4.5.2 二分法求方程的近似解(同步练习.含解析）2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

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4.5.2二分法求方程的近似解
一．选择题（共6小题）
1．函数f（x）＝x3+log2（x﹣1）﹣10零点存在的区间为（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
2．函数f（x）＝2x+lnx﹣3的零点位于区间（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
3．已知函数f（x）＝x3﹣2x﹣1，现用二分法求函数f（x）在（1，3）内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（　　）
A． B． C． D．
4．若函数f（x）＝x2﹣4x+m存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则m的取值集合是（　　）
A．（4，+∞） B．（﹣∞，4） C．{4} D．[4，+∞）
5．小明同学在用二分法研究函数y＝f（x）在区间（0，1）的零点时，发现f（0）＞0，f（1）＜0，f（0.5）＜0，那么他下一步应计算（　　）
A．f（0.75） B．f（0.625） C．f（0.25） D．f（0.125）
6．已知函数，用二分法求f（x）的零点近似值，零点所在大致区间为（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列命题为真命题的是（　　）
A．“ x∈R，x2+x+1＞0”的否定为“ x∈R，x2+x+1＜0”
B．若函数f（x）的定义域为R，则“f（0）＝0”是“函数f（x）为奇函数”的必要不充分条件
C．函数在区间[0，2]上的值域为
D．用二分法求方程x3﹣2x﹣5＝0在区间[2，3]内的实根，下一个有根区间是（2，2.5）
（多选）8．下列关于函数y＝f（x），x∈[a，b]的说法中正确的有（　　）
A．若x0∈[a，b]，且满足f（x0）＝0，则x0是函数f（x）的一个零点
B．若x0是函数f（x）在区间[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值
C．函数f（x） 的零点是方程f（x）＝0的根，方程f（x）＝0的根也是函数f（x）的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似值
（多选）9．下列所给函数中，不能使用二分法求解其零点所在区间的有（　　）
A．
B．f（x）＝ex+e﹣x﹣2
C．
D．f（x）＝x2+4x+5
三．填空题（共3小题）
10．用二分法研究函数f（x）＝x5+8x3﹣1的零点时，第一次经过计算得f（0）＜0，f（0.5）＞0，则第二次应计算的函数值是 　 　 ．
11．某同学利用二分法求函数f（x）＝lnx+2x﹣6零点时，利用计算器分别计算了x＝2，x＝2.5，x＝3三处的函数值，为了寻求函数零点更精准的近似值，则下一次需计算x的值为 　 　 ．
12．已知函数在区间（1，2）上有一个零点x0，如果用二分法求x0的近似值（精确度为0.01），则应将区间（1，2）至少等分的次数为 　 　 ．
四．解答题（共3小题）
13．已知函数．
（1）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（2）用二分法求方程f（x）＝0在区间（1，+∞）上的一个近似解（精确度为0.1）．
14．如图，给出函数f（x）＝x2的部分图象．
（1）请在图中同一坐标系内画出函数g（x）＝2x的图象．设f（x）与g（x）在y轴左边的交点为A，试用二分法求出A的横坐标x0的近似解（精确度为0.3）；
（2）用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，请写出M（x）的解析式．
15．已知f（x）＝ln（x﹣1），．
（1）在答题卡第22题图中分别画出y＝f（x）、y＝g（x）的图象（不必写出画法，请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑）；
（2）用二分法求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点x0（精确度为0.3）；
（3） x＞1，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，当方程M（x）＝a有三个不同的实数根时，求实数a的取值范围．
4.5.2二分法求方程的近似解
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．函数f（x）＝x3+log2（x﹣1）﹣10零点存在的区间为（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【考点】二分法的定义与应用．
【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【答案】C
【分析】根据函数零点的判定定理进行判断即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝x3+log2（x﹣1）﹣10，
f（2）＝8﹣10＜0，f（3）＝27+1﹣10＞0
∴函数f（x）的零点所在的区间是（2，3）．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．
2．函数f（x）＝2x+lnx﹣3的零点位于区间（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【考点】二分法的定义与应用．
