4.3.2 对数的运算(同步练习.含解析）2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

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4.3.2对数的运算
一．选择题（共6小题）
1．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PF（千亿亿次浮点运算每秒）．截止到2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PF，按照技术规划，DeepSeek的算力将每年增长50%．按此计划，DeepSeek的算力将在_____年首次突破1×105PF．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（　　）
A．2032 B．2033 C．2034 D．2035
2．计算的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．25
3．已知，则a＝（　　）
A．3 B．9 C．27 D．81
4．（　　）
A． B． C．3﹣π D．π﹣3
5．若x，y满足ln（3x+y）＝lnx+lny，则x+3y的最小值为（　　）
A． B． C．12 D．16
6．已知正实数a，b满足aea﹣2＝e2025和b（lnb﹣2）＝e2029．则ab的值为（　　）
A．e2029 B．e2028 C．e2027 D．e2026
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知a，b，c都是实数，下列命题是真命题的是（　　）
A．若a＞0，b＝2，则a0+b2＝4
B．若，b＝27，则log3a+log3b＝2
C．若，则a＞b
D．若a＞b＞0，c＜0，则
（多选）8．已知a＝log210，，则（　　）
A．ab＜0 B．4a 9b＝1
C． D．
（多选）9．下列结论正确的有（　　）
A．
B．
C．（lg2）2+lg2 lg5+lg50＝10
D．若a＞0且a≠1，am＝3，an＝2，则
三．填空题（共3小题）
10．若log2[log4（x+1）]＝1，则x＝　 　 ．
11．已知log23＝k，则log129＝　 　 ．（用k表示）
12．已知log32＝a，则log248＝ 　 　 ．（请用含a的代数式表达）
四．解答题（共3小题）
13．（1）已知，求的值；
（2）化简；
（3）．
14．计算求值．
（1）计算；
（2）已知2lg（m﹣4n）＝lg（2m）+lgn，求的值．
15．求下列各式的值．
（1）；
（2）．
4.3.2对数的运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PF（千亿亿次浮点运算每秒）．截止到2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PF，按照技术规划，DeepSeek的算力将每年增长50%．按此计划，DeepSeek的算力将在_____年首次突破1×105PF．（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（　　）
A．2032 B．2033 C．2034 D．2035
【考点】对数运算求值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据已知条件，列出不等式，再结合对数的运算法则，即可求解．
【解答】解：设2025年为第0年，算力为2250PF，
每年增长50%，则2250×（1.5）n＞105，即，
故n，
因此，n＝10，对应年份为2025+10＝2035年．
故选：D．
【点评】本题主要考查对数运算求值，属于基础题．
2．计算的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．25
【考点】对数的运算性质．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】结合指数、对手的运算法则，即可求解．
【解答】解：原式2+3+2﹣6＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查指数、对数的运算法则，属于基础题．
3．已知，则a＝（　　）
A．3 B．9 C．27 D．81
【考点】对数运算求值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】利用换底公式转化，进行求解即可．
【解答】解：，
所以，则a5＝（35）3＝275，解得a＝27．
故选：C．
【点评】本题主要考查对数的运算，属于基础题．
4．（　　）
A． B． C．3﹣π D．π﹣3
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】由已知结合指数及对数运算性质即可求解．
【解答】解：π﹣3π﹣3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了指数运算及对数运算性质，属于基础题．
5．若x，y满足ln（3x+y）＝lnx+lny，则x+3y的最小值为（　　）
A． B． C．12 D．16
【考点】对数的运算性质；基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】先利用对数的运算性质进行运算，再利用基本不等式求解即可．
【解答】解：因为x，y满足ln（3x+y）＝lnx+lny，
所以3x+y＞0，x＞0，y＞0，
所以ln（3x+y）＝lnx+lny＝lnxy，
所以3x+y＝xy，
所以，
所以，
当且仅当即x＝y＝4时取等号，
故x+3y的最小值为16．
故选：D．
【点评】本题考查了对数的运算性质，涉及到基本不等式的应用，属于基础题．
6．已知正实数a，b满足aea﹣2＝e2025和b（lnb﹣2）＝e2029．则ab的值为（　　）
A．e2029 B．e2028 C．e2027 D．e2026
【考点】对数的运算性质；函数的单调性．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据指数与对数的运算法则对已知条件进行变形，利用变形后等式的特点构造函数，再根据函数的单调性确定a，b的关联，最后结合题给条件求解ab．
【解答】解：∵aea﹣2＝e2025，
∴ln（aea﹣2）＝lne2025，即lna+lnea﹣2＝lne2025 lna+a＝2027，
∵b（lnb﹣2）＝e2029，
两边同时取对数，可得ln[b（lnb﹣2）]＝lne2029，即lnb+ln（lnb﹣2）＝2029，
则（lnb﹣2）+ln（lnb﹣2）＝2027，
f（x）＝x+lnx在（0，+∞）上单调递增，
∴方程f（x）＝2027有唯一解，f（a）＝f（lnb﹣2），
∴a＝lnb﹣2，
