(共54张PPT)
第3讲
等式性质与不等式性质
聚焦·必备知识
突破·核心考点
限时规范训练
1
2
3
内容索引
1．掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．
◆课标要求
聚焦
必备知识
1．等式的基本性质
性质(1) ：如果a＝b，那么__________；
性质(2) ：如果a＝b，b＝c，那么__________；
性质(3) ：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质(4) ：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质(5) ：如果a＝b，c≠0，那么___________.
b＝a
a＝c
2．两个实数比较大小的基本事实
作差法(a，b∈R)．
3．不等式的性质
(1)对称性：a>b b
(2)传递性：a>b，b>c a>c；
(3)可加性：a>b a＋c______b＋c；a>b，c>d a＋c______b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0 ac ______bc；a>b，c<0 acb>0，c>d>0 ac______bd；
(5)可乘方性：a>b>0 an______bn(n∈N，n≥2)；
(6)可开方性：a>b>0 (n∈N，n≥2)．
>
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>
>
>
1．倒数性质的必备结论
(1)a>b，ab>0 <；
(2)a<0(3)a>b>0，0.
2．有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
(1)<；>(b－m>0)；
(2)>；<(b－m>0)．
1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)
(1)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( )
(2)a＝b ac＝bc.( )
(3)若>1，则a>b.( )
(4)0×
×
×
√
2．(多选)下列命题为真命题的是( )
A．若ac2>bc2，则a>b
B．若a>b>0，则a2>b2
C．若aD．若a
解析：ABD C项中，若a＝－2，b＝－1，则a2>ab>b2，故C错误；其余都正确．
ABD
3．设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为________．
解析：M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1>0.故M>N.
答案：M>N
4．已知2解析：由2答案：(5，8)
例1 (1)(2025·广东韶关质量检测)若a＝，则( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>b>a D．b>c>a
A
突破
核心考点
比较两个数(式)的大小
解析：A 因为a－c＝>0，所以a>c.
c－b＝，
因为2－2＝4>0，
且2>0，2>0，所以2>所以c－b>0，所以c>b.综上知，a>c>b.故选A.
(2)P＝a2＋a＋1，Q＝(a∈R)，则P，Q的大小关系为________．
解析：因为P＝a2＋a＋1＝2＋>0，a2－a＋1＝2＋>0，则Q>0.
由＝(a2＋a＋1)(a2－a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝a4＋a2＋1≥1，所以P≥Q.
答案：P≥Q
反思感悟 比较两个数(式)大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
跟踪训练1 (1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为( )
A．M>N B．M＝N
C．M解析：A 因为M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，又a≠b，
所以(a－b)2>0，即M>N.
A
(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________．
解析：＝π－e，
又0<<1，0<π－e<1，
所以π－e<1，即<1，
即eπ·πe答案：eπ·πe例2 (1)已知a，b，c为实数，则下列结论正确的是( )
A．若>，则a>b
B．若a>b，则ac2>bc2
C．若<，则acD．若aC
不等式的基本性质
解析：C 对于A，若>，当c<0时，根据不等式的性质得ab，则当c＝0时，ac2＝bc2，所以ac2>bc2不成立，故B错误；对于C，若<，则c≠0，又c2>0，不等式两边同时乘c2，得acb2，故D错误．
(2)(多选)(2025·河北邢台模拟)已知实数a，b，c满足0A．>
B．lg >0
C．>
D．>
BCD
解析：BCD 因为0b－a>0，则<，故A错误；又>1，所以lg >0，故B正确；因为0，故C正确；因为>0，所以>，故D正确．故选B、C、D.
反思感悟 判断不等式是否成立的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证．
(2)利用特殊值法排除错误选项．
(3)作差法．
(4)构造函数，利用函数的单调性判断．
跟踪训练2 (1)(多选)(人教A版必修第一册P42练习第2题变式)下列命题为真命题的是( )
A．若a>b，则a2>b2
B．若aab>b2
C．若a>b，c>d，则a－d>b－c
D．若a>b，则<
BC
解析：BC 对于A，若a>b，则a2>b2不一定成立，如当a＝2，b＝－3时，满足a>b，但此时a20，ab－b2＝b(a－b)>0，所以a2>ab>b2，故B正确；对于C，由c>d得－d>－c，又a>b，所以a－d>b－c，故C正确；对于D，由a>b无法确定a，b的正负情况，所以的正负情况无法确定，故与的大小关系无法确定，故D错误．故选B、C.
(2)(多选)(人教A版必修第一册P43习题2.1第8题变式)已知b>a>0，则下列不等式一定成立的是( )
A．b2>a2 B．ab>a2
C．－<－ D．－1>0
解析：ABD 因为b>a>0，所以b2>a2，ab>a·a＝a2，A、B正确；由b>a>0可知<，两边同乘以－1，得－>－，C错误；由b>a>0，得>1，则－1>0，D正确．故选A、B、D.
ABD
例3 (2025·陕西西安模拟)已知－1A．－15B．－4C．－2D．当b≠0时，－<<5
D
不等式性质的应用
解析：D 由题知－1对于A，若则－15反思感悟 (1)利用不等式性质求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体取值范围．
(2)解题时应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时，有可能扩大了变量的取值范围．
跟踪训练3 (1)已知6A．<< B．21C．－12解析：C ∵15C
(2)已知(x－1)2＞4，则的取值范围是________．
解析：因为(x－1)2＞4，所以x－1＞2或x－1＜－2，即x＞3或x＜－1.当x＞3时，0＜＜，所以∈；当x＜－1时，－1＜＜0，所以∈(1，2)．
故的取值范围是(1，2)∪.
答案：(1，2)∪
典例 (2024·九省联考)新定义max M表示数集M中最大的数．设0解析：设那么
①若b≥2a，则1－y－z≥2(1－x－y－z)，
从而2x＋y＋z≥1，
记m＝max{b－a，c－b，1－c}，从而
所以4m≥2x＋y＋z≥1，解得m≥.
②若a＋b≤1，则1－x－y－z＋1－y－z≤1，
从而x＋2y＋2z≥1，
记m＝max{b－a，c－b，1－c}，从而
所以5m≥x＋2y＋2z≥1，解得m≥.
综上，m≥，即max{b－a，c－b，1－c}的最小值为.
答案：
风向解读 本题注重对数学思维品质的考查，由于目标函数变量较多，采用换元法令使命题简化，使得原命题等价于求M＝max{x，y，z}的最小值．依据约束条件，分为两个子命题探究，突显了新高考改革的命题特点和趋势．
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?A级 基础落实练?
1．已知a>0，b>0，M＝，则M与N的大小关系为( )
A．M>N
B．MC．M≤N
D．M，N大小关系不确定
解析：B M2－N2＝(a＋b)－＝－2<0，∴M限时规范
训练 等式性质与不等式性质
B
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2．已知a，b为非零实数，且a>b，则下列结论中正确的是( )
A．a2>b2 B．>
C．> D．>
解析：D 对于A，若0>a>b，则a2b>0，则<，故B错误；对于C，若a>b>0，则ab>0，a2>b2，不等式两边同时除以ab，得>，故C错误；对于D，a>b且a，b为非零实数，则>0，即>，故D正确．
D
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3．(2025·河南安阳期中)若a>b>0>c，则( )
A．(a－b)c>0 B．>
C．a－b>a－c D．<
解析：B 对于A，不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，则(a－b)c＝－1<0，故A错误；对于B，由a>b>0得<，又c<0，所以>，故B正确；对于C，当a＝2，b＝1，c＝－1时，a－b＝1，a－c＝3，故C错误；对于D，当b＋c＝0时，没有意义，故D错误．故选B.
