的？ 分式的除法运算法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 如果,则 【牛刀小试】 例3计算： 例4 计算：
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课 题：分式的乘方 第 课时 总序第 17 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：掌握分式乘方法则，能正确计算单项式和多项式分式的乘方及混合运算。理解运算顺序，能将混合运算统一为乘法 批 注
教学重点：分式乘方的法则及其应用及分式混合运算的顺序和技巧。
教学难点：在分式混合运算中，正确处理运算顺序、通分、约分等环节，
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 环节一：新知导入 教师活动1： 计算：（1）； （2）； （3）. 回顾：分数的乘方是把分数的分子、分母各自乘方。 环节二：探究新知 教师活动2： 探究：分式的乘方 【思考】如何进行分式的乘方运算？ 教师讲授：由于多项式的乘法满足交换律和结合律，因此，由分式乘法的定义可以证明：分式的乘法也满足交换律和结合律. 【推导】 填空：·; _______________=______________=_______; _______________=______________=_______; …… _______________=______________=_______。 【归纳】 分式乘方的运算法则：分式的乘方就是把分子、分母各自乘方.
注意：分式的乘方法则中“把分子、分母各自乘方”，这里的分子、分母指的是分子、分母中的整个代数式，而不是部分项.若分式的分子、分母有多项式，应先添加括号，再作整体乘方运算. 环节三：例题精讲 教师活动3： 例6计算：(1) ; (2) . 例7计算：(1); (2) ; (3) ; 注意：在一个算式中，如果既有乘方，又有乘除，要注意运算顺序，应先算乘方，再算乘除，若有括号，则先算括号里面的。 环节四：课堂总结 教师活动4： 分式乘方的运算法则：分式的乘方就是把分子、分母各自乘方. 注意：1.若分式的分子、分母有多项式，应先添加括号，再作整体乘方运算. 2.在一个算式中，如果既有乘方，又有乘除，要注意运算顺序，应先算乘方，再算乘除，若有括号，则先算括号里面的。
教学反思：
课 题：同底数幂的除法 第 课时 总序第 18 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：.能够理解并掌握同底数幂的除法法则，熟练进行同底数幂的除法运算。 能够正确处理底数为多项式或负数的情况，提高运算能力。 批 注
教学重点：同底数幂的除法法则及其应用。
教学难点：正确处理底数为多项式或负数的情况，避免出现符号处理错误。
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程：环节一：新知导入 教师活动1： 计算：（1）； （2）； （3）. 正指数幂的运算法则： 1. 2. 3. 环节二：探究新知 教师活动2： 探究：同底数幂的除法 【观察】观察下列计算过程： 由此你能受到什么启发？ 回顾：被除数÷除数=商，除数×商=被除数 教师讲授：先逆用同底数幂的乘法，再约分 【思考】设m,n都是正整数，且m>n，你能计算出吗？ 教师讲授：
因此，当m>n时，有（m,n都是正整数）. 【归纳】同底数幂的除法法则：同底数幂相除（被除式的指数大于除式的指数），底数不变，指数相减. 环节三：例题精讲 教师活动3： 例1计算：(1) ； (2) ； (3) ； (4) . 注意：指数为多项式时，先将指数加上括号，再进行减法运算. 例2计算：(1) ； (2) . 解： (1) ； (2).
教学反思：
课 题：零次幂和负整数指数幂 第 课时 总序第 19 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：能够理解并掌握零次幂和负整数指数幂的概念及其性质，熟练进行零次幂和负整数指数幂的运算。能够正确处理底数为多项式或负数的情况，提高运算能力。 批 注
教学重点：零次幂和负整数指数幂的定义与运算规则及科学计数法表示绝对值较小的数
教学难点：零次幂和负整数指数幂的理解及混合运算中零次幂和负整数指数幂的优先级
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 环节一：新知导入 教师活动1： 计算：(1) ; (2) ; (3) ; (4) . 问题1：什么是同底数幂的除法法则？ 问题2：当时，同底数幂的除法怎么计算呢？该法则还适用吗？ 同底数幂的除法法则：同底数幂相除（被除式的指数大于除式的指数），底数不变，指数相减. 环节二：探究新知 教师活动2： 探究一：零次幂 【动脑筋】根据分式的基本性质计算(，m是正整数) 【规定】零次幂：任何非零实数的零次幂都等于1.
教师讲授：1.底数不为0，2.指数为0，3.结果等于1 探究二：因式分解与整式乘法 【推导】 【规定】负整数指数幂：任何非零实数的(n为是正整数)次幂都等于这个数的n次幂的倒数. 环节三：例题精讲 例3计算：（1）； （2） . 探究三：用科学记数法表示一些绝对值较小的数 利用10的负整数指数幂，可以用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成的形式，其中n是正整数，1≤|a|<10. 方法：1.的确定：将原数的小数点移动到第一个非零数字的右边 2.的确定：小数点向右移动几位，10的指数就是负几。
教学反思：
课 题：整数指数幂的基本性质 第 课时 总序第 20 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：掌握整数指数幂的四条基本性质（同底数幂、幂乘方、积乘方、商乘方），能规范化简复杂表达式。学生能够熟练进行整数指数幂的综合运算， 批 注
教学重点：整数指数幂的基本性质及其应用。
教学难点：混合运算中整数指数幂的优先级。
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 环节一：新知导入 教师活动1： 计算：(1) ； (2) ； (3) . 【回顾】 同底数幂的除法法则： 环节二：探究新知 教师活动2： 探究：整数指数幂的基本性质 【思考】 (1)已知，填空： (都是正整数)； (m，n都是正整数)； (n是正整数). (2)上述三个等式，能否推广到m，n是整数？ 【同底数幂的乘法】 设都是正整数，求证: (1)； (2)；
(注意：可以用同底数幂的除法法则、零次幂、负整数指数幂 ) 【幂的乘方】 设都是正整数，求证: (1)； (2) (3)； 【积的乘方】 设是正整数，求证: (1)； (2). 【分式的乘方】 设是整数，利用整数指数幂的基本性质2和基本性质3得 因此 环节三：例题精讲 例6设计算下列各式： (1)； (2)； (3). 例7计算下列各式：(1)； (2). 环节四：课堂总结
教学反思：
课 题： 整数指数幂同步练习 第 课时 总序第 21 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：能准确复述整数指数幂（正、零、负指数幂）的定义及运算性质，熟练完成同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方运算，正确率不低于90%。 批 注
教学重点：熟练掌握整数指数幂的运算性质（同底数幂相乘/除、幂的乘方、积的乘方）。
教学难点：在多步混合运算中保持步骤清晰
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程：一、单选题 1．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．是指大气中直径米的颗粒物，将用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 4．有一种微粒，研究发现它的半径约是0.000000001327微米，请用科学记数法表示这个数（ ） A． B． C． D． 5．与互为倒数的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．华为作为世界顶级科技公司，设计的麒麟90005GSoc芯片，拥有领先的5nm制程和架构设计，，数据0.000000005用科学记数法表示为 ． 7．科学家发现 冠状肺炎病毒颗粒平均直径约为 ，数据0.00000012用科学记数法表示 .
8． ． 9．世界上最小的无脊椎动物是单细胞生物草履虫，它身长仅米，数据用科学记数法表示为 ． 10．流感病毒的半径大约为，用科学记数法表示流感病毒的半径为 ． 11．钟南山院士表示，从全球视角来看，新冠肺炎与人类的长期共存将成为可能，我们切不可掉以轻心，要做好日常防护，导致新冠肺炎病毒的平均直径约为0.00000098m，这个数用科学记数法表示为 m 三、计算题 12．计算：-(-1)2018- (π-3.14)0＋ . 13．计算：． 四、解答题 14．计算。 （1） （2） 15．（1）已知，求t的值； （2）已知，，求的值
教学反思：
课 题：可化为一元一次方程的分式方程 第 课时 总序第 22 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.理解分式方程的意义，掌握分式方程的一般解法. 2.了解分式方程无解的原因，并掌握检验的方法. 3.训练学生的运算技巧，提高解题能力. 批 注
教学重点：把分式方程化为整式方程的解法
教学难点：了解分式方程无解的原因，掌握检验的方法.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 1.什么是方程？什么是一元一次方程？它的解怎样检验？ 2.回忆一元一次方程的解法，并且解方程. 2.讲授新课 1.做一做：为了更好地践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某村计划组织村民在荒坡上种9600棵树，后来由于青年志愿者的支援，每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成任务，设原计划每天种x棵树，试用含x的等式表示问题中的等量关系. 等量关系：原计划的天数-实际天数=4. 解 原计划每天种x棵树，则实际每天种x棵树. 列出含有未知数x的等式：， 即. 它和我们以前所碰到的方程一样吗？有什么不一样的地方？上面所得到的方程有什么共同特点？ 【归纳结论】分母中含有未知数的方程叫作分式方程 2.怎样解分式方程呢？ 3.解分式方程. 解由于最简公分母为x，方程两边同乘x，得9600-7200=4x， 解得x=600.
将x用600代入原分式方程，方程左边的值为，右边的值也是4，左边的值=右边的值. 因此，x=600是原分式方程的解. 3.典型例题 例1 解方程：. 例2 解方程：. 例3 解方程：. 4.课堂小结 判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数，如果分母中含有未知数就是分式方程，分母中不含未知数就不是分式方程． 解分式方程的一般步骤：①在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去；④写出原方程的解． 分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．
教学反思：
课 题：可化为一元一次方程的分式方程 第 课时 总序第 23 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程. 2.掌握列分式方程解应用题的一般步骤.3.会列出分式方程解决简单的应用题，提高学生的分析问题、解决问题的能力和应用意识. 批 注
教学重点：列分式方程解应用题
教学难点：对所求出的分式方程的根进行检验的思想的重视.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 1.解分式方程的一般步骤. 2.解方程. 3.列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步？ 2.讲授新课 思考：用A，B两种型号机器人搬运原料.已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运200 kg，且A型机器人搬运10000 kg所用时间与B型机器人搬运8000 kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料. 等量关系：(1)A型机器人搬运10000 kg所用时间=B型机器人搬运8000 kg所用时间. (2)A型机器人每小时搬运量=B型机器人每小时搬运量+200 kg. 解：设B型机器人每小时搬运x kg，则A型机器人每小时搬运（x+200）kg， 由等量关系可列出如下方程：. 解得x=800， 经检验：x=800是原分式方程的解，且符合题意. 所以，B型机器人每小时搬运原料800 kg，A型机器人每小时搬运原料1 000 kg. 【归纳结论】列分式方程解应用题的一般步骤：审—设—列—解—验—答.
3.典型例题 例4 某校八年级学生乘车前往某乡村进行研学实践活动.现有两条线路可供选择：线路一全程25 km，线路二全程30 km.若走线路二的平均车速是走线路一的1.5倍，所花时间比走线路一少用10 min，则走线路一的平均车速为多少？ 等量关系：走线路一的时间-走线路二的时间=h. 设走线路一的平均车速为x km/h，则可得下表： 解 设走线路一的平均车速为x km/h，则走线路二的平均车速为1.5x km/h. 根据等量关系，可列出如下方程：. 解得x=30. 经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意. 答：走线路一的平均车速为30 km/h. 4.课堂小结
教学反思：
课 题：分式 第 课时 总序第 24 个教案
课 型： 复习课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.巩固分式的相关概念及其基本性质.2.能熟练地进行分式的加法、减法、乘法、除法、乘方混合运算.3.理解整数指数幂的运算法则. 4.能用分式方程解决相关数学问题与生活中的实际问题. 批 注
教学重点：能用分式方程解决相关数学问题与生活中的实际问题
教学难点：能用分式方程解决相关数学问题与生活中的实际问题
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 一、要点精析 知识点重点归纳总结常见易错点分式（）的定义① A、B是整式； ② B≠0 .分式的判断只看形式，不看化简后的结果分式有无意义及值为0的条件① 有意义：B≠0； ② 无意义：B=0； ③ 值为0：A=0，且B≠0.在化简或求值时，未考虑分母不能为0，导致结果错误分式的基本性质 （其中A，B，C（C≠0）是整式）分子分母未同时乘或除以同一个非零整式，或只对部分项进行操作分式的混合运算① 有括号的先算括号里的； ② 没括号的按先乘方后乘除再加减的顺序计算.运算时符号处理不当，如忽略负号的位置分式方程① 解分式方程：化为整式方程求解； ② 求出的根能使整式方程成立，但对于分式方程无意义的根是增根； ③ 列分式方程解应用题的思路与一元一次方程的应用解题思路一致.解分式方程时没有检验是否为增根；解分式方程的应用时没有检验根是否符合实际意义
【考点1】分式值存在、不存在、为0的条件 1.若分式的值存在,则x需满足的条件是 x≠19 . 2.当分式的值为正数时,写出一个满足条件的x的值为 0(答案不唯一) .
