用点差法解圆锥曲线的中点弦问题
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
以定点为中点的弦所在直线的方程
例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。
解：设直线与椭圆的交点为、
为的中点
又、两点在椭圆上，则，
两式相减得
于是
即，故所求直线的方程为，即。
例2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点平分的弦，且、
则，
，
两式相减，得
故直线
由 消去，得
这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。
评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。
过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。
解：设弦端点、，弦的中点，则
，
又
，
两式相减得
即
，即
点的坐标为。
例4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
解：设弦端点、，弦的中点，则
，
又
，
两式相减得
即，即
，即
由，得
点在椭圆内
它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为
求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例5、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。
解：设椭圆的方程为，则┅┅①
设弦端点、，弦的中点，则
，
，
又，
两式相减得
即
┅┅②
联立①②解得，
所求椭圆的方程是
四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
例6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，
两式相减得，
即
，，
这就是弦中点轨迹方程。
它与直线的交点必须在椭圆内
联立，得 则必须满足，
即，解得
五、注意的问题
（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简
( http: / / www.21cnjy.com )捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。解析几何专题——点差法
在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考.
求弦中点的轨迹方程
例1
已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.
解
设弦的两个端点分别为，的中点为.
则，（1），（2）
得：，
.
又，.
弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知椭圆内）.
例2
直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是
.
解
设，中点，则.
，过定点，.
又，（1），（2）
得：，
.
于是，即.
弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知抛物线内）.
求曲线方程
例3
已知的三个顶点都在抛物线上，其中，且的重心是抛物线的焦点，求直线的方程.
解
由已知抛物线方程得.设的中点为，则三点共线，且，分所成比为，于是，
解得，.
设，则.
又，（1），（2）
得：，.
所在直线方程为，即.
例4
已知椭圆的一条准线方程是，有一条倾斜角为的直线交椭圆于两点，若的中点为，求椭圆方程.
解
设，则，且，（1），（2）
得：，，
，，（3）
又，，（4）
而，（5）
由（3），（4），（5）可得，
所求椭圆方程为.
求直线的斜率
例5
已知椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列.（1）求证：；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率.
（1）证
略.
（2）解
，设线段的中点为.
又在椭圆上，，（1），（2）
得：，
.
直线的斜率，直线的方程为.
令，得，即，直线的斜率.
确定参数的范围
例6
若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围.
解
当时，显然满足.
当时，设抛物线上关于直线对称的两点分别为，且的中点为，则，（1），（2）
得：，，
又，.
中点在直线上，，于是.
中点在抛物线区域内
，即，解得.
综上可知，所求实数的取值范围是.
证明定值问题
例7
已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值.
证明
设且，
则，（1），（2）
得：，
，.
又，，（定值）.
处理存在性问题
例8
已知双曲线，过能否作直线，使与双曲线交于，两点，且是线段的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.
解
假设这样的直线存在，设的坐标分别为，则，，又，（1），（2）
得：，
的斜率
又直线过三点，的方程为
，即.
但若将代入整理得方程，而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在.
发表于《数理化解题研究》
