数学建模 建立函数模型解决实际问题(同步练习.含解析）2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

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数学建模 建立函数模型解决实际问题
一．选择题（共6小题）
1．某试验稻田中，有害昆虫的数量y（单位：千只）与时间x（单位：月）的关系为y＝a ex（e为自然对数的底，e＝2.71828…），其中系数a（a＞0）可以通过喷洒农药等措施控制．试验员制定了实时监控比值M，当比值M不超过e4时，稻田产量不受影响；当M超过e4时，稻田产量会受影响．预计稻田在x＝3时收割，为确保稻田产量不受有害昆虫影响，则实数a最大值为（　　）
A．e3 B．3e2 C． D．7e
2．为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如表：
每户每年天然气用量 天然气价格
不超过400m3的部分 2.50元/m3
超过400m3但不超过600m3的部分 3.60元/m3
超过600m3的部分 4.50元/m3
若某户居民一年的天然气费为1360元，则此户居民这一年使用的天然气为（　　）
A．610m3 B．600m3 C．544m3 D．500m3
3．生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数 min﹣1）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次 min﹣1，B的脉搏率是70次 min﹣1，则B的体重为（　　）
A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg
4．我们可以把（1+1%）365看作每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365；而把（1﹣1%）365看作每天的“落后”率都是1%，一年后是0.99365．可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍．如果每天的“进步”率和“落后”率都是10%，至少经过________天后，“进步”是“落后”的1000倍．（lg3≈0.477，lg11≈1.041）（　　）
A．31 B．33 C．35 D．37
5．科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数 min﹣1）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次 min﹣1，B的脉搏率是70次 min﹣1，则B的体重为（　　）
A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg
6．为检验某数学模型预测空气质量的准确程度，数学建模小组用a＝（x1，x2， ，x31）记录2025年3月份31天中每天空气质量是否为优，方法为：当第k天空气质量为优，记xk＝1，当第k天空气质量不为优，记xk＝﹣1（1≤k≤31，k∈Z）；用b＝（y1，y2， ，y31）记录某数学模型预测该月每天空气质量是否为优，方法为：当第k天空气质量为优，记yk＝1，当第k天空气质量不为优，记yk＝﹣1（1≤k≤31，k∈Z）；记录完毕后，数学建模小组计算出a b＝21，其中，a b＝x1y1+x2y2+ +x31y31，那么该数学模型预测准确的总天数是（　　）
A．24 B．25 C．26 D．27
二．多选题（共3小题）
（多选）7．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用．函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）＝f（x+1）﹣f（x）．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x台（x∈N*）的收入函数R（x）＝3000x﹣20x2（单位：元），其成本函数为C（x）＝500x+4000（单位，元），利润是收入与成本之差，设利润函数为P（x），则以下说法正确的是（　　）
A．P（x）取得最大值时每月产量为63台
B．边际利润函数的表达式为MP（x）＝2480﹣40x（x∈N*）
C．利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值
D．边际利润函数MP（x）说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少
（多选）8．设f（x）＝x2+2x+1，g（x）＝3 3x，h（x）＝log2（x+1），当x∈（3，+∞）时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是（　　）
A．f（x）的增长速度最快，h（x）的增长速度最慢
B．g（x）的增长速度最快，h（x）的增长速度最慢
