第一章 集合与常用逻辑用语(单元测试.含解析）2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

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第一章 集合与常用逻辑用语
一．选择题（共6小题）
1．命题“ x0∈R，”的否定是（　　）
A． x0∈R，
B． x∈R，x2+x+1＜0
C． x0∈R，
D． x∈R，x2+x+1≤0
2．已知直线l1：ax+y+6＝0与直线，则“l1∥l2”是“a＝﹣1”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．命题“ x＜0，x2+1＞x3”的否定是（　　）
A． x≥0，x2+1≤x3 B． x＜0，x2+1≤x3
C． x＜0，x2+1≤x3 D． x≥0，x2+1≤x3
4．已知集合A＝{m|m2﹣4m+3≥0}，B＝{﹣2，0，1，2，3}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣2，1，3} B．{﹣2，0，1，2} C．{1，2，3} D．{﹣2，0，1，3}
5．在下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（　　）
A．p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形
B．在一元二次方程中，p：ax2+bx+c＝0有实数根，q：b2﹣4ac≥0
C．p：a∈P∩Q，q：a∈P
D．p：a P∪Q，q：a P
6．已知集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}．若A∩B≠ ，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，2） B．（2，+∞） C．[﹣1，+∞） D．（﹣1，+∞）
二．多选题（共3小题）
（多选）7．聚点是实数集的重要拓扑概念，其定义是：E R，t∈R，若 δ＞0，存在异于t的x0∈E，使得0＜|t﹣x0|＜δ，则称t为集合E的“聚点”，集合E的所有元素与E的聚点组成的集合称为E的“闭包”，下列说法中正确的是（　　）
A．整数集没有聚点
B．区间（3，4）的闭包是[3，4]
C．的聚点为0
D．有理数集Q的闭包是R
（多选）8．设集合A＝{x|（x﹣3）（x﹣a）＝0，a∈R}，B＝{x|（x﹣4）（x﹣1）＝0}，则下列结论错误的有（　　）
A．集合A∪B中一定有4个元素
B．集合A∪B中可能只有2个元素
C．集合A∩B为空集
D．集合A∩B可能有1个元素
（多选）9．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x2+x﹣6＜0}，则下列式子正确的是（　　）
A．A∩B＝{x|﹣1＜x＜2} B．A∪B＝{x|x＜3}
C．A∪（ RB）＝{x|x＞﹣1} D．A∩（ RB）＝{x|2≤x＜3}
三．填空题（共3小题）
10．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{2，3，5}，则 　 　 ．
11．已知集合A＝{2，2m}，B＝{m，m2}，若A＝B，则实数m的值为　 　 ．
12．若集合，则A∪B＝　 　 ．
四．解答题（共3小题）
13．已知集合A＝{x|2x﹣8＜0}，B＝{x|x2﹣6x＜0}，C＝{x|2﹣a＜x＜a}，全集U＝R，求：
（1）A∩B；
（2）（ RA）∪B；
（3）如果B∩C＝ ，求a的取值范围．
14．设集合A＝{x|ax2﹣2x﹣3＝0}，已知3∈A．
（1）求集合A；
（2）写出集合A的所有子集；
（3）设集合B＝{x|x2﹣mx+m+3＝0}，若B A，求实数m的取值范围．
15．已知集合A＝{x|a＜x≤3a﹣1}，B＝{x|x2﹣3x﹣10＞0}．
（1）当a＝1时，求（ RB）∩A；
（2）若A是 RB的子集，求a的取值范围．
第一章 集合与常用逻辑用语
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．命题“ x0∈R，”的否定是（　　）
A． x0∈R，
B． x∈R，x2+x+1＜0
C． x0∈R，
D． x∈R，x2+x+1≤0
【考点】求存在量词命题的否定．
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；运算求解．
【答案】D
【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题即可求解．
【解答】解：量词命题的否定是改变量词，否定结论，
故“ x0∈R，”的否定是“ x∈R，x2+x+1≤0”．
故选：D．
【点评】本题主要考查命题的否定，属于基础题．
2．已知直线l1：ax+y+6＝0与直线，则“l1∥l2”是“a＝﹣1”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】充分不必要条件的判断；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．