B
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4．若－π<α<β<π，则α－β的取值范围是( )
A．－2π<α－β<2π B．0<α－β<2π
C．－2π<α－β<0 D．{0}
解析：C ∵－π<β<π，∴－π<－β<π，
又－π<α<π，∴－2π<α－β<2π，
又α<β，∴α－β<0，
∴－2π<α－β<0.
C
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5．(2025·江苏扬州高邮调研)设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式中正确的是( )
A．ac2>bc2 B．>
C．a2>ab>b2 D．>
解析：C A选项，当c＝0时，ac2＝bc2＝0，A错误；B选项，，因为a>b>0，所以b－a<0，则<0，故<，B错误；C选项，a>b>0，对a>b两边同乘以a得a2>ab，对a>b两边同乘以b得ab>b2，故a2>ab>b2，C正确；D选项，因为a>b>0，所以ab>0，对a>b两边同除以ab得>，D错误．故选C.
C
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6．已知a，b，c∈R，且满足a－b＝x2＋y2－x＋1，a－2b＋c＝x＋2y－2，则( )
A．b>c>a B．c>b>a
C．c>a>b D．a>b>c
解析：D 因为a－b＝x2＋y2－x＋1＝2＋y2＋>0，所以a>b，
由a－b＝x2＋y2－x＋1， ①
a－2b＋c＝x＋2y－2， ②
由①－②得b－c＝x2－2x＋y2－2y＋3＝(x－1)2＋(y－1)2＋1>0，所以b>c，故a>b>c.
D
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7．已知－3A．(1，3) B．
C． D．
解析：A 因为－3而3故的取值范围为(1，3)．
A
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8．若c>b>a>0，则( )
A．abbc>acbb B．2ln bC．a－>b－ D．logac>logbc
解析：A 对于A，由于＝ab－cbc－b＝b－c>1，所以abbc>acbb成立，故A正确；
对于B，2ln b＝ln b2，ln a＋ln c＝ln ac，b2与ac大小不能确定，故B错误；
对于C，由于a－－＝(a－b)<0，故C错误；对于D，令c＝1，则logac＝logbc＝0，故D错误．
A
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9．(多选)如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列结论中一定正确的是( )
A．ab＞ac B．cb2＜ab2
C．c(b－a)＞0 D．ac(a－c)＜0
解析：ACD 由c＜b＜a，且ac＜0，得a＞0，c＜0.对于A，由c＜b，a＞0得ac＜ab，故A正确．对于B，取c＝－1，b＝0，a＝1，显然B不一定正确．对于C，b－a＜0，c＜0，故c(b－a)＞0，故C正确．对于D，ac＜0，a－c＞0，故ac(a－c)＜0，故D正确．故选A、C、D.
ACD
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10．(多选)(2025·辽宁沈阳模拟)已知非零实数a，b满足a>|b|＋1，则下列不等关系一定成立的是( )
A．a2>b2＋1 B．2a>2b+1
C．a2>4b D．>b＋1
ABC
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解析：ABC 对于非零实数a，b满足a>|b|＋1，则a2>(|b|＋1)2，
即a2>b2＋2|b|＋1>b2＋1，故A一定成立；
因为a>|b|＋1≥b＋1 2a>2b+1，故B一定成立；
又(|b|－1)2≥0，即b2＋1≥2|b|，
结合a2＞b2＋2|b|＋1，
所以a2>4|b|≥4b，故C一定成立；
令a＝5，b＝3，满足a>|b|＋1，
此时＝11
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11．(多选)(2025·江苏南通部分学校联考)已知b g糖水中含有a g糖(其中b>a>0)，若再添加m(m>0)g糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了．根据这个事实，下列不等式中一定成立的有( )
A．<
B．<
C．(a＋2m)(b＋m)<(a＋m)(b＋2m)
D．若b>1，则<
ABD
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解析：ABD 对于A，由题意可知<，A正确；对于B，易知m<2m，所以<，B正确；对于C，<，即(a＋m)(b＋2m)<(a＋2m)(b＋m)，C错误；对于D，若b>1，则3b－1>2，则<<，D正确．故选A、B、D.
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12．能够证明“已知a，b，c是任意实数．若a2>b2>c2，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．
解析：令a＝－3，b＝－1，c＝0，则a2>b2>c2，此时a＋b＝－4<0，所以a＋b>c是假命题．
答案：－3，－1，0(答案不唯一)
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13．若1<α<3，－4<β<2，则2α＋|β|的取值范围是________．
解析：∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，
又1<α<3，∴2<2α<6，∴2<2α＋|β|<10.
答案：(2，10)
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14．若P＝(a≥0)，则P，Q的大小关系为________．(用“<”“≤”或“＝”连接)
解析：依题意可知，P>0，Q>0，a≥0，
P2＝2a＋7＋2所以P2答案：P15
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?B级 能力提升练?
15．已知a－b∈[5，27]，a＋b∈[6，30]，则7a－5b的取值范围是( )
A．[－24，192] B．[－24，252]
C．[36，252] D．[36，192]
D
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解析：D 设7a－5b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，
所以解得
所以7a－5b＝6(a－b)＋(a＋b)．
又a－b∈[5，27]，a＋b∈[6，30]，所以7a－5b＝6(a－b)＋(a＋b)∈[36，192].故选D.
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16．如果x<0，0解析：法一：因为三个式子的值很明显都是负数，且＝y∈(0，1)，所以>；
同理＝y∈(0，1)，所以>.
综上，<<.
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法二：因为>0，所以>；因为>0，所以>，所以>>.
答案：>>
第3讲 等式性质与不等式性质
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第4讲
基本不等式
聚焦·必备知识
突破·核心考点
限时规范训练
1
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内容索引
1．了解基本不等式的证明过程．2.能用基本不等式解决简单的最值问题．
◆课标要求
聚焦
必备知识
1．基本不等式
(a>0，b>0)，等号成立的条件：当且仅当_______时取等号．
2．两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥_______(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
a＝b
2ab
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值____________．
(2)已知x，y都是正数，如果x＋y的和等于定值S，那么当x＝y时，积xy有
最大值．__________ ．
2
利用基本不等式求最值的注意点
(1)满足“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，易出错．
(2)一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致(等号同时成立).
1．≥2(a，b同号且不为0)，当且仅当a＝b时取等号．
2．ab≤2≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．( )
(2)函数y＝x＋的最小值是2.( )
(3)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.( )
(4)“x>0且y>0”是“≥2”的充要条件.( )
×
×
×
×
2．已知a>0，b>0且2a＋5b＝10，则ab的最大值为( )
A．2 B．5
C． D．
解析：D 因为2a＋5b＝10≥2，所以ab≤，当且仅当a＝，b＝1时，等号成立．
所以ab的最大值为.
D
3．已知x>－1，则x＋的最小值为________．
解析：x＋＝(x＋1)＋－1
≥2－1＝2－1＝1，
当且仅当x＋1＝，即x＝0时等号成立．
答案：1
4．设a>0，b>0，2a＋b＝1，则的最小值为________．
解析：因为a>0，b>0，2a＋b＝1，所以＝(2a＋b)＝6＋.