C．g（x）的增长速度最快，f（x）的增长速度最慢
D．f（x）的增长速度最快，g（x）的增长速度最慢
（多选）9．若物体原来的温度为θ0（单位：℃），环境温度为θ1（单位：℃），物体的温度冷却到θ（θ＞θ1，单位：℃）与需用时间t（单位：分钟）满足为正常数．现有一杯开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，根据函数关系研究这杯开水冷却的情况（e≈2.7，ln2≈0.7），则（　　）
A．当时，经过10分钟，这杯水的温度大约为40℃
B．当时，这杯开水冷却到60℃大约需要14分钟
C．若f（60）＝10，则f（40）＝20
D．这杯水从100℃冷却到80℃所需时间比从80℃冷却到60℃所需时间短
三．填空题（共4小题）
10．在固定压力差（压力差为常数）的前提下，当气体通过圆形管道时，其速率V（单位：cm3/s）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比．若在半径为3cm的管道中，某气体的速率为400cm3/s，则该气体通过半径为5cm的管道时的速率为 　 　 ．（结果精确到1cm3/s）
11．某工厂2025年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，使用该设备后，每年的总收入预计为50万元．设使用x年后该设备的维修、保养费用为2x2+5x（x∈N*）万元，盈利总额为y万元，从第　 　 年开始，使用该设备开始盈利．
12．某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为14mg/m3．为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度y（单位：mg/m3）与处理时间t（单位：分钟）满足关系式：，其中N0为二氧化硫的初始浓度．若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100mg/m3，那么从现在起至少经过 　 　 分钟才能达到排放标准．（结果精确到整数，lg2≈0.3010、lg3≈0.4771、lg7≈0.8451）
13．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．则第　 　 种购物方式比较经济．
四．解答题（共2小题）
14．在上海世纪公园的镜天湖一隅，每逢盛夏便有荷花开满水面，清香远溢，成为游人流连之处．但聪明的小明发觉赏荷仅能止步于岸，难以深入花丛之间．于是他萌生了一个设想：若能在镜天湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台P在半圆形的中轴线OC上（图中OC与直径AB垂直，P与O，C不重合），通过栈道把PA，PB，PC，AB连接起来，使人行在其中，便能犹如置身花海之感．已知AB＝200m，∠PAB＝θ（单位：弧度制），设栈道总长度为y（单位：米）．
（1）求函数y＝f（θ）并写出其定义域；
（2）小明经过调研后，了解到栈道的造价为每米5万元，试确定观景台P的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值（最终结果精确到0.01）．
15．下表所示为X、Y、Z三种饲料的维生素含量及成本：
饲料 维生素A（单位/kg） 维生素B（单位/kg） 成本（元/kg）
X 400 800 6
Y 600 200 5
Z 400 400 4
某农场主欲将三种饲料进行混合，制成100kg的混合饲料，使得混合物至少需要维生素A、维生素B分别为44000单位，48000单位．现在要定量地研究该问题背景中与X、Y、Z的质量以及总成本相关的问题．
（1）请问在研究该情景下的问题时，饲料X、Y、Z需要满足什么样的假设？
（2）基于（1）中的假设，求所需用到物质Y的最小重量；
（3）请你提出一个和成本有关的该背景下的问题，并用相关的数学知识予以解答．
数学建模 建立函数模型解决实际问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．某试验稻田中，有害昆虫的数量y（单位：千只）与时间x（单位：月）的关系为y＝a ex（e为自然对数的底，e＝2.71828…），其中系数a（a＞0）可以通过喷洒农药等措施控制．试验员制定了实时监控比值M，当比值M不超过e4时，稻田产量不受影响；当M超过e4时，稻田产量会受影响．预计稻田在x＝3时收割，为确保稻田产量不受有害昆虫影响，则实数a最大值为（　　）
A．e3 B．3e2 C． D．7e
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】先求得M关于x的表达式，利用导数求得M的最大值，由此列不等式求得a的最大值．
【解答】解：由题意得，
因此，M（x）在区间（0，1）和区间（2，+∞）上单调递增，在区间（1，2）上单调递减，
又
所以当x∈[0，3]时，M的最大值是，
故，所以a的最大值是7e．
故选：D．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
