4.3.1 对数的概念(同步练习.含解析）2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

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4.3.1对数的概念
一．选择题（共6小题）
1．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中K是消光系数，D（单位：米）是海水深度，ID（单位：坎德拉）和I0（单位：坎德拉）分别表示在深度D处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的40%，则该海域消光系数K的值约为（　　）
（参考数据：ln2≈0.7，ln5≈1.6）
A．0.2 B．0.18 C．0.15 D．0.14
2．已知lg2≈0.301，lg5≈0.699，则的估算值为（　　）
A．10210 B．10232 C．10250 D．10398
3．已知ax＝2，loga6＝y，a＞0，且a≠1，则ax+y＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．12
4．将23＝8化为对数式正确的是（　　）
A．log23＝8 B．log28＝3 C．log82＝3 D．log32＝8
5．若m2024＝n（m＞0且m≠1），则（　　）
A．logmn＝2024 B．lognm＝2024
C．log2024m＝n D．log2024n＝m
6．已知函数，若f（m）＝2，则m＝（　　）
A．8 B．7 C．2 D．0.5
二．多选题（共2小题）
（多选）7．已知3a＝5b＝15，则下列结论正确的是（　　）
A．lga＞lgb B．a+b＝ab
C． D．a+4b＞9
（多选）8．已知正实数x，y，z满足，则（　　）
A． B．2z2＜xy C．x＜2z＜3y D．x＜3y＜2z
三．填空题（共6小题）
9．已知实数a，b，c满足9a＝24b＝c且，则c＝ 　 　 ．
10．已知实数m，n满足2m＝5n＝10，则的值为 　 　 ．
11．关于x的方程ex＝2的解为　 　 ．
12．若log2x＝3，则实数x的值为 　 　 ．
13．若，则　 　 ．
14．已知f（x）＝3x，则f（log32）＝　 　 ．
四．解答题（共1小题）
15．将下列指数式与对数式互化：
（1）ea＝16；
（2）；
（3）log39＝2；
（4）logxy＝z（x＞0且x≠1，y＞0）．
4.3.1对数的概念
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中K是消光系数，D（单位：米）是海水深度，ID（单位：坎德拉）和I0（单位：坎德拉）分别表示在深度D处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的40%，则该海域消光系数K的值约为（　　）
（参考数据：ln2≈0.7，ln5≈1.6）
A．0.2 B．0.18 C．0.15 D．0.14
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】理解题意，代值后，将指数式化成对数式，取近似值计算即得．
【解答】解：某海域6米深处的光强是海面光强的40%，
依题意得，，
化成对数式，，
则该海域消光系数K的值约为K≈0.15．
故选：C．
【点评】本题考查指数式、对数式互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．已知lg2≈0.301，lg5≈0.699，则的估算值为（　　）
A．10210 B．10232 C．10250 D．10398
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】结合对数运算性质即可求解．
【解答】解：因为lg2≈0.301，lg5≈0.699，
设t，则lgt＝1000lg1000（lg5﹣lg2）＝1000（1﹣2lg2）≈398，
则t＝10398．
故选：D．
【点评】本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题．
3．已知ax＝2，loga6＝y，a＞0，且a≠1，则ax+y＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．12
【考点】指数式与对数式的互化；对数运算求值．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】将对数式转化为指数式，结合指数运算，求解即可．
【解答】解：由loga6＝y，可得ay＝6，
又ax＝2，则ax+y＝x ay＝12．
故选：D．
【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
4．将23＝8化为对数式正确的是（　　）
A．log23＝8 B．log28＝3 C．log82＝3 D．log32＝8
【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据对数的定义判断．
【解答】解：23＝8化为对数式为log28＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查指数式与对数式的互化，属于基础题．
5．若m2024＝n（m＞0且m≠1），则（　　）
A．logmn＝2024 B．lognm＝2024
C．log2024m＝n D．log2024n＝m
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据对数的定义将指数化为对数．
【解答】解：因为m2024＝n（m＞0且m≠1），所以logmn＝2024．
故选：A．
【点评】本题考查对数的定义，属于基础题．
6．已知函数，若f（m）＝2，则m＝（　　）
A．8 B．7 C．2 D．0.5
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】分类讨论结合指对互换求解m的值即可．
【解答】解：当0＜x≤1时，0＜f（x）＝x≤1＜2，