当且仅当，即a＝时等号成立．
答案：6＋4
例1 (1)(2025·湖北武汉期末)已知正数a，b满足a＋2b＝1，则( )
A．ab≥ B．ab>
C．0C
解析：C 因为a>0，b>0，a＋2b＝1≥当且仅当a＝2b时，等号成立，所以，0突破
核心考点
直接法求最值
(2)(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是( )
A．y＝x2＋2x＋4
B．y＝
C．y＝2x＋22-x
D．y＝ln x＋
C
解析：C 对于A，因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，
(难点突破：利用配方法或二次函数的图象与性质，均可轻松求解最值问题)
所以当x＝－1时，y取得最小值，且ymin＝3，所以选项A不符合题意．
对于B，法一：因为y＝＝4，所以y≥4，当且仅当|sin x|＝＝2时不等式取等号，但是根据正弦函数的有界性可知|sin x|＝2不可能成立，
(易错提醒：利用基本不等式求最值时，必须关注其中的“等号”能否取到)
因此可知y>4，所以选项B不符合题意．
法二：设|sin x|＝t，则t∈(0，1]，根据函数y＝t＋在(0，1]上单调递减可得ymin＝1＋＝5，所以选项B不符合题意．
(难点突破：“换元”，构造函数，灵活运用对勾函数的单调性)
对于C，因为y＝2x＋22-x≥2＝4，当且仅当2x＝22-x，即x＝2－x，即x＝1时不等式等号成立，
(归纳总结：利用基本不等式求最值时，必须给出“取等号”的具体条件)
所以ymin＝4，所以选项C符合题意．
对于D，当0(易错提醒：利用基本不等式求“和”的最小值时，必须满足各项均为正数)
所以选项D不符合题意．
(注意：当x>1时，因为ln x>0，所以y＝ln x＋＝4，当且仅当ln x＝，即ln x＝2，x＝e2时不等式等号成立，所以此时ymin＝4.据此可知，只有限制x>1，选项D才是符合题意的)
综上，所给函数中最小值为4的是选项C中的函数．故选C.
反思感悟 在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等．基本不等式具有“积式”与“和式”的互化功能，为了达到求最值的目的，有时需多次使用基本不等式，但不要忽视每次取等号的条件应是相同的．
跟踪训练1 (1)(－6解析：∵－60，a＋6>0，，
当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时等号成立．
答案：
(2)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．
解析：∵ab>0，
∴
≥2
≥2＝4.
当且仅当时，
即a2＝时等号成立．
答案：4
例2 (多选)下列说法正确的有( )
A．若x<，则2x＋的最大值为－1
B．若x>－2，则≥4
C．若0D．若x<1，则的最大值为－5
配凑法求最值
ABD
解析：ABD 对于A，因为x<，所以2x－1<0，1－2x>0，所以2x＋＝(2x－1)＋＋1＝－＋1≤－2＋1＝
－1(当且仅当x＝0时等号成立)，此时2x＋有最大值－1，故A正确；对于B，因为x>－2，所以x＋2>0，所以＝4，当且仅当，即x＝2时等号成立，故B正确；对于C，y＝4x(3－2x)＝2·2x·(3－2x)≤2·2＝.当且
仅当2x＝3－2x，即x＝时等号成立，所以当x＝时，ymax＝，故C错误；对于D，＝－＋1≤－2＋1＝－5.当且仅当－(x－1)＝－，即x＝－2时，等号成立，故D正确．故选A、B、D.
反思感悟 配凑法的运用技巧
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、配系数、凑常数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式(例如：凑成x＋(a>0)，的形式等)，然后利用基本不等式求解最值．拆项、添项应注意检验应用基本不等式的前提条件．
跟踪训练2 (1)已知x＞2，则＋x的最小值是________．
解析：由x>2知x－2>0，则＋(x－2)＋2≥2＋2＝6，当且仅当＝x－2，即x＝4时等号成立，所以＋x的最小值是6.
答案：6
(2)设0解析：因为0所以y＝·(2x)，当且仅当4x2＝1－4x2，即x＝时等号成立．
答案：
例3 (1)若a>0，b>0，3a＋2b＝6，则的最小值为( )
A．6 B．5
C．4 D．3
C
解析：C 因为a>0，b>0，3a＋2b＝6，所以(3a＋2b)＝＝4，当且仅当3a＝2b＝3时，等号成立，即的最小值为4.
常数代换法求最值
(2)已知x>0，y>0，且4x＋2y－xy＝0，则2x＋y的最小值为( )
A．16 B．8＋4
C．12 D．6＋4
A
解析：A 由题意可知＝1，
∴2x＋y＝(2x＋y)
＝＋8＝16，
当且仅当，即x＝4，y＝8时，等号成立，则2x＋y的最小值为16.
反思感悟 常值代换法：当式子中含有两个变量，且条件和所求的式子分别为整式和分式时，当整式或分式有一个为定值时，即①已知a>0，b>0，x>0，y>0，若ax＋by＝1，则＝(ax＋by)＝a＋b＋＝2(当且仅当时等号成立)．②已知a>0，b>0，x>0，y>0，若＝1，则有x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＝2(当且仅当时等号成立)．
由上可知，构造(ax＋by)(a，b，m，n为常数)的结构，利用(ax＋by)＝am＋bn＋(当且仅当时等号成立)求解最值是非常有效的．
跟踪训练3 (1)(2025·湖南师范大学附属中学期末)已知正数x，y满足20x＋21y＝xy，则的最小值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：C 由20x＋21y＝xy，左右两边同时除以xy，得＝1，所以＝＝2＋＝2＋2＝4，当且仅当且＝1，即x＝42，y＝40时，等号成立．故选C.
C
(2)(2025·重庆巴蜀中学适应性考试)已知正实数a，b满足＝1，则a＋2b的最小值为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
解析：B ∵正实数a，b满足＝1，∴a＋2b＝a＋b＋b＋1－1＝(a＋b＋b＋1)－1＝5＋－1＝8，当且仅当a＋b＝2(b＋1)，即a＝4，b＝2时等号成立．故选B.
B
例4 若正数x，y满足x2＋xy－3＝0，则4x＋y的最小值是( )
A．3 B．6
C．2 D．4
解析：B 因为正数x，y满足x2＋xy－3＝0，所以y＝－x，由y>0，得－x>0，因为x>0，所以3－x2>0，即0B
消元法求最值
反思感悟 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值．
跟踪训练4 设正实数x，y，z满足x2－xy＋y2－z＝0，则的最大值为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：D z＝x2＋y2－xy，则＝1，当且仅当x＝y时，等号成立，故的最大值为1.
D
基本不等式链
若a>0，b>0，则≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立．其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数，叫做算术平均数，叫做几何平均数．此不等式等号成立的条件都是a＝b，这个大小关系常应用于不等式求最值、求参数或恒成立问题的求解．根据题目需要选择合适的形式．
训练 (多选)设a>0，b>0，a＋b＝1，则下列结论正确的是( )
A．ab的最大值为
B．a2＋b2的最小值为
C．的最小值为9
D．的最小值为
ABC
解析：ABC 法一：对于A，因为a>0，b>0，a＋b＝1，则ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确；
对于B，因为2≤，故a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，即a2＋b2的最小值为，故B正确；
对于C，＝(a＋b)＝5＋＝9，当且仅当且a＋b＝1，即b＝时等号成立，所以的最小值为9，故C正确；
对于D，2＝1＋2＝2，故，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以的最大值为，故D错误．故选A、B、C.
法二：对于A，由，故ab≤，
当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确；
对于B，由≤，故，
即a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，故B正确；
对于C，＝(a＋b)
＝5＋＝9，
当且仅当a＝时等号成立，故C正确；
对于D，由≤得
≤，即，
当且仅当a＝b＝时等号成立，故D不正确．
3
4
5
6
7
8
9
10
12
13
14
15
16
11
1
2
?A级 基础落实练?
1．已知a>0，b>0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为( )
A． B．4
C． D．2
解析：D 由题意得4＝2a＋b≥2，
即2≥，两边平方得4≥2ab，
∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，
∴ab的最大值为2.