2．为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如表：
每户每年天然气用量 天然气价格
不超过400m3的部分 2.50元/m3
超过400m3但不超过600m3的部分 3.60元/m3
超过600m3的部分 4.50元/m3
若某户居民一年的天然气费为1360元，则此户居民这一年使用的天然气为（　　）
A．610m3 B．600m3 C．544m3 D．500m3
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】设天然气费用为使用量的函数，根据题意写出分段函数解析式，先判断对应哪一段，再求解即可．
【解答】解：设天然气使用量为xm3，天然气费为f（x）元，
则，
由于f（400）＝1000＜1360＜f（600）＝1720，
则400＜x＜600，
所以3.6（x﹣400）+1000＝1360，解得x＝500，
所以天然气使用量为500m3．
故选：D．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
3．生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数 min﹣1）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次 min﹣1，B的脉搏率是70次 min﹣1，则B的体重为（　　）
A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意设，代入求解k，然后计算出B的体重，确定选项．
【解答】解：根据题意设，
因为当W＝2，f＝210，解得：，
所以当f＝70，则，
所以W＝54．
故选：D．
【点评】本题考查对数函数模型的应用，属于中档题．
4．我们可以把（1+1%）365看作每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365；而把（1﹣1%）365看作每天的“落后”率都是1%，一年后是0.99365．可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍．如果每天的“进步”率和“落后”率都是10%，至少经过________天后，“进步”是“落后”的1000倍．（lg3≈0.477，lg11≈1.041）（　　）
A．31 B．33 C．35 D．37
【考点】根据实际问题选择函数类型；对数的运算性质．
【专题】对应思想；分析法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意列出若干天后的“进步”是“落后”的倍数表达式，结合题中数据，利用换底公式计算即可．
【解答】解：假设经过n天后，“进步”是“落后”的1000倍，
则有，
即n（lg11﹣lg9）≥3，
n（lg11﹣2lg3）≥3，
n（1.041﹣2×0.477）≥3，
．
故至少经过35天后，“进步”是“落后”的1000倍．
故选：C．
【点评】本题考查函数模型的应用，属于中档题．
5．科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数 min﹣1）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次 min﹣1，B的脉搏率是70次 min﹣1，则B的体重为（　　）
A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据给定信息求出关系式，再代入计算即得．
【解答】解：依题意，设，
由w＝2，f＝210，
得，
则，
当f＝70时，，
所以W＝33×2＝54．
故选：D．
【点评】本题考查了函数在生活中的实际运用，属于基础题．
6．为检验某数学模型预测空气质量的准确程度，数学建模小组用a＝（x1，x2， ，x31）记录2025年3月份31天中每天空气质量是否为优，方法为：当第k天空气质量为优，记xk＝1，当第k天空气质量不为优，记xk＝﹣1（1≤k≤31，k∈Z）；用b＝（y1，y2， ，y31）记录某数学模型预测该月每天空气质量是否为优，方法为：当第k天空气质量为优，记yk＝1，当第k天空气质量不为优，记yk＝﹣1（1≤k≤31，k∈Z）；记录完毕后，数学建模小组计算出a b＝21，其中，a b＝x1y1+x2y2+ +x31y31，那么该数学模型预测准确的总天数是（　　）
A．24 B．25 C．26 D．27
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】由题意可得，若xkyk＝1（1≤k≤31），则表示第k天预测准确，若xkyk＝﹣1（1≤k≤31），则表示第k天预测不准确，假设其中有x天预测准确，则有31﹣x天预测不准确，把a b＝x1y1+x2y2+ +x31y31＝21转化为关于x的方程求解．
【解答】解：依题意，若xkyk＝1（1≤k≤31），则表示第k天预测准确，
若xkyk＝﹣1（1≤k≤31），则表示第k天预测不准确，
