4.4.2 对数函数的图象和性质(同步练习.含解析）2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

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4.4.2对数函数的图象和性质
一．选择题（共6小题）
1．设a＝log0.50.2，b＝log0.20.5，c＝log51.5，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
2．已知函数f（x），甲同学将f（x）的图象向左平移1个单位长度，得到图象C1；乙同学将f（x）的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象C2．若C1与C2恰好重合，则下列给出的f（x）中符合题意的是（　　）
A． B．f（x）＝log2x
C． D．f（x）＝2x
3．已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝log2x图像上的两个不同的点，则（　　）
A．y1y2＞x1x2
B．y1y2＜x1x2
C．
D．
4．若实数x，y，z满足2+log2x＝3+log3y＝5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能是（　　）
A．x＞y＞z B．x＞z＞y C．y＞x＞z D．y＞z＞x
5．函数y＝loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1＝0上，其中mn＞0，则的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．2 D．
6．已知a∈R，“2a≥2”是“函数y＝logax在（0，+∞）上为减函数”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知ab＝1，a＞0，且a≠1，函数y＝loga（﹣x）与y＝bx的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）8．若0＜a＜1，则函数y＝loga（x+5）的图象经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（多选）9．已知函数，则以下说法正确的是（　　）
A． a∈R，使得f（x）为偶函数
B．若f（x）的定义域为R，则
C．若f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递增，则a的取值取值范围是[1，+∞）
D．若f（x）的值域是（﹣∞，2]，则
三．填空题（共4小题）
10．若对任意的a∈（0，1）∪（1，+∞），函数y＝loga（x﹣1）+2的图像均经过定点P，则点P的坐标是　 　 ．
11．若函数f（x）＝2loga（3﹣x）+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点P，则点P的坐标是 　 　 ．
12．已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程ex+x＝2与lnx+x＝2的解分别为x1，x2，则x1+x2＝　 　 ．
13．若函数f（x）＝log2（﹣x2+2ax+3）在区间[1，2]内单调递减，则a的取值范围是　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．已知a∈R，函数f（x）＝log2（a）．
（1）当a＝1时，求不等式f（2x）＞1的解集；
（2）若a＝1，当x∈[2，3]时，F（x）＝f（2x）+log2（2x+1），求函数y＝F（x）的最小值；
（3）当a≠3且a≠4时，关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．
15．已知函数为偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）解关于m的不等式f（2m+1）＞f（m﹣1）．
4.4.2对数函数的图象和性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．设a＝log0.50.2，b＝log0.20.5，c＝log51.5，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【考点】对数值大小的比较．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】先根据对数的运算性质，将a与b、b与c化为同底的对数形式，再结合对数函数的单调性，即可比较大小．
【解答】解：因为a＝log0.50.2＞log0.50.5＝1，b＝log0.20.5＜log0.20.2＝1，
故a＞b．
又因为b＝log0.20.5＝loglog52＞log51.5，即b＞c，
综上所述：a＞b＞c．
故选：A．
【点评】本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题．
2．已知函数f（x），甲同学将f（x）的图象向左平移1个单位长度，得到图象C1；乙同学将f（x）的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象C2．若C1与C2恰好重合，则下列给出的f（x）中符合题意的是（　　）
A． B．f（x）＝log2x
C． D．f（x）＝2x
【考点】对数函数的图象．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】通过图象变换得到C1和C2的函数表达式，再根据重合条件逐一验证选项．
【解答】解：根据图象变换规则，甲得到的C1对应的函数为f（x+1），乙得到的C2对应的函数为2f（x），
因为C1与C2重合，故f（x+1）＝2f（x），
选项A，，则，两者不相等，排除；
选项B，f（x）＝log2x，则f ，两者不相等，排除；
选项C，，则，两者不相等，排除；
选项D，f（x）＝2x，则f（x+1）＝2x+1＝2 2x，2f（x）＝2 2x，两者相等，符合条件．
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数和对数函数的运算，属于中档题．
3．已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝log2x图像上的两个不同的点，则（　　）
A．y1y2＞x1x2
B．y1y2＜x1x2
C．
D．
【考点】对数函数图象与性质的综合应用；对数函数图象特征与底数的关系．