∴ab＝（lnb﹣2）b＝e2029．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数单调性的应用，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知a，b，c都是实数，下列命题是真命题的是（　　）
A．若a＞0，b＝2，则a0+b2＝4
B．若，b＝27，则log3a+log3b＝2
C．若，则a＞b
D．若a＞b＞0，c＜0，则
【考点】对数运算求值；等式与不等式的性质．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】利用指数幂的定义计算求解判断选项A，根据对数的运算法则计算判断选项B，根据指数函数性质结合特殊值验证判断选项C，利用不等式性质，两边同时乘以负数时，不等号方向改变判断选项D．
【解答】解：对A，若a＞0，b＝2时，则a0+b2＝1+4＝5＞4，故A错误；
对B，若，b＝27时，log3a+log3b1+3＝2，故B正确；
对C，若，当a＝b＝1时，，但a＝b，命题不成立，故C错误；
对D，当a＞b＞0时，，又c＜0，所以，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查对数的运算及性质，不等式的性质，属于基础题．
（多选）8．已知a＝log210，，则（　　）
A．ab＜0 B．4a 9b＝1
C． D．
【考点】对数运算求值．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】对数函数的单调性判断a，b符号可判断A．利用对数的运算计算可判断B，根据换底公式及对数的运算可判断CD．
【解答】解：对于A，，所以ab＜0，故A正确；
对于B，因为a＝log210，，
所以，故B正确；
对于C，因为a＝log210，，
所以，故C错误；
对于D，因为a＝log210，，
所以，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
（多选）9．下列结论正确的有（　　）
A．
B．
C．（lg2）2+lg2 lg5+lg50＝10
D．若a＞0且a≠1，am＝3，an＝2，则
【考点】对数运算求值；有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】结合指数幂及对数运算性质检验各选项即可判断．
【解答】解：，故A正确；
，故B正确；
（lg2）2+lg2 lg5+lg50＝lg2（lg2+lg5）+lg50＝lg2+lg50＝lg100＝2，故C不正确；
由am＝3得m＝loga3，由an＝2得n＝log2，
则，所以，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了指数及对数的运算性质的应用，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．若log2[log4（x+1）]＝1，则x＝　15　 ．
【考点】对数运算求值．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】15．
【分析】利用对数的运算性质计算即可．
【解答】解：由题意得，log4（x+1）＝2，所以x+1＝42，解得x＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了对数的定义与运算，是基础题．
11．已知log23＝k，则log129＝　　 ．（用k表示）
【考点】对数运算求值．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】利用换底公式即可求解．
【解答】解：因为log23k，所以lg3＝klg2，
所以log129．
故答案为：．
【点评】本题考查了对数的定义与运算，是基础题．
12．已知log32＝a，则log248＝ 　　 ．（请用含a的代数式表达）
【考点】对数的运算性质．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】结合对数的运算性质，即可求解．
【解答】解：log32＝a，
则log248＝log2（16×3）＝log216+log23．
故答案为：．
【点评】本题主要考查对数的运算，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（1）已知，求的值；
（2）化简；
（3）．
【考点】对数运算求值；有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】对应思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）7；
（2）5；
（3）219．
【分析】（1）由即可求解；
（2）由指数和对数的运算性质即可求解；
（3）由根式与分数指数幂的转换结合指数的运算性质即可求解．
【解答】解：（1）因为，
所以；
（2）lg4﹣2lg5
＝4+3﹣lg（4×25）＝4+3﹣2＝5；
（3）原式
＝2×22×33+2+1＝219．
【点评】本题考查有理指数幂的运算性质，考查运算求解能力，是基础题．
14．计算求值．
（1）计算；
（2）已知2lg（m﹣4n）＝lg（2m）+lgn，求的值．
【考点】对数运算求值；有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）16；
（2）．
【分析】（1）分数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可；
（2）利用对数运算性质化简变形可求得答案．
【解答】解：（1）原式＝8+1+2×3+log189
＝15+log189+log182＝15+1＝16；
（2）由条件m＞4n＞0，．
由2lg（m﹣4n）＝lg（2m）+lgn，得lg（m﹣4n）2＝lg（2mn），
所以（m﹣4n）2＝2mn，化简得m2﹣10mn+16n2＝0，
所以（m﹣2n）（m﹣8n）＝0，
得m＝8n或m＝2n（舍去），
从而可得．
【点评】本题考查了对数以及有理数指数幂的运算性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
15．求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【考点】对数运算求值；有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）﹣π；
（2）10．
【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可；
（2）根据对数的运算性质计算即可．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
【点评】本题考查对数运算，指数运算，属于基础题．
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