【专题】函数的性质及应用．
【答案】B
【分析】本题利用根的存在性，利用已知选项，求出区间的端点值，从端点值的正负确定根所在的区间，得到本题结论．
【解答】解：∵函数f（x）＝2x+lnx﹣3，
∴f（1）＝21+ln1﹣3＝﹣1＜0，
f（2）＝22+ln2﹣3＝1+ln2＞0，
∴f（1） f（2）＜0．
∴函数f（x）＝2x+lnx﹣3有零点位于区间（1，2）．
∵函数f（x）＝2x+lnx﹣3在（0，+∞）单调递增，
∴函数f（x）＝2x+lnx﹣3的零点位于区间（1，2）．
故选：B．
【点评】本题考查的是根的存在性，本题思维难度不大，属于基础题．
3．已知函数f（x）＝x3﹣2x﹣1，现用二分法求函数f（x）在（1，3）内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（　　）
A． B． C． D．
【考点】二分法求函数零点的近似值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算求解．
【解答】解：函数f（x）＝x3﹣2x﹣1，
第一次计算f（2）＝3＞0，又f（1）＝﹣2＜0，f（3）＝20＞0，
由零点存在性定理知零点在区间（1，2）上，
而，
所以零点在区间上．
故选：A．
【点评】本题主要考查二分法的应用，属于基础题．
4．若函数f（x）＝x2﹣4x+m存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则m的取值集合是（　　）
A．（4，+∞） B．（﹣∞，4） C．{4} D．[4，+∞）
【考点】二分法及其适用条件．
【专题】对应思想；分析法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】本题可根据题意得出函数f（x）＝x2﹣4x+m仅有一个零点，然后通过判别式即可得出结果
【解答】解：因为函数f（x）＝x2﹣4x+m存在零点且不能用二分法求该函数的零点，
所以由二次函数性质易知，函数f（x）＝x2﹣4x+m仅有一个零点，
Δ＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，
故选：C．
【点评】本题考查二分法的定义及其应用，属于基础题．
5．小明同学在用二分法研究函数y＝f（x）在区间（0，1）的零点时，发现f（0）＞0，f（1）＜0，f（0.5）＜0，那么他下一步应计算（　　）
A．f（0.75） B．f（0.625） C．f（0.25） D．f（0.125）
【考点】二分法求函数零点的近似值．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】利用二分法求解即可．
【解答】解：由题意可知，函数在区间（0，1）上存在零点，且已知f（0）＞0，f（1）＜0，f（0.5）＜0，
由于f（0）＞0，f（0.5）＜0，
所以零点位于区间（0，0.5）内，为了进一步缩小区间，
下一步应计算区间（0，0.5）的中点，即f（0.25）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二分法的应用，属于基础题．
6．已知函数，用二分法求f（x）的零点近似值，零点所在大致区间为（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
【考点】二分法求函数零点的近似值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据二分法的定义和计算方法求解即可．
【解答】解：由函数，
可得函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），且函数f（x）单调递增，
因为，
，
，，
结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为（0，1）．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数零点判定定理的应用，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列命题为真命题的是（　　）
A．“ x∈R，x2+x+1＞0”的否定为“ x∈R，x2+x+1＜0”
B．若函数f（x）的定义域为R，则“f（0）＝0”是“函数f（x）为奇函数”的必要不充分条件
C．函数在区间[0，2]上的值域为
D．用二分法求方程x3﹣2x﹣5＝0在区间[2，3]内的实根，下一个有根区间是（2，2.5）
【考点】二分法求函数零点的近似值；必要不充分条件的判断；求全称量词命题的否定；简单函数的值域．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；简易逻辑；运算求解．
【答案】BCD
【分析】由全称命题的否定结构可判断A，由奇函数的定义可判断B，分离常数，通过函数单调性可判断C，由二分法操作原理可判断D．
【解答】解：A选项，“ x∈R，x2+x+1＞0”的否定为“ x∈R，x2+x+1≤0”，A选项错误．
B选项，函数f（x）的定义域为R，
当f（x）为奇函数，则f（0）＝0，
当f（0）＝0时，如f（x）＝x2，f（x）是偶函数，
所以“f（0）＝0”是“函数f（x）为奇函数”的必要不充分条件，B选项正确．
C选项，函数，可知：f（x）在区间[0，2]上单调递减，
所以值域为，C选项正确．
D选项，令t（x）＝x3﹣2x﹣5，t（3）＝27﹣6﹣5＝16＞0，t（2）＝8﹣4﹣5＝﹣1＜0，
方程x3﹣2x﹣5＝0在区间[2，3]上有实数解，，
所以下一个有根区间是（2，2.5），D选项正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查函数知识的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