【考点2】整数指数幂 3.计算:(-1)2+= 2 . 4.已知实数a,b满足(a-2)2+|b+1|=0,则ab= . 【考点3】分式的运算及化简求值 5.先化简,再求值: (1+)·,其中x=3. 【考点4】分式方程及应用 6.解方程:+1=. 二、思维导图
教学反思：
课 题：分式 第 课时 总序第 25 个教案
课 型：练习课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.巩固分式的相关概念及其基本性质.2.能熟练地进行分式的加法、减法、乘法、除法、乘方混合运算.3.理解整数指数幂的运算法则. 4.能用分式方程解决相关数学问题与生活中的实际问题. 批 注
教学重点：能用分式方程解决相关数学问题与生活中的实际问题
教学难点：能用分式方程解决相关数学问题与生活中的实际问题
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 专题一：分式的基本概念 例1 在式子,,,2-,,中,分式共有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 变式训练 ：1.如果分式无意义,那么x的值为 ( ) A.1 B.-1 C.±1 D.-3 2.若分式的值为0,则x的值为 ( ) A.±2 B.0 C.-2 D.2 专题二：分式的运算 例2 计算:(1)·; (2)(x2-2x)÷. 变式训练 1.计算:÷= . 2.计算:(1)÷; (2)-+. 专题三：分式的化简求值 例3 先化简:÷+,然后从-2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值. 变式训练 ：1.先化简,再求值:÷,其中a=-4. 2.先化简代数式÷,再从2,-2,1,-1四个数中选择一个数代入求值. 专题四：整数指数幂的运算 例4 已知10-2α=,10-β=,求1的值. 变式训练
1.“气凝胶”是一种具有纳米多孔结构的新型材料,其颗粒尺寸通常小于0.000 000 02 m,将数据0.000 000 02用科学记数法表示为 . 2.已知(-2)m=,试求m2-m+5的值. 专题五：分式方程的解法 1.分式方程-=1的解是 ( ) A.x=0 B.x= C.x=-1 D.x=1 2.代数式和代数式的值相等,则x= . 3.解方程:(1)=-1; (2)+=1. 专题六：分式方程的应用 例6 我国自主研发的“九天”无人机被誉为“蜂群母舰”,它首次亮相便震撼全球.这也激发了航模小组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望,于是他们去模型商店了解后知道一架A款无人机模型的价格比一架B款无人机模型的价格贵600元,用9 000元购买A款无人机模型的数量与用5 400元购买B款无人机模型的数量相同. (1)A款无人机模型和B款无人机模型的单价各是多少元 (2)航模小组计划用18 000元购买无人机模型,要求A,B两款模型都要购买且钱刚好用完,请求出所有的购买方案. 解:(1)设B款无人机模型的单价为x元,则A款无人机模型的单价为(x+600)元, 由题意得=, 解得x=900. 经检验,x=900是原分式方程的解,且符合题意,所以x+600=1 500, 答:A款无人机模型的单价为1 500元,B款无人机模型的单价为900元.
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课 题：空瓶换汽水 第 课时 总序第 26 个教案
课 型：综合实践课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：熟练运用分式、方程等已学数学知识，构建有效的数学模型来解决 “空瓶换汽水” 以及与之相似的实际问题，显著提升数学运算和问题解决的能力 批 注
教学重点：深入理解 “空瓶换汽水” 问题中所蕴含的数量关系
教学难点：深入理解 “空瓶换汽水” 问题中所蕴含的数量关系
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 一、情景导入 在夏季，有些人喜欢喝汽水. 一些生产商为了促进汽水空瓶的快速回收，提供了“空瓶换汽水” 方案. 二、新课讲授 某品牌汽水生产商提出可以用 3 个空瓶再换回 1 瓶汽水. 某人买回 10 瓶汽水，则他最多可以喝到多少瓶汽水？ 假设汽水 1 瓶 3 元，则 1 个空瓶相当于 1 元，那么使用 1 个空瓶换回的汽水就只值 2 元. 买回 10 瓶汽水，意味着花去 3 × 10 = 30（元），故而最多可以喝到 = 15（瓶）. 然而，很多人认为是 14 瓶 共喝了10 + 3 + 1 = 14（瓶） 实际上，若能找他人借 1 个空瓶，连同前面剩下的2 个空 瓶，就有了 3 个空瓶，于是又 可以换回 1 瓶汽水，喝完后还 1 个空瓶给他人. 因此，共喝了 15 瓶. 俗话说：“有借有还，再借不难. ” 请在借多少个空瓶就还多少个空瓶的前提下，完成以下活动.
购买汽水的瓶数借的空瓶数实际能喝到汽水的瓶数12345678910
将购买汽水的瓶数分为奇数与偶数，结合上表中实际能喝到汽水的瓶数的情况，你能发现什么规律？ 当购买的瓶数 x 为偶数时，可以喝到 1.5x 瓶. 当购买的瓶数 x 为奇数时，可以喝到（1.5x－0.5）瓶. 三、拓展延伸 1、当炎热夏季即将结束时，生产商提出 4 个空瓶换 1 瓶汽水，则购买汽水的瓶数与实际喝到汽水的瓶数之间有怎样的关系呢？ 2、如果在校运动会期间，整个学校师生喝了 x 瓶汽水，而生产商提出，每 y 个空瓶可以换 1 瓶新的汽水，那么能换多少瓶汽水？
教学反思：
课 题：二次根式的概念及性质 第 课时 总序第 27 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.了解二次根式的概念. 2.掌握二次根式的基本性质. 3.会判断二次根式，能求简单的二次根式中的字母的取值范围. 批 注
教学重点：二次根式的概念及意义
教学难点：利用“（a≥0）”解决具体问题.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 3.16的平方根是什么？算术平方根是什么？ 4.0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 5.-7有没有平方根？有没有算术平方根？ 2.讲授新课 1.思考： （1）2，3，5的算术平方根分别是怎样表示的 （2）用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v2=gR，其中g为重力加速度.若已知地球半径R，则第一宇宙速度v是多少？（用带有根号的式子表示） （3）比较（1）（2）的结果，它们在表达形式上有什么共同特征？ （1）2，3，5的算术平方根分别为，，. （2）因为速度一定大于0，所以第一宇宙速度v=. (3) ，，与等都是形如的式子. 【归纳结论】一般地，形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数．（我们知道：每一个正实数a有且只有两个平方根，分别为和一，其中称为a的算术平方根.同时，在实数范围内，负实数没有平方根，因此，只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.）
2.思考：二次根式“”中被开方数a能取任意实数吗？ 【归纳结论】只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义． 对于非负实数a，由于是a的一个平方根，因此 （）2=a（a≥0）. 3.做一做： （1） ； （2） ； （3） ；（4） ； 【归纳结论】二次根式的性质：=|a|= 3.典型例题 例1：当x是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义？ 解 由x-1≥0，解得x≥1.当x≥1时，在实数范围内有意义 例2：计算： （1）（）2； （2）（-2）2. 4.课堂小结 根据二次根式的定义，必须满足两个条件：①根指数是2，即形如；②被开方数为非负数.
教学反思：
课 题：二次根式的概念及性质 第 课时 总序第 28 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.了解最简二次根式的意义，并能作出准确判断. 2.能熟练地把二次根式化为最简二次根式. 3.了解把二次根式化为最简二次根式在实际问题中的应用. 批 注
教学重点：会把二次根式化简为最简二次根式.
教学难点：准确运用化二次根式为最简二次根式的方法.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.情景导入 1.旧知回顾 教师展示课件，回顾二次根式的两个重要性质：，，通过提问的方式让学生回答，巩固旧知。 2.情景导入 呈现学校超市坚果净含量的情景：第一款原味核桃仁净含量为千克，第二款盐焗巴旦木净含量为千克。提问学生：“有没有办法‘整理’这两个式子，不用算近似值，就能快速看出哪款坚果的净含量更大？” 引发学生的思考，从而引出本节课的课题 —— 二次根式的化简。 2.讲授新课 1.思考：① ② 师生验证并归纳结论：=· （a≥0，b≥0）. 2.例1：化简下列二次根式： （1）； （2）； （3）. 例2：化简下列二次根式： （1）； （2）. 变式训练：化简下列二次根式 课堂交互式活动
总结最简二次根式的定义 师生共同总结最简二次根式的两个条件：①被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；②被开方数不含分母。 开展 “实战演练” 活动，让学生判断给定的二次根式是否为最简二次根式，并说明理由，加深对最简二次根式的理解。 课堂交互式活动 议一议： (m > 0) 是最简二次根式吗 如果不是，你能把它化简吗？ 3.课堂小结 最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母． （六）布置作业，巩固提升 1.基础作业：完成学法大视野第 40 页的练习题。 2.能力提升：化简等二次根式，加深对知识的应用。
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课 题：二次根式的乘法 第 课时 总序第 29 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.使学生掌握二次根式乘法法则=·（a≥0，b≥0） 2.使学生掌握=a（a≥0），并能加以初步应用以化简二次根式. 批 注
教学重点：会利用积的算术平方根的性质对一些式子进行化简
教学难点：二次根式中乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 一块正方形的木板面积为200 cm2，已知=1.414，你能不用计算器以最快的速度求出正方形木板的边长吗？ 2.讲授新课 1.说一说：积的算术平方根的性质是什么？ =·（a≥0，b≥0）. 把=·反过来，就可得： ·=（a≥0，b≥0）. 2.例1：计算： （1）×； （2）×. 解：（1）×===3 . （2）×====2 . 3.例2：计算： （1）2×5； （2）3×（-）.
解：（1）2×5=2×5×=10 =30. （2）3×（-）=3×（-）××= - =- =- . 4.议一议： 小玲和小婷两名同学在计算×时，做法分别如下： （1）×===6； （2）×=×3=6. 你更喜欢哪种做法？（学生回答，并说明理由） 3.课堂小结 运用二次根式的乘法法则：·=（a≥0，b≥0），必须注意被开方数是非负数这一条件. 二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号.
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课 题：二次根式的除法 第 课时 总序第 30 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.会利用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算. 2.经历探索二次根式除法以及商的算术平方根的过程，掌握其应用方法. 3.培养学生分析问题和逆向思维的能力，感悟数学的应用价值. 批 注
教学重点：二次根式除法运算
教学难点：探索二次根式除法法则
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 1.积的算术平方根的性质是什么？ 2.二次根式乘法法则是什么？用语言怎样表达？用式子怎样表示？ 2.讲授新课 1.思考：计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？ （1）= ，= ；（2）= ，= . （学生先自己计算然后说一说自己的发现，教师进行归纳） 一般地，如果a>0，则·= ==1，因此， =（a＞0）. 设a>0，b≥0，则 = =·=.因此得出： =（a>0，b≥0）. 上述等式就是商的算术平方根的性质，利用这一性质，可以化简二次根式.
2.是什么关系呢？【归纳结论】互为倒数（a＞0） 3.把等式 =（a>0，b≥0）反过来，可得： =（a>0，b≥0）. 4.议一议：小华与小楠两名同学在计算时，做法分别如下： （1） = ==3. （2） = =3. 你更喜欢哪种做法？（学生回答，并说明理由） 3.典型例题 例3：化简下列二次根式：（1）； （2）. 例4：计算：（1）÷； （2）. 4.课堂小结 运用商的算术平方根的性质： =（a>0，b≥0），必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件.
教学反思：
课 题：二次根式的加法和减法 第 课时 总序第 31 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.知道二次根式加减运算的步骤. 2.会用合并同类二次根式正确进行二次根式的计算. 2.经历探索二次根式加减法法则的过程，体会类比的思想方法. 批 注
教学重点：二次根式的加减法运算
教学难点：被开方数是分数（式）或含字母的二次根式加减运算.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 1.下列根式中，哪些是最简二次根式？ ，，，，，，. 2.计算下列各式： （1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y. 2.讲授新课 1.做一做：二次根式的加减运算能否依据整式的加减法运算进行？ 计算：(1)(+)-； (2)2(+1)-3. 2.思考： (1)3+5等于多少？ (2)3-8+5等于多少？ 3.你能根据上面的计算过程总结二次根式加减法运算的步骤吗？ 【归纳结论】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
3.典型例题 例1 计算：2-+. 解 2-+=2×3-5+ =6-5+ =+. 例2 图3.3-1是一土楼的水平切面图，它由两个同心圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02 m2和150.72 m2，求圆环的宽度d(π取3.14). 4.课堂小结 二次根式的加减混合运算步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变.
教学反思：
课 题：二次根式的混合运算 第 课时 总序第 32 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.使学生会熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. 2.讲练结合，通过例题由浅入深，层层深入，从例题的讲解中帮助学生寻找解题的方法，规律及注意点. 批 注
教学重点：二次根式的混合运算
教学难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 1.二次根式有哪些性质？ 2.已学过的整式的乘法公式和法则有哪些？ 3.怎样化简二次根式？ 2.讲授新课 做一做：计算： (1)； (2)(2+)(1-). (1)== = =. (2)(2+)(1-)=2-2+-× =2-2+-2 =-. 3.典型例题
例3 计算： (1)(3+)(3-)； (2)(-)2. 解 (1)由平方差公式得 (3+)(3-)=(3)2-()2=9×2-5=13. (2)由完全平方公式得 (-)2=()2-2××+()2 =2-2×+3=5-2. 例4 计算：(+)÷. 解 (+)÷===. 例5 计算： (1)； (2). 4.课堂小结 二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的.