【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；运算求解．
【答案】B
【分析】根据直线平行的等价条件求出a的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由l1∥l2，可得a2＝﹣a，解得a＝﹣1或a＝0，
当a＝﹣1时，l1：x﹣y﹣6＝0，l2：x﹣y﹣1＝0，l1∥l2成立；
当a＝0时，l1：y+6＝0，l2：y+1＝0，l1∥l2成立；
所以l1∥l2 a＝﹣1或a＝0，
则“l1∥l2”是“a＝﹣1”的必要而不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查直线平行的性质及充要条件的判定，属中档题．
3．命题“ x＜0，x2+1＞x3”的否定是（　　）
A． x≥0，x2+1≤x3 B． x＜0，x2+1≤x3
C． x＜0，x2+1≤x3 D． x≥0，x2+1≤x3
【考点】求存在量词命题的否定．
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；运算求解．
【答案】B
【分析】利用特称命题的否定形式回答即可．
【解答】解：“ x＜0，x2+1＞x3”的否定是“ x＜0，x2+1≤x3”．
故选：B．
【点评】本题主要考查命题的否定，属于基础题．
4．已知集合A＝{m|m2﹣4m+3≥0}，B＝{﹣2，0，1，2，3}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣2，1，3} B．{﹣2，0，1，2} C．{1，2，3} D．{﹣2，0，1，3}
【考点】求集合的交集．
【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解．
【答案】D
【分析】根据交集的概念求出A与B的交集即可．
【解答】解：集合A＝{m|m2﹣4m+3≥0}＝{m|m≤1或m≥3}，B＝{﹣2，0，1，2，3}，
所以A∩B＝{﹣2，0，1，3}．
故选：D．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
5．在下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（　　）
A．p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形
B．在一元二次方程中，p：ax2+bx+c＝0有实数根，q：b2﹣4ac≥0
C．p：a∈P∩Q，q：a∈P
D．p：a P∪Q，q：a P
【考点】必要不充分条件的判断．
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．
【答案】A
【分析】根据集合的基本关系，利用韦恩图分析，即可判断．
【解答】解：对于A：三角形是等边三角形 三角形是等腰三角形，
三角形是等腰三角形无法推出三角形是等边三角形，
所以p是q的必要不充分条件，故A正确；
对于B：p：ax2+bx+c＝0有实数根 b2﹣4ac≥0，
即q：b2﹣4ac≥0；
又因为在一元二次方程中，判别式b2﹣4ac≥0≥0，即q：b2﹣4ac≥0 p：ax2+bx+c＝0有实数根，所以p是q的充要条件，故B错误；
对于C：因为p：a∈P∩Q q：a∈p；但是，q：a∈P不能推出，p：a∈P∩Q，
所以，p是q的充分不必要条件，故C错误；
对于D：因为q：a P不能推出p：a P∪Q，
p：a P∪Q q：a P；所以p是q的充分不必要条件，故D错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
6．已知集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}．若A∩B≠ ，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，2） B．（2，+∞） C．[﹣1，+∞） D．（﹣1，+∞）
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】D
【分析】根据A∩B≠ 及交集的定义及运算即可得出a的取值范围．
【解答】解：∵A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，且A∩B≠ ，
∴a＞﹣1，
∴a的取值范围是（﹣1，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了集合的描述法和区间的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于简单题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．聚点是实数集的重要拓扑概念，其定义是：E R，t∈R，若 δ＞0，存在异于t的x0∈E，使得0＜|t﹣x0|＜δ，则称t为集合E的“聚点”，集合E的所有元素与E的聚点组成的集合称为E的“闭包”，下列说法中正确的是（　　）
