四川省绵阳市元三维大联考2025-2026学年高三上学期第一次诊断考试数学试题 (含答案）

“元三维大联考”2023级高三第一次诊断考试
数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级 姓名 考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知，则的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D.
4. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. “”是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长.若增长为原来的2.5倍经过了10天，则增长为原来的5倍需要经过的天数约为（ ）（参考数据：）
A. 12 B. 15 C. 18 D. 20
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知定义在上的偶函数可导，的导数为是奇函数，则（ ）
A. B. 的一个周期为8
C. D. 的图象关于对称
10. 已知公比不等于1的等比数列的前项和为，且成等差数列，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 成等差数列
D. 若，则数列的最大项为
11. 已知函数的图象与直线，从左往右的连续4个交点依次为，且.则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的可能取值为
B. 若，则
C. 若，则
D.
三 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 与4的等差中项为__________.
13. 在中，，则__________.
14. 已知函数则使不等式成立的的取值范围是__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 函数的最小正周期为，且.
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数在区间上的值域.
16. 设函数.
（1）若，写出函数的单调区间；
（2）当时，，求实数的取值范围.
17. 已知数列满足：当时，，且数列为等比数列（为常数），.
（1）求常数的值及数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18. 已知函数的图象关于点对称.
（1）求的值；
（2）记函数在区间上的最大值为，求及的最小值；
（3）若存在实数，使得是函数的三个互异零点，求实数的取值范围.
19. 已知函数.
（1）请判断是否可以为偶函数，并说明理由；
（2）若在区间上有唯一的极值点和零点分别为.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.
参考答案
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. C.
2. D
3. B
4. D
5. A.
6. B
7. A
8. C
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. BCD
10. ACD
11. AC
三 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 【答案】1
13. 【答案】
14. .
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. （1）
（2）
16. （1）由题设，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为、.
（2）.
17. （1），
（2）
18. （1）
（2）；最小值为.
（3）
19. （1）不可以为偶函数；
（2）（i）；
（ii）要证：，由，
即证：，
即，令，
由（i）知，即证当时，恒成立，
令，
即证：在恒成立，注意到，
，
，且，
又由，知，
，且，
令，，
则，且，
令，，
则，当且仅当时等号成立，
则恒成立，
在单调递减，故，
在单调递减，故；
在单调递减，故，