限时规范
训练 基本不等式
D
2
1
3
4
5
6
7
8
9
10
12
13
14
15
16
11
2．已知x>0，y>0，且x＋y＝7，则(1＋x)(2＋y)的最大值为( )
A．36 B．25
C．16 D．9
解析：B 法一：由x＋y＝7，得(x＋1)＋(y＋2)＝10，则(1＋x)(2＋y)≤＝25，当且仅当1＋x＝2＋y，即x＝4，y＝3时等号成立，所以(1＋x)·(2＋y)的最大值为25.故选B.
法二：因为x＋y＝7，所以y＝7－x，因为x>0，y>0，所以0B
2
3
1
4
5
6
7
8
9
10
12
13
14
15
16
11
3．已知x>2，y＝4x＋，则y的最小值为( )
A．8 B．10
C．12 D．14
解析：C ∵x>2，∴y＝4x＋＝4(x－2)＋＋8＝12，当且仅当4(x－2)＝，即x＝时等号成立．故选C.
C
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
12
13
14
15
16
11
4．(2025·河南开封模拟)若log2a＋log2b＝3，则a＋b的最小值为( )
A．2 B．4
C．2 D．4
解析：B 因为log2a＋log2b＝log2ab＝3，所以ab＝8且a>0，b>0，所以a＋b≥2且仅当a＝b＝2时，等号成立，故a＋b的最小值为4.故选B.
B
2
3
4
5
1
6
7
8
9
10
12
13
14
15
16
11
5．(2025·山东聊城期中)已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，则3x＋9y的最小值为( )
A．2 B．3
C．3 D．2
解析：A 因为x>0，y>0，且x＋2y＝1，所以3x＋9y≥2，当且仅当即时等号成立，所以3x＋9y的最小值为2.故选A.
A
2
3
4
5
6
1
7
8
9
10
12
13
14
15
16
11
6．(2025·河南部分重点中学质量检测)已知a>0，b>0，则a＋2b＋的最小值为( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：D 由于a>0，b>0，所以a＋2b＋1>0，由a＋2b＋＝(a＋2b＋1)＋－1＝3，
当且仅当a＋2b＝1时等号成立，可得a＋2b＋的最小值为3.
D
7
8
9
10
12
13
14
15
16
11
1
3
4
5
6
2
7．(2025·甘肃武威阶段考)若a>0，b>0，且a＋2b＝ab，则2a＋b的最小值为( )
A．6 B．9
C．4 D．8
B
7
8
9
10
12
13
14
15
16
11
1
3
4
5
6
2
解析：B 法一：由a＋2b＝ab得b＝，因为a>0，b>0，所以a>2，2a＋b＝2a＋＝2(a－2)＋＋5＝9，当且仅当a－2＝，即a＝b＝3时，等号成立，所以2a＋b的最小值为9.
法二：因为a>0，b>0，且a＋2b＝ab，所以＝1，
因为2a＋b＝(2a＋b)＝5＋＝9，当且仅当，即a＝b＝3时，等号成立，所以2a＋b的最小值为9.故选B.
8
9
10
12
13
14
15
16
11
1
3
4
5
6
7
2
8．(2025·江西南昌部分学校联考)若－1A．9 B．6
C．3 D．1
解析：C 因为－10，2－a>0，(1＋a)＋(2－a)＝3，所以(1＋a＋2－a)＝＝3，当且仅当，即a＝0时等号成立，所以的最小值是3.故选C.
C
9
10
12
13
14
15
16
11
1
3
4
5
6
7
8
2
9．(多选)(2025·广东深圳质量监测)下列命题中是真命题的有( )
A． x>0，x＋≥2
B． x<0，x＋>－2
C． x>0，
D． x<0，
AD
9
10
12
13
14
15
16
11
1
3
4
5
6
7
8
2
解析：AD 对于A，利用基本不等式可得 x>0，x＋＝2，
当且仅当x＝1时，等号成立，故A正确；
对于B，对于 x<0，－x>0，x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当x＝－1时，等号成立，故命题 x<0，x＋>－2为假命题，故B错误；
对于C，易知对于 x>0，，当且仅当x＝1时，等号成立，故C错误；
对于D，易知当x＝－1时，，即 x<0，，故D正确．
10
12
13
14
15
16
11
1
3
4
5
6
7
8
9
2
10．(多选)(2025·安徽名校联考)已知实数a，b满足a>b>0且a＋b＝2，则下列结论中正确的有( )
A．a2＋b2>2 B．≥9
C．ln a＋ln b>0 D．a＋>b＋
AB
10
12
13
14
15
16
11
1
3
4
5
6
7
8
9
2
解析：AB 对于A，因为a>b>0且a＋b＝2，由基本不等式a2＋b2>2ab，得a2＋b2＝>(a2＋b2＋2ab)＝(a＋b)2＝2(或由不等式>2直接得到)，故A正确；
对于B，(a＋b)＝＝9，当且仅当，即a＝时等号成立，故B正确；
对于C，ln a＋ln b＝ln (ab)对于D，因为ab<2＝1，所以011
12
13
14
15
16
1
3
4
5
6
7
8
9
10
2
11．(多选)(2025·重庆调研)已知x>0，y>0，且x＋y＋xy－3＝0，则下列结论正确的是( )
A．xy的取值范围是(0，9]
B．x＋y的取值范围是[2，3)
C．x＋2y的最小值是4－3
D．x＋4y的最小值是3
BC
11
12
13
14
15
16
1
3
4
5
6
7
8
9
10
2
解析：BC 对于A，因为x>0，y>0，x＋y＋xy－3＝0，所以3－xy＝x＋y≥2，所以0<≤1，即0对于B，由x＋y＋xy－3＝0，得3－(x＋y)＝xy≤2，当且仅当x＝y时取等号，即(x＋y)2＋4(x＋y)－12≥0，结合x>0，y>0，得x＋y≥2.又3－(x＋y)＝xy>0，所以x＋y<3，即2≤x＋y<3，故B正确．
对于C，由x＋y＋xy－3＝0，得x＝，所以x＋2y＝－1＋＋2(y＋1)－3≥－3，当且仅当＝2(y＋1)，即y＝－1时等号成立，故C正确．
11
12
13
14
15
16
1
3
4
5
6
7
8
9
10
2
对于D，由C选项知x＝－1＋，则x＋4y＝－1＋＋4(y＋1)－5≥＝3，当且仅当＝4(y＋1)，即y＝0或y＝－2时等号成立，而y>0，故不能取等号，所以x＋4y>3，故D不正确．综上所述，选B、C.
12
13
14
15
16
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
12．已知正数x，y满足x＋＝2，则的最小值是________．
解析：因为x，y为正数，由基本不等式可得2＝x＋，所以，
当且仅当即当x＝4y＝1时，等号成立，故的最小值为.
答案：
13
14
15
16
1
3
4
5
6
7
8
9
10
12
11
2
13．函数y＝(x>－1)的最小值为________．
解析：因为y＝－2(x>－1)，
所以y≥2－2＝0，
当且仅当x＝0时，等号成立．
所以y＝(x>－1)的最小值为0.
答案：0
14
15
16
1
3
4
5
6
7
8
9
10
12
13
11
2
14．(2025·河北张家口期中)已知a>0，b>0，且有a2＋4ab＝，则a＋2b的最小值为________．
解析：(a＋2b)2＝a2＋4ab＋4b2＝＝16，当且仅当＝4b2，即b＝时等号成立，由于a>0，b>0，所以a＋2b≥4，所以a＋2b的最小值为4.
答案：4
15
16
1
3
4
5
6
7
8
9
10
12
13
14
11
2
?B级 能力提升练?
15．(2025·安徽宣城期末)已知x＋y＝1，且x>0，y>0，则的最小值是( )
A． B．
C．1 D．
B
15
16
1
3
4
5
6
7
8
9
10
12
13
14
11
2
解析：B 由x＋y＝1得＝1，于是＝＝，
又x>0，y>0，所以>0，>0，
因此，当且仅当，即时等号成立．故的最小值为.
