华东师大版九年级下 第26章 二次函数单元测试 (2)（含答案）
文档属性
| 名称 | 华东师大版九年级下 第26章 二次函数单元测试 (2)（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 133.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-04 07:22:35 | ||
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文档简介
华东师大版九年级下 第26章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．抛物线y=2x2-4的顶点坐标是（ ）
A．（1，-2） B．（0，-4） C．（-1，-2） D．（2，0）
2．若方程ax2+bx+c=0的两个根是-3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）
A．x=-3 B．x=-2 C．x=-1 D．x=1
3．已知二次函数y=（x+1）2+（x-3）2，当函数y取最小值时，x的值是（ ）
A．x=-1 B．x=3 C．x=2 D．x=1
4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=-1，则点A（b2-4ac,a-b+c）的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．二次函数y=mx2+mx（m＜0）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点A（-3，y1），B（-1，y2），C（-2，y3）在函数y=x2+3上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y1＞y3
7．抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ）
A．y=（x+1）2+3 B．y=（x+1）2-3 C．y=（x-1）2-3 D．y=（x-1）2+3
8．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h=-5t2+20t（0≤t≤4）．有下列结论：
①小球飞行中的高度可以是21m；
②小球飞行1s时的高度小于飞行2.5s时的高度；
③当1.5≤t≤3时，小球的飞行高度不低于15m.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB=10，BC=5，CD=6，则PQ的长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．如图，菱形OABC的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线y=ax2过点B．若∠AOC=60°，则a为（ ）
A．-1 B．-2 C． D．1
11．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x=-1，结合图象给出下列结论：①a+b+c=0；②a-2b+c＜0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为-3和1；④若点（-4，y1），（-2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤a-b≤m（am+b）（m为任意实数）．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，抛物线y=ax2-x+4与直线y=x+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（ ）
A．MN+BN＜AB
B．∠BAC=∠BAE
C．∠ACB-∠ANM=∠ABC
D．四边形ACBM的最大面积为13
二．填空题（共5小题）
13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x+5与y轴交于点C，则点C的坐标为 ______．
14．我们把a,b,c三个数的中位数记作Z{a,b,c}，直线y=kx+（k＞0）与函数y=Z{x2-1，x+1，-x+1}的图象有且只有2个交点，则k的取值为______．
15．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=kx+b交于点A（-4，p），B（2，q），则关于x的不等式ax2+c＜kx+b的解集是 ______．
16．音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边15m,音乐变化时，抛物线的顶点在直线y=3x上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y=ax2+bx,若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则a的取值范围为 ______．
17．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如A（a,2a）就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数y=（x-1）2+2就是“友好二次函数”．若“友好二次函数”的图象过点（-2，8），且顶点在第一象限．已知点M（5，4），N（1，n），当线段MN与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出n的取值范围 ______．
三．解答题（共5小题）
18．已知关于x的函数y=（m2-m）x2+mx+（m+1）．
（1）当m为何值时，此函数是二次函数？
（2）当m为何值时，此函数是一次函数？
19．如图所示，已知二次函数y=x2-4x+m,它的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点D，且满足OB=OD，顶点为C