（多选）8．下列关于函数y＝f（x），x∈[a，b]的说法中正确的有（　　）
A．若x0∈[a，b]，且满足f（x0）＝0，则x0是函数f（x）的一个零点
B．若x0是函数f（x）在区间[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值
C．函数f（x） 的零点是方程f（x）＝0的根，方程f（x）＝0的根也是函数f（x）的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似值
【考点】二分法的定义与应用．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若x0∈[a，b]且满足f（x0）＝0，则x0是f（x）的一个零点，A正确；
对于B，对于二次函数y＝x2，在区间[﹣1，1]上存在零点，但不可以二分法求x0的近似值，B错误；
对于C，函数f（x） 的零点是方程f（x）＝0的根，方程f（x）＝0的根也是函数f（x）的零点，C正确；
对于D，用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，D错误；
故选：AC．
【点评】本题考查二分法的应用，涉及函数零点的概念和函数零点与方程根的关系，属于基础题．
（多选）9．下列所给函数中，不能使用二分法求解其零点所在区间的有（　　）
A．
B．f（x）＝ex+e﹣x﹣2
C．
D．f（x）＝x2+4x+5
【考点】二分法及其适用条件；求解函数零点所在区间．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据二分法的定义结合零点存在性定理逐个分析判断即可．
【解答】解：f（x）在上连续且单调递增，
所以f（x）＞f（0）＝0，无零点，不能使用二分法，故A正确；
对于B，，当且仅当x＝0时取等号，
又零点左右函数值同号，不能使用二分法，故B正确；
对于C，因为y＝lgx和在（0，+∞）上连续且单调递增，所以f（x）在（0，+∞）上连续且单调递增，
因为，所以可以使用二分法，故C错误；
对于D，f（x）＝（x+2）2+1≥1，无零点，不能使用二分法，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查二分法的应用，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．用二分法研究函数f（x）＝x5+8x3﹣1的零点时，第一次经过计算得f（0）＜0，f（0.5）＞0，则第二次应计算的函数值是 f（0.25）　 ．
【考点】二分法求函数零点的近似值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】f（0.25）．
【分析】根据零点存在性定理，以及二分法的计算方法，得到第二次应计算，可得所求答案．
【解答】解：根据f（x）＝x5+8x3﹣1，第一次经过计算得f（0）＝﹣1＜0，f（0.5）＝0.55+8×0.53﹣1＞0，
根据f（0） f（0.5）＜0，可知零点x0∈（0，0.5），
结合二分法，可知下一个有根的区间是（0，0.25）或（0.25，0.5）．
因此，需判断f（）的正负，即第二次应计算f（0.25）的值，并判断正负．
故答案为：f（0.25）．
【点评】本题主要考查函数的零点存在性定理、二分法及其应用，属于基础题．
11．某同学利用二分法求函数f（x）＝lnx+2x﹣6零点时，利用计算器分别计算了x＝2，x＝2.5，x＝3三处的函数值，为了寻求函数零点更精准的近似值，则下一次需计算x的值为 　2.75　 ．
【考点】二分法求函数零点的近似值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】2.75．
【分析】根据二分法求函数零点的近似值．
【解答】解：对于函数y＝f（x）＝lnx+2x﹣6．
f（2）＝ln2+2×2﹣6＝ln2﹣2，ln2≈0.693，所以f（2）≈0.693﹣2＝﹣1.307．
f（2.5）＝ln2.5+2×2.5﹣6＝ln2.5﹣1，ln2.5≈0.916，所以f（2.5）≈0.916﹣1＝﹣0.084.2．
f（3）＝ln3+2×3﹣6＝ln3≈1.098
然后根据二分法的原理：由于f（2.5）＜0，f（3）＞0，所以零点在区间（2.5，3）内．
下一次需计算x值应该是区间（2.5，3）的中点，
即．
故答案为：2.75．
【点评】本题考查了二分法求函数零点的近似值，属于基础题．
12．已知函数在区间（1，2）上有一个零点x0，如果用二分法求x0的近似值（精确度为0.01），则应将区间（1，2）至少等分的次数为 　7　 ．
【考点】二分法的定义与应用．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】7．
【分析】利用二分法的定义，每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的，设等分n次，则区间长度变为原来的，列出关于n的不等关系0.01，求解即可得到答案．
【解答】解：由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的，
则等分n次后的区间长度变为原来的，
由题意可得0.01，即2n＞100＞26，
所以n＞6，
则至少等分的次数为7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了二分法的理解和应用，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．已知函数．
（1）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（2）用二分法求方程f（x）＝0在区间（1，+∞）上的一个近似解（精确度为0.1）．
