4.2.2 指数函数的图象和性质(同步练习.含解析）2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

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4.2.2指数函数的图象和性质
一．选择题（共6小题）
1．已知0＜a＜1＜b，则（　　）
A．ba＜ab＜aa＜bb B．ab＜aa＜ba＜bb
C．bb＜ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa＜bb
2．已知，，，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b
3．下列函数既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（　　）
A．y＝2x B． C．y＝|x| D．y＝﹣x2+1
4．“2026a＞2026b≥1”是“a2＞b2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同．假定保鲜时间y与储藏温度x的关系为y＝kerx（k、r为常量）．若牛奶在0℃的冰箱中，保鲜时间约是100h，在5℃的冰箱中，保鲜时间约是80h，那么在10℃中的保鲜时间约是（　　）
A．49h B．56h C．64h D．76h
6．已知函数f（x）＝ax﹣1过定点M，点M在直线mx+ny＝1上且m，n＞0，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列命题中，正确的有（　　）
A．函数与函数表示同一函数
B．若函数f（1）＝x﹣3，则f（x）＝x2﹣x﹣2（x≥﹣1）
C．关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，则8a+4b+3c＜0
D．已知函数f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0，a≠1）恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝m+xn的图象不经过第四象限
（多选）8．下列不等式不成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．（﹣1.2）3＜（﹣0.8）3
（多选）9．已知a＞0且a≠1，b∈R，则函数f（x）＝bx﹣a与g（x）＝b ax在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
三．填空题（共3小题）
10．若函数f（x）＝ax+a2a（a＞0且a≠1）的图象经过第一、二、三象限，则实数a的取值范围为 　 　 ．
11．已知函数f（x）＝x+1，g（x）＝3x+m，若对任意的x1∈[0，1]，存在x0∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x0），则整数m的取值集合真子集的个数为 　 　 ．
12．已知函数f（x）＝ax﹣3+3（a＞0且a≠1）的图像过定点P，若角θ的终边过点P，则sinθ＝　 　 ．
四．解答题（共3小题）
13．已知函数y＝（a﹣1）x是指数函数．
（1）该指数函数的图象经过点（2，4），求函数的表达式；
（2）解关于x的不等式：．
14．已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）．
（1）若f（x）在区间上的最大值为2，求实数a的值；
（2）若函数的值域为[2，+∞），求不等式loga（1﹣t）≤1的实数t的取值范围．
15．已知函数f（x）＝mx（m＞0且m≠1）的图象过点．
（1）求m的值；
（2）当k＝1时，求关于x的不等式2f（x）＞g（x）的解集；
（3）记f（x），g（x）在区间[1，2）上的值域分别为集合A，B，若x∈A是x∈B的必要条件，求实数k的取值范围．
4.2.2指数函数的图象和性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知0＜a＜1＜b，则（　　）
A．ba＜ab＜aa＜bb B．ab＜aa＜ba＜bb
C．bb＜ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa＜bb
【考点】指数函数图象特征与底数的关系．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据指数函数单调性及中间值法比较大小即可．
【解答】解：因为0＜a＜1＜b，函数y＝ax是减函数，
所以0＜ab＜aa＜1，
函数y＝bx是增函数，所以1＜ba＜bb．
综上，可得ab＜aa＜ba＜bb．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
2．已知，，，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【考点】指数函数的单调性与最值．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】结合指数函数及幂函数单调性即可比较a，b，c的大小．
【解答】解：因为y＝（）x在R上单调递减，
所以（）（），即b＞c；
因为y在（0，+∞）上单调递增，
所以（）（），即a＜c，
故b＞c＞a．
故选：A．
【点评】本题主要考查了指数函数及幂函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
3．下列函数既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（　　）
A．y＝2x B． C．y＝|x| D．y＝﹣x2+1
【考点】指数函数图象特征与底数的关系；奇函数偶函数的判断．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】由常见函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：对于A，y＝2x是非奇非偶函数，不符合题意；
对于B，y是奇函数，不符合题意；
对于C，y＝|x|在区间（﹣∞，0）上是减函数，不符合题意；
对于D，y＝﹣x2+1是偶函数，在区间（﹣∞，0）上为增函数，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于基础题．
4．“2026a＞2026b≥1”是“a2＞b2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】指数函数图象特征与底数的关系；充分条件必要条件的判断．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；简易逻辑；逻辑思维．