（1）求m的值与直线BD的解析式；
（2）求抛物线顶点C的坐标；若将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，且与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线AC的解析式为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为直线AC上方的抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴于点M，交直线AC于点Q，求四边形AOCP面积的最大值及此时P点的坐标．
21．如图，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，D为抛物线上一点，点D到直线AC的距离与到直线BC的距离相等，求点D的坐标；
（3）如图2，过作直线RS：y=k1x+b1和直线RT：y=k2x+b2分别交抛物线于S，T两点，且与抛物线均只有唯一一个公共点，求k1k2的值．
22．如图，二次函数y=ax2+bx+4交x轴于点A（-1，0）和B（4，0）交y轴于点C，顶点为D，对称轴与BC交于点E，动直线l垂直于x轴，交线段BC于点F，交抛物线于点P，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当四边形DEFP为平行四边形时，求点P的坐标；
（3）连接CP，CD，在直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
华东师大版九年级下第26章二次函数单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、C 3、D 4、B 5、A 6、B 7、D 8、C 9、B 10、A 11、D 12、C
二．填空题（共5小题）
13、（0，5）； 14、＜k≤1或k=； 15、x＜-4或x＞2； 16、a＜-； 17、n＞或n=4；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）由二次函数的概念可得m2-m≠0，
m（m-1）≠0，
解得m≠0且m≠1；
（2）由一次函数的概念可得
，
解得m=1．
19、解：（1）由题意，将点B坐标（m,0）代入y=x2-4x+m,
得m2-4m+m=0，即m2-3m=0，
∵m≠0，
∴m=3，
∴点D坐标（0，3），点B坐标（3，0），
设直线BD为y=kx+b,
则，解得，
∴直线BD解析式为y=-x+3．
（2）∵抛物线解析式为y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴顶点C坐标（2，-1），
平移后抛物线顶点坐标为（0，0），
∴平移后抛物线的解析式为y=x2．
20、解：（1）当x=0时，y=2，当y=0时，，
解得x=4，
∴C（0，2），A（4，0），
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴B（-2，0），
设y=a（x+2）（x-4），把C（0，2）代入，得：2=-8a,
∴，
∴；
（2）由题意可得：OA=4，OC=2，
∴，
设点，则：，
∴，
∴，
∴四边形AOCP的面积=，
∴当m=2时，四边形AOCP的面积最大为6，此时：P（2，2）．
21、解：（1）将B（4，0），C（0，2）代入，
得：，
解得，
则抛物线的解析式为；
（2）如图，过点C作CD平分∠BAC，交抛物线于点D，交x轴于点E，
∴点D到直线AC的距离与到直线BC的距离相等，即为所求，
由（1）已得：，
当y=0时，，
解得x=1或x=4，
∴A（1，0），OA=1，
∵B（4，0），C（0，2），
∴OB=4，OC=2，
∴，
∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠OCA=∠OBC，
∵CD平分∠BAC，
∴∠ACD=∠BCD，
∵∠BOC=90°，
∴∠ACD+∠BCD+∠OCA+∠OBC=90°，
∴2∠ACD+2∠OCA=90°，即∠ACD+∠OCA=45°，
∴∠OCE=45°，
∴Rt△COE是等腰直角三角形，
∴OE=OC=2，
∴E（2，0），
设直线CD的解析式为y=k0x+b0（k0≠0），
将点C（0，2），E（2，0）代入得：，
解得，
∴直线CD的解析式为y=-x+2，
联立，
解得或（即为点C），
∴点D的坐标为（3，-1）；
（3）联立，
得：，
∵抛物线与直线RS只有唯一一个公共点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴方程根的判别式，即，
同理可得：，
∵点在直线RS：y=k1x+b1和直线RT：y=k2x+b2上，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，即x2+（5-2m）x-4=0的两个实数根，
∴k1k2=-4．
22、解：（1）将点A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+4，得：
，解得：，
∴二次函数的表达式为：y=-x2+3x+4；
（2）∵y=-x2+3x+4
=，
∴点D，
当x=0时，y=4，
∴C（0，4），
设直线BC的解析式为：y=kx+b,
把B（4，0）、C（0，4）代入得：
，
解得：，
∴BC所在直线的表达式为：y=-x+4，
将代入y=-x+4得：
，
∴点E，
∴DE=，
设点P为（t,-t2+3t+4），则F为（t,-t+4），
∴PF=-t2+3t+4-（-t+4）
=-t2+4t,
∵DE∥PF，只要DE=PF，四边形DEFP即为平行四边形，
∴-t2+4t=，
解得：t1=（不合题意舍去），t2=，
当t=时，-t2+3t+4=，
∴点P的坐标为；
（3）存在，如图：
由（2）得：PF∥DE，
∴∠CED=∠CFP，
∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，