【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意，设出A、B的坐标，设M为AB的中点，过点M作MN与x轴平行，与函数y＝log2x图象交于点N，表示M、N的坐标，由于点M在点N的右侧，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，如图所示，A、B是函数y＝log2x图象上两个不同的点，M为AB的中点，
过点M作MN与x轴平行，与函数y＝log2x图象交于点N，
则M的坐标为（，），易得N的坐标为（，），
点M在点N的右侧，则有，C错误，D正确；
同时，kOA，kOB，而kOA kOB的值无法确定，即y1y2和x1x2的大小不定，A、B错误．
故选：D．
【点评】本题考查对数函数的图象和性质的应用，属于中档题．
4．若实数x，y，z满足2+log2x＝3+log3y＝5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能是（　　）
A．x＞y＞z B．x＞z＞y C．y＞x＞z D．y＞z＞x
【考点】对数值大小的比较．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】利用特殊值验证法，求解判断即可．
【解答】解：令x＝2，则3＝2+log22＝3+log3y＝5+log5z，
可得y＝1，z，
所以x＞y＞z．A可能正确；
当z＝1时，y＝9，x＝8，所以y＞x＞z，所以C可能正确；
z＝125时，y＝243，此时x＝64，满足y＞z＞x，所以D可能正确．
故选：B．
【点评】本题考查对数值的大小比较，特殊值方法的应用，是中档题．
5．函数y＝loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1＝0上，其中mn＞0，则的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．2 D．
【考点】对数函数的单调性与最值．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．
【答案】B
【分析】由题意可得定点A（﹣2，﹣1），2m+n＝1，把要求的式子化为 4，利用基本不等式求得结果．
【解答】解：∵函数y＝loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，令x+3＝1，求得x＝﹣2，y＝﹣1，可得A（﹣2，﹣1）．
∵点A在直线mx+ny+1＝0上，∴﹣2m﹣n+1＝0，即2m+n＝1．
∵mn＞0，则44+28，当且仅当n＝2m时，取等号，
故的最小值为8，
故选：B．
【点评】本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为 4，是解题的关键，属于基础题．
6．已知a∈R，“2a≥2”是“函数y＝logax在（0，+∞）上为减函数”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】对数函数图象特征与底数的关系；充分不必要条件的判断；指数函数图象特征与底数的关系．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据指数函数与对数函数的性质，即可求解．
【解答】解：若2a≥2，则a≥1，可知充分性不成立；
若函数y＝logax在（0，+∞）上为减函数，则0＜a＜1，所以2a≥2不成立，必要性不成立．
故选：D．
【点评】本题考查指数函数与对数函数的性质，属基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知ab＝1，a＞0，且a≠1，函数y＝loga（﹣x）与y＝bx的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】对数函数图象特征与底数的关系；指数函数图象特征与底数的关系．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】讨论底数a，根据函数的单调性进行判断
【解答】解：由ab＝1，a＞0，且a≠1，则，所以，
若a＞1，则0＜a＜1，曲线函数图象下降，即为减函数，
且y＝logax单调递增，又函数y＝loga（﹣x）与y＝logax关于y轴对称，
所以函数y＝loga（﹣x）的图象下降，即为减函数，选项C符合条件，
若0＜a＜1时，则，所以曲线函数图象上升，即为增函数，
且y＝logax单调递减，又函数y＝loga（﹣x）与y＝logax关于y轴对称，
所以曲线y＝loga（﹣x）为增函数，选项B符合条件．
故选：BC．
【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的图象与性质，属于中档题．
（多选）8．若0＜a＜1，则函数y＝loga（x+5）的图象经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】对数函数的图象．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】利用对数函数性质得出其大致图象．
【解答】解：因为0＜a＜1，
令x+5＝1，则x＝﹣4，此时y＝0，
所以y＝loga（x+5）过定点（﹣4，0）且在（﹣5，+∞）上单调递减，
结合函数的图象可知，图象经过第二、三、四象限．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了对数函数图象的应用，属于基础题．
（多选）9．已知函数，则以下说法正确的是（　　）
A． a∈R，使得f（x）为偶函数
B．若f（x）的定义域为R，则
C．若f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递增，则a的取值取值范围是[1，+∞）
D．若f（x）的值域是（﹣∞，2]，则
【考点】由对数函数的单调性求解参数；由定义域求解函数或参数；由值域求解函数或参数．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用特殊值代入判断A即得；由函数定义域为R等价转化为对数真数恒大于零，即对应的一元二次不等式的判别式恒小于0判断B；令g（x）＝x2﹣2ax+2，则依题需使g（x）在（﹣∞，1）上递减且恒大于0，求出a的范围即可判断C；由求出a的值，即可判断D．
【解答】解：对于A，在中，取a＝0，则，
此时函数的定义域为R，且，即为偶函数，故A正确；
对于B，因f（x）的定义域为R，则x2﹣2ax+2＞0恒成立，
即Δ＝（﹣2a）2﹣8＜0，解得，故B正确；
对于C，令g（x）＝x2﹣2ax+2，因在定义域上单调递减，
故要使函数f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递增，则需使g（x）＝x2﹣2ax+2在（﹣∞，1）上单调递减且恒大于0，
故有，解得，故C错误；
对于D，因f（x）的值域是（﹣∞，2]，即f（x）max＝2，
由复合函数的单调性可知，此时，
由g（x）＝x2﹣2ax+2＝（x﹣a）2+2﹣a2知，