【答案】A
【分析】由2026a＞2026b≥1得a＞b≥0，根据a＞b≥0与a2＞b2的推出关系判断即可．
【解答】解：因为指数函数y＝2026x是定义域R上的单调增函数，
所以由2026a＞2026b≥1，得a＞b≥0，此时a2＞b2成立，
反之不成立，如a＝﹣2，b＝﹣1时，a2＞b2，此时2026a＞2026b≥1不成立，
所以“2026a＞2026b≥1”是“a2＞b2”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了指数函数的性质与应用，是基础题．
5．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同．假定保鲜时间y与储藏温度x的关系为y＝kerx（k、r为常量）．若牛奶在0℃的冰箱中，保鲜时间约是100h，在5℃的冰箱中，保鲜时间约是80h，那么在10℃中的保鲜时间约是（　　）
A．49h B．56h C．64h D．76h
【考点】指数函数的实际应用．
【专题】计算题；应用题．
【答案】C
【分析】根据保鲜时间y与储藏温度x的关系的关系函数式，将x＝0，y＝100和x＝5，y＝80，直接代入求得k，r的值，得出函数解析式，最后将x＝10代入求出相应的y的值即可．
【解答】解：因为保鲜时间y与储藏温度x的关系为y＝kerx（k、r为常量）．
所以，
解得：，
∴y＝100，
当x＝10时，y＝10064．
故选：C．
【点评】本题考查的是指数函数的实际应用、求函数的解析式等，考查计算能力．比较简单．
6．已知函数f（x）＝ax﹣1过定点M，点M在直线mx+ny＝1上且m，n＞0，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】指数函数图象特征与底数的关系；运用基本不等式求最值．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】由指数函数性质确定定点坐标，结合题设有m+n＝1，应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值．
【解答】解：令x﹣1＝0，得x＝1，∴函数f（x）＝ax﹣1恒过点M（1，1），则m+n＝1，
∴（）（m+n）＝33+23+2，
当且仅当，即m1，n＝2时等号成立，
∴的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查了利用基本不等式求最值的问题，是基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列命题中，正确的有（　　）
A．函数与函数表示同一函数
B．若函数f（1）＝x﹣3，则f（x）＝x2﹣x﹣2（x≥﹣1）
C．关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，则8a+4b+3c＜0
D．已知函数f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0，a≠1）恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝m+xn的图象不经过第四象限
【考点】指数函数图象特征与底数的关系；由一元二次不等式的解求参数；判断两个函数是否为同一函数；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】选项A，根据两函数的定义域不同，判断不是同一函数；
选项B，利用换元法即可求出f（x）的解析式；
选项C，根据一元二次不等式与对应方程的关系，求出a与b、c的关系，代入8a+4b+3c中判断即可；
选项D，根据指数函数的图象恒过定点求出m，n，再判断函数g（x）的图象是否过第四象限．
【解答】解：对于A，y 的定义域为{x|x≥1}，y的定义域为{x|x≤﹣1或x≥1}，两函数的定义域不同，不是同一函数，选项A错误；
对于B，设t1，t≥﹣1，则x＝（t+1）2，所以f（t）＝（t+1）2﹣3（t+1）＝t2﹣t﹣2，即f（x）＝x2﹣x﹣2，其中x≥﹣1，选项B正确；
对于C，由不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}知，，解得，
所以8a+4b+3c＝8a﹣4a﹣18a＝﹣14a＞0，选项C错误；
对于D，因为函数f（x）＝ax﹣1﹣2的图象恒过定点M（1，﹣1），所以函数g（x）＝1+x﹣1的图象不过第四象限，选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了函数与不等式的应用，是基础题．
（多选）8．下列不等式不成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．（﹣1.2）3＜（﹣0.8）3
【考点】指数函数图象特征与底数的关系．
【专题】函数思想；构造法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】ABC
【分析】根据函数的单调性，即可判断选项中两个函数值的大小．
【解答】解：对于A，根据y是定义域R上的减函数，得，选项A错误；
对于B，根据y是定义域R上的增函数，得，选项B错误；
对于C，根据y在（0，+∞）上单调递减，得，选项C错误；
对于D，根据y＝x3是定义域R上单调递增，得（﹣1.2）3＜（﹣0.8）3，选项D正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查了根据函数的单调性判断大小，是基础题．
（多选）9．已知a＞0且a≠1，b∈R，则函数f（x）＝bx﹣a与g（x）＝b ax在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】指数函数图象特征与底数的关系．
【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】因为f（x）＝bx﹣a为一次函数，所以函数f（x）的图象为一条直线，根据选项由一次函数图象性质及指数型函数图象性质依次判断即可．
【解答】解：对于A，由图象结合一次函数图象性质可知b＞0，a＞0，
当a＞1时，g（x）＝b ax单调递增，故A符合题意；
对于B，由图象结合一次函数图象性质可知b＞0，a＞0，
当0＜a＜1时，g（x）＝b ax单调递减，故B符合题意；
对于C，由图象结合一次函数图象性质可知b＜0，a＞0，
当a＞1时，g（x）＝b ax单调递减其图象与y＝﹣bax的图象关于x轴对称，故C符合题意；
对于D，由图象结合一次函数图象性质可知b＞0，a＞0，
