4.4.1 对数函数的概念(同步练习.含解析）2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

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4.4.1对数函数的概念
一．选择题（共6小题）
1．已知集合A＝{x|2≤x≤8}，集合B＝{x|y＝ln（﹣x2+6x﹣5）}，则A∪B＝（　　）
A．{x|1＜x＜5} B．{x|1＜x≤8} C．{x|2≤x＜5} D．{x|5≤x≤8}
2．已知集合A＝{x|y＝log2（2﹣x）}，B＝{y|y＝x2+1}，则A∩B＝（　　）
A．[1，2） B．[1，+∞） C．（1，2） D．（﹣∞，2）
3．已知集合A＝{x|x2≥2x}，B＝{x|ln（﹣x2+8x﹣14）≥0}，则A∩B＝（　　）
A．{x|4≤x≤5} B．{x|3＜x＜4} C．{x|3≤x≤4} D．{x|2≤x≤4}
4．设函数的定义域为D，则对D内的任意实数x，有（　　）
A． B．
C． D．
5．已知集合M＝{x|y＝ln（1﹣2x）}，N＝{y|y＝ex}，则M∩N＝（　　）
A． B． C． D．
6．函数的定义域为（　　）
A．[﹣3，0] B．[﹣3，0） C．（﹣3，0] D．（﹣3，0）
二．多选题（共2小题）
（多选）7．已知的定义域为D，值域为M，则（　　）
A．若D＝R，则M≠R
B．对任意m∈R，使得f（﹣5）＝f（﹣7）
C．对任意m∈R，f（x）的图象恒过一定点
D．若f（x）在（﹣∞，3）上单调递减，则m的取值范围是{6}
（多选）8．下列命题是真命题的是（　　）
A．若sinθ＝2cosθ，则tan（π﹣θ）＝﹣2
B．函数f（x）＝ln（4﹣2x）的定义域为（﹣∞，2）
C．若集合A，B满足A∩B＝B，则A B
D．若，则
三．填空题（共4小题）
9．函数的定义域为 　 　 ．
10．已知函数，若f（x）的值域为R，则实数k的取值范围是　 　 ．
11．函数的定义域为　 　 ．
12．若函数为对数函数，则a＝　 　 ．
四．解答题（共3小题）
13．已知函数f（x）＝logm（x﹣m）+logm（x﹣2m）（m＞0且m≠1）．
（1）若对于任意的x∈[3m，4m]，都有f（x）≤1，求实数m的取值范围．
（2）在（1）的条件下，是否存在，使f（x）在区间[α，β]上的值域是[logmβ，logmα]？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
14．已知函数f（x）＝log3（2+x）﹣log3（2﹣x）．
（1）求函数y＝f（x）的定义域，并判断f（x）是否具有奇偶性；
（2）若f（m）﹣f（﹣m）＜2，求实数m的取值范围．
15．已知函数f（x）＝log2（2﹣x）+log2（1+x）．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）求不等式f（x）≤1的解集．
4.4.1对数函数的概念
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知集合A＝{x|2≤x≤8}，集合B＝{x|y＝ln（﹣x2+6x﹣5）}，则A∪B＝（　　）
A．{x|1＜x＜5} B．{x|1＜x≤8} C．{x|2≤x＜5} D．{x|5≤x≤8}
【考点】求对数型复合函数的定义域；求集合的并集．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】求解对数型复合函数定义域得到集合B，然后利用并集运算求解即可．
【解答】解：因为﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣1）（x﹣5）＞0，解得1＜x＜5，
则集合B＝{x|y＝ln（﹣x2+6x﹣5）}＝{x|1＜x＜5}，
又A＝{x|2≤x≤8}，
所以A∪B＝{x|1＜x≤8}．
故选：B．
【点评】本题主要考查并集的运算，属于基础题．
2．已知集合A＝{x|y＝log2（2﹣x）}，B＝{y|y＝x2+1}，则A∩B＝（　　）
A．[1，2） B．[1，+∞） C．（1，2） D．（﹣∞，2）
【考点】求对数函数的定义域；求集合的交集；二次函数的值域．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；集合；运算求解．
【答案】A
【分析】先求得集合A和B，再结合交集定义求解即可．
【解答】解：集合A＝{x|y＝log2（2﹣x）}＝{x|x＜2}，B＝{y|y＝x2+1}＝{y|y≥1}，
故A∩B＝{x|1≤x＜2}＝[1，2）．
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
3．已知集合A＝{x|x2≥2x}，B＝{x|ln（﹣x2+8x﹣14）≥0}，则A∩B＝（　　）
A．{x|4≤x≤5} B．{x|3＜x＜4} C．{x|3≤x≤4} D．{x|2≤x≤4}
【考点】求对数型复合函数的定义域；求集合的交集；指、对数不等式的解法；解一元二次不等式．
【专题】转化思想；数形结合法；集合；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】本题可先求解集合B，由于最终求的是交集，故可以先把x的范围限定在（0，+∞）内，通过比较在该范围内f（x）＝x2、g（x）＝2x的函数图象得到集合A中大于0的元素范围，再根据交集的定义求出A∩B．
【解答】解：∵ln（﹣x2+8x﹣14）≥0，∴﹣x2+8x﹣14≥1，
∴（x﹣3）（x﹣5）≤0，得3≤x≤5，
∴求集合A时可只考虑x＞0的范围，
∵x2≥2x存在底数为2的指数，求导难以判断单调性（ln2的近似值未告知），
∴可通过观察f（x）＝x2、g（x）＝2x的函数图象得到不等式解集，