16
1
3
4
5
6
7
8
9
10
12
13
14
15
11
2
16．若ab>0，则下列不等式中不一定成立的是( )
A．a2＋b2≥2ab
B．a2＋b2≥－2ab
C．≥
D．≥2
C
16
1
3
4
5
6
7
8
9
10
12
13
14
15
11
2
解析：C 由重要不等式可得，a2＋b2≥2|ab|≥±2ab，故A，B选项中的不等式均一定能成立．当a<0，b<0时，<0<，故C选项中的不等式不一定成立．当ab>0时，则>0，>0，由基本不等式，得＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，故D选项中的不等式一定能成立．故选C.
第4讲 基本不等式
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第5讲
基本不等式的应用
突破·核心考点
限时规范训练
1
2
内容索引
1．会求解与基本不等式有关的恒成立问题.2.能够利用基本不等式解决实际应用问题．
◆课标要求
例1 (1)已知x>0，y>0，且，若x＋2＋y>m2＋5m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－4，6) B．(－1，6)
C．(－4，2) D．(－6，1)
D
突破
核心考点
利用基本不等式求参数值或取值范围
解析：D 由题意，x＋2＋y＝[(x＋2)＋y]×＝＝6，当且仅当，即x＝1，y＝3时等号成立，
所以m2＋5m<6，即m2＋5m－6<0，
解得－6(2)已知a>0，若关于x的不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
C
解析：C 因为x>－1，x＋1>0，所以x＋－1，当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，等号成立，所以x＋有最小值为
因为不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，
所以2－1≥3，解得a≥4，所以a的最小值为4，故选C.
反思感悟 (1)解与基本不等式有关的恒成立问题，一般都要转化为利用基本不等式求最值解决．
(2)利用基本不等式确定等号成立的条件，也可得到参数的值或取值范围．
跟踪训练1 (1)对任意的x∈(－∞，0)，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围为( )
A．{m|－22}
C．{m|m>－2} D．{m|m≤－2}
解析：C 因为对任意的x∈(－∞，0)，x2－mx＋1>0恒成立，
即mx对任意的x∈(－∞，0)恒成立，
因为x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，所以x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立，所以m>－2.
C
(2)若不等式恒成立，则实数m的最大值为( )
A．2 B．3
C．4 D．9
解析：D 由题意≥m恒成立，即5＋≥m恒成立．
又5＋＝9，当且仅当a＝b时等号成立，故实数m的最大值为9.
D
例2 某火车站准备在A仓库，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3 m，底面积为12 m2，且背面靠墙的长方体形状的保管室，由于保管室的后背靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的如下报价：保官室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设保管室的左、右两面墙的长度均为x m(2≤x≤4).
(1)当左、右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管室的建造竞标，其给出的整体报价为元(a>0)，若无论左、右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围．
基本不等式的实际应用
解：(1)设甲工程队的总造价为y元，依题意，左、右两面墙的长度均为xm(2≤x≤4)，则屋子前面新建墙体长为 m，则
y＝3＋7200，
即y＝900＋7200≥900×2＋7200＝14400，
当且仅当x＝，即x＝4时，等号成立，
故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元．
(2)由题意可知，当900＋7200>对任意的x∈[2，4]恒成立，
即>，所以>a，
即a＋6≥2＋6＝12，
当x＋1＝，x∈[2，4]，即x＝2时，的最小值为12，即0反思感悟 利用基本不等式解决实际问题的思路
(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为关于自变量的函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的表达式后，只需利用基本不等式或函数的性质求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
跟踪训练2 甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时(为保证质量要求1≤x≤10)的速度匀速生产，每小时可消耗A材料(kx2＋9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．
(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数；
(2)要使生产1000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应采用何种生产速度？并使得消耗的A材料最少．
解：(1)由题意得k＋9＝10，解得k＝1，因为生产m千克该产品需要的时间是，所以y＝＝m，1≤x≤10.
(2)由(1)知，生产1000千克该产品消耗的A材料为y＝1000≥1000×2＝6000(千克)．
当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立，
故工厂应选取3千克/时的生产速度，此时消耗的A材料最少，最少为6000千克．
3
4
5
6
7
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?A级 基础落实练?
1．已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为( )
A．8 B．8＋4
C．8＋8 D．16＋8
解析：C 设三角形的两条直角边长为a，b，可得ab＝32，
三角形的周长为a＋b＋，当且仅当a＝b＝4时等号成立．
限时规范
训练 基本不等式的应用
C
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2．若a>1，b>1，且a≠b，则a2＋b2，2ab，a＋b，的最大值是( )
A．a2＋b2 B．2ab
C．a＋b D．2
解析：A 因为a>1，b>1，所以a2＋b2>a＋b，根据基本不等式可知a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，因为a≠b，所以a2＋b2>2ab，同理a＋b>2，
综上所述，上述四个式子中的最大值为a2＋b2.
A
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3．已知x>0，y>0，且＝1，若2x＋yA．(－∞，－1)∪(9，＋∞)
B．(－∞，－1)∪[9，＋∞)
C．(－9，－1)
D．[－9，1]
A
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解析：A 因为x>0，y>0，且＝1，所以2x＋y＝(2x＋y)＝5＋＝9，当且仅当，且＝1，即x＝y＝3时等号成立，此时2x＋y取得最小值9，
若2x＋y9或m<－1，
即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
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4．某品牌最新款手机发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则( )
A．x＝ B．x≤
C．x> D．x≥
B
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解析：B 依题意得80(1＋a)(1＋b)＝80(1＋x)2，而a>0，b>0，x>0，因此1＋x＝，当且仅当a＝b时等号成立，所以x≤.
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5．若对于任意的x>0，不等式≥a恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．[5，＋∞) B．(5，＋∞)
C．(－∞，5] D．(－∞，5)
解析：C 令f(x)＝，由题意可得a≤f(x)min，f(x)＝x＋＋3＝5，
当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，a≤f(x)min＝5，所以实数a的取值范围为(－∞，5].
C
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6．假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S＝，其中p为三角形周长的一半，这个公式称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＋b＝6，c＝4，则此三角形面积的最大值为( )
A． B．2
C．3 D．4
B
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解析：B 由题意，得p＝5，S＝，
当且仅当a＝b＝3时，等号成立，∴此三角形面积的最大值为2.
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7．某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围成一个18平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图，则至少需要________米栅栏．
解析：设矩形植物种植园的长、宽分别为a，b，所以其面积S＝ab＝18，
则周长L＝a＋2b≥2＝12，当且仅当“a＝2b＝6”时等号成立，故至少需要12米栅栏．
答案：12
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8．已知二次函数f(x)＝ax2－2x＋2b(a>0)的图象与x轴仅有一个交点，则的最小值为________．
解析：依题意，二次函数f(x)＝ax2－2x＋2b(a>0)的图象与x轴仅有一个交点，
令ax2－2x＋2b＝0，所以Δ＝2－4a·2b＝0，所以ab＝1，
因为a>0，所以b>0，所以，当且仅当，
即a＝时，等号成立．
答案：2
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9．某公司需建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，仓库侧面每平方米的造价为800元，仓库屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计仓库背面和地面的费用，那么仓库的总造价最低为________元．
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解析：设仓库底面一边长为x(x>0)m，则另一边长为 m，
所以仓库的总造价为y＝3x×1200＋3××800×2＋5800.
因为x>0，
所以y≥2＋5800＝57600＋5800＝63400.
当且仅当3x×1200＝3××800×2，即x＝8时等号成立．
答案：63400
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10．(13分)已知x>0，y>0，且x＋y＝2.