【考点】二分法求方程的近似解．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）y＝f（x）在（1，+∞）单调递增，证明见解析；
（2）2.6（答案不唯一）．
【分析】（1）根据题意结合单调性的定义分析证明；
（2）根据单调性以及零点存在性定理可知f（x）在（1，+∞）内有且仅有一个零点x0∈（2，3），结合二分法分析求解．
【解答】解：（1）根据题意，y＝f（x）在（1，+∞）单调递增；
证明如下：
任取x1，x2∈（1，+∞），不妨设x1＜x2，
，
因为1＜x1＜x2，则x2﹣x1＞0，x1x2﹣1＞0，x1x2＞0，
可得f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
所以y＝f（x）在（1，+∞）上单调递增．
（2）因为函数在区间（1，+∞）上是连续且单调的，
可知其在区间（1，+∞）上的零点即为方程f（x）＝0在区间（1，+∞）上的解，
且f（2）＜0，f（3）＞0，可得f（x）在（1，+∞）内有且仅有一个零点x0∈（2，3），
在区间（1，+∞）上利用二分法列表如下：
区间 中点x0 中点函数值f（x0） 区间长度
（2，3） 1
此时解在区间，此区间长度为，，满足精确度为0.1，故区间，
即（2.5625，2.625）内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，比如2.6是方程f（x）＝0在（1，+∞）上的一个近似解．
【点评】本题考查函数零点判定定理，涉及函数函数单调性的判断，属于基础题．
14．如图，给出函数f（x）＝x2的部分图象．
（1）请在图中同一坐标系内画出函数g（x）＝2x的图象．设f（x）与g（x）在y轴左边的交点为A，试用二分法求出A的横坐标x0的近似解（精确度为0.3）；
（2）用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，请写出M（x）的解析式．
【考点】二分法求方程的近似解．
【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）画出函数g（x）＝2x的图象，如图所示：
可取x0为（或者区间内的任意值）；
（2）M（x）．
【分析】（1）画出函数g（x）＝2x的图象，利用二分法求解x0的近似解即可；
（2）根据函数f（x）＝x2和f（x）＝2x的图象，利用图象求解M（x）的解析式即可．
【解答】解：（1）画出函数g（x）＝2x的图象，如图所示：
令F（x）＝f（x）﹣g（x），则当x＜0时，方程F（x）＝0的近似解x0等价于求函数F（x）在（﹣∞，0）内的零点，
因为，F（0）＝f（0）﹣g（0）＝0﹣1＝﹣1＜0，
所以F（﹣1） F（0）＜0，由零点存在定理可知，x0∈（﹣1，0），
又因为，
所以，由零点存在定理可知，
又因为，
故，由零点存在定理可知，
因为，所以可取x0为（或者区间内的任意值）；
（2）由x2＝2x，得x＝x0，x＝2或x＝4，
结合（1）的图象，可得M（x）．
【点评】本题主要考查了二分法的应用，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
15．已知f（x）＝ln（x﹣1），．
（1）在答题卡第22题图中分别画出y＝f（x）、y＝g（x）的图象（不必写出画法，请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑）；
（2）用二分法求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点x0（精确度为0.3）；
（3） x＞1，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，当方程M（x）＝a有三个不同的实数根时，求实数a的取值范围．
【考点】二分法求函数零点的近似值．
【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象；运算求解．
【答案】（1）见解析；
（2）x0可取[3.5，3.75]中的任一个值；
（3）a∈（，）．
【分析】（1）根据对数函数和二次函数的性质和图象即可得出答案；
（2）因为f（x）﹣g（x）＝0可以等价于y＝f（x）与y＝g（x）的交点问题，由图知，因为f（3）＜g（3），f（4）＞g（4），所以x0∈（3，4），再由二分法的定义即可求出函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点x0；
（3）因为方程M（x）＝a可转化为y＝M（x）与y＝a的交点问题，结合图象即可得出答案
【解答】解：（1）图象如图所示：
（2）因为f（x）﹣g（x）＝0可以等价于y＝f（x）与y＝g（x）的交点问题，
由图知，因为f（3）＜g（3），f（4）＞g（4），所以x0∈（3，4），
因为f（3.5）＝ln2.5＜1，g（3.5）＝1.5＞1，
即f（3.5）＜g（3.5），所以x0∈（3.5，4），
又因为f（3.75）＝ln2.75＞1，g（3.75）1，
即f（3.75）＞g（3.75），所以x0∈（3.5，3.75），
而3.75﹣3.5＝0.25＜0.3，
所以x0可取[3.5，3.75]中的任一个值；
（3）因为方程M（x）＝a可转化为y＝M（x）与y＝a的交点问题，
如图，因为g（1），ln2.75＝lnlnln，
所以f（x0）＝ln（x0﹣1）≤ln2.75，
所以g（1）＞f（x0），
又g（x）max，
所以当a时，y＝M（x）与y＝a有三个交点，
所以实数a的取值范围是（，）．
【点评】本题考查了二次函数的性质、对数函数的性质、转化思想及数形结合思想，属于中档题．
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