比较特殊点，可得：
x 0 1 2 3 4 5
f（x） 0 1 4 9 16 25
g（x） 1 2 4 8 16 32
当x继续增大时，指数函数比幂函数增长速度快，再无其他交点，
故在x＞0的范围内，x2≥2x解集为2≤x≤4，
∴A∩B＝{x|3≤x≤4}，
故选：C．
【点评】本题考查幂函数、指数函数的定义、性质、图象、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
4．设函数的定义域为D，则对D内的任意实数x，有（　　）
A． B．
C． D．
【考点】求对数函数的定义域；对数运算求值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据对数性质即可求解．
【解答】解：函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞），
利用对数性质，可得，
计算可得．
故选：C．
【点评】本题考查了对数性质，属于基础题．
5．已知集合M＝{x|y＝ln（1﹣2x）}，N＝{y|y＝ex}，则M∩N＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】对数函数的定义域；交集及其运算；指数函数的图象．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据对数函数的定义域、指数函数的值域求得M，N，进而求得M∩N．
【解答】解：由1﹣2x＞0，解得，
所以，
而y＝ex＞0，所以N＝{y|y＞0}，
所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查了求对数函数的定义域，考查了集合的交集运算，属于基础题．
6．函数的定义域为（　　）
A．[﹣3，0] B．[﹣3，0） C．（﹣3，0] D．（﹣3，0）
【考点】求对数函数的定义域．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】求使式子有意义的实数的集合即可．
【解答】解：函数，
则，解之可得﹣3＜x≤0，
函数的定义域为（﹣3，0]．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
二．多选题（共2小题）
（多选）7．已知的定义域为D，值域为M，则（　　）
A．若D＝R，则M≠R
B．对任意m∈R，使得f（﹣5）＝f（﹣7）
C．对任意m∈R，f（x）的图象恒过一定点
D．若f（x）在（﹣∞，3）上单调递减，则m的取值范围是{6}
【考点】求对数型复合函数的定义域．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】对于A，根据题设得真数x2﹣mx+m+3不能取遍所有正实数，再利用对数函数定义即得．对于B，直接代入求解即可．对于C，根据m∈R，求解即可．对于D，根据对数型函数的单调性和真数大于零即可解得．
【解答】解：对于A，要使定义域为R，只需x2﹣mx+m+3＞0恒成立，
所以判别式m2﹣4（m+3）＜0，所以真数x2﹣mx+m+3不能取遍所有正实数，所以M≠R，故A对
对于B，若f（﹣5）＝f（﹣7），
即，整理得log2（28+6m）＝log2（52+8m），得，
此时m∈ ，故B错；
对于C，x2﹣mx+m+3＝x2+3+m（1﹣x），因为与m无关，所以1﹣x＝0，x＝1，y＝log24＝2，过定点（1，2），故C正确；
对于D，若f（x）在（﹣∞，3）上单调递减，只需函数t＝x2﹣mx+m+3在（﹣∞，3）上递减，且t（3）≥0，即，解得m＝6，故D对．
故选：ACD．
【点评】本题考查了对数函数的综合问题，复合函数的单调性，是中档题．
（多选）8．下列命题是真命题的是（　　）
A．若sinθ＝2cosθ，则tan（π﹣θ）＝﹣2
B．函数f（x）＝ln（4﹣2x）的定义域为（﹣∞，2）
C．若集合A，B满足A∩B＝B，则A B
D．若，则
【考点】求对数函数的定义域；同角正弦、余弦的商为正切；集合的包含关系的应用．
【专题】集合思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用同角间的三角函数的关系与诱导公式求解判断A；求得定义域判断B；由集合的运算可得B A判断C；利用1的代换结合基本不等式可求最小值判断D．
【解答】解：对于A，若sinθ＝2cosθ，则tanθ＝2，tan（π﹣θ）＝﹣tanθ＝﹣2，故A正确；
对于B，函数f（x）＝ln（4﹣2x）的定义域为（﹣∞，2），故B正确；
对于C，若集合A，B满足A∩B＝B，则B A，故C错误；
对于D，若，则9，
当且仅当a＝4b＝9时，等号成立，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了交集和子集的定义，基本不等式的应用，是基础题．
三．填空题（共4小题）
9．函数的定义域为 　（）　 ．
【考点】求对数型复合函数的定义域．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知条件，列出使函数有意义的不等式组，即可求解．
【解答】解：函数，
则，解得，
故函数f（x）的定义域为（）．
故答案为：（）．
【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
10．已知函数，若f（x）的值域为R，则实数k的取值范围是　[4，+∞）　 ．
【考点】求对数型复合函数的值域．
【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】[4，+∞）．
【分析】根据给定条件，利用对数函数的图象性质，可得二次函数y＝kx2+kx+1值域包含正实数集，进而列式求解．
【解答】解：由题意可得y＝kx2+kx+1的值域包含（0，+∞），