教学反思：
课 题： 二次根式 第 课时 总序第 33 个教案
课 型： 复习课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.了解二次根式、最简二次根式的概念. 2.了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。 批 注
教学重点：二次根式的概念与最简二次根式的判定。二次根式乘除、加减运算算法。 2.二次根式乘除、加减运算的算理与算法。
教学难点：复杂混合运算中的符号处理与运算顺序。
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 环节一；单元知识结构框架 环节二：思考回顾 教师活动2： 二次根式在实数范围内有意义的条件是什么？ 教师讲授：由算术平方根和二次根式的概念可知二次根式实质上就是一个非负实数的算术平方根。在实数范围内，负实数没有平方根，因此，只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义. 教师总结： 二次根式有意义的条件： 二次根式的性质：（1） （2） 3.积的算术平方根的性质是什么？商的算术平方根的性质是什么？ 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
= 商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 4.什么是最简二次根式？如何把二次根式化成最简二次根式？ 最简二次根式：二次根式经过化简后的结果，具有以下特点：被开方数不含分母，且不含开得尽方的因数（或因式）. 这样的二次根式叫作最简二次根式. 5.如何进行二次根式的加、减、乘、除运算？ 二次根式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里的. 二次根式的乘法法则： = 二次根式的除法法则： 二次根式的加减的一般运算步骤： 1.化：先将每一个二次根式化简. 2.找：找出被开方数相同的二次根式. 3.并：合并同类二次根式，即把系数相加减，根式部分不变.
教学反思：
课 题： 二次根式 第 课时 总序第 34 个教案
课 型： 练习课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.熟练运用二次根式的性质，运用它们进行复杂的化简和计算。2.全面掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则和四则混合运算， 批 注
教学重点：1.二次根式的概念、性质、运算法则。2.二次根式的化简和运算。 2.二次根式的化简和运算。
教学难点：二次根式的化简，当被开方数含有字母时根据字母的取值范围进行化简。
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 【知识技能类作业】 必做题： 1.若，则（ ） A． B． C． D．x为一切实数 2.如果那么( ) A． B． C． D． 3.在二次根式中，最简二次根式个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 选做题： 4.（1）已知一个长方形的长和宽分别是 ， 则它的面积是 ; （2）已知一个长方形的长和面积分别为 和 ， 则这个长方形的宽为 . 5.若x、y都为实数，且 ，则 = 。 6.当，时，代数式的值是 ． 【综合拓展类作业】 7.计算:（1） . （2） . （3） （4） .
必做题： 1.有下列各式：① ；② ；③ ；④ .其中，计算正确的有（ ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.已知，则式子的值为（ ） A． B． C． D． 3.已知，则与的关系是( ) A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 4.观察下列等式： ①；②； ③； 回答下列问题： （1）_______； （2）_______；（n为正整数） （3）利用上面所揭示的规律计算：．
教学反思：
课 题：认识三角形 第 课时 总序第 35 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.认识三角形及三角形有关的概念，2.掌握三角形的三边关系，3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形。 批 注
教学重点：三角形定义，三角形的三边关系，三角形高、中线、角平分线的画法
教学难点：钝角三角形高的画法。
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 环节一：新知导入 教师活动1： 【议一议】观察下图，在图中找出几个三角形. 构成这些三角形的三条线段在同一条直线上吗？这三条线段是怎样连接的？ 环节二：探究新知 教师活动2： 探究一：三角形的概念及表示方法 【自主预习】 填空： 1._______________________的三条线段_____________所构成的图形叫作三角形. 2.三角形可用符号“_____________”来表示，如图中的三角形可记作“_____________ ”，读作“三角形 ABC ”. 3.A，B，C 叫作ABC 的_____________； ∠A，∠B，∠C叫作ABC 的_____________（简称ABC 的角）； 线段AB，BC，CA叫作ABC 的_____________. 4.通常∠A，∠B，∠C 的对边BC，AC，AB可分别用_____________来表示. 5.两条边相等的三角形叫作_____________. 在等腰三角形中，相等的两边叫作_____________，另外一边叫作_____________. 两腰的夹角叫作_____________，腰和底边的夹角叫作_____________.
4.通常∠A，∠B，∠C 的对边BC，AC，AB可分别用_____________来表示. 5.两条边相等的三角形叫作_____________. 在等腰三角形中，相等的两边叫作_____________，另外一边叫作_____________. 两腰的夹角叫作_____________，腰和底边的夹角叫作_____________. 6.三边都相等的三角形叫作_____________（或正三角形）. 等边三角形是特殊的等腰三角形——______________________的等腰三角形. 探究二：三角形三边之间的关系 【思考】问题1：在小学阶段，通过画三角形等操作过程，探索得知：三角形中任意两边的长度之和大于第三边的长度 . 这一结论对任何三角形都成立吗？为什么？ 问题2：三角形的任意两边之差有什么关系？ 教师讲授：由基本事实“两点之间，线段最短”可得 AB+AC>BC,AB+BC>AC,AC+BC>AB. 由于AB+AC >BC, 根据不等式的基本性质1可得AB>BCAC, 即BCAC< AB, 同理可得ACAB< BC, ABC< AC. 【归纳】三角形三边之间的关系: 三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边.
教学反思：
课 题： 认识三角形 第 课时 总序第 36 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.认识三角形及三角形有关的概念，2.掌握三角形的三边关系，3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形。 批 注
教学重点：三角形定义，三角形的三边关系，三角形高、中线、角平分线的画法
教学难点：钝角三角形高的画法。
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 探究三：三角形的高、角平分线、中线 【定义】从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 如图，AH⊥BC，垂足为点H，则线段AH是ABC 的边BC上的高. 做一做】如图，试用三角板或量角器分别画出图中ABC三条边上的高线. 【定义】在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 如图，AD平分∠BAC，交BC于点D，则线段AD是ABC 的一条角平分线，此时∠BAD=∠CAD=∠BAC.
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线. 如图，E是线段BC的中点，则线段AE是ABC的边BC上的中线，此时BE=EC=BC. 说一说】任意画一个三角形，画出三条边上的中线. 你发现了什么？ 【定义】三角形的三条中线相交于一点. 这三条中线的交点叫作三角形的重心. 如图， ABC的三条中线AD，BE，CF 相交于点G，则点G为ABC的重心.
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课 题： 三角形的内角和外角 第 课时 总序第 37 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.通过操作活动，发现三角形的内角和是 180°； 会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数； 3.了解三角形的外角及其性质. 批 注
教学重点： 会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数；
教学难点：. 会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数；
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 一．复习导入 思考： 任意三角形的内角和都是180° 吗？为什么？ 2.讲授新课 1.探究： 任意三角形的内角和都是180°吗？为什么 在小学，通过对一个三角形进行折叠（如图4.1-11）、剪拼（如图4.1-12）等操作，得到三角形的内角和是180°. 图4.1-11 图4.1-12 由图4.1-12受到启发，任画一个△ABC，将边AB所在直线沿点B到点C的方向平移线段BC的长度，则边AB经过点C，并可得到直线A'B'.如图4.1-13. 因为直线在平移下的像是与它平行的直线， 所以A'B'//AB，
则∠A'CD=∠B，∠ACA'=∠A. 又∠BCA+∠ACA'+∠A'CD=180°， 所以∠BCA+∠A+∠B=180°. 由此得到： 三角形的内角和等于180°. 如图4.1-15，把△ABC的边BC延长，可得到∠ACD.像这样，把三角形的一边与另一边的延长线所成的角叫作三角形的外角， 例如，图4.1-15中的∠ACD就是△ABC的一个外角. 三角形的一个外角跟与它相邻的内角之间有什么关系 【归纳结论】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
教学反思：
课 题：命题与证明 （定义、命题） 第 课时 总序第 38 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：了解定义，命题的含义；对命题的概念有正确的理解，会区分命题的条件和结论. 批 注
教学重点：找出命题的条件（题设）和结论、判断一个命题的真假.
教学难点：命题概念的理解.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： .新课导入 父子对话 子：爸爸，什么是法律？ 父：法律就是法国的律师. 子：那什么是法盲呢？ 父：法盲就是法国的盲人. （学生听后笑） 同学们会什么笑呢？ 生：他们对概念理解不清. 师：同学们说的对，由于父子俩对法律、法盲的定义不理解，闹出了笑话，所以对某些特殊名称或术语，我们需要给出它们的定义.这节课我们就要共同来研究“定义，命题”. 二.讲授新课 我们已经学习了许多概念，例如，实数、方程、角平分线等，对一个概念的含义加以描述说明，或者作出明确规定的语句，叫作这个概念的定义. 例如，“连接两点的线段的长度，叫作这两点的距离”是两点的距离的定义，“若一个数是一个无限不循环小数，则把这个数叫作无理数”是无理数的 定义. 一般地，常常用陈述句叙述一件事情，比如：（1）-1是自然数；（2）对顶角相等.
我们还可发现这两个陈述句中，（1）是错误（假）的， 是正确（真）的. 1.抽象： 叙述一件事情的句子（陈述句）要么是真的，要么是假的，两者必居其一，我们称这个陈述句是一个命题，如果一个命题叙述的事情是真的，就说它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，就说它是假命题. 2.说一说： 请结合已学数学知识，说出一些命题. （1）如果|a|=3，那么a=±3. （2）垂线段最短. 3.议一议： 下列命题的表述形式有什么特点？ （1）如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形； 【归纳总结】上述命题的表述形式都是“如果……，那么…… 对于“如果……，那么……”形式的命题，通常把“如果”引出的部分称为条件，把“那么”引出的部分称为结论. 【归纳结论】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题． 注意；当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题，
教学反思：
课 题：命题与证明（证明、举反例） 第 课时 总序第 39 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：.了解证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式. 批 注
教学重点：证明的含义和表述格式.
教学难点：如何构造一个反例去证明一个命题是错误的.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 新课导入一般地，判断一件事情正确或不正确的句子叫作命题，命题分为真命题与假命题． 【说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作准备． 2.讲授新课 1.议一议： 如何判断一个命题是假命题呢？ 由“0.1是有理数，但不是整数”可知，命题“若a是有理数，则a是整数”是假命题.又如，由“0的绝对值是0，不是正数”可判断“有理数的绝对值是正数”是假命题.一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例. 例2：命题“如果ab=0，那么a=0”是真命题还是假命题 解：1×0=0，但是1≠0，因此“如果ab=0，那么a=0”是假命题. 【说明】本例题是综合法证题的示范，在过程中要给学生强调按照步骤进行证明. 2.做一做： 用举反例的方法说明下列命题是假命题. （1） 若a2=b2,则a=b； （2）一个角的余角大于这个角； （3）若a，b是有理数，则|a+b|=|a|+|b|； （4）如果∠A=∠B，那么∠A与∠B是对顶角. 3.思考：如何判断一个命题是真命题呢？ 判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实
以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立，这一过程就是通常所说的证明. 例3：证明：如果实数a≠0或实数b≠0， 例4：证明：△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60° 证明：假设△ABC的三个内角中没有一个角大于或等于60°，则∠A<60°，∠B<60°∠C<60°， 从而∠A+∠B+∠C<60°+60°+60°=180°. 这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，故假设不成立. 因此，△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°. 【归纳结论】像例4这样，当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从 这样的假设出发，经过推理得出与已知条件、定义、基本事实、真命题等产生矛盾，得出假设不成立，从而判断所求证命题正确，这种证明方法叫作反证法. 反证法基本步骤： （1）假设命题不成立； （2）导出矛盾； （3）肯定结论. 【说明】反证法与举反例是有区别的，在教学中应有所体现.
教学反思：
课 题：命题与证明（定理、推论） 第 课时 总序第 40 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.了解定理、推论与互逆命题的含义；理解证明的必要性，能经过推论证明命题.2.通过推论证明命题，培养学生科学严谨的学习方法. 批 注
教学重点：了解定理、推论与互逆命题的含义.
教学难点：理解证明的必要性、能经过推论证明命题.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 将“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题． 2.讲授新课 1.说一说：判断下列命题为真命题的依据是什么？ （1）如果a是整数，那么a是有理数． （2）如果△ABC是等边三角形，那么△ABC是等腰三角形． 【归纳结论】经过证明
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.了解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法的区别和联系，会判断一个变形是否是因式分解； 2.学习代数式的变形和转化与化归能力，了解因式分解的意义； 批 注
教学重点：了解因式分解的意义，掌握因式分解与整式乘法的区别和联系.
