4.2.1 指数函数的概念(同步练习.含解析）2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

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4.2.1指数函数的概念
一．选择题（共6小题）
1．已知函数的图象过原点，且无限接近于直线y＝3但又不与该直线相交，当x≥0时，函数g（x）＝f（x）﹣3x+1有（　　）
A．最小值﹣3 B．最大值﹣3 C．最小值﹣2 D．最大值﹣2
2．已知对任意x∈R，均有意义，则函数的大致图像是（　　）
A． B．
C． D．
3．在0.60.6，0.60.7，0.70.6，0.70.7这四个数中，最大的数为（　　）
A．0.60.6 B．0.60.7 C．0.70.6 D．0.70.7
4．已知函数y＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图像恒过定点A，且点A在直线y＝mx+n（m，n＞0）上，则的最小值为（　　）
A．4 B．1 C．2 D．
5．已知函数f（x）＝ax+1（a＞0，且a≠1），则函数图象过定点（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）
6．若指数函数f（x）的图象过点（3，8），则f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）＝x3 B．f（x）＝2x
C．f（x）＝（）x D．f（x）
二．多选题（共4小题）
（多选）7．下列选项正确的是（　　）
A．命题“ x＞0，x2+x+1≥0”的否定是 x＜0，x2+x+1＜0
B．满足{1} M {1，2，3}的集合M的个数为4
C．已知x＝lg3，y＝lg5，则lg45＝2x+y
D．已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象过点（2，4），则
（多选）8．下列说法正确的是（　　）
A．关于x的不等式x2﹣2ax﹣a＞0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣1，0）
B．函数y＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图像恒过定点A，且点A在函数y＝mx+n（m，n＞0）图像上，则的最小值为2
C．关于x的不等式的解集是{x|x≤﹣1或x≥2}
D．f（m），是同一函数
（多选）9．下列说法错误的是（　　）
A．函数f（x）＝ax﹣3﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过点（3，﹣1）
B．函数与是同一函数
C．若f（x）的定义域为[0，2]，则的定义域为
D．若函数，则f（x）＝x2﹣1（x∈R）
（多选）10．若函数f（x）＝（m2+2m﹣2）ax是指数函数，则实数m的值为（　　）
A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．﹣2
三．填空题（共5小题）
11．已知函数f（x）＝ax﹣2﹣1（a＞0且a≠1），则该函数的图象恒过定点　 　 ．
12．如图，某池塘中的浮萍蔓延的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）满足关系式：y＝at（a＞0且a≠1），则浮萍面积从4m2到12m2至少需要经过 　 　 个月．（精确到0.1）
13．已知函数的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，则f（1）＝ 　 　 ．
14．已知指数函数的图象过点（2，9），则该指数函数的解析式为 　 　 ．
15．已知a＞0，且a≠1，函数的图象恒过点P，若P在指数函数f（x）图象上，则f（﹣3）＝ 　 　 ．
4.2.1指数函数的概念
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知函数的图象过原点，且无限接近于直线y＝3但又不与该直线相交，当x≥0时，函数g（x）＝f（x）﹣3x+1有（　　）
A．最小值﹣3 B．最大值﹣3 C．最小值﹣2 D．最大值﹣2
【考点】指数函数的特征及解析式；求指数函数及指数型复合函数的单调性．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据函数图象的性质得f（x）＝3﹣31﹣|x|，进而有x≥0时g（x）＝3﹣31﹣x﹣3x+1，结合基本不等式求最值即可．
【解答】解：由题意知，f（0）＝a b＝a+b＝0，且b＝3，解得a＝﹣3，
所以f（x）＝3﹣31﹣|x|，则x≥0时，g（x）＝3﹣31﹣|x|﹣3x+1＝3﹣31﹣x﹣3x+1，
所以g（x）＝3（13x），令t＝3x≥1，则g（x）＝h（t）＝3（1t）≤3（1﹣2）＝﹣3，
当且仅当t＝1时取等号，所以g（x）最大值为﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数的图象与性质应用问题，是基础题．
2．已知对任意x∈R，均有意义，则函数的大致图像是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】指数函数的特征及解析式；对数函数图象特征与底数的关系．
【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】A
【分析】先由函数成立的条件求出a的范围，然后结合对数函数的性质即可判断．
【解答】解：由题意可得a|x|≥1＝a0恒成立，
又|x|≥0，则a＞1，
为偶函数，图象关于y轴对称，
当x＞0时，y＝logaloga单调递减，排除选项BCD．
故选：A．
【点评】本题主要考查了指数函数及对数函数图象的应用，属于基础题．
3．在0.60.6，0.60.7，0.70.6，0.70.7这四个数中，最大的数为（　　）
A．0.60.6 B．0.60.7 C．0.70.6 D．0.70.7
【考点】指数函数的特征及解析式．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据指数函数和幂函数的单调性比大小即可．