∴∠PCF≠∠DCE，
∴只有∠PCF=∠CDE时，△PCF∽△CDE，
∴，
∵C（0，4）、E，
∴CE=，
由（2）得：DE=，PF=-t2+4t,
F的坐标为：（t,-t+4），
∴CF==，
∴，
解得：t=，
当t=时，-t2+3t+4=，
∴点P的坐标为：．
一．选择题（共12小题）
1．抛物线y=2x2-4的顶点坐标是（ ）
A．（1，-2） B．（0，-4） C．（-1，-2） D．（2，0）
2．若方程ax2+bx+c=0的两个根是-3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）
A．x=-3 B．x=-2 C．x=-1 D．x=1
3．已知二次函数y=（x+1）2+（x-3）2，当函数y取最小值时，x的值是（ ）
A．x=-1 B．x=3 C．x=2 D．x=1
4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=-1，则点A（b2-4ac,a-b+c）的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．二次函数y=mx2+mx（m＜0）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点A（-3，y1），B（-1，y2），C（-2，y3）在函数y=x2+3上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y1＞y3
7．抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ）
A．y=（x+1）2+3 B．y=（x+1）2-3 C．y=（x-1）2-3 D．y=（x-1）2+3
8．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h=-5t2+20t（0≤t≤4）．有下列结论：
①小球飞行中的高度可以是21m；
②小球飞行1s时的高度小于飞行2.5s时的高度；
③当1.5≤t≤3时，小球的飞行高度不低于15m.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB=10，BC=5，CD=6，则PQ的长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．如图，菱形OABC的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线y=ax2过点B．若∠AOC=60°，则a为（ ）
A．-1 B．-2 C． D．1
11．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x=-1，结合图象给出下列结论：①a+b+c=0；②a-2b+c＜0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为-3和1；④若点（-4，y1），（-2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤a-b≤m（am+b）（m为任意实数）．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，抛物线y=ax2-x+4与直线y=x+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（ ）
A．MN+BN＜AB
B．∠BAC=∠BAE
C．∠ACB-∠ANM=∠ABC
D．四边形ACBM的最大面积为13
二．填空题（共5小题）
13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x+5与y轴交于点C，则点C的坐标为 ______．
14．我们把a,b,c三个数的中位数记作Z{a,b,c}，直线y=kx+（k＞0）与函数y=Z{x2-1，x+1，-x+1}的图象有且只有2个交点，则k的取值为______．
15．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=kx+b交于点A（-4，p），B（2，q），则关于x的不等式ax2+c＜kx+b的解集是 ______．
16．音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边15m,音乐变化时，抛物线的顶点在直线y=3x上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y=ax2+bx,若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则a的取值范围为 ______．
17．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如A（a,2a）就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数y=（x-1）2+2就是“友好二次函数”．若“友好二次函数”的图象过点（-2，8），且顶点在第一象限．已知点M（5，4），N（1，n），当线段MN与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出n的取值范围 ______．
三．解答题（共5小题）
18．已知关于x的函数y=（m2-m）x2+mx+（m+1）．
（1）当m为何值时，此函数是二次函数？
（2）当m为何值时，此函数是一次函数？
19．如图所示，已知二次函数y=x2-4x+m,它的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点D，且满足OB=OD，顶点为C
（1）求m的值与直线BD的解析式；