教学难点：知道因式分解与整式乘法的区别和联系.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 一、创设情境，导入新知 问题1 6等于2乘哪个整数？ 问题2 x2－1等于x+1乘哪个多项式？ 二、合作交流，探究新知 探究一 因式分解的定义 做一做 (1) 因为(x+1) = ，所以x +2x+1=(x+1)( )； (2) 因为x(x－)= ，所以x －x=x( ). 观察“所以”后面的式子，有什么共同点？ [抽象]一般地，对于多项式f与g，如果有多项式h使得f = gh，那么把g叫作f的一个因式，此时，h也是f的一个因式. 由于x +2x+1=(x+1) ，则x+1是多项式x +2x+1的因式. 类似地，由于x －x=x(x－)，则x和x－都是x －x的因式. [归纳]多项式因式分解的定义： 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式.例如：x +2x+1=(x+1) x －x=x(x－) 探究二 因式分解与多项式乘法运算的关系 想一想：多项式的乘法运算与因式分解有什么关系？ 多项式的乘法运算与因式分解是互逆的变形过程，即 x2－y2 (x+y)(x－y)
因式分解等式的特征：左边是多项式，右边是几个多项式的乘积. 辨一辨：在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ；不是因式分解的有 ，请说明为什么. ①am+bm+c=m(a+b)+c②24x2y=3x·8xy③x2－1=(x+1)(x－1)④(2x+1)2=4x2+4x+1 提示：判定一个变形是因式分解的条件： (1) 必须是等式；(2) 左边是至少含两项的多项式；(3) 右边是整式的乘积的形式. 三、典例分析，运用新知 例1 填空： 因为(x－2)(x－3) = ，所以 = (x－2)(x－3)是多项式 的因式分解. 例2 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. (1) x(x－2y)=x2－2xy；(2) x2－2x+1=x(x－2)+1； (3) 3x2－x=x(3x－)；(4) xy－x－y+1=(x－1)(y－1). 四、巩固练习，拓展提升 （一）巩固练习 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. (1)x2+xy=x(x+y)(2)4x2-8x-1=4x(x-2)-1(3)ax2-bx2-x=x(ac-bx-1) （二）拓展提升 1.若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和 (x﹣1)，求mn的值. 五、总结反思，升华认知
教学反思：
课 题：提公因式法 第 课时 总序第 2 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.理解公因式和提公因式法的概念；会确定多项式的公因式； 会用提公因式法因式分解. 2.通过讨论、观察、比较、概括等多种方法交叉教学，充分调动多种感官参与教学，激发学生学习的兴趣 批 注
教学重点：会确定多项式的公因式
教学难点：掌握提公因式法进行因式分解
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 一、新课引入 1.分别说出xy，3xz中次数大于0的因式，其中有相同的因式吗？ xy中，次数大于0的因式有x，y；3xz中，次数大于0的因式有x，z. 结论：两个单项式中都含有的相同的字母x. 二、讲授新课 探究点一：公因式 定义：几个多项式的相同因式称为它们的公因式. 例 请你确定多项式9ab2c－6a2b2＋12ab3c2的公因式． 方法总结：公因式的确定：(1)系数：各项系数的绝对值的最大公因数；(2)字母及指数：各项都含有的相同字母的最低次幂．确定公因式时，应先确定系数，再确定字母及指数，字母的指数为1时，指数1可省略不写． 探究点二：提单项式公因式因式分解 定义：如果一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法. 例1 把多项式4x2-6x3因式分解. 例2 把多项式8x2y4-12xy2z4因式分解. 例3 把多项式5x2-3xy+x因式分解. 例4 把多项式-3x2+6xy-3xz因式分解.
方法总结：（1）提取公因式后，括号内剩余的项数与原多项式的项数相同；（2）如果提取一个带“＋”号的公因式，括号内各项的符号与原多项式各项的符号相同；如果提取一个带“－”号的公因式，括号内各项的符号与原多项式各项的符号相反；（3）多项式中的某一项全部提取后，括号内剩余的因式“1”不能漏写；（4）多项式的首项为负时，常提取一个负的公因式． 探究点三：提单项式公因式因式分解的应用 类型一 利用提公因式法求值 例1 已知a＋b＝133，ab＝100，求a2b＋ab2的值 类型二 利用提公因式法进行简便运算 例2 利用因式分解计算：9992＋999. 类型三 利用提公因式法判断整除 例3 试说明：817－279－913能被45整除． 三、课堂小结
教学反思：
课 题：提公因式法 第 课时 总序第 3 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.进一步理解公因式的概念，并能熟练地找出多项式的公因式；进一步掌握用提公因式法把多项式因式分解.2.依据数学化归思想方法进行因式分解.主动积极地积累确定公因式的经验 批 注
教学重点：公因式是多项式的提公因式法因式分解
教学难点：适时添加括号或变形后找公因式
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 一、新课引入 1．因式分解：2ax－4a2y. 2．在多项式2ax－4a2y中，如果把其中的a用(a＋b)替换，则可得到多项式：2(a＋b)x－4(a＋b)2y，还可以进行因式分解吗？如果可以，怎样进行因式分解？ 二、讲授新课 探究点一：确定多项式公因式 类型一 直接确定公因式 例1 把多项式x(x-2)-y(x-2)因式分解. 类型二 通过变形确定公因式 例2 把多项式x(x-2)-y(2-x)因式分解. 探究点二：提多项式公因式进行因式分解 类型一 提公因式进行因式分解 例1 把多项式12xy2(x-y)2-18x2y(y-x)2因式分解. 例2 把多项式2x3y-10xy2因式分解.
类型二 利用因式分解整体代换求值 例 已知2a+b＝7，ab＝4，求2a2b+ab2的值． 类型三 因式分解化简多项式后，求代数式的值 例 先因式分解，再求值： (2x+1)2(3x-2)-(2x+1)(3x-2)2-x(2x+1)(2-3x)，其中x＝. 三、课堂小结 通过本节课的学习，你学会了哪些知识？你最深刻的体验是什么？你还有什么问题不清楚？ 四、板书设计 1．提公因式时，如果多项式的首项符号为负，常提取一个带“－”号的公因式． 2．(a-b)2n＝(b-a)2n，(a-b)2n＋1＝-(b-a)2n＋1(n为正整数)．
教学反思：
课 题：利用平方差公式进行因式分解 第 课时 总序第 4 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.使学生掌握用平方差公式分解因式. 2.让学生在分解因式的过程中理解多项式中如果有公因式要先提公因式.3.通过一定量的训练，深入理解因式分解的意义并能熟练化简代数式. 批 注
教学重点：理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点.
教学难点：能正确运用平方差公式把多项式分解因式.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 一、新课引入 (一)类比探究： 1.平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，从左边到右边的这个过程叫___ . 2.反过来，a2-b2=(a+b)(a-b)，从左边到右边的这个过程叫____. 因此，a2-b2=(a+b)(a-b)是因式分解中的一个公式. （二）新知探索：如何把x2-25进行因式分解？ 平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，把这个乘法公式从右到左地使用，得a2-b2=(a+b)(a-b). 因此 x2-25=x2-52=(x+5)(x-5). 像上述例子那样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解.这种因式分解的方法叫作公式法. 二、讲授新课 1．用平方差分解因式 （1）把公式a2-b2=(a+b)(a-b)中的字母a改为5x，字母b改为2y得到什么样的多项式？怎样把25x2-4y2分解因式？ 例1 把多项式25x2-4y2因式分解. （2）把公式a2-b2=(a+b)(a-b)中的字母a改为x+y，字母b改为x-y得到什么样的多项式 怎样把多项式(x+y)2-(x-y)2分解因式？ （3）把公式a2-b2=(a+b)(a-b)中的字母a改为x2，字母b改为y2得到什么样的多项式？怎样分解多项式x4-y4？ 2.综合运用平方差公式和提公因式法分解因式 例2 把多项式x4-y4因式分解.
（4）把公式a2-b2=(a+b)(a-b)中的字母a改为x5，字母b改为x3y2得到什么样的多项式？怎样分解多项式x5-x3y2？ 例3 把多项式x5-x3y2因式分解. （5）把公式a2-b2=(a+b)(a-b)中的字母a改为x4，字母b改为9得到什么样的多项式 怎样把多项式x4-9分解因式？ 3．有理数范围和实数范围内分解因式. 例4 把多项式x4-9因式分解. 4．模仿练习 (1)6.12-3.92; (2)0.122-0.882 5．平方差公式的识别 下面多项式是否适合用平方差公式分解因式？ （1）-a2+b2， （2）a2-(-b)2. （3）-a2+(-b)2 6．应用迁移，巩固提高 例 某校打算对操场的圆形跑道上铺塑胶路面，已知跑道外圆半径R=30.5 m，内圆半径r=24.5 m，求需要的塑胶总面积.（π取3.14，结果精确到0.1） 三、课堂小结 用平方差公式分解因式，关键是会识别一个多项式是否适合用公式，如果适合，什么式子相当于公式中的字母a，什么式子相当于公式中的字母b.
教学反思：
课 题：利用完全平方公式进行因式分解 第 课时 总序第 5 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.理解完全平方公式的结构特征，能够准确识别可以使用完全平方公式进行因式分解的多项式。2.掌握完全平方公式，并能够熟练运用该公式进行因式分解。 批 注
教学重点：完全平方公式的结构特征及应用。
教学难点：准确识别完全平方公式的结构特征
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 一，探究：公式法——完全平方公式 计算：. 解：在完全平方公式1中，将y用2代入得到等式 = 做一做：你能将进行因式分解吗？ 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式式分解： 议一议：具有什么特征的多项式可用完全平方公式分解因式？ 特征：1.含有三项 2.有两项可以写成某个数（或式子）的平方，并且这两项符号相同 3.第三项是这两个数（或式子）的乘积的±2倍 二，课堂练习； 1.下列把多项式因式分解： (1); (2). 解：(1) 注意：若首项系数为负，一般要提出“”，使括号内首项系数为正，但要注意，此时括号内的各项都应变号。 (2) 注意：若多项式各项有公因式，则先提公因式，再运用公式分解因式。
注意：若首项系数为负，一般要提出“”，使括号内首项系数为正，但要注意，此时括号内的各项都应变号。 (2) 注意：若多项式各项有公因式，则先提公因式，再运用公式分解因式。 例7把多项式因式分解. 注意：因式分解必须进行到每个因式都不能再分解为止。 三．课堂总结 教师活动： 完全平方公式的逆用：x2+2xy+y2=(x+y)2、x22xy+y2=(xy)2 主要特点： 特征：1.含有三项 2.有两项可以写成某个数（或式子）的平方，并且这两项符号相同 3.第三项是这两个数（或式子）的乘积的±2倍 注意：1.若首项系数为负，一般要提出“”，使括号内首项系数为正，但要注意，此时括号内的各项都应变号。 2.若多项式各项有公因式，则先提公因式，再运用公式分解因式。 3.因式分解必须进行到每个因式都不能再分解为止。 4.(x+y)2=x2+2xy+y2和(xy)2=x22xy+y2中的x,y，可以用任何数或任意单项式代入。
教学反思：
课 题：十字相乘法与分组分解法 第 课时 总序第 6 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：理解并掌握用十字相乘法和分组分解法分解因式；能准确识别适用于十字相乘法和分组分解法的多项式，熟练运用这两种方法进行因式分解. 批 注
教学重点：理解并掌握用十字相乘法和分组分解法分解因式
教学难点：能准确识别适用于十字相乘法和分组分解法的多项式
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 复习导入 1.因式分解和整式乘法的关系是？ 2.我们已经学习了哪些因式分解的方法？ ①提公因式法；pa + pb + pc = p(a + b + c) ②公式法：1. a2 - b2 = (a + b)(a - b) 2. a2±2ab + b2 = (a ± b)2 二．探究新知 十字相乘法因式分解 探究：1.计算： (1) (x + 2 )(x + 3) = ___________； (2) (x + 1)(x - 4) =____________； (3) (x + 4 )( x - 2) =____________； 2. 根据题 1 和等式的性质填空： (1) x2 + 5x + 6 = ______________ ； (2) x2 - 3x - 4 =_______________； (3) x2 + 2x - 8 =_______________； 观察因式分解算结果，你能发现什么规律？ 规律 x2 + (p + q)x + pq = (x + p) (x + q). 可以将某些二次项系数是 1 的二次三项式因式分解 多项式 x ＋5x＋6 分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示： ①先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角； ②再分解常数项， 分别写在十字交叉线的右上角和右下角； ③然后交叉相乘并求和，使其等于一次项系数. 3，点例精析 例1 分解因式：x2－5x＋6.