A．整数集没有聚点
B．区间（3，4）的闭包是[3，4]
C．的聚点为0
D．有理数集Q的闭包是R
【考点】元素与集合的属于关系的应用．
【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解；新定义类．
【答案】ABD
【分析】利用集合聚点的新定义，集合的表示及元素的性质逐项判断．
【解答】解：对于A，根据定义， δ＞0，t∈R，若存在x0∈Z，使得|t﹣x0|＜δ，
所以，t﹣δ＜x0＜t+δ，当0＜t﹣δ＜x0＜t+δ＜1时，这样的x0不存在，
所以不存在符合不等式且异于t的x0，故整数集无聚点，故A正确；
对于B，若 δ＞0，对于 t∈[3，4]，
因为max{t﹣δ，3}＜min{t+δ，4}，所以存在异于t的x0，使得3≤max{t﹣δ，3}＜x0＜min{t+δ，4}≤4，
故0＜|t﹣x0|＜δ，故t为集合E的“聚点”，即区间（3，4）的闭包是[3，4]，B正确；
对于C，因为，
所以对于 δ＞0，都存在，使得，
所0＜|x﹣1|＜δ，故的聚点为1，故C错误；
对于D，对于 δ＞0，t∈R，都存在，使得，
所以t为集合Q的“聚点”，所以有理数集Q的闭包是R，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查集合的中的新定义的应用，属中档题．
（多选）8．设集合A＝{x|（x﹣3）（x﹣a）＝0，a∈R}，B＝{x|（x﹣4）（x﹣1）＝0}，则下列结论错误的有（　　）
A．集合A∪B中一定有4个元素
B．集合A∪B中可能只有2个元素
C．集合A∩B为空集
D．集合A∩B可能有1个元素
【考点】求集合的并集；求集合的交集．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】ABC
【分析】求解集合A，B，然后判断选项的正误即可．
【解答】解：集合B＝{x|（x﹣4）（x﹣1）＝0}＝{1，4}，
集合A＝{x|（x﹣3）（x﹣a）＝0，a∈R}，当a≠3时，A＝{3，a}；当a＝3时，A＝{3}．
集合A∪B中有可能是4个元素，也有可能是3个元素，所以A不正确．
集合A∪B中至少有3个元素，所以B不正确．
集合A∩B可能为空集，也可能有一个元素，所以C不正确，D正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查集合的基本运算，是基础题．
（多选）9．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x2+x﹣6＜0}，则下列式子正确的是（　　）
A．A∩B＝{x|﹣1＜x＜2} B．A∪B＝{x|x＜3}
C．A∪（ RB）＝{x|x＞﹣1} D．A∩（ RB）＝{x|2≤x＜3}
【考点】集合的交并补混合运算．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】AD
【分析】先化简集合B，再利用集合的交集，并集和补集运算求解．
【解答】解：因为集合B＝{x|x2+x﹣6＜0}＝{x|﹣3＜x＜2}，
所以 RB＝{x|x≤﹣3或x≥2}，
又集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，
则A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}，A∪B＝{x|﹣3＜x＜3}，
A∪（ RB）＝{x|x≤﹣3或x＞﹣1}，A∩（ RB）＝{x|2≤x＜3}．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了集合基本运算，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{2，3，5}，则 　{1，4}　 ．
【考点】求集合的补集．
【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解．
【答案】{1，4}．
【分析】直接利用补集运算的定义得答案．
【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{2，3，5}，
∴{1，4}．
故答案为：{1，4}．
【点评】本题考查补集及其运算，是基础题．
11．已知集合A＝{2，2m}，B＝{m，m2}，若A＝B，则实数m的值为　2　 ．
【考点】集合的相等．
【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】2．
【分析】根据集合相等的定义分析即可．
【解答】解：由题意可知，集合A＝{2，2m}，B＝{m，m2}，且A＝B，
则m＝2或m2＝2，
所以m＝2或或，
当m＝2时，集合A＝{2，4}，B＝{2，4}，则A＝B，满足题意，