记录完毕后，数学建模小组计算出a b＝21，
其中，a b＝x1y1+x2y2+ +x31y31，
则x1y1+x2y2+ +x31y31＝21，
假设其中有x天预测准确，则等式左边有x个1，31﹣x个（﹣1），
则x+（31﹣x）×（﹣1）＝21，解得x＝26，
则该数学模型预测准确的总天数是26．
故选：C．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用．函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）＝f（x+1）﹣f（x）．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x台（x∈N*）的收入函数R（x）＝3000x﹣20x2（单位：元），其成本函数为C（x）＝500x+4000（单位，元），利润是收入与成本之差，设利润函数为P（x），则以下说法正确的是（　　）
A．P（x）取得最大值时每月产量为63台
B．边际利润函数的表达式为MP（x）＝2480﹣40x（x∈N*）
C．利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值
D．边际利润函数MP（x）说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】求出函数P（x），MP（x）的解析式，即可求解A，B，求出利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）的最大值，即可求解C，结合MP（x）的单调性，即可求解D．
【解答】解：对于A，P（x）＝R（x）﹣C（x）＝﹣20x2+2500x﹣4000，
二次函数P（x）的图象开口向下，对称轴为直线x，
∵x∈N*，
∴P（x）取得最大值时每月产量为63台或62台，故A错误，
对于B，MP（x）＝P（x+1）﹣P（x）＝[﹣20（x+1）2+2500（x+1）﹣4000]﹣（﹣20x2+2500x﹣4000）＝2480﹣40x（x∈N*），故B正确，
对于C，P（x）max＝P（62）＝P（63）＝74120，
∵函数MP（x）＝2480﹣40x为减函数，则MP（x）max＝MP（1）＝2440，故C正确，
对于D，因为函数MP（x）＝2480﹣40x为减函数，
说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握二次函数的性质是解本题的关键，属于中档题．
（多选）8．设f（x）＝x2+2x+1，g（x）＝3 3x，h（x）＝log2（x+1），当x∈（3，+∞）时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是（　　）
A．f（x）的增长速度最快，h（x）的增长速度最慢
B．g（x）的增长速度最快，h（x）的增长速度最慢
C．g（x）的增长速度最快，f（x）的增长速度最慢
D．f（x）的增长速度最快，g（x）的增长速度最慢
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】做出三个函数f（x）＝x2+2x+1，g（x）＝3 3x，h（x）＝log2（x+1）的图象，结合图象，即可求解．
【解答】解：因为f（x）＝x2+2x+1，g（x）＝3 3x，h（x）＝log2（x+1），
所以作出三个函数的图象如下：
通过图象可知三个函数f（x）＝x2+2x+1，g（x）＝3 3x，h（x）＝log2（x+1）中，
当x∈（3，+∞）时，g（x）＝3 3x增长速度最快，h（x）＝log2（x+1）的增长速度最慢，
故B正确，ACD错误．
故选：ACD．
【点评】本题考查函数的性质，属中档题．
（多选）9．若物体原来的温度为θ0（单位：℃），环境温度为θ1（单位：℃），物体的温度冷却到θ（θ＞θ1，单位：℃）与需用时间t（单位：分钟）满足为正常数．现有一杯开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，根据函数关系研究这杯开水冷却的情况（e≈2.7，ln2≈0.7），则（　　）
A．当时，经过10分钟，这杯水的温度大约为40℃
B．当时，这杯开水冷却到60℃大约需要14分钟
C．若f（60）＝10，则f（40）＝20
D．这杯水从100℃冷却到80℃所需时间比从80℃冷却到60℃所需时间短
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据解析式中各量的意义，代入求解即可．
【解答】解：为正常数，
对于选项A，，
由，解得，
所以，
解得，故选项A错误；
对于选项B，，
，故选项B正确；
对于选项C，由f（60）＝10，得，即，
则，故选项C正确；
对于选项D，设这杯水从100℃冷却到80℃所需时间为t1分钟，
则，
设这杯水从80℃冷却到60℃所需时间为t2分钟，
则，
因为，
所以t1＜t2，故选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