合作探究 探究：计算： (x－1)(2x－5)＝ (2) (3x＋1)(x＋3)＝ ； (3) (dx＋m)(ex＋n)＝ 根据等式的性质填空： (1) 2x －7x＋5＝ ______________ ； (2) 3x ＋10x＋3＝_______________； (3) dex ＋(em＋dn)x＋mn＝ 利用分组法因式分解 例3 把多项式 x3－x －x＋1 因式分解. 分析：x3－x －x＋1 既不能直接使用提公因式法或公式法进行因式分解，也不能运用十字相乘法. 但若将其恰当分组，如分为 x3－x 与 －x＋1 两组，则可继续进行因式分解. 例3 把多项式 x3－x －x＋1 因式分解. 解：x3－x －x＋1 ＝(x3－x )－(x－1) ＝x (x－1)－(x－1) ＝(x－1)(x －1) ＝(x－1)(x＋1)(x－1) ＝(x＋1)(x－1) . 像例3那样，利用分组来分解因式的方法叫作分组分解法
教学反思：
课 题： 第一章因式分解复习 第 课时 总序第 7 个教案
课 型： 复习课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：系统回顾因式分解的概念、方法及其适用条件，包括提公因式法、公式法等。能够根据多项式的特征，灵活选择合适的方法进行因式分解， 批 注
教学重点：灵活运用因式分解方法解决实际问题，提高学生的综合解题能力。
教学难点：.根据多项式的特征，快速准确地选择合适的因式分解方法。
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 环节一：知识图谱 环节二：思考回顾 1.什么叫作多项式的因式分解？ 教师讲授：一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式. 【牛刀小试】下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 2.多项式的因式分解与多项式的乘法有什么关系？ 教师讲授：多项式的因式分解与多项式的乘法运算是互逆的变形过程。 【牛刀小试】若因式分解得：，则、的值为（ ） A．， B．， C．， D．， 3.如何找出多项式各项的公因式？ 教师讲授：确定公因式的方法
1.系数：当多项式的各项系数都是整数时,公因式的系数取各项系数的最大公因数，当多项式的各项系数都是分数时,公因式的系数的分子分母取各项系数分子分母的最大公因数； 2.字母：取各项相同的字母； 3.指数：取各项中相同字母的指数次数最低的。 4.举例说明如何利用提公因式法进行因式分解. 教师讲授： 第一步：找公因式 第二步：把所有公因式提到括号外面 5.举例说明如何利用平方差公式进行因式分解. 教师讲授: 平方差公式的逆用：x2y2=(x+y)(x) 主要特点：1.共有两项，2.两项符号相反 3.每项的绝对值都可以写成某个数（或式子）的平方 6.举例说明如何利用完全平方公式进行因式分解 完全平方公式的逆用：x2+2xy+y2=(x+y)2、x22xy+y2=(xy)2 主要特点：1.含有三项 2.有两项可以写成某个数（或式子）的平方，并且这两项符号相同 3.第三项是这两个数（或式子）的乘积的±2倍
教学反思：
课 题：第一章因式分解复习 第 课时 总序第 8 个教案
课 型： 练习课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：系统回顾因式分解的概念、方法及其适用条件，包括提公因式法、公式法等。能够根据多项式的特征，灵活选择合适的方法进行因式分解， 批 注
教学重点：灵活运用因式分解方法解决实际问题，提高学生的综合解题能力。
教学难点：根据多项式的特征，快速准确地选择合适的因式分解方法。
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 课堂练习； 1.多项式的公因式是（ ） A． B． C． D． 2.将多项式因式分解，结果为（ ） A． B． C． D． 3.下列多项式：①；②；③；④中，能用公式法分解因式的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.把因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（） A． B． C． D． 5.下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 6.下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 7.一个整式可因式分解为，那么这个整式是 ． 8.若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值为 ． 9.因式分解： ．
10.因式分解． 11.下面是嘉淇同学把多项式分解因式的具体步骤： ………………第一步 ……………………………………第二步 …………………………………第三步 ……………………………第四步 (1)事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是 ； (2)请给出这个问题的正确解法．
教学反思：
课 题：陈景润：勇攀科学高峰的典范 第 课时 总序第 9 个教案
课 型：数学文化课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.了解陈景润的传奇人生,学习陈景润身上的科学家精神。2.进一步学会数学阅读的方法，感受数学阅读的美好。3.进一步提升审辩式思维和爱国奉献的意识。 批 注
教学重点：感受数学阅读的美好
教学难点：提升审辩式思维
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 陈景润（1933一1996），福建福州人，数学家，中国科学院院士， 1950年考入厦门大学数理系，1956年到中国科学院数学研究所工作，他 主要从事解析数论方面的研究，1982年获国家自然科学奖一等奖，发表 研究论文50余篇，出版有《初等数论》《组合数学》《哥德巴赫猜想》 《组合数学简介》等著作。 一、爱好学习，喜欢探索 陈景润自幼就显得有些瘦弱，而且不太善于表达自己，但他爱好学 习，酷爱读书，尤其爱读数学书，常常进人痴迷状态，把所有精力都用 在学习上，他对待学习分秒必争，走到哪里就学到哪里，连去理发店理 发，要是见到人多，都会找一个空地坐下来，然后从口袋里掏出个小本 子，开始学习. 在厦门大学读书期间，他对数学的迷恋和热爱就如痴如醉，数学书 上的习题，已经被他从头到尾演算过一遍，而且他还要再找课外习题做， 他嗜书如命、舍命苦读的精神，令其他同学惊叹不已，于是，就有人给 他起了个“爱因斯坦”的外号，正如中国科学院林群院士所说： 科学好比登山，有的人登上一座山，浏览了峰顶的风光，就满足而归了，而陈景润却不一样，同样登山，倘若上山有十条小径，他每一条小径都要去爬一次，他重视的不全是结果，而是贵在过程，直到把上山的路径全摸透了，他才会感到满足，功底、基础就是这样一步一个脚印建立起来的. 二、刻苦钻研，勇于攀登 大学毕业参加工作后，由于身体等原因，他不得不辞职回到家乡， 靠摆书摊勉强度日，时任厦门大学校长王亚南得知后，决定把他调到该 校数学系资料室工作，重回厦门大学后，除了日常工作外，他夜以继日地 专注于数论研究. 1956年，在华罗庚的努力下，陈景润来到中国科学院数学研究所， 担任研究实习员，并成为华罗庚的学生. 数学研究几乎是陈景润的全部生活和精神寄托，为了心无旁骛地钻
研学术，他主动申请搬进了数学研究所的一间只有6平方米的废弃锅炉房 里，经过1000多个日日夜夜的奋斗，他攻克了世界著名数学难题“哥德 巴赫猜想”中的“1十2”，人们不知道他燃尽了多长的灯芯，烧尽了多 少的煤油，也无法知道他经历过多少次失败，只知道最后在他床底下发 现了几麻袋用于演算的手稿纸. 然而，在攻克“哥德巴赫猜想”中的“1十2”后，他并没因此而停 下脚步，因为他认为：“在科学的道路上我只是翻过了一个小山包，真正 的高峰还没有攀上去，还要继续努力！”或许宛如登山者“它就在那里” 的执念，在陈景润这位新中国“最美奋斗者”的心中，永远燃烧着追求 真理、勇攀数学高峰的豪迈理想和坚定信念。 三、胸怀祖国，淡泊名利 陈景润的工作引起了国内外数学同行的重视，1978年和1982年，他 分别两次被邀请出席国际数学家大会（ICM）作45分钟的主题发言，这是 国际数学界对一名数学家的极大认可，对提高他在国际上的知名度大有 好处，但由于当时我国在国际数学联合会的席位一直被中国台湾占据着， 于是，他经过慎重考虑，最后决定放弃参加，在答复国际数学联合会主席的信中表明：“世界上只有一个中国，唯一能代表中国广大人民利益的 是中华人民共和国，台湾是中华人民共和国不可分割的一部分，因为目 前台湾占据着国际数学联合会我国的席位，所以我不能出席，如果中国 只有一个代表的话，我是可以考虑参加这次会议的。” 在浩瀚宇宙的灿烂星河中，有一颗小行星——国际永久编号为7681 的“陈景润星”，那正是永恒闪耀的陈景润数学精神的象征，正是由于他 不畏艰难、努力拼搏、积极进取、勇攀科学高峰的精神，在中华人民共 和国成立60周年时他被评为“100位新中国成立以来感动中国人物”之 一，在庆祝改革开放40周年大会上，他被党中央、国务院授予“改革先 锋”称号，获评“激励青年勇攀科学高峰的典范”
教学反思：
课 题：分式的概念 第 课时 总序第 10 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.理解分式的含义，能区分整式与分式. 2.理解分式中分母不能为零，会求分式中字母满足什么条件分式有意义. 3.体会数学概念来源于实际，发展学生应用数学解决实际问题的意识. 批 注
教学重点：掌握分式的概念以及分式是否有意义的条件.
教学难点：理解和掌握分式值为零时的条件
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.类比引入 我们已经知道，6=3×2，于是6÷3=2. 类似地，由于x2-1=(x+1)(x-1)，因此(x2-1)÷(x+1)=x-1. 由于8=3×2+2，于是8不能被3整除，可把8除以3的结果记作. 类似地，由于x2+1=(x+1)(x-1)+2，因此x2+1不能被x+1整除，把x2+1除以x+1的结果记作. 分式的概念：设f和g都是多项式，其中g不为0.我们把f除以g的结果记作，称是分式，其中f称为分子，g称为分母. 练一练：下列式子中哪些是整式？ ，，，-，. 2.讲授新课 例1 已知分式. (1)当x取哪个数时，的值不存在？ (2)当x取哪个数时，的值等于0？
议一议：(1)当x取哪个数时，分式的值不存在？ (2)分式的值可能等于0吗？为什么？ 与例1比较，类比得出结论. 例2 (1)当x取3时，分式的值是多少？ (2)当x取-0.4时，分式的值是多少？ 3.实际应用 （1）某长方形画的面积为S m2，长为8 m，则它的宽为_____m． （2）某长方形画的面积为S m2，长为x m，则它的宽为_____m． （3）如果两块面积为x公顷，y公顷的稻田，分别产稻谷a kg，b kg，那么这两块稻田平均每公顷产稻谷________kg． 4.课堂小结 分式
教学反思：
课 题：分式的基本性质 第 课时 总序第 11 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.使学生理解并掌握分式的基本性质，并能运用这些性质进行分式约分. 2.通过对分式的基本性质的归纳，培养学生观察、类比、推理的能力. 批 注
教学重点：掌握分式的基本性质.
教学难点：运用分式的基本性质来化简分式.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 1.分数：，，，它们是否相等？为什么？ 2.请叙述分数的基本性质． 3.类比分数的基本性质，你能猜想分式的基本性质吗？ 2.讲授新课 1.类比分数的基本性质：=，=(c≠0)，其中a，b，c是数.猜想分式的基本性质. 【归纳结论】分式的分子与分母都乘同一个不为0的多项式(或除以它们的一个不为的公因式)，所得分式与原分式相等. 2．与分式相等吗？分式与分式相等吗？ 思考：下列关于分式的等式是否成立？为什么？ (1)=； (2)=. 3．根据分式的基本性质填空：=.
【归纳结论】像这样，利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去（即分子与分母都除以它们的公因式），叫作分式的约分. 如果分式的分子与分母没有公因式，那么称这个的分式是最简分式. 3.典型例题 例3 把下列分式化成最简分式： (1)； (2). 例4 当x=23，y=17时，求分式的值. 3.课堂小结 分式的基本性质：＝，＝(h≠0) 约分(找出分子与分母的公因式) 最简分式(分子与分母无公因式)
教学反思：
课 题：同分母分式的加减 第 课时 总序第 12 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算.2.通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想. 批 注
教学重点：同分母的分式加减法的运算.
教学难点：同分母的分式加减法的运算.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 做一做： 猜一猜： 2.讲授新课 1.你能根据分数的加减法运算法则，总结出当分母相同时，分式的加减法运算法则吗？ 【归纳结论】同分母的分式相加，分母不变，把分子相加. 用式子表示为：. 2.计算：. 3.从上式可以看出：与互为相反分式，即=. 于是可以规定：减去一个分式等于加上这个分式的相反分式. 同分母的分式的减法运算法则： 同分母的分式相减，分母不变，把分子相减.即.
4.吗？ 根据=，又=，因此. 3.典型例题 例1 计算： (1)； (2). 例2 计算：. 4.课堂小结 同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最后结果要化为最简分式或整式． 5.板书设计 1．同分母分式加减法的法则： ± ＝ . 2．分式的符号法则：＝，＝＝－.
教学反思：
课 题：分式的通分 第 课时 总序第 13 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.会找最简公分母，能进行分式的通分。2.认真阅读课本，比照分数通分的方法，类比归纳分式通分的方法。3.通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想. 批 注
教学重点：分式的通分.
教学难点：找最简公分母.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 1.学生回顾：异分母分数，，是如何化成同分母分数的？ 2.提问：什么是分数的通分？其根据和关键是什么？ 3.启发：分式的通分与分数的通分类似，那么什么是分式的通分呢？其根据又是什么？ 4.尝试概括：你能通过类比分数的通分归纳分式通分的定义吗？ 2.讲授新课 1.什么是分式的通分呢？ 【归纳结论】根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分. 2.如何把分式，通分呢？ ，. 3.典型例题 例3 把分式与通分. ，. 做一做：找出下列分式的最简公分母，并将它们通分. (1)； (2)； (3). 例4 把分式与通分.
例5 把分式与通分. ， . 训练题补充： （1），，； （2），，； （3），； （4），； （5），； （6），. 4.课堂小结 1.最简公分母 2.通分 (1)依据：分式的基本性质. (2)方法：先确定最简公分母，再把各分式的分母化为最简公分母
教学反思：
课 题：异分母分式的加减 第 课时 总序第 14 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.理解并掌握异分母分式加减法的法则.2.经历异分母分式的加减运算的探讨过程，训练学生的分式运算能力.3.培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识 批 注
教学重点：异分母分式加减法的计算
教学难点：异分母分式加减法的计算
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 1.同分母分式加、减怎么计算？ 2.计算： 下面两种方法那种方法更简单？ 解：方法一： 方法二： 第二种方法更简单，因为它取的公分母是最简单的.最简的公分母又是怎么确定的呢？（交流） 方法1 用短除法，如图：2×2×3×4=48 方法2 分解质因数，12=22×3，16=24，公分母就是24×3. 3.我们把=中的2，3分别用字母a，b用字母代替得到：怎么计算呢？这节课我们来学习异分母分式加、减法. 2.讲授新课 思考：如何计算？动手试一试.
3.典型例题 例6 计算：. 例7 计算： (1)； (2). 引导学生小结分式加减法的计算步骤： 第一步：通分，化为同分母分式； 第二步：将同分母分式中的分子相加减； 第三步：分子去括号，合并同类项； 第四步：化为最简分式. 例8 计算：x+1+. 4.课堂小结 分母是单项式：异分母分式相加减，先通分，再转化为同分母分式相加减. 分母是多项式：分母是多项式时，应先因式分解，再通分， 再进行通分运算.