(1)求的最小值；
(2)若4x＋y－mxy≥0恒成立，求m的最大值．
解：(1)因为x>0，y>0，且x＋y＝2，所以1＝(x＋y)，
所以(x＋y)＝＝8，
当且仅当，即x＝时等号成立，所以的最小值为8.
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(2)因为4x＋y－mxy≥0(x>0，y>0)恒成立，所以m≤恒成立，
因为1＝(x＋y)，x>0，y>0，所以
(x＋y)＝＝，当且仅当，即x＝时等号成立．
所以的最小值为，所以m≤，所以m的最大值为.
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11．(13分)如图所示，某社区要建一个休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为100 m2的轴对称的“⊥”形地域．计划在正方形MNGH上建一座花坛，造价为2100元/m2；在两个相同的矩形AHMD和NCBG上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；在两个三角形DEM和CFN上铺草坪，造价为40元/m2.设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m)．
(1)设AH长为y(单位：m)，写出y关于x的函数解析式；
(2)当x为何值时，S最小？并求出这个最小值．
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解：(1)由题意得4xy＋x2＝100，
解得y＝，
由x>0，y>0，得0(2)由题意得AH＝(0所以S＝2100x2＋2x××210＋2×2×40
＝2000x2＋＋9500＝20000＋9500＝29500，
当且仅当2000x2＝，即x＝时等号成立，
所以当x＝时，S最小，且S最小＝29500元．
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?B级 能力提升练?
12．设a>0，b>1，若a＋b＝2，且不等式>m2＋8m恒成立，则m的取值范围是________．
解析：因为a>0，b>1，a＋b＝2，所以a＋(b－1)＝1，
则＝·[a＋(b－1)]＝5＋＝9，
当且仅当时，即a＝时等号成立，所以9>m2＋8m，解得－9答案：(－9，1)
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13．已知集合A＝{x|ax2＋bx＋c≤0(a解析：由于A＝{x|ax2＋bx＋c≤0(a所以b>a>0，Δ＝b2－4ac＝0，
即b2＝4ac.
所以M＝
＝，
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设t＝－1>0，所以＝t＋1，
所以M＝
＝t＋＋5.
当且仅当t＝时，等号成立．
所以M的最小值为2＋5.
答案：2＋5
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14．(15分)第19届亚运会于2023年9月在浙江杭州举办，某公益团队联系组委会举办了一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．为配合此活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格．
(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？
(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？
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解：(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，
供货单价为50＋＝52(元)，总利润为5×(100－52)＝240(万元)．
所以能获得的总利润为240万元．
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(2)每套会徽及吉祥物售价为x元时，销售量为(15－0.1x)万套，供货单价为元，
单套利润为x－50－，
因为15－0.1x>0，所以0y＝x－50－＝－＋100≤100－2＝80，
当且仅当150－x＝10，即x＝140时等号成立．
所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，
单套的利润最大，最大值是80元．
第5讲 基本不等式的应用
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第2讲
常用逻辑用语
聚焦·必备知识
突破·核心考点
限时规范训练
1
2
3
内容索引
1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.
◆课标要求
聚焦
必备知识
1．充分条件与必要条件
若p q，则p是q的_________条件，q是p的_________条件
p是q的_______________条件 p q且q p
p是q的_______________条件 p q且q p
p是q的_________条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
充分
必要
充分不必要
必要不充分
充要
充分、必要条件与对应集合之间的关系
设集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
①若p是q的充分条件，则A B.
②若p是q的充分不必要条件，则A?B.
③若p是q的必要不充分条件，则B?A.
④若p是q的充要条件，则A＝B.
2．全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号________表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号_________表示．
“ ”
“ ”
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
含意 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 _________________ ______________
x∈M， p(x)
x∈M， p(x)
1．A是B的充分不必要条件 B是 A的充分不必要条件．
2．命题p与命题p的否定的真假性相反．
1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)
(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题．( )
(2)存在x∈R，x2－x＋1≤0.( )
(3)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．( )
(4)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．( )
×
×
√
√
2．命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”，但反之不一定成立．
A
3．命题“有一个偶数是素数”的否定是________．
答案：任意一个偶数都不是素数
4．使－2＜x＜2成立的一个充分条件是________．(答案不唯一，写出一个即可)
解析：只要是{x|－2＜x＜2}的一个子集都是使－2＜x＜2成立的充分条件，如－2＜x＜2，或0＜x＜2等．
答案：0＜x＜2(答案不唯一)
例1 (1)(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：C 由函数y＝x3单调递增可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x单调递增可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件．故选C.
C
突破
核心考点
充分条件与必要条件的判断
(2)已知p： x∈R，mx2－2mx＋1>0，q：指数函数f(x)＝mx(m>0，且m≠1)为减函数，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B
解析：B 当m＝0时，1>0成立；
当m≠0时，可得解得0由p得出P＝{m|0≤m<1}，由q得出Q＝{m|0(3)(多选)(2025·广东湛江联考)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是( )
A．a＝－1 B．a＝b
C．b＝1 D．ab＝1
解析：AC 由ab＋b－a－1＝0，可得(a＋1)(b－1)＝0，解得a＝－1或b＝1.故选A、C.
AC
反思感悟 充分、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数取值范围的推断问题．
跟踪训练1 (1)已知x，y∈R，则“x>0”是“|x|＋|y|>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A
解析：A 当x>0时，可知|x|>0，结合|y|≥0可得|x|＋|y|>0，充分性成立；当|x|＋|y|>0时，可能x＝－1，y∈R，不能得出x>0，必要性不成立．因此“x>0”是“|x|＋|y|>0”的充分不必要条件．
(2)数学中有一类数字被称为“水仙花数”.水仙花数是指一个三位数，它的每一个数字的3次幂之和等于它本身，例如：33＋73＋03＝370.设集合U＝{153，155，212，371}，A＝{x|x是水仙花数，x∈U}，B＝{x|x＝3k，x∈U，k∈Z}，则“x∈A”是“x∈B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：B 因为153＝13＋53＋33，371＝33＋73＋13，则集合A＝{153，371}，而集合B＝{153}，故“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．
B
例2 (2024·四川甘孜州模拟)设p：log2(x－1)1.若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]
解析：A 由log2(x－1)由>1，得0若p是q的充分不必要条件，则2m＋1≤2，解得m≤0.故选A.
A
充分条件与必要条件的应用
反思感悟 根据充分条件与必要条件求参数取值范围的注意点：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
跟踪训练2 若“x2－5x＋4<0”是“a－1A．{a|2C．{a|－2解析：B 由x2－5x＋4<0，解得1因为“x2－5x＋4<0”是“a－1所以(a－1，a＋1)是(1，4)的真子集，
所以(等号不同时成立)，
解得2≤a≤3.
经验证，端点值满足条件，故实数a的取值范围为{a|2≤a≤3}．
B
考向1 含量词命题的否定及真假判断
例3 (1)(2025·湖南邵阳第一次联考)命题“ x∈R，x2－4x＋6<0”的否定为( )
A． x∈R，x2－4x＋6>0
B． x∈R，x2－4x＋6≤0
C． x∈R，x2－4x＋6<0
D． x∈R，x2－4x＋6≥0
解析：D “ x∈R，x2－4x＋6<0”的否定为“ x∈R，x2－4x＋6≥0”．故选D.
D
全称量词与存在量词
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x，则( )
A．p和q都是真命题
B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题
D． p和 q都是真命题
B
解析：B 通解：因为 x∈R，|x＋1|≥0，所以命题p为假命题，所以 p为真命题．因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x(x2－1)＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以 x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以 q为假命题，所以 p和q都是真命题．故选B.
优解：在命题p中，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以命题p为假命题， p为真命题．在命题q中，因为立方根等于本身的实数有－1，0，1，所以 x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题， q为假命题，所以 p和q都是真命题．故选B.