当k＝0时，y＝1不满足题意；
则函数y＝kx2+kx+1是二次函数，其图象开口向上，且与x轴有公共点，
于是，解得k≥4，所以实数k的取值范围是[4，+∞）．
故答案为：[4，+∞）．
【点评】本题考查复合函数值域相关知识，属于中档题．
11．函数的定义域为　（3，5）　 ．
【考点】求对数型复合函数的定义域．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（3，5）．
【分析】根据分母不为0，根号内要大于等于0且对数函数的定义域列不等式组，解不等式可得．
【解答】解：函数，
则解得3＜x＜5，
故函数f（x）的定义域为（3，5）．
故答案为：（3，5）．
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
12．若函数为对数函数，则a＝　2　 ．
【考点】对数函数的定义．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】2．
【分析】根据对数函数的定义列式求解即可．
【解答】解：因为为对数函数，
所以a2﹣3a+2＝0且a≠1，则a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了对数函数定义的应用，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．已知函数f（x）＝logm（x﹣m）+logm（x﹣2m）（m＞0且m≠1）．
（1）若对于任意的x∈[3m，4m]，都有f（x）≤1，求实数m的取值范围．
（2）在（1）的条件下，是否存在，使f（x）在区间[α，β]上的值域是[logmβ，logmα]？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
【考点】对数函数的值域．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）[，1）；
（2）不存在这样的α，β满足条件．
【分析】（1）根据对数函数性质求得f（x）在[3m，4m]上的最大值f（x）max，由f（x）max≤1可得；
（2）由对数函数单调性问题转化为一元二次方程在上有两个不等实根，由一元二次方程根的分布知识求解可得．
【解答】解：（1）由题意可得对于任意的x∈[3m，4m]，f（x）max≤1，
可得，
设，
则t在[3m，4m]上是增函数，
当0＜m＜1时，f（x）在[3m，4m]上递减，
可得，解得，
当m＞1时，f（x）在[3m，4m]上递增，
则，解得，此时与m＞1矛盾，故舍去，
综上，可得实数m的取值范围为[，1）；
（2）因为，
所以f（x）在（，+∞）上递减，
所以，可得，
可得关于x的方程（x﹣m）（x﹣2m）＝x在（，+∞）上有两个不等的实根，
设h（x）＝（x﹣m）（x﹣2m）﹣x＝x2﹣（3m+1）x+2m2，
则，解得m∈ ．
综上，不存在这样的α，β满足条件．
【点评】本题考查了对数函数的性质，一元二次方程根的分布问题，是中档题．
14．已知函数f（x）＝log3（2+x）﹣log3（2﹣x）．
（1）求函数y＝f（x）的定义域，并判断f（x）是否具有奇偶性；
（2）若f（m）﹣f（﹣m）＜2，求实数m的取值范围．
【考点】对数函数的定义域；由对数函数的单调性求解参数；函数的奇偶性．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）（﹣2，2），f（x）为奇函数；
（2）（﹣2，1）．
【分析】（1）利用对数函数的性质求解定义域，再判断其与原点对称，最后结合奇偶性的定义判断奇偶性即可．
（2）利用函数的奇偶性和对数函数的单调性解不等式，求解参数范围即可．
【解答】解：f（x）＝log3（2+x）﹣log3（2﹣x），
（1）由题意得，解得﹣2＜x＜2，
所以f（x）的定义域为（﹣2，2），关于原点对称，f（x）为奇函数，证明如下：
x∈（﹣2，2），都有﹣x∈（﹣2，2），对于f（x）＝log3（2+x）﹣log3（2﹣x），
又f（﹣x）＝log3（2﹣x）﹣log3（2+x）＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数；
（2）因为f（x）为奇函数，f（m）﹣f（﹣m）＝2f（m）＜2，即f（m）＜1，
即，故，
解，得到m＜1或m＞2，解，得﹣2＜m＜2，
综上，﹣2＜m＜1，即m的取值范围是（﹣2，1）．
【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，函数单调性的判断，还考查了对数函数性质在不等式的求解，属于基础题．
15．已知函数f（x）＝log2（2﹣x）+log2（1+x）．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）求不等式f（x）≤1的解集．
【考点】求对数型复合函数的定义域．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（Ⅰ）（﹣1，2）；
（Ⅱ）{x|﹣1＜x≤0或1≤x＜2}．
【分析】（Ⅰ）结合对数函数真数大于0，即可求解；
（Ⅱ）结合对数的运算性质，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝log2（2﹣x）+log2（1+x），
则，解得﹣1＜x＜2，
故函数f（x）的定义域为（﹣1，2）；
（Ⅱ）f（x）≤1，即log2（2﹣x）（1+x）≤1＝log22，
故0＜（2﹣x）（1+x）≤2，解得﹣1＜x≤0或1≤x＜2，
故所求解集为{x|﹣1＜x≤0或1≤x＜2}．
【点评】本题主要考查对数函数定义域，属于基础题．
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