教学反思：
课 题： 分式的加法和减法同步练习课 第 课时 总序第 15 个教案
课 型： 练习课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：能准确复述分式加减法的法则（同分母、异分母），熟练完成分母是单项式或简单多项式的分式加减运算，运算准确率不低于85%。通过分层练习，掌握“找最简公分母→通分→计算→约分”的异分母分式加减步骤， 批 注
教学重点：熟练运用同分母分式加减法法则进行计算，并能对结果约分至最简。
教学难点：当分母是多项式时，能准确对分母进行因式分解，进而确定最简公分母
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 一、单选题 1．和的最简公分母是（ ） A．2a3 B．2a2 C．2a D．a2 2．把 ， ， 通分过程中，不正确的是（ ） A．最简公分母是 B． C． D． 3．分式 与 的最简公分母是（ ） A． B． C． 4．若，则（ ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（ ） A．1 B． C．a+b D．a-b 二、填空题 6．分式 的最简公分母是 7．计算：＝ ．
8．分式和的最简公分母是 9． 和 的最简公分母是 ，通分后为 10．各分母系数(都是整数)的最小公倍数与所有字母的 的积叫做最简公分母,它类似于小学分数中的 . 11．化简： 。 三、计算题 12．计算： （1）； （2）． 13．计算： （1） （2） 四、综合题 14．通分； （1） ； （2） ．
教学反思：
课 题：分式的乘除及混合运算 第 课时 总序第 16教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：掌握分式乘除法则，能正确进行同分母、异分母分式的乘除运算。理解分式乘除混合运算的顺序（先乘除后加减，有括号先算括号内），能准确计算并化简结果。 批 注
教学重点：分式乘除的法则及其应用；分式混合运算的顺序和技巧。
教学难点：在分式混合运算中，正确处理运算顺序、通分、约分等环节
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 环节一：新知导入 教师活动1： 计算：（1）； （2）； （3） 回顾：分数的乘法运算法则是怎样的？ 分数的乘法运算法则：分数相乘，把分子乘分子，分母乘分母. 环节二：探究新知 教师活动2： 探究一：分式的乘法 【思考】前面已经类比分数的加减法学习了分式的加法和减法运算，如果分式的乘法也类似于分数的乘法，则分式的乘法运算法则应是怎样的？ 教师讲授： 分式的乘法运算法则：分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母. 【牛刀小试】 例1计算： 例2计算：
【归纳】 若分子、分母都是单项式，先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式.若分子、分母含有多项式，则先因式分解，能约分的先约分，再相乘 探究二：分式的除法 计算：（1）； （2）； （3）. 分数的除法运算法则：分数除以分数，把除数的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘. 【议一议】类似于分数的除法，分式的除法法则应是怎样的？ 分式的除法运算法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 如果,则 【牛刀小试】 例3计算： 例4 计算：
教学反思：
课 题：分式的乘方 第 课时 总序第 17 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：掌握分式乘方法则，能正确计算单项式和多项式分式的乘方及混合运算。理解运算顺序，能将混合运算统一为乘法 批 注
教学重点：分式乘方的法则及其应用及分式混合运算的顺序和技巧。
教学难点：在分式混合运算中，正确处理运算顺序、通分、约分等环节，
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 环节一：新知导入 教师活动1： 计算：（1）； （2）； （3）. 回顾：分数的乘方是把分数的分子、分母各自乘方。 环节二：探究新知 教师活动2： 探究：分式的乘方 【思考】如何进行分式的乘方运算？ 教师讲授：由于多项式的乘法满足交换律和结合律，因此，由分式乘法的定义可以证明：分式的乘法也满足交换律和结合律. 【推导】 填空：·; _______________=______________=_______; _______________=______________=_______; …… _______________=______________=_______。 【归纳】 分式乘方的运算法则：分式的乘方就是把分子、分母各自乘方.
注意：分式的乘方法则中“把分子、分母各自乘方”，这里的分子、分母指的是分子、分母中的整个代数式，而不是部分项.若分式的分子、分母有多项式，应先添加括号，再作整体乘方运算. 环节三：例题精讲 教师活动3： 例6计算：(1) ; (2) . 例7计算：(1); (2) ; (3) ; 注意：在一个算式中，如果既有乘方，又有乘除，要注意运算顺序，应先算乘方，再算乘除，若有括号，则先算括号里面的。 环节四：课堂总结 教师活动4： 分式乘方的运算法则：分式的乘方就是把分子、分母各自乘方. 注意：1.若分式的分子、分母有多项式，应先添加括号，再作整体乘方运算. 2.在一个算式中，如果既有乘方，又有乘除，要注意运算顺序，应先算乘方，再算乘除，若有括号，则先算括号里面的。
教学反思：
课 题：同底数幂的除法 第 课时 总序第 18 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：.能够理解并掌握同底数幂的除法法则，熟练进行同底数幂的除法运算。 能够正确处理底数为多项式或负数的情况，提高运算能力。 批 注
教学重点：同底数幂的除法法则及其应用。
教学难点：正确处理底数为多项式或负数的情况，避免出现符号处理错误。
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程：环节一：新知导入 教师活动1： 计算：（1）； （2）； （3）. 正指数幂的运算法则： 1. 2. 3. 环节二：探究新知 教师活动2： 探究：同底数幂的除法 【观察】观察下列计算过程： 由此你能受到什么启发？ 回顾：被除数÷除数=商，除数×商=被除数 教师讲授：先逆用同底数幂的乘法，再约分 【思考】设m,n都是正整数，且m>n，你能计算出吗？ 教师讲授：
因此，当m>n时，有（m,n都是正整数）. 【归纳】同底数幂的除法法则：同底数幂相除（被除式的指数大于除式的指数），底数不变，指数相减. 环节三：例题精讲 教师活动3： 例1计算：(1) ； (2) ； (3) ； (4) . 注意：指数为多项式时，先将指数加上括号，再进行减法运算. 例2计算：(1) ； (2) . 解： (1) ； (2).
教学反思：
课 题：零次幂和负整数指数幂 第 课时 总序第 19 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：能够理解并掌握零次幂和负整数指数幂的概念及其性质，熟练进行零次幂和负整数指数幂的运算。能够正确处理底数为多项式或负数的情况，提高运算能力。 批 注
教学重点：零次幂和负整数指数幂的定义与运算规则及科学计数法表示绝对值较小的数
教学难点：零次幂和负整数指数幂的理解及混合运算中零次幂和负整数指数幂的优先级
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 环节一：新知导入 教师活动1： 计算：(1) ; (2) ; (3) ; (4) . 问题1：什么是同底数幂的除法法则？ 问题2：当时，同底数幂的除法怎么计算呢？该法则还适用吗？ 同底数幂的除法法则：同底数幂相除（被除式的指数大于除式的指数），底数不变，指数相减. 环节二：探究新知 教师活动2： 探究一：零次幂 【动脑筋】根据分式的基本性质计算(，m是正整数) 【规定】零次幂：任何非零实数的零次幂都等于1.
教师讲授：1.底数不为0，2.指数为0，3.结果等于1 探究二：因式分解与整式乘法 【推导】 【规定】负整数指数幂：任何非零实数的(n为是正整数)次幂都等于这个数的n次幂的倒数. 环节三：例题精讲 例3计算：（1）； （2） . 探究三：用科学记数法表示一些绝对值较小的数 利用10的负整数指数幂，可以用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成的形式，其中n是正整数，1≤|a|<10. 方法：1.的确定：将原数的小数点移动到第一个非零数字的右边 2.的确定：小数点向右移动几位，10的指数就是负几。
教学反思：
课 题：整数指数幂的基本性质 第 课时 总序第 20 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：掌握整数指数幂的四条基本性质（同底数幂、幂乘方、积乘方、商乘方），能规范化简复杂表达式。学生能够熟练进行整数指数幂的综合运算， 批 注
教学重点：整数指数幂的基本性质及其应用。
教学难点：混合运算中整数指数幂的优先级。
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 环节一：新知导入 教师活动1： 计算：(1) ； (2) ； (3) . 【回顾】 同底数幂的除法法则： 环节二：探究新知 教师活动2： 探究：整数指数幂的基本性质 【思考】 (1)已知，填空： (都是正整数)； (m，n都是正整数)； (n是正整数). (2)上述三个等式，能否推广到m，n是整数？ 【同底数幂的乘法】 设都是正整数，求证: (1)； (2)；
(注意：可以用同底数幂的除法法则、零次幂、负整数指数幂 ) 【幂的乘方】 设都是正整数，求证: (1)； (2) (3)； 【积的乘方】 设是正整数，求证: (1)； (2). 【分式的乘方】 设是整数，利用整数指数幂的基本性质2和基本性质3得 因此 环节三：例题精讲 例6设计算下列各式： (1)； (2)； (3). 例7计算下列各式：(1)； (2). 环节四：课堂总结
教学反思：
课 题： 整数指数幂同步练习 第 课时 总序第 21 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：能准确复述整数指数幂（正、零、负指数幂）的定义及运算性质，熟练完成同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方运算，正确率不低于90%。 批 注
教学重点：熟练掌握整数指数幂的运算性质（同底数幂相乘/除、幂的乘方、积的乘方）。
教学难点：在多步混合运算中保持步骤清晰
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程：一、单选题 1．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．是指大气中直径米的颗粒物，将用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 4．有一种微粒，研究发现它的半径约是0.000000001327微米，请用科学记数法表示这个数（ ） A． B． C． D． 5．与互为倒数的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．华为作为世界顶级科技公司，设计的麒麟90005GSoc芯片，拥有领先的5nm制程和架构设计，，数据0.000000005用科学记数法表示为 ． 7．科学家发现 冠状肺炎病毒颗粒平均直径约为 ，数据0.00000012用科学记数法表示 .
8． ． 9．世界上最小的无脊椎动物是单细胞生物草履虫，它身长仅米，数据用科学记数法表示为 ． 10．流感病毒的半径大约为，用科学记数法表示流感病毒的半径为 ． 11．钟南山院士表示，从全球视角来看，新冠肺炎与人类的长期共存将成为可能，我们切不可掉以轻心，要做好日常防护，导致新冠肺炎病毒的平均直径约为0.00000098m，这个数用科学记数法表示为 m 三、计算题 12．计算：-(-1)2018- (π-3.14)0＋ . 13．计算：． 四、解答题 14．计算。 （1） （2） 15．（1）已知，求t的值； （2）已知，，求的值
教学反思：
课 题：可化为一元一次方程的分式方程 第 课时 总序第 22 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.理解分式方程的意义，掌握分式方程的一般解法. 2.了解分式方程无解的原因，并掌握检验的方法. 3.训练学生的运算技巧，提高解题能力. 批 注
教学重点：把分式方程化为整式方程的解法
教学难点：了解分式方程无解的原因，掌握检验的方法.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 1.什么是方程？什么是一元一次方程？它的解怎样检验？ 2.回忆一元一次方程的解法，并且解方程. 2.讲授新课 1.做一做：为了更好地践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某村计划组织村民在荒坡上种9600棵树，后来由于青年志愿者的支援，每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成任务，设原计划每天种x棵树，试用含x的等式表示问题中的等量关系. 等量关系：原计划的天数-实际天数=4. 解 原计划每天种x棵树，则实际每天种x棵树. 列出含有未知数x的等式：， 即. 它和我们以前所碰到的方程一样吗？有什么不一样的地方？上面所得到的方程有什么共同特点？ 【归纳结论】分母中含有未知数的方程叫作分式方程 2.怎样解分式方程呢？ 3.解分式方程. 解由于最简公分母为x，方程两边同乘x，得9600-7200=4x， 解得x=600.
将x用600代入原分式方程，方程左边的值为，右边的值也是4，左边的值=右边的值. 因此，x=600是原分式方程的解. 3.典型例题 例1 解方程：. 例2 解方程：. 例3 解方程：. 4.课堂小结 判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数，如果分母中含有未知数就是分式方程，分母中不含未知数就不是分式方程． 解分式方程的一般步骤：①在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去；④写出原方程的解． 分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．
教学反思：
课 题：可化为一元一次方程的分式方程 第 课时 总序第 23 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程. 2.掌握列分式方程解应用题的一般步骤.3.会列出分式方程解决简单的应用题，提高学生的分析问题、解决问题的能力和应用意识. 批 注
教学重点：列分式方程解应用题
教学难点：对所求出的分式方程的根进行检验的思想的重视.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 1.解分式方程的一般步骤. 2.解方程. 3.列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步？ 2.讲授新课 思考：用A，B两种型号机器人搬运原料.已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运200 kg，且A型机器人搬运10000 kg所用时间与B型机器人搬运8000 kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料. 等量关系：(1)A型机器人搬运10000 kg所用时间=B型机器人搬运8000 kg所用时间. (2)A型机器人每小时搬运量=B型机器人每小时搬运量+200 kg. 解：设B型机器人每小时搬运x kg，则A型机器人每小时搬运（x+200）kg， 由等量关系可列出如下方程：. 解得x=800， 经检验：x=800是原分式方程的解，且符合题意. 所以，B型机器人每小时搬运原料800 kg，A型机器人每小时搬运原料1 000 kg. 【归纳结论】列分式方程解应用题的一般步骤：审—设—列—解—验—答.