考向2 含量词命题的应用
例4 若命题“ x∈[－1，3]，x2－2x－a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是( )
A．－1 B．0
C．1 D．3
解析：A 由题意，原命题可转化为 x∈[－1，3]，a≥x2－2x，令h(x)＝x2－2x，x∈[－1，3]，则问题等价于a≥h(x)min，
易知函数h(x)＝x2－2x在[－1，1)上单调递减，在(1，3]上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝1－2＝－1，所以a≥－1.
所以实数a可取的最小整数值是－1.故选A.
A
反思感悟 含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的取值范围；二是可利用等价命题求参数的取值范围．
跟踪训练3 (1)(2025·河南开封模拟)若命题p： x∈R，ex≥x＋1，则 p是( )
A． x∈R，ex≤x＋1
B． x∈R，ex＜x＋1
C． x∈R，ex≤x＋1
D． x∈R，ex＜x＋1
解析：D x∈R，ex≥x＋1的否定是 x∈R，ex＜x＋1.故选D.
D
(2)若命题“ x∈[a－1，a]，x>－a”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A． B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．
解析：D 根据题意得a－1>－a，则有a>.故选D.
D
(3)(2025·江西九江十校联考)下列命题的否定是真命题的为( )
A．任意两个等边三角形都相似
B． x∈R，x2－x＋1＝0
C．存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直
D． x∈R，x＋|x|≥0
B
解析：B 对于A，任意两个等边三角形都相似是真命题，所以其否定是假命题，故A错误；
对于B，x2－x＋1＝0，Δ＝1－4＜0，所以方程无解，所以该命题是假命题，其否定是真命题，故B正确；
对于C，存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直，是真命题，其否定是假命题，故C错误；
对于D， x∈R，x＋|x|≥0是真命题，其否定是假命题，故D错误．
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1．命题p：有些三角形是等腰三角形的否定是( )
A．有些三角形不是等腰三角形
B．有些三角形可能是等腰三角形
C．所有三角形都不是等腰三角形
D．所有三角形是等腰三角形
解析： C 命题p：有些三角形是等腰三角形，则 p是所有三角形都不是等腰三角形．
限时规范
训练 常用逻辑用语
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2． (多选)关于命题p：“ x∈N，6x2－7x＋2≤0”，下列说法正确的是( )
A．该命题是全称量词命题，且为真命题
B．该命题是存在量词命题，且为假命题
C． p： x∈N，6x2－7x＋2>0
D． p： x N，6x2－7x＋2>0
解析：BC 命题p为存在量词命题，由6x2－7x＋2≤0，得，所以p为假命题． p： x∈N，6x2－7x＋2>0.故选B、C.
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3．已知x∈R，则“x＜－1”是“x2＞1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 解不等式x2＞1，可得x＞1或x＜－1，则由充分必要条件的判定可知“x＜－1”是“x2＞1”的充分不必要条件．故选A.
A
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4．若a，b∈R，则“a3＞b3”是“a2＞b2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：D 不妨取a＝－1，b＝－2，满足a3＞b3，但是a2＞b2不成立，所以由“a3＞b3”推不出“a2＞b2”，取a＝－2，b＝1，满足a2＞b2，但是a3＞b3不成立，所以由“a2＞b2”推不出“a3＞b3”．所以“a3＞b3”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件．故选D.
D
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5． “不等式2x2－5x－3＜0成立”的一个必要不充分条件是( )
A．－3＜x＜ B．－＜x＜3
C．－1＜x＜3 D．＜x＜3
解析：C 由2x2－5x－3＜0，解得－＜x＜3，
观察四个选项可知是(－1，3)的真子集，故“－1＜x＜3”是“不等式2x2－5x－3＜0”成立的一个必要不充分条件．故选C.
C
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6．祖暅原理：幂势既同，则积不容异，说的是两个同高的几何体，若在等高处的截面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．设A，B为两个同高的几何体，现有命题p：A，B的体积相等；q：A，B在等高处的截面积恒相等．根据祖暅原理可知p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B
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解析：B A，B为两个同高的几何体，由祖暅原理知若在等高处的截面积恒相等，则这两个几何体的体积相等，所以q p；
取两个相同的圆台，一个正置，一个倒置，此时两个几何体同高且体积相等，但在等高处的截面积不恒相等，所以p / q．所以p是q的必要不充分条件．故选B.
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7．命题“ x∈(1，＋∞)，x2＋x>2”的否定是________．
答案： x∈(1，＋∞)，x2＋x≤2
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8．(2025·辽宁沈阳质量监测)“sin x＝1”的一个充分不必要条件是________．
解析：当x＝时，sin x＝1，由sin x＝1可得x＝＋2kπ，k∈Z，故“sin x＝1”的一个充分不必要条件是“x＝”．
答案：x＝(答案不唯一)
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9．已知“a≤x≤a2＋1”是“－2≤x≤5”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
解析：设A＝{x|a≤x≤a2＋1}，B＝[－2，5].
依题设，A?B，
则且等号不同时成立．
解得－2答案：(－2，2]
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10．(13分)若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax成立，求实数a的取值范围．
解：若x>0，由＝1，
若x<0，由＝－1，
若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，
则实数a的取值范围是{a|－111
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11．(13分)已知集合P＝{x|1≤x≤4}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．是否存在实数m，使得x∈P是x∈S的________条件？若存在实数m，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
请从下列三个条件中选择一个条件补充到上面的横线上，并作答．
①充分不必要；②必要不充分；③充要．
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解：若选择①，即“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则1－m≤1＋m，且 (两个等号不同时成立)，解得m≥3.
故实数m的取值范围是{m|m≥3}．
若选择②，即“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件．
当S＝ 时，1－m>1＋m，解得m<0.
当S≠ 时，1－m≤1＋m，且 (两个等号不同时成立)，解得m＝0.
综上，实数m的取值范围是{m|m≤0}．
若选择③，即“ x∈P ”是“ x∈S ”的充要条件，
则P＝S，即此方程组无解，
所以不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
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?B级 能力提升练?
12．对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数.例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B
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解析：B 令x＝1.8，y＝0.9，满足|x－y|<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，〈x〉≠〈y〉，可知充分性不成立．当〈x〉＝〈y〉时，设〈x〉＝x＋m，〈y〉＝y＋n，m，n∈[0，1)，则|x－y|＝|n－m|<1，可知必要性成立，所以“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的必要不充分条件．
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13．(多选)若“ x∈M，|x|>x”为真命题，“ x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是( )
A．(－∞，－5) B．(－3，－1]
C．(3，＋∞) D．[0，3]
解析：AB ∵ x∈M，x>3为假命题，
∴ x∈M，x≤3为真命题，
可得M (－∞，3]，
又 x∈M，|x|>x为真命题，
可得M (－∞，0)，∴M (－∞，0)．故选AB.
AB
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14．已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，0≤x≤2}，B＝{x|x＋m2≥2}，p：x∈A，q：x∈B，p是q的充分条件，则实数m的取值范围是_________．
解析：由y＝x2－x＋1＝2＋，
0≤x≤2，得≤y≤2，∴A＝.
又由题意知A B，
∴2－m2≤，∴m2≥.
∴m≥或m≤－.