【解答】解：由函数y＝0.6x与y＝0.7x在R上单调递减，可知0.60.6＞0.60.7，0.70.6＞0.70.7，
只需比较0.60.6与0.70.6的大小，由于幂函数y＝x0.6在（0，+∞）上单调递增，
所以0.60.6＜0.70.6，所以这四个数中，最大的数为0.70.6．
故选：C．
【点评】本题主要考查指数函数和幂函数的单调性，属于基础题．
4．已知函数y＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图像恒过定点A，且点A在直线y＝mx+n（m，n＞0）上，则的最小值为（　　）
A．4 B．1 C．2 D．
【考点】指数函数的特征及解析式；运用基本不等式求最值．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】由指数函数性质得定点坐标，代入直线方程得m，n的关系，然后由基本不等式求得最小值．
【解答】解：由x﹣1＝0，解得x＝1，又f（1）＝2，所以函数y＝ax﹣1+1过定点为A（1，2），
代入直线y＝mx+n中，得m+n＝2，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2．
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数与基本不等式的应用问题，是基础题．
5．已知函数f（x）＝ax+1（a＞0，且a≠1），则函数图象过定点（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）
【考点】指数函数的特征及解析式．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合指数函数的性质，即可求解．
【解答】解：函数f（x）＝ax+1（a＞0，且a≠1），
令x+1＝0，解得x＝﹣1，
f（﹣1）＝1，
故函数图象过定点（﹣1，1）．
故选：C．
【点评】本题主要考查指数函数的性质，属于基础题．
6．若指数函数f（x）的图象过点（3，8），则f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）＝x3 B．f（x）＝2x
C．f（x）＝（）x D．f（x）
【考点】指数函数的特征及解析式．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】利用待定系数法求解即可．
【解答】解：设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），
∵指数函数f（x）的图象过点（3，8），∴a3＝8，
∴a＝2，
∴f（x）＝2x．
故选：B．
【点评】本题主要考查了指数函数的定义，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）7．下列选项正确的是（　　）
A．命题“ x＞0，x2+x+1≥0”的否定是 x＜0，x2+x+1＜0
B．满足{1} M {1，2，3}的集合M的个数为4
C．已知x＝lg3，y＝lg5，则lg45＝2x+y
D．已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象过点（2，4），则
【考点】由指数函数的解析式求解参数；对数的运算性质；求存在量词命题的否定．
【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；简易逻辑；运算求解．
【答案】BC
【分析】对于A，命题的前提发生变化；对于B，求出满足条件的集合个数即可；对于C，由题意计算出lg45＝lg5+lg9＝lg5+2lg3＝2x+y即可判断；对于D，先求出a，再算出即可判断．
【解答】解：对于A，存在量词命题的否定是全称命题，但前提条件不变，
所以命题“ x＞0，x2+x+1≥0”的否定是 x＞0，x2+x+1＜0，
故选项A错误；
对于B，满足{1} M {1，2，3}的集合M的个数为23﹣1＝4，
故选项B正确；
对于C，x＝lg3，y＝lg5，所以lg45＝lg5+lg9＝lg5+2lg3＝2x+y，
故选项C正确；
对于D，已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象过点（2，4），
所以a2＝4，a＝2，所以，故选项D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查存在性命题否定，判断集合的子集的个数，对数的运算，指数函数的判定与求值．
（多选）8．下列说法正确的是（　　）
A．关于x的不等式x2﹣2ax﹣a＞0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣1，0）
B．函数y＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图像恒过定点A，且点A在函数y＝mx+n（m，n＞0）图像上，则的最小值为2
C．关于x的不等式的解集是{x|x≤﹣1或x≥2}
D．f（m），是同一函数
【考点】指数函数的特征及解析式；运用基本不等式求最值；解一元二次不等式．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AB
【分析】利用一元二次函数的性质判断A；利用指数函数的性质、基本不等式判断B；利用分式不等式的性质判断C；利用同一函数的定义判断D．
【解答】解：对于A，∵关于x的不等式x2﹣2ax﹣a＞0恒成立，
∴Δ＝（﹣2a）2+4a＜0，解得﹣1＜a＜0，
∴实数a的取值范围是（﹣1，0），故A正确；
对于B，数y＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的图像恒过定点A（1，2），
∵点A（1，2）在函数y＝mx+n（m，n＞0）图像上，
∴m+n＝2，
∴（）（m+n）（2）2，
当且仅当时取等号，则的最小值为2，故B正确；
对于C，关于x的不等式的解集是{x|x＜﹣1或x≥2}，故C错误；
对于D，f（m），且m∈R，