所以若f（m）＝2，则只能m＞1，log3（m+1）＝2，
所以m+1＝32＝9，
所以m＝8＞1满足题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）7．已知3a＝5b＝15，则下列结论正确的是（　　）
A．lga＞lgb B．a+b＝ab
C． D．a+4b＞9
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】ABD
【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC，利用基本不等式即可判断D．
【解答】解：由题可得a＝log315＞log33＝1＞0，b＝log515＞log55＝1＞0．
∴，即，所以a＞b＞0，
对于A，因为a＞b＞0，所以lga＞lgb，故A正确；
对于B，∵，∴a+b＝ab，故B正确；
对于C，因为a＞b＞0，所以，故C错误；
对于D，因为a＞b＞0，．
所以．
当且仅当，即a＝2b时等号成立，这与已知3a＝5b矛盾，所以a+4b＞9，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查指数函数和对数函数，属于中档题．
（多选）8．已知正实数x，y，z满足，则（　　）
A． B．2z2＜xy C．x＜2z＜3y D．x＜3y＜2z
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】由题意，利用指数与对数的互化，对数的运算性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：由题意，设m，则xlog3m，ylog4m，zlog6m，
且0＜m＜1，故有lgm＜0．
由，故A正确．
由上可知，，所以1，由基本不等式得，即，
所以，即2z2≤xy，当且仅当，即x＝2z，y＝z时取得等号．
又y＝z时，由可得y＝z＝0，这与y＞0，z＞0矛盾，所以只能2z2＜xy，不可能2z2＝xy，故B正确．
又x﹣2z＝﹣log3m+2log6m＝20，所以x＜2z．
再根据2z﹣3y＝﹣2log6m+3log4m0，可得2z＜3y．
综合可得，x＜2z＜3y，故有C正确，且D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查指数与对数的互化，对数的运算性质，属于中档题．
三．填空题（共6小题）
9．已知实数a，b，c满足9a＝24b＝c且，则c＝ 　6　 ．
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】6．
【分析】利用指数与对数的换算结合换底公式计算即可．
【解答】解：∵实数a，b，c满足9a＝24b＝c，∴c＞0，a＝log9c，b＝log24c，
∴，即c3＝216，
∴c＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查对数的运算，属于基础题．
10．已知实数m，n满足2m＝5n＝10，则的值为 　1　 ．
【考点】指数式与对数式的互化；对数运算求值．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】1．
【分析】推导出m＝log210，n＝log510，从而lg2+lg5，由此能求出结果．
【解答】解：实数m，n满足2m＝5n＝10，
∴m＝log210，n＝log510，
则lg2+lg5＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查指数式和对数式的互化、对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11．关于x的方程ex＝2的解为ln2　 ．
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ln2．
【分析】根据对数运算得解．
【解答】解：由ex＝2，可得x＝ln2，
故答案为：ln2．
【点评】本题主要考查指数式与对数式的互化，属于基础题．
12．若log2x＝3，则实数x的值为 　8　 ．
【考点】对数的概念．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】8．
【分析】把对数化为指数即可．
【解答】解：log2x＝3，x＝23＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了对数与指数的运算问题，是基础题．
13．若，则　﹣1　 ．
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接由指对互换、对数运算法则即可求解．
【解答】解：因为，
所以1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题．
14．已知f（x）＝3x，则f（log32）＝　2　 ．
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据指数恒等式，直接代入即可求解．
【解答】解：∵f（x）＝3x，
∴f（log32）＝3log32＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查指数和对数的基本运算，要求熟练掌握指数恒等式的计算．
四．解答题（共1小题）
15．将下列指数式与对数式互化：
（1）ea＝16；
（2）；
（3）log39＝2；
（4）logxy＝z（x＞0且x≠1，y＞0）．
【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）a＝ln16；（2）log64；（3）32＝9；（4）xz＝y．
【分析】根据题意把指数化为对数，把对数化为指数即可．
【解答】解：（1）ea＝16，化为对数：a＝ln16；
（2），化为对数：log64；
（3）log39＝2，化为指数：32＝9；
（4）logxy＝z，化为指数：xz＝y．
【点评】本题考查了指数与对数的互化问题，是基础题．
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