3.典型例题 例4 某校八年级学生乘车前往某乡村进行研学实践活动.现有两条线路可供选择：线路一全程25 km，线路二全程30 km.若走线路二的平均车速是走线路一的1.5倍，所花时间比走线路一少用10 min，则走线路一的平均车速为多少？ 等量关系：走线路一的时间-走线路二的时间=h. 设走线路一的平均车速为x km/h，则可得下表： 解 设走线路一的平均车速为x km/h，则走线路二的平均车速为1.5x km/h. 根据等量关系，可列出如下方程：. 解得x=30. 经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意. 答：走线路一的平均车速为30 km/h. 4.课堂小结
教学反思：
课 题：分式 第 课时 总序第 24 个教案
课 型： 复习课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.巩固分式的相关概念及其基本性质.2.能熟练地进行分式的加法、减法、乘法、除法、乘方混合运算.3.理解整数指数幂的运算法则. 4.能用分式方程解决相关数学问题与生活中的实际问题. 批 注
教学重点：能用分式方程解决相关数学问题与生活中的实际问题
教学难点：能用分式方程解决相关数学问题与生活中的实际问题
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 一、要点精析 知识点重点归纳总结常见易错点分式（）的定义① A、B是整式； ② B≠0 .分式的判断只看形式，不看化简后的结果分式有无意义及值为0的条件① 有意义：B≠0； ② 无意义：B=0； ③ 值为0：A=0，且B≠0.在化简或求值时，未考虑分母不能为0，导致结果错误分式的基本性质 （其中A，B，C（C≠0）是整式）分子分母未同时乘或除以同一个非零整式，或只对部分项进行操作分式的混合运算① 有括号的先算括号里的； ② 没括号的按先乘方后乘除再加减的顺序计算.运算时符号处理不当，如忽略负号的位置分式方程① 解分式方程：化为整式方程求解； ② 求出的根能使整式方程成立，但对于分式方程无意义的根是增根； ③ 列分式方程解应用题的思路与一元一次方程的应用解题思路一致.解分式方程时没有检验是否为增根；解分式方程的应用时没有检验根是否符合实际意义
【考点1】分式值存在、不存在、为0的条件 1.若分式的值存在,则x需满足的条件是 x≠19 . 2.当分式的值为正数时,写出一个满足条件的x的值为 0(答案不唯一) .
【考点2】整数指数幂 3.计算:(-1)2+= 2 . 4.已知实数a,b满足(a-2)2+|b+1|=0,则ab= . 【考点3】分式的运算及化简求值 5.先化简,再求值: (1+)·,其中x=3. 【考点4】分式方程及应用 6.解方程:+1=. 二、思维导图
教学反思：
课 题：分式 第 课时 总序第 25 个教案
课 型：练习课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.巩固分式的相关概念及其基本性质.2.能熟练地进行分式的加法、减法、乘法、除法、乘方混合运算.3.理解整数指数幂的运算法则. 4.能用分式方程解决相关数学问题与生活中的实际问题. 批 注
教学重点：能用分式方程解决相关数学问题与生活中的实际问题
教学难点：能用分式方程解决相关数学问题与生活中的实际问题
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 专题一：分式的基本概念 例1 在式子,,,2-,,中,分式共有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 变式训练 ：1.如果分式无意义,那么x的值为 ( ) A.1 B.-1 C.±1 D.-3 2.若分式的值为0,则x的值为 ( ) A.±2 B.0 C.-2 D.2 专题二：分式的运算 例2 计算:(1)·; (2)(x2-2x)÷. 变式训练 1.计算:÷= . 2.计算:(1)÷; (2)-+. 专题三：分式的化简求值 例3 先化简:÷+,然后从-2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值. 变式训练 ：1.先化简,再求值:÷,其中a=-4. 2.先化简代数式÷,再从2,-2,1,-1四个数中选择一个数代入求值. 专题四：整数指数幂的运算 例4 已知10-2α=,10-β=,求1的值. 变式训练
1.“气凝胶”是一种具有纳米多孔结构的新型材料,其颗粒尺寸通常小于0.000 000 02 m,将数据0.000 000 02用科学记数法表示为 . 2.已知(-2)m=,试求m2-m+5的值. 专题五：分式方程的解法 1.分式方程-=1的解是 ( ) A.x=0 B.x= C.x=-1 D.x=1 2.代数式和代数式的值相等,则x= . 3.解方程:(1)=-1; (2)+=1. 专题六：分式方程的应用 例6 我国自主研发的“九天”无人机被誉为“蜂群母舰”,它首次亮相便震撼全球.这也激发了航模小组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望,于是他们去模型商店了解后知道一架A款无人机模型的价格比一架B款无人机模型的价格贵600元,用9 000元购买A款无人机模型的数量与用5 400元购买B款无人机模型的数量相同. (1)A款无人机模型和B款无人机模型的单价各是多少元 (2)航模小组计划用18 000元购买无人机模型,要求A,B两款模型都要购买且钱刚好用完,请求出所有的购买方案. 解:(1)设B款无人机模型的单价为x元,则A款无人机模型的单价为(x+600)元, 由题意得=, 解得x=900. 经检验,x=900是原分式方程的解,且符合题意,所以x+600=1 500, 答:A款无人机模型的单价为1 500元,B款无人机模型的单价为900元.
教学反思：
课 题：空瓶换汽水 第 课时 总序第 26 个教案
课 型：综合实践课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：熟练运用分式、方程等已学数学知识，构建有效的数学模型来解决 “空瓶换汽水” 以及与之相似的实际问题，显著提升数学运算和问题解决的能力 批 注
教学重点：深入理解 “空瓶换汽水” 问题中所蕴含的数量关系
教学难点：深入理解 “空瓶换汽水” 问题中所蕴含的数量关系
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 一、情景导入 在夏季，有些人喜欢喝汽水. 一些生产商为了促进汽水空瓶的快速回收，提供了“空瓶换汽水” 方案. 二、新课讲授 某品牌汽水生产商提出可以用 3 个空瓶再换回 1 瓶汽水. 某人买回 10 瓶汽水，则他最多可以喝到多少瓶汽水？ 假设汽水 1 瓶 3 元，则 1 个空瓶相当于 1 元，那么使用 1 个空瓶换回的汽水就只值 2 元. 买回 10 瓶汽水，意味着花去 3 × 10 = 30（元），故而最多可以喝到 = 15（瓶）. 然而，很多人认为是 14 瓶 共喝了10 + 3 + 1 = 14（瓶） 实际上，若能找他人借 1 个空瓶，连同前面剩下的2 个空 瓶，就有了 3 个空瓶，于是又 可以换回 1 瓶汽水，喝完后还 1 个空瓶给他人. 因此，共喝了 15 瓶. 俗话说：“有借有还，再借不难. ” 请在借多少个空瓶就还多少个空瓶的前提下，完成以下活动.
购买汽水的瓶数借的空瓶数实际能喝到汽水的瓶数12345678910
将购买汽水的瓶数分为奇数与偶数，结合上表中实际能喝到汽水的瓶数的情况，你能发现什么规律？ 当购买的瓶数 x 为偶数时，可以喝到 1.5x 瓶. 当购买的瓶数 x 为奇数时，可以喝到（1.5x－0.5）瓶. 三、拓展延伸 1、当炎热夏季即将结束时，生产商提出 4 个空瓶换 1 瓶汽水，则购买汽水的瓶数与实际喝到汽水的瓶数之间有怎样的关系呢？ 2、如果在校运动会期间，整个学校师生喝了 x 瓶汽水，而生产商提出，每 y 个空瓶可以换 1 瓶新的汽水，那么能换多少瓶汽水？
教学反思：
课 题：二次根式的概念及性质 第 课时 总序第 27 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.了解二次根式的概念. 2.掌握二次根式的基本性质. 3.会判断二次根式，能求简单的二次根式中的字母的取值范围. 批 注
教学重点：二次根式的概念及意义
教学难点：利用“（a≥0）”解决具体问题.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 3.16的平方根是什么？算术平方根是什么？ 4.0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 5.-7有没有平方根？有没有算术平方根？ 2.讲授新课 1.思考： （1）2，3，5的算术平方根分别是怎样表示的 （2）用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v2=gR，其中g为重力加速度.若已知地球半径R，则第一宇宙速度v是多少？（用带有根号的式子表示） （3）比较（1）（2）的结果，它们在表达形式上有什么共同特征？ （1）2，3，5的算术平方根分别为，，. （2）因为速度一定大于0，所以第一宇宙速度v=. (3) ，，与等都是形如的式子. 【归纳结论】一般地，形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数．（我们知道：每一个正实数a有且只有两个平方根，分别为和一，其中称为a的算术平方根.同时，在实数范围内，负实数没有平方根，因此，只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.）
2.思考：二次根式“”中被开方数a能取任意实数吗？ 【归纳结论】只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义． 对于非负实数a，由于是a的一个平方根，因此 （）2=a（a≥0）. 3.做一做： （1） ； （2） ； （3） ；（4） ； 【归纳结论】二次根式的性质：=|a|= 3.典型例题 例1：当x是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义？ 解 由x-1≥0，解得x≥1.当x≥1时，在实数范围内有意义 例2：计算： （1）（）2； （2）（-2）2. 4.课堂小结 根据二次根式的定义，必须满足两个条件：①根指数是2，即形如；②被开方数为非负数.
教学反思：
课 题：二次根式的概念及性质 第 课时 总序第 28 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.了解最简二次根式的意义，并能作出准确判断. 2.能熟练地把二次根式化为最简二次根式. 3.了解把二次根式化为最简二次根式在实际问题中的应用. 批 注
教学重点：会把二次根式化简为最简二次根式.
教学难点：准确运用化二次根式为最简二次根式的方法.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.情景导入 1.旧知回顾 教师展示课件，回顾二次根式的两个重要性质：，，通过提问的方式让学生回答，巩固旧知。 2.情景导入 呈现学校超市坚果净含量的情景：第一款原味核桃仁净含量为千克，第二款盐焗巴旦木净含量为千克。提问学生：“有没有办法‘整理’这两个式子，不用算近似值，就能快速看出哪款坚果的净含量更大？” 引发学生的思考，从而引出本节课的课题 —— 二次根式的化简。 2.讲授新课 1.思考：① ② 师生验证并归纳结论：=· （a≥0，b≥0）. 2.例1：化简下列二次根式： （1）； （2）； （3）. 例2：化简下列二次根式： （1）； （2）. 变式训练：化简下列二次根式 课堂交互式活动
总结最简二次根式的定义 师生共同总结最简二次根式的两个条件：①被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；②被开方数不含分母。 开展 “实战演练” 活动，让学生判断给定的二次根式是否为最简二次根式，并说明理由，加深对最简二次根式的理解。 课堂交互式活动 议一议： (m > 0) 是最简二次根式吗 如果不是，你能把它化简吗？ 3.课堂小结 最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母． （六）布置作业，巩固提升 1.基础作业：完成学法大视野第 40 页的练习题。 2.能力提升：化简等二次根式，加深对知识的应用。
教学反思：
课 题：二次根式的乘法 第 课时 总序第 29 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.使学生掌握二次根式乘法法则=·（a≥0，b≥0） 2.使学生掌握=a（a≥0），并能加以初步应用以化简二次根式. 批 注
教学重点：会利用积的算术平方根的性质对一些式子进行化简
教学难点：二次根式中乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 一块正方形的木板面积为200 cm2，已知=1.414，你能不用计算器以最快的速度求出正方形木板的边长吗？ 2.讲授新课 1.说一说：积的算术平方根的性质是什么？ =·（a≥0，b≥0）. 把=·反过来，就可得： ·=（a≥0，b≥0）. 2.例1：计算： （1）×； （2）×. 解：（1）×===3 . （2）×====2 . 3.例2：计算： （1）2×5； （2）3×（-）.
解：（1）2×5=2×5×=10 =30. （2）3×（-）=3×（-）××= - =- =- . 4.议一议： 小玲和小婷两名同学在计算×时，做法分别如下： （1）×===6； （2）×=×3=6. 你更喜欢哪种做法？（学生回答，并说明理由） 3.课堂小结 运用二次根式的乘法法则：·=（a≥0，b≥0），必须注意被开方数是非负数这一条件. 二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号.
教学反思：
课 题：二次根式的除法 第 课时 总序第 30 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.会利用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算. 2.经历探索二次根式除法以及商的算术平方根的过程，掌握其应用方法. 3.培养学生分析问题和逆向思维的能力，感悟数学的应用价值. 批 注
教学重点：二次根式除法运算
教学难点：探索二次根式除法法则
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 1.积的算术平方根的性质是什么？ 2.二次根式乘法法则是什么？用语言怎样表达？用式子怎样表示？ 2.讲授新课 1.思考：计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？ （1）= ，= ；（2）= ，= . （学生先自己计算然后说一说自己的发现，教师进行归纳） 一般地，如果a>0，则·= ==1，因此， =（a＞0）. 设a>0，b≥0，则 = =·=.因此得出： =（a>0，b≥0）. 上述等式就是商的算术平方根的性质，利用这一性质，可以化简二次根式.
2.是什么关系呢？【归纳结论】互为倒数（a＞0） 3.把等式 =（a>0，b≥0）反过来，可得： =（a>0，b≥0）. 4.议一议：小华与小楠两名同学在计算时，做法分别如下： （1） = ==3. （2） = =3. 你更喜欢哪种做法？（学生回答，并说明理由） 3.典型例题 例3：化简下列二次根式：（1）； （2）. 例4：计算：（1）÷； （2）. 4.课堂小结 运用商的算术平方根的性质： =（a>0，b≥0），必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件.
教学反思：
课 题：二次根式的加法和减法 第 课时 总序第 31 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.知道二次根式加减运算的步骤. 2.会用合并同类二次根式正确进行二次根式的计算. 2.经历探索二次根式加减法法则的过程，体会类比的思想方法. 批 注
教学重点：二次根式的加减法运算
教学难点：被开方数是分数（式）或含字母的二次根式加减运算.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 1.下列根式中，哪些是最简二次根式？ ，，，，，，. 2.计算下列各式： （1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y. 2.讲授新课 1.做一做：二次根式的加减运算能否依据整式的加减法运算进行？ 计算：(1)(+)-； (2)2(+1)-3. 2.思考： (1)3+5等于多少？ (2)3-8+5等于多少？ 3.你能根据上面的计算过程总结二次根式加减法运算的步骤吗？ 【归纳结论】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
3.典型例题 例1 计算：2-+. 解 2-+=2×3-5+ =6-5+ =+. 例2 图3.3-1是一土楼的水平切面图，它由两个同心圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02 m2和150.72 m2，求圆环的宽度d(π取3.14). 4.课堂小结 二次根式的加减混合运算步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变.