n，n≥0，
∴f（m），不是同一函数，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查一元二次函数的性质、指数函数的性质、基本不等式、分式不等式的性质、同一函数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
（多选）9．下列说法错误的是（　　）
A．函数f（x）＝ax﹣3﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过点（3，﹣1）
B．函数与是同一函数
C．若f（x）的定义域为[0，2]，则的定义域为
D．若函数，则f（x）＝x2﹣1（x∈R）
【考点】指数函数的特征及解析式；判断两个函数是否为同一函数；函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】函数思想；换元法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】由指数函数的图象及性质可判断选项A；
由函数的定义域和对应法则是否相同可判断选项B；
由函数的定义域的求法可判断选项C；
由换元法求函数解析式可判断选项D．
【解答】解：当x﹣3＝0，即x＝3时，f（3）＝a0﹣2＝﹣1，
所以f（x）＝ax﹣3﹣2的图象恒过定点（3，﹣1），选项A正确．
，，
两函数的定义域不同，对应法则也不同，不是同一函数，选项B错误．
因为f（x）的定义域为[0，2]，所以f（2x+1）中，0≤2x+1≤2，
解得x，又x≠0，所以的定义域为[，0）∪（0，]，选项C正确．
因为f（1）＝x+21，令，
则f（t）＝t2﹣1（t≥1），
所以f（x）＝x2﹣1（x≥1），选项D错误．
故选：BD．
【点评】本题考查了函数的定义与性质应用问题，是基础题．
（多选）10．若函数f（x）＝（m2+2m﹣2）ax是指数函数，则实数m的值为（　　）
A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【考点】指数函数的特征及解析式．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AB
【分析】根据指数函数的定义求解．
【解答】解：因为函数f（x）＝（m2+2m﹣2）ax是指数函数，
所以m2+2m﹣2＝1，解得m＝1或m＝﹣3．
故选：AB．
【点评】本题考查了指数函数的定义与应用问题，是基础题．
三．填空题（共5小题）
11．已知函数f（x）＝ax﹣2﹣1（a＞0且a≠1），则该函数的图象恒过定点　（2，0）　 ．
【考点】指数函数的特征及解析式．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（2，0）．
【分析】根据指数函数的特征得到f（2）＝a0﹣1＝0，求出定点坐标．
【解答】解：由指数函数y＝ax的图象恒过点（0，1），
令x﹣2＝0，得x＝2，所以f（2）＝a0﹣1＝0，
即f（x）＝ax﹣2﹣1的图象恒过点（2，0）．
故答案为：（2，0）．
【点评】本题考查了指数函数的图象与性质应用问题，是基础题．
12．如图，某池塘中的浮萍蔓延的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）满足关系式：y＝at（a＞0且a≠1），则浮萍面积从4m2到12m2至少需要经过 　1.6　 个月．（精确到0.1）
【考点】指数函数的特征及解析式．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】1.6．
【分析】结合指数及对数运算即可求解．
【解答】解：由图象可得，a＝2，f（x）＝2x，
由浮萍面积为4m2时，4，即x1＝2，
若浮萍面积为12m2时，12，即x2＝log212＝2+log23，
则x2﹣x1＝log23≈1.6．
故答案为：1.6．
【点评】本题主要考查了指数及对数的运算，属于基础题．
13．已知函数的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，则f（1）＝ 　1　 ．
【考点】指数函数的特征及解析式．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】1．
【分析】根据指数函数的性质确定a，b的值，即可求解．
【解答】解：因为函数无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，
所以b＝2，
又函数的图象过原点，
所以，
解得a＝﹣2，
所以，
所以．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了指数函数的性质，属于基础题．
14．已知指数函数的图象过点（2，9），则该指数函数的解析式为 f（x）＝3x ．
【考点】指数函数的特征及解析式．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】f（x）＝3x．
【分析】利用待定系数法求解．
【解答】解：设指数函数的解析式为f（x）＝ax（a＞0且a≠1），
因为指数函数的图象过点（2，9），
所以a2＝9，
解得a＝3或﹣3（舍去），
所以该指数函数的解析式为f（x）＝3x．
故答案为：f（x）＝3x．
【点评】本题主要考查了指数函数的定义，属于基础题．
15．已知a＞0，且a≠1，函数的图象恒过点P，若P在指数函数f（x）图象上，则f（﹣3）＝ 　8　 ．
【考点】指数函数的特征及解析式．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】8．
【分析】利用对数函数图象性质求出点P的坐标，进而求出函数f（x）及函数值．
【解答】解：函数，
令2x﹣3＝1，即x＝2，恒有y0，
则点，
设f（x）＝mx（m＞0，m≠1），
则，解得，
所以，
所以．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了对数函数和指数函数的性质，属于基础题．
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