10．在固定压力差（压力差为常数）的前提下，当气体通过圆形管道时，其速率V（单位：cm3/s）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比．若在半径为3cm的管道中，某气体的速率为400cm3/s，则该气体通过半径为5cm的管道时的速率为 　3086cm3/s ．（结果精确到1cm3/s）
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】3086cm3/s．
【分析】由题意可设V＝kr4，k＞0，由条件求出，将r＝5代入可求得答案．
【解答】解：由题意可设V＝kr4，k＞0，
又，即，
当r＝5时，，
即该气体通过半径为5cm的管道时的速率为3086cm3/s．
故答案为：3086cm3/s．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
11．某工厂2025年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，使用该设备后，每年的总收入预计为50万元．设使用x年后该设备的维修、保养费用为2x2+5x（x∈N*）万元，盈利总额为y万元，从第　3　 年开始，使用该设备开始盈利．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】3．
【分析】根据题意列出y关于x的表达式，再解一元二次不等式即可．
【解答】解：某工厂2025年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，使用该设备后，每年的总收入预计为50万元，
设使用x年后该设备的维修、保养费用为2x2+5x（x∈N*）万元，盈利总额为y万元，
则y＝50x﹣2x2﹣5x﹣100＝﹣2x2+45x﹣100（x∈N*），
令﹣2x2+45x﹣100＞0，得，
又x∈N*，则x≥3，
故从第3年开始，使用该设备开始盈利．
故答案为：3．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
12．某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为14mg/m3．为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度y（单位：mg/m3）与处理时间t（单位：分钟）满足关系式：，其中N0为二氧化硫的初始浓度．若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100mg/m3，那么从现在起至少经过 　19　 分钟才能达到排放标准．（结果精确到整数，lg2≈0.3010、lg3≈0.4771、lg7≈0.8451）
【考点】根据实际问题选择函数类型；对数运算求值．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】19．
【分析】根据题干给出的关系式，结合排放标准列出不等式，再通过对数运算求解不等式即可．
【解答】解：处理后废气中剩余二氧化硫的浓度y（单位：mg/m3）与处理时间t（单位：分钟）满足关系式：，其中N0为二氧化硫的初始浓度，
若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100mg/m3，
则，
又排放废气中二氧化硫最高允许浓度为14mg/m3，
所以，
两边同时取对数，得，
即t（lg9﹣1）≤lg14﹣2，所以t（2lg3﹣1）≤lg2+lg7﹣2，
又lg2≈0.3010、lg3≈0.4771、lg7≈0.8451，解得，
又结果精确到整数，所以从现在起至少经过19分钟才能达到排放标准．
故答案为：19．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
13．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．则第　二　 种购物方式比较经济．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；数学建模．
【答案】二．
【分析】设第一次和第二次购物时的价格分别为p1，p2．分别求出按两种策略购物的平均价格，作商比较大小得结论．
【解答】解：设第一次和第二次购物时的价格分别为p1，p2，
按第一种策略，每次购nkg，按这种策略购物时，两次的平均价格是：
x．
若按第二种购物策略，第一次花m元钱，能购kg物品，
第二次仍花m元钱，能购kg物品，
两次购物的平均价格为y．
∵x＞0，y＞0，
∴1，
∴第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格，
则第二种购物方式比较经济．
故答案为：二．
【点评】本题考查函数在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力，是中档题．
四．解答题（共2小题）