而y＝ax＞0恒成立，所以g（x）＝b ax图象在x轴上方，故D不符合题意．
故选：ABC．
【点评】本题考查一次函数与指数函数的图象与性质，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
10．若函数f（x）＝ax+a2a（a＞0且a≠1）的图象经过第一、二、三象限，则实数a的取值范围为 　　 ．
【考点】指数函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】应用指数函数的图象性质得出a＞1且，即可计算求参．
【解答】解：根据指数函数的图象可知，a＞1，且0＜f（0）＜1，
所以a＞1且，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了指数函数的图像，属于基础题．
11．已知函数f（x）＝x+1，g（x）＝3x+m，若对任意的x1∈[0，1]，存在x0∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x0），则整数m的取值集合真子集的个数为 　3　 ．
【考点】指数函数的值域；子集与真子集．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；集合；运算求解．
【答案】3．
【分析】由f（x）的值域是g（x）的值域的子集确定m的值，然后由子集定义得出结论．
【解答】解：当x1∈[0，1]时，f（x1）＝x1+1∈[1，2]，
x2∈[0，1]时，，
由对任意的x1∈[0，1]，存在x0∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x0），
可得：[1，2] [1+m，3+m]，所以，解得﹣1≤m≤0，
其中整数﹣1和0，即整数m的取值集合为{﹣1，0}，真子集有3个．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查函数的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
12．已知函数f（x）＝ax﹣3+3（a＞0且a≠1）的图像过定点P，若角θ的终边过点P，则sinθ＝　　 ．
【考点】指数函数图象特征与底数的关系；任意角的三角函数的定义．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】先利用指数函数定义求出定点P坐标，再利用正弦函数定义可得sinθ．
【解答】解：因为函数f（x）＝ax﹣3+3过定点P，
令x﹣3＝0，解得x＝3，
f（3）＝1+3＝4，
故P（3，4），由正弦函数定义可知．
故答案为：．
【点评】本题主要考查指数函数的定义，以及正弦函数的定义，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．已知函数y＝（a﹣1）x是指数函数．
（1）该指数函数的图象经过点（2，4），求函数的表达式；
（2）解关于x的不等式：．
【考点】指数函数的值域．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】（1）y＝2x；
（2）{x|x}．
【分析】（1）把点（2，4）代入函数解析式，结合指数函数的定义可求a，进而可求函数解析式；
（2）结合指数函数的单调性即可求解．
【解答】解：（1）由题意得（a﹣1）2＝4且a﹣1＞0，
所以a﹣1＝2，
所以y＝2x；
（2）由于a﹣1＞0且a﹣1≠1，即a＞1且a≠2，原不等式可转化为|3x﹣4|＜3，
解得x，
故不等式的解集为{x|x}．
【点评】本题主要考查了指数函数解析式的求解，还考查了指数函数单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．
14．已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）．
（1）若f（x）在区间上的最大值为2，求实数a的值；
（2）若函数的值域为[2，+∞），求不等式loga（1﹣t）≤1的实数t的取值范围．
【考点】指数函数综合题；对数函数图象与性质的综合应用；复合函数的值域．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分a＞1，0＜a＜1两种情况讨论，利用对数函数单调性和最值，求a的值；
（2）由函数的值域为[2，+∞），求a的值，利用单调性解对数不等式．
【解答】解：（1）已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）在区间上的最大值是2．
a＞1时，f（x）在区间上单调递增，
0＜a＜1时，f（x）在区间上单调递减，
则或，解得或a＝4．
（2）令y＝2m，m＝x2﹣2x+a，y的最小值为2，y＝2m单调递增，则m＝x2﹣2x+a的最小值为1，
则当x＝1，m＝1﹣2+a＝1，所以a＝2，
loga（1﹣t）≤1，得0＜1﹣t≤2，
解得﹣1≤t＜1，即不等式的解集为[﹣1，1）．
【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的综合题，属于中档题．
15．已知函数f（x）＝mx（m＞0且m≠1）的图象过点．
（1）求m的值；
（2）当k＝1时，求关于x的不等式2f（x）＞g（x）的解集；
（3）记f（x），g（x）在区间[1，2）上的值域分别为集合A，B，若x∈A是x∈B的必要条件，求实数k的取值范围．
【考点】指数函数的值域；充分条件与必要条件．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）m＝2；
（2）{x|x＞﹣1}；
（3）．
【分析】（1）将点（3，8）代入函数解析式，即可求解；
（2）根据（1）的结果，结合指数运算，将不等式化简为（2 2x﹣1）（2x+1）＞0，即可求解；
（3）首先根据函数的单调性，求解函数的值域，再根据条件，转化为B A，列不等式问题，即可求解．
【解答】解：（1）∵f（x）＝mx的图象过点（3，8），
∴m3＝8，解得m＝2；
（2）当k＝1时，关于x的不等式2f（x）＞g（x），
即，可化为2 （2x）2+2x﹣1＞0，
即（2 2x﹣1）（2x+1）＞0，得，
可得解集{x|x＞﹣1}；
（3）由（1）得f（x）＝2x，单调递增，当x∈[1，2）时，f（x）的值域为[2，4），即A＝[2，4），
当x∈[1，2）时，单调递减，
g（x）的值域为，即，
∵x∈A是x∈B的必要条件，
∴B A，∴，解得，
∴k的取值范围是．
【点评】本题主要考查函数的性质，属于中档题．
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