解得，即，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了复合函数性质的综合应用，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
10．若对任意的a∈（0，1）∪（1，+∞），函数y＝loga（x﹣1）+2的图像均经过定点P，则点P的坐标是　（2，2）　 ．
【考点】对数函数图象特征与底数的关系．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（2，2）．
【分析】由题意可得x﹣1＝1，即x＝2时，y＝2恒成立，可得函数过的定点的坐标．
【解答】解：对任意的a∈（0，1）∪（1，+∞），函数y＝loga（x﹣1）+2的图像均经过定点P，
即当x﹣1＝1时，即x＝2时，y＝2恒成立，
则点P的坐标是（2，2）．
故答案为：（2，2）．
【点评】本题考查对数型函数恒过的定点坐标的求法，属于基础题．
11．若函数f（x）＝2loga（3﹣x）+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点P，则点P的坐标是 　（2，1）　 ．
【考点】对数函数图象特征与底数的关系．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（2，1）．
【分析】根据对数函数的性质和图象进行求解即可．
【解答】解：由对数函数f（x）＝2loga（3﹣x）+1，令3﹣x＝1，得x＝2，
且f（2）＝2loga1+1＝1，所以f（x）的图象过定点P（2，1）．
故答案为：（2，1）．
【点评】本题考查了对数函数的图象过定点问题，是基础题．
12．已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程ex+x＝2与lnx+x＝2的解分别为x1，x2，则x1+x2＝　2　 ．
【考点】反函数．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】2．
【分析】根据已知条件，结合反函数的定义，以及函数的对称性，即可求解．
【解答】解：方程ex+x＝2，即ex＝2﹣x，
x1看作y＝ex与y＝2﹣x函数图象的交点，
lnx+x＝2，即lnx＝2﹣x，
x2看作y＝lnx与y＝2﹣x函数图象的交点，
函数y＝ex，y＝lnx为反函数，二者图象关于直线y＝x对称，
联立，解得x＝1，y＝1，
由对称性可知，x1+x2＝2×1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查反函数的应用，属于基础题．
13．若函数f（x）＝log2（﹣x2+2ax+3）在区间[1，2]内单调递减，则a的取值范围是　（，1]　 ．
【考点】由对数函数的单调性求解参数．
【专题】函数的性质及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】若函数f（x）＝log2（﹣x2+2ax+3）在区间[1，2]内单调递减，则函数t＝﹣x2+2ax+3在区间[1，2]内单调递减，且恒为正，即，解得a的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）＝log2（﹣x2+2ax+3）在区间[1，2]内单调递减，
故函数t＝﹣x2+2ax+3在区间[1，2]内单调递减，且恒为正，
故，
解得：a∈（，1]，
故答案为：（，1]
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，二次函数的图象和性质，难度中档．
四．解答题（共2小题）
14．已知a∈R，函数f（x）＝log2（a）．
（1）当a＝1时，求不等式f（2x）＞1的解集；
（2）若a＝1，当x∈[2，3]时，F（x）＝f（2x）+log2（2x+1），求函数y＝F（x）的最小值；
（3）当a≠3且a≠4时，关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．
【考点】求对数函数及对数型复合函数的最值；函数的最值．
【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）（﹣∞，0）；（2）；（3）（1，2]．
【分析】（1）由指数函数与对数函数性质可解；
（2）由指数函数与对数函数的单调性可解；
（3）根据题意得，，x2＝﹣1，x1＝x2，结合对数函数性质，从而可解．
【解答】解：（1）由f（2x）＞1可得1，则，则，则x＜0，
则不等式f（2x）＞1的解集为（﹣∞，0）；
（2）由题意可知F（x）＝f（2x）+log2（2x+1）log2（2），
∵x∈[2，3]，∴2x∈[4，8]，
∴，
∴[，]，
则最小值为；
（3），（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，
当a≠3且a≠4时，，x2＝﹣1，x1＝x2，
x1是原方程的解当且仅当，即a＞2，
x2是原方程的解当且仅当，即a＞1，
于是满足题意的a∈（1，2]．
综上，a的取值为（1，2]．
【点评】本题考查指数、对数函数性质，属于中档题．
15．已知函数为偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）解关于m的不等式f（2m+1）＞f（m﹣1）．
【考点】对数函数的单调性与最值；函数的奇偶性．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）﹣1；
（2）（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）．
【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；
（2）判断x≥0时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可．
【解答】解：（1）∵函数为偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），即，
∴，
∴k＝﹣1；
（2）∵，
当x≥0时，在[0，+∞）单调递增，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，
又函数f（x）为偶函数，∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0]上单调递减，
∵f（2m+1）＞f（m﹣1），∴|2m+1|＞|m﹣1|，解得m＜﹣2或m＞0，
∴所求不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）．
【点评】本题考查了函数的奇偶性，解函数不等式，属于中档题．
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