教学反思：
课 题：二次根式的混合运算 第 课时 总序第 32 个教案
课 型：新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.使学生会熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. 2.讲练结合，通过例题由浅入深，层层深入，从例题的讲解中帮助学生寻找解题的方法，规律及注意点. 批 注
教学重点：二次根式的混合运算
教学难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 1.二次根式有哪些性质？ 2.已学过的整式的乘法公式和法则有哪些？ 3.怎样化简二次根式？ 2.讲授新课 做一做：计算： (1)； (2)(2+)(1-). (1)== = =. (2)(2+)(1-)=2-2+-× =2-2+-2 =-. 3.典型例题
例3 计算： (1)(3+)(3-)； (2)(-)2. 解 (1)由平方差公式得 (3+)(3-)=(3)2-()2=9×2-5=13. (2)由完全平方公式得 (-)2=()2-2××+()2 =2-2×+3=5-2. 例4 计算：(+)÷. 解 (+)÷===. 例5 计算： (1)； (2). 4.课堂小结 二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的.
教学反思：
课 题： 二次根式 第 课时 总序第 33 个教案
课 型： 复习课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.了解二次根式、最简二次根式的概念. 2.了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。 批 注
教学重点：二次根式的概念与最简二次根式的判定。二次根式乘除、加减运算算法。 2.二次根式乘除、加减运算的算理与算法。
教学难点：复杂混合运算中的符号处理与运算顺序。
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 环节一；单元知识结构框架 环节二：思考回顾 教师活动2： 二次根式在实数范围内有意义的条件是什么？ 教师讲授：由算术平方根和二次根式的概念可知二次根式实质上就是一个非负实数的算术平方根。在实数范围内，负实数没有平方根，因此，只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义. 教师总结： 二次根式有意义的条件： 二次根式的性质：（1） （2） 3.积的算术平方根的性质是什么？商的算术平方根的性质是什么？ 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
= 商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 4.什么是最简二次根式？如何把二次根式化成最简二次根式？ 最简二次根式：二次根式经过化简后的结果，具有以下特点：被开方数不含分母，且不含开得尽方的因数（或因式）. 这样的二次根式叫作最简二次根式. 5.如何进行二次根式的加、减、乘、除运算？ 二次根式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里的. 二次根式的乘法法则： = 二次根式的除法法则： 二次根式的加减的一般运算步骤： 1.化：先将每一个二次根式化简. 2.找：找出被开方数相同的二次根式. 3.并：合并同类二次根式，即把系数相加减，根式部分不变.
教学反思：
课 题： 二次根式 第 课时 总序第 34 个教案
课 型： 练习课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.熟练运用二次根式的性质，运用它们进行复杂的化简和计算。2.全面掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则和四则混合运算， 批 注
教学重点：1.二次根式的概念、性质、运算法则。2.二次根式的化简和运算。 2.二次根式的化简和运算。
教学难点：二次根式的化简，当被开方数含有字母时根据字母的取值范围进行化简。
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 【知识技能类作业】 必做题： 1.若，则（ ） A． B． C． D．x为一切实数 2.如果那么( ) A． B． C． D． 3.在二次根式中，最简二次根式个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 选做题： 4.（1）已知一个长方形的长和宽分别是 ， 则它的面积是 ; （2）已知一个长方形的长和面积分别为 和 ， 则这个长方形的宽为 . 5.若x、y都为实数，且 ，则 = 。 6.当，时，代数式的值是 ． 【综合拓展类作业】 7.计算:（1） . （2） . （3） （4） .
必做题： 1.有下列各式：① ；② ；③ ；④ .其中，计算正确的有（ ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.已知，则式子的值为（ ） A． B． C． D． 3.已知，则与的关系是( ) A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 4.观察下列等式： ①；②； ③； 回答下列问题： （1）_______； （2）_______；（n为正整数） （3）利用上面所揭示的规律计算：．
教学反思：
课 题：认识三角形 第 课时 总序第 35 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.认识三角形及三角形有关的概念，2.掌握三角形的三边关系，3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形。 批 注
教学重点：三角形定义，三角形的三边关系，三角形高、中线、角平分线的画法
教学难点：钝角三角形高的画法。
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 环节一：新知导入 教师活动1： 【议一议】观察下图，在图中找出几个三角形. 构成这些三角形的三条线段在同一条直线上吗？这三条线段是怎样连接的？ 环节二：探究新知 教师活动2： 探究一：三角形的概念及表示方法 【自主预习】 填空： 1._______________________的三条线段_____________所构成的图形叫作三角形. 2.三角形可用符号“_____________”来表示，如图中的三角形可记作“_____________ ”，读作“三角形 ABC ”. 3.A，B，C 叫作ABC 的_____________； ∠A，∠B，∠C叫作ABC 的_____________（简称ABC 的角）； 线段AB，BC，CA叫作ABC 的_____________. 4.通常∠A，∠B，∠C 的对边BC，AC，AB可分别用_____________来表示. 5.两条边相等的三角形叫作_____________. 在等腰三角形中，相等的两边叫作_____________，另外一边叫作_____________. 两腰的夹角叫作_____________，腰和底边的夹角叫作_____________.
4.通常∠A，∠B，∠C 的对边BC，AC，AB可分别用_____________来表示. 5.两条边相等的三角形叫作_____________. 在等腰三角形中，相等的两边叫作_____________，另外一边叫作_____________. 两腰的夹角叫作_____________，腰和底边的夹角叫作_____________. 6.三边都相等的三角形叫作_____________（或正三角形）. 等边三角形是特殊的等腰三角形——______________________的等腰三角形. 探究二：三角形三边之间的关系 【思考】问题1：在小学阶段，通过画三角形等操作过程，探索得知：三角形中任意两边的长度之和大于第三边的长度 . 这一结论对任何三角形都成立吗？为什么？ 问题2：三角形的任意两边之差有什么关系？ 教师讲授：由基本事实“两点之间，线段最短”可得 AB+AC>BC,AB+BC>AC,AC+BC>AB. 由于AB+AC >BC, 根据不等式的基本性质1可得AB>BCAC, 即BCAC< AB, 同理可得ACAB< BC, ABC< AC. 【归纳】三角形三边之间的关系: 三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边.
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课 题： 认识三角形 第 课时 总序第 36 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.认识三角形及三角形有关的概念，2.掌握三角形的三边关系，3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形。 批 注
教学重点：三角形定义，三角形的三边关系，三角形高、中线、角平分线的画法
教学难点：钝角三角形高的画法。
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 探究三：三角形的高、角平分线、中线 【定义】从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 如图，AH⊥BC，垂足为点H，则线段AH是ABC 的边BC上的高. 做一做】如图，试用三角板或量角器分别画出图中ABC三条边上的高线. 【定义】在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 如图，AD平分∠BAC，交BC于点D，则线段AD是ABC 的一条角平分线，此时∠BAD=∠CAD=∠BAC.
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线. 如图，E是线段BC的中点，则线段AE是ABC的边BC上的中线，此时BE=EC=BC. 说一说】任意画一个三角形，画出三条边上的中线. 你发现了什么？ 【定义】三角形的三条中线相交于一点. 这三条中线的交点叫作三角形的重心. 如图， ABC的三条中线AD，BE，CF 相交于点G，则点G为ABC的重心.
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课 题： 三角形的内角和外角 第 课时 总序第 37 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.通过操作活动，发现三角形的内角和是 180°； 会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数； 3.了解三角形的外角及其性质. 批 注
教学重点： 会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数；
教学难点：. 会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数；
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 一．复习导入 思考： 任意三角形的内角和都是180° 吗？为什么？ 2.讲授新课 1.探究： 任意三角形的内角和都是180°吗？为什么 在小学，通过对一个三角形进行折叠（如图4.1-11）、剪拼（如图4.1-12）等操作，得到三角形的内角和是180°. 图4.1-11 图4.1-12 由图4.1-12受到启发，任画一个△ABC，将边AB所在直线沿点B到点C的方向平移线段BC的长度，则边AB经过点C，并可得到直线A'B'.如图4.1-13. 因为直线在平移下的像是与它平行的直线， 所以A'B'//AB，
则∠A'CD=∠B，∠ACA'=∠A. 又∠BCA+∠ACA'+∠A'CD=180°， 所以∠BCA+∠A+∠B=180°. 由此得到： 三角形的内角和等于180°. 如图4.1-15，把△ABC的边BC延长，可得到∠ACD.像这样，把三角形的一边与另一边的延长线所成的角叫作三角形的外角， 例如，图4.1-15中的∠ACD就是△ABC的一个外角. 三角形的一个外角跟与它相邻的内角之间有什么关系 【归纳结论】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
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课 题：命题与证明 （定义、命题） 第 课时 总序第 38 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：了解定义，命题的含义；对命题的概念有正确的理解，会区分命题的条件和结论. 批 注
教学重点：找出命题的条件（题设）和结论、判断一个命题的真假.
教学难点：命题概念的理解.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： .新课导入 父子对话 子：爸爸，什么是法律？ 父：法律就是法国的律师. 子：那什么是法盲呢？ 父：法盲就是法国的盲人. （学生听后笑） 同学们会什么笑呢？ 生：他们对概念理解不清. 师：同学们说的对，由于父子俩对法律、法盲的定义不理解，闹出了笑话，所以对某些特殊名称或术语，我们需要给出它们的定义.这节课我们就要共同来研究“定义，命题”. 二.讲授新课 我们已经学习了许多概念，例如，实数、方程、角平分线等，对一个概念的含义加以描述说明，或者作出明确规定的语句，叫作这个概念的定义. 例如，“连接两点的线段的长度，叫作这两点的距离”是两点的距离的定义，“若一个数是一个无限不循环小数，则把这个数叫作无理数”是无理数的 定义. 一般地，常常用陈述句叙述一件事情，比如：（1）-1是自然数；（2）对顶角相等.
我们还可发现这两个陈述句中，（1）是错误（假）的， 是正确（真）的. 1.抽象： 叙述一件事情的句子（陈述句）要么是真的，要么是假的，两者必居其一，我们称这个陈述句是一个命题，如果一个命题叙述的事情是真的，就说它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，就说它是假命题. 2.说一说： 请结合已学数学知识，说出一些命题. （1）如果|a|=3，那么a=±3. （2）垂线段最短. 3.议一议： 下列命题的表述形式有什么特点？ （1）如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形； 【归纳总结】上述命题的表述形式都是“如果……，那么…… 对于“如果……，那么……”形式的命题，通常把“如果”引出的部分称为条件，把“那么”引出的部分称为结论. 【归纳结论】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题． 注意；当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题，
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课 题：命题与证明（证明、举反例） 第 课时 总序第 39 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：.了解证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式. 批 注
教学重点：证明的含义和表述格式.
教学难点：如何构造一个反例去证明一个命题是错误的.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 新课导入一般地，判断一件事情正确或不正确的句子叫作命题，命题分为真命题与假命题． 【说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作准备． 2.讲授新课 1.议一议： 如何判断一个命题是假命题呢？ 由“0.1是有理数，但不是整数”可知，命题“若a是有理数，则a是整数”是假命题.又如，由“0的绝对值是0，不是正数”可判断“有理数的绝对值是正数”是假命题.一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例. 例2：命题“如果ab=0，那么a=0”是真命题还是假命题 解：1×0=0，但是1≠0，因此“如果ab=0，那么a=0”是假命题. 【说明】本例题是综合法证题的示范，在过程中要给学生强调按照步骤进行证明. 2.做一做： 用举反例的方法说明下列命题是假命题. （1） 若a2=b2,则a=b； （2）一个角的余角大于这个角； （3）若a，b是有理数，则|a+b|=|a|+|b|； （4）如果∠A=∠B，那么∠A与∠B是对顶角. 3.思考：如何判断一个命题是真命题呢？ 判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实
以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立，这一过程就是通常所说的证明. 例3：证明：如果实数a≠0或实数b≠0， 例4：证明：△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60° 证明：假设△ABC的三个内角中没有一个角大于或等于60°，则∠A<60°，∠B<60°∠C<60°， 从而∠A+∠B+∠C<60°+60°+60°=180°. 这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，故假设不成立. 因此，△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°. 【归纳结论】像例4这样，当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从 这样的假设出发，经过推理得出与已知条件、定义、基本事实、真命题等产生矛盾，得出假设不成立，从而判断所求证命题正确，这种证明方法叫作反证法. 反证法基本步骤： （1）假设命题不成立； （2）导出矛盾； （3）肯定结论. 【说明】反证法与举反例是有区别的，在教学中应有所体现.
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课 题：命题与证明（定理、推论） 第 课时 总序第 40 个教案
课 型： 新授课 编写时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日
教学目标：1.了解定理、推论与互逆命题的含义；理解证明的必要性，能经过推论证明命题.2.通过推论证明命题，培养学生科学严谨的学习方法. 批 注
教学重点：了解定理、推论与互逆命题的含义.
教学难点：理解证明的必要性、能经过推论证明命题.
教学用具：课本、多媒体
教学方法：讲授法、练习法
教学实施过程： 1.新课导入 将“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题． 2.讲授新课 1.说一说：判断下列命题为真命题的依据是什么？ （1）如果a是整数，那么a是有理数． （2）如果△ABC是等边三角形，那么△ABC是等腰三角形． 【归纳结论】经过证明
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