当时，集合，，A≠B，舍去，
当时，集合，，A≠B，舍去，
综上，实数m的值为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了集合相等的定义，属于基础题．
12．若集合，则A∪B＝　{x|﹣3＜x＜3}　 ．
【考点】求集合的并集．
【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解．
【答案】{x|﹣3＜x＜3}．
【分析】求出集合A，B，利用并集定义求解．
【解答】解：集合，
∴A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{x|﹣2≤x＜3}，
∴A∪B＝{x|﹣3＜x＜3}．
故答案为：{x|﹣3＜x＜3}．
【点评】本题考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四．解答题（共3小题）
13．已知集合A＝{x|2x﹣8＜0}，B＝{x|x2﹣6x＜0}，C＝{x|2﹣a＜x＜a}，全集U＝R，求：
（1）A∩B；
（2）（ RA）∪B；
（3）如果B∩C＝ ，求a的取值范围．
【考点】集合交集关系的应用；集合的交并补混合运算．
【专题】分类讨论；转化思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】（1）{x|0＜x＜4}；
（2）{x|x＞0}；
（3）{a|a≤1}．
【分析】（1）化简集合A，B，再利用交集的定义运算；
（2）根据补集和并集的定义运算；
（3）分C＝ 、C≠ 两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）A＝{x|2x﹣8＜0}＝{x|x＜4}，B＝{x|x2﹣6x＜0}＝{x|0＜x＜6}，
则A∩B＝{x|0＜x＜4}；
（2） RA＝{x|x≥4}，则（ RA）∪B＝{x|x＞0}；
（3）若C≠ ，则a＞1，又B∩C＝ ，则a≤0或2﹣a≥6，此时无解；
若C＝ ，则2﹣a≥a，即a≤1；
综上，a的取值范围为{a|a≤1}．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，考查计算能力，属于基础题．
14．设集合A＝{x|ax2﹣2x﹣3＝0}，已知3∈A．
（1）求集合A；
（2）写出集合A的所有子集；
（3）设集合B＝{x|x2﹣mx+m+3＝0}，若B A，求实数m的取值范围．
【考点】元素与集合的属于关系的应用；子集与真子集．
【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】（1）A＝{﹣1，3}；
（2）{﹣1}，{3}，{﹣1，3}， ；
（3）[﹣2，6]．
【分析】（1）由3∈A，可求得a＝1，即可求解；
（2）由A＝{﹣1，3}，即可求出相应的子集；
（3）由B A，结合（2）分别对B进行讨论，从而求解．
【解答】解：（1）由3∈A，所以9a﹣6﹣3＝0，得a＝1，
则x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，
所以A＝{﹣1，3}．
（2）由A＝{﹣1，3}，
所以集合A的子集为：{﹣1}，{3}，{﹣1，3}， ．
（3）由B A，由集合A的子集为：{﹣1}，{3}，{﹣1，3}， ．
当B＝ 时，即Δ＝m2﹣4×（m+3）＜0，即（m﹣6）（m+2）＜0，解得﹣2＜m＜6；
当B＝{﹣1}时，则，
即，
解得m＝﹣2；
当B＝{3}时，则，
即，解得m＝6；
当B＝{﹣1，3}时，则，无解；
综上：实数m的取值范围为[﹣2，6]．
【点评】本题考查了求集合的子集及集合间的关系，属于基础题．
15．已知集合A＝{x|a＜x≤3a﹣1}，B＝{x|x2﹣3x﹣10＞0}．
（1）当a＝1时，求（ RB）∩A；
（2）若A是 RB的子集，求a的取值范围．
【考点】集合的包含关系的应用；求集合的交集．
【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求出a＝1时的集合A，解不等式求出集合B，再根据补集定义求出 RB，最后根据交集的定义求解；
（2）根据包含关系A RB，分集合A为空集和非空集两种情况讨论求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，集合A＝{x|1＜x≤2}，
又因为B＝{x|x2﹣3x﹣10＞0}＝{x|x＜﹣2或x＞5}，
所以 RB＝{x|﹣2≤x≤5}，
所以（ RB）∩A＝{x|1＜x≤2}；
（2）因为 RB＝{x|﹣2≤x≤5}，A RB，
当集合A＝ 时，a≥3a﹣1，
解得，
当集合A≠ 时，则，
解得，
综上所述，a的取值范围为（﹣∞，2]．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合间的包含关系，属于基础题．
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