（2）求抛物线顶点C的坐标；若将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，且与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线AC的解析式为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为直线AC上方的抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴于点M，交直线AC于点Q，求四边形AOCP面积的最大值及此时P点的坐标．
21．如图，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，D为抛物线上一点，点D到直线AC的距离与到直线BC的距离相等，求点D的坐标；
（3）如图2，过作直线RS：y=k1x+b1和直线RT：y=k2x+b2分别交抛物线于S，T两点，且与抛物线均只有唯一一个公共点，求k1k2的值．
22．如图，二次函数y=ax2+bx+4交x轴于点A（-1，0）和B（4，0）交y轴于点C，顶点为D，对称轴与BC交于点E，动直线l垂直于x轴，交线段BC于点F，交抛物线于点P，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当四边形DEFP为平行四边形时，求点P的坐标；
（3）连接CP，CD，在直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
华东师大版九年级下第26章二次函数单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、C 3、D 4、B 5、A 6、B 7、D 8、C 9、B 10、A 11、D 12、C
二．填空题（共5小题）
13、（0，5）； 14、＜k≤1或k=； 15、x＜-4或x＞2； 16、a＜-； 17、n＞或n=4；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）由二次函数的概念可得m2-m≠0，
m（m-1）≠0，
解得m≠0且m≠1；
（2）由一次函数的概念可得
，
解得m=1．
19、解：（1）由题意，将点B坐标（m,0）代入y=x2-4x+m,
得m2-4m+m=0，即m2-3m=0，
∵m≠0，
∴m=3，
∴点D坐标（0，3），点B坐标（3，0），
设直线BD为y=kx+b,
则，解得，
∴直线BD解析式为y=-x+3．
（2）∵抛物线解析式为y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴顶点C坐标（2，-1），
平移后抛物线顶点坐标为（0，0），
∴平移后抛物线的解析式为y=x2．
20、解：（1）当x=0时，y=2，当y=0时，，
解得x=4，
∴C（0，2），A（4，0），
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴B（-2，0），
设y=a（x+2）（x-4），把C（0，2）代入，得：2=-8a,
∴，
∴；
（2）由题意可得：OA=4，OC=2，
∴，
设点，则：，
∴，
∴，
∴四边形AOCP的面积=，
∴当m=2时，四边形AOCP的面积最大为6，此时：P（2，2）．
21、解：（1）将B（4，0），C（0，2）代入，
得：，
解得，
则抛物线的解析式为；
（2）如图，过点C作CD平分∠BAC，交抛物线于点D，交x轴于点E，
∴点D到直线AC的距离与到直线BC的距离相等，即为所求，
由（1）已得：，
当y=0时，，
解得x=1或x=4，
∴A（1，0），OA=1，
∵B（4，0），C（0，2），
∴OB=4，OC=2，
∴，
∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠OCA=∠OBC，
∵CD平分∠BAC，
∴∠ACD=∠BCD，
∵∠BOC=90°，
∴∠ACD+∠BCD+∠OCA+∠OBC=90°，
∴2∠ACD+2∠OCA=90°，即∠ACD+∠OCA=45°，
∴∠OCE=45°，
∴Rt△COE是等腰直角三角形，
∴OE=OC=2，
∴E（2，0），
设直线CD的解析式为y=k0x+b0（k0≠0），
将点C（0，2），E（2，0）代入得：，
解得，
∴直线CD的解析式为y=-x+2，
联立，
解得或（即为点C），
∴点D的坐标为（3，-1）；
（3）联立，
得：，
∵抛物线与直线RS只有唯一一个公共点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴方程根的判别式，即，
同理可得：，
∵点在直线RS：y=k1x+b1和直线RT：y=k2x+b2上，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，即x2+（5-2m）x-4=0的两个实数根，
∴k1k2=-4．
22、解：（1）将点A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+4，得：
，解得：，
∴二次函数的表达式为：y=-x2+3x+4；
（2）∵y=-x2+3x+4
=，
∴点D，
当x=0时，y=4，
∴C（0，4），
设直线BC的解析式为：y=kx+b,
把B（4，0）、C（0，4）代入得：
，
解得：，
∴BC所在直线的表达式为：y=-x+4，
将代入y=-x+4得：
，
∴点E，
∴DE=，
设点P为（t,-t2+3t+4），则F为（t,-t+4），
∴PF=-t2+3t+4-（-t+4）
=-t2+4t,
∵DE∥PF，只要DE=PF，四边形DEFP即为平行四边形，
∴-t2+4t=，
解得：t1=（不合题意舍去），t2=，
当t=时，-t2+3t+4=，
∴点P的坐标为；
（3）存在，如图：
由（2）得：PF∥DE，
∴∠CED=∠CFP，
∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，
∴∠PCF≠∠DCE，
∴只有∠PCF=∠CDE时，△PCF∽△CDE，
∴，
∵C（0，4）、E，
∴CE=，
由（2）得：DE=，PF=-t2+4t,
F的坐标为：（t,-t+4），
∴CF==，
∴，
解得：t=，
当t=时，-t2+3t+4=，
∴点P的坐标为：．