14．在上海世纪公园的镜天湖一隅，每逢盛夏便有荷花开满水面，清香远溢，成为游人流连之处．但聪明的小明发觉赏荷仅能止步于岸，难以深入花丛之间．于是他萌生了一个设想：若能在镜天湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台P在半圆形的中轴线OC上（图中OC与直径AB垂直，P与O，C不重合），通过栈道把PA，PB，PC，AB连接起来，使人行在其中，便能犹如置身花海之感．已知AB＝200m，∠PAB＝θ（单位：弧度制），设栈道总长度为y（单位：米）．
（1）求函数y＝f（θ）并写出其定义域；
（2）小明经过调研后，了解到栈道的造价为每米5万元，试确定观景台P的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值（最终结果精确到0.01）．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为2366.03万元．
【分析】（1）在直角三角形中，由边角关系分别表达PA，PB，PO，进而求出PC，则可得栈道总长度f（θ）；
（2）利用导数研究函数f（θ）单调性求最值即可．
【解答】解：（1）已知AB＝200m，∠PAB＝θ（单位：弧度制），设栈道总长度为y（单位：米），
则，OC⊥AB，OA＝OB＝100，
则，PO＝100tanθ，
所以PC＝100﹣100tanθ，
所以栈道总长度为f（θ）＝PA+PB+PC+AB
；
（2）小明经过调研后，了解到栈道的造价为每米5万元，
建造栈道的费用为，
则，
令F′（θ）＝0，得，
又，解得，
当时，F′（θ）＜0，当时，F′（θ）＞0，
则F（θ）在单调递减，在单调递增，
故，
此时，
故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为2366.03万元．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
15．下表所示为X、Y、Z三种饲料的维生素含量及成本：
饲料 维生素A（单位/kg） 维生素B（单位/kg） 成本（元/kg）
X 400 800 6
Y 600 200 5
Z 400 400 4
某农场主欲将三种饲料进行混合，制成100kg的混合饲料，使得混合物至少需要维生素A、维生素B分别为44000单位，48000单位．现在要定量地研究该问题背景中与X、Y、Z的质量以及总成本相关的问题．
（1）请问在研究该情景下的问题时，饲料X、Y、Z需要满足什么样的假设？
（2）基于（1）中的假设，求所需用到物质Y的最小重量；
（3）请你提出一个和成本有关的该背景下的问题，并用相关的数学知识予以解答．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）x+y+z＝100（x为饲料X的质量，y为饲料Y的质量，z为饲料z的质量，单位：kg），x≥0，y≥0，z≥0；
（2）20；
（3）问题：求混合饲料的最小总成本；480元．
【分析】（1）根据题意直接求解即可；
（2）根据题意可以得到x+y+z＝100①，400x+600y+400z≥44000②，800x+200y+400z≥48000③，由①得 z＝100﹣x﹣y，代入②③即可求出Y的取值范围，进而求得Y的最小值；
（3）问题：求混合饲料的最小总成本；首先求得总成本为C＝6x+5y+4z，根据X，Y，Z的约束条件求解即可．
【解答】解：（1）饲料X、Y、Z的质量分别满足：
x+y+z＝100（x为饲料X的质量，y为饲料Y的质量，z为饲料z的质量，单位：kg），x≥0，y≥0，z≥0；
（2）设饲料X、Y、Z的质量分别为xkg、ykg、zkg，
则：x+y+z＝100......①，
400x+600y+400z≥44000......②，
800x+200y+400z≥48000......③，
由①得 z＝100﹣x﹣y，代入②得：400x+600y+400（100﹣x﹣y）≥44000200y+4000，
代入③得：800x+200y+400（100﹣x﹣y）≥48000400x﹣200y，
当y＝20时，2x﹣20≥40，解得x≥30，
此时z＝100﹣x﹣20＝80﹣x，
取x＝30，则 z＝50，满足z≥0；
所需用到物质Y的最小重量为20kg；
（3）问题：求混合饲料的最小总成本，
设总成本为C元，则 C＝6x+5y+4z，
由z＝100﹣x﹣y，得：C＝6x+5y+4（100﹣x﹣y）＝2x+y+400，
要最小化C，需最小化2x+y，
根据（2）中的约束条件y≥20、y≤2x﹣40，
当y＝20、x＝30时，2x+y＝2×30+20＝80，
此时C＝80+400＝480，
验证：x＝30，y＝20，z＝50，满足所有约束条件（维生素A：400×30+600×20+400×50＝44000；维生素B：800×30+200×20+400×50＝48000），
混合饲料的最小总成本为480元．
【点评】本题主要考查根据约束条件求取值范围，属于中档题．
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