答案：∪
第2讲 常用逻辑用语
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第6讲
一元二次方程、不等式
聚焦·必备知识
突破·核心考点
限时规范训练
1
2
3
内容索引
1．学会从实际情境中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数的图象，会判断一元二次方程的根的个数，能解一元二次不等式.3.掌握简单的分式、绝对值不等式的解法．
◆课标要求
聚焦
必备知识
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)、不等式ax2＋bx＋c>(<)0(a>0)的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋ bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 _______________ {x|x≠－} R
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 _____________
{x|xx2}
{x|x12.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) ________________；
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
(3)f(x)g(x)>0(<0)
1．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立 a>0且Δ<0；
(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立 a<0且Δ<0；
(3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形．
2．绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为(－a，a)．
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则a>0.( )
(3)不等式x2≤a的解集为.( )
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为R.( )
×
√
×
×
2．不等式3x2－7x≤10的解集为________．
解析：由3x2－7x≤10，得
3x2－7x－10＝(3x－10)(x＋1)≤0，
解得－1≤x≤.
答案：
3．已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为________．
解析：因为2x2＋kx－m<0的解集为
(t，－1)(t<－1)，
所以x＝－1为方程2x2＋kx－m＝0的一个根，所以k＋m＝2.
答案：2
4．已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析： x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则Δ≤0 (a－2)2－1≤0，解得1≤a≤3.
答案：[1，3]
考向1 不含参数不等式的解法
例1 (多选)下列选项中正确的是( )
A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}
B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2}
C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D．设x∈R，则“<0”的充分不必要条件
ABD
突破
核心考点
一元二次不等式的解法
解析：ABD 因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}，故A正确；
因为－1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确；
由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，
解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误；
由<0，可得－4考向2 含参数不等式的解法
例2 已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8.
(1)若不等式f(x)<0的解集为{x(2)当a<0时，求关于x的不等式f(x)>0的解集．
解：(1)法一：由于不等式ax2＋(2－4a)x－8<0的解集为{x所以x1＝－，x2＝4是方程ax2＋(2－4a)x－8＝0两根，且a>0.
故－＝×4，得a＝3.
法二：不等式f(x)<0，即ax2＋(2－4a)x－8<0，可化为(ax＋2)(x－4)<0.
因为f(x)<0的解集是{x所以a>0且－，解得a＝3.
(2)不等式f(x)>0，即ax2＋(2－4a)x－8>0，因为a<0，所以不等式可化为(x－4)<0，
当4<－，即－当4＝－，即a＝－，原不等式的解集为 ；
当4>－，即a<－时，原不等式的解集为.
综上所述，当－当a＝－时，原不等式的解集为 ；
当a<－时，原不等式的解集为.
反思感悟 (1)已知一元二次不等式的解集，能够得到相应的一元二次方程的两根．由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．
(2)对含参数的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类：
①根据二次项系数为正、负及零进行分类．
②根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
③当有两个根时，有时还需根据两根的大小进行分类讨论．
跟踪训练1 (1)(2025·河南部分名校模拟)某同学解关于x的不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)时，因弄错了常数c的符号，解得其解集为(－∞，－3)∪(－2，＋∞)，则不等式bx2＋cx＋a>0的解集为( )
A．
B．(－∞，－1)∪
C．
D．∪(1，＋∞)
C
解析：C 由题意可知a<0，且－3＋(－2)＝－，－3×(－2)＝－，所以b＝5a，c＝－6a，所以bx2＋cx＋a>0可化为5x2－6x＋1<0，即(5x－1)(x－1)<0，解得(2)(2025·山东青岛模拟)解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．
解：原不等式可化为12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－.
当a>0时，原不等式的解集为∪；
当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a<0时，原不等式的解集为∪.
考向1 在R上的恒成立问题
例3 不等式(a＋1)x2－(a＋1)x－1＜0对一切实数x恒成立，则a的取值范围是( )
A．(1，5)
B．(－5，－1)
C．(－5，－1]
D．(－3，－1]
C
一元二次不等式恒成立问题
解析：C 当a＋1＝0，即a＝－1时，(a＋1)x2－(a＋1)x－1<0可化为－1<0，不等式－1<0恒成立；当a＋1≠0，即a≠－1时，因为(a＋1)x2－(a＋1)x－1<0对一切实数x恒成立，所以解得－5考向2 在给定区间上的恒成立问题
例4 (2025·山西吕梁模拟)已知关于x的不等式x2－(a＋4)x＋2a＋5≥0在(－∞，2)上恒成立，则a的最小值为________．
答案：－2
解析：由不等式x2－(a＋4)x＋2a＋5≥0在(－∞，2)上恒成立得(2－x)a≥－x2＋4x－5在(－∞，2)上恒成立，
因为2－x>0，所以a≥＝－(2－x)－在(－∞，2)上恒成立，
又(2－x)＋＝2，所以－≤－2，当且仅当2－x＝，即x＝1时，等号成立．
所以a≥－2，故a的最小值为－2.
考向3 给定参数范围的恒成立问题
例5 (2025·江苏宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是( )
A．[－1，3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D
解析：D 不等式x2＋px>4x＋p－3
可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，
由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，
令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，
可得
解得x<－1或x>3.
反思感悟 求解不等式恒成立问题的常用方法
(1)不等式解集法
不等式f(x)≥0在集合A中恒成立等价于集合A是不等式f(x)≥0的解集B的子集，通过求不等式的解集，并研究集合间的关系可以求出参数的取值范围．
(2)分离参数法
若不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)恒成立，将f(x，λ)≥0转化为λ≥g(x)或λ≤g(x)(x∈D)恒成立，进而转化为λ≥g(x)max或λ≤g(x)min，求g(x)(x∈D)的最值即可．
(3)主参换位法
变换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．一般地，条件给出谁的范围，就看成有关谁的函数，利用函数单调性求解．
(4)数形结合法
结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系(相对于x轴)求解．
此外，若涉及的不等式能转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题．
跟踪训练2 已知关于x的不等式2x－1>m(x2－1)．
(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于m∈[－2，2]恒成立，求实数x的取值范围；
(3)若不等式对于x∈(1，＋∞)恒成立，求m的取值范围．
解：(1)原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)<0，
当m＝0时，－2x＋1<0不恒成立；
当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立，
则需m<0且Δ＝4－4m(1－m)<0，无解，
所以不存在实数m，使不等式恒成立．
(2)设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，
当m∈[－2，2]时，f(m)<0恒成立．
而f(m)在m∈[－2，2]时表示线段，故f(x)<0在[－2，2]上恒成立
即
由①得由②得x<或x>.
取交集，得故实数x的取值范围是{x(3)因为x>1，所以m<.
设2x－1＝t(t>1)，x2－1＝，
所以m<.
设g(t)＝t－＋2，t∈(1，＋∞)，
显然g(t)在(1，＋∞)上为增函数．
当t→＋∞时，t－＋2→＋∞，→0，所以m≤0.
故m的取值范围是{m|m≤0}．
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?A级 基础落实练?
1．不等式－x2＋3x＋10>0的解集为( )
A．(－2，5)
B．(－∞，－2)∪(5，＋∞)
C．(－5，2)
D．(－∞，－5)∪(2，＋∞)
解析：A 由－x2＋3x＋10>0得x2－3x－10<0，解得－2限时规范
训练 一元二次方程、不等式
A
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2．若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是( )
A．{a|－1≤a<2} B．{a|－1C．{a|－1解析：B 当a＝2时，原不等式为－12<0，满足解集为R；当a≠2时，根据题意得a－2<0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)<0，解得－1综上，－1故实数a的取值范围为{a|－1B
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3．若对任意的x∈[－1，0]，－2x2＋4x＋2＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．[4，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，4] D．(－∞，2]
解析：A 法一：因为对任意的x∈[－1，0]，－2x2＋4x＋2＋m≥0恒成立，所以对任意的x∈[－1，0]，m≥2x2－4x－2恒成立，设y＝2x2－4x－2＝2(x－1)2－4，x∈[－1，0]，则m≥ymax.易知y＝2(x－1)2－4在[－1，0]上单调递减，所以ymax＝2×(－1－1)2－4＝4，所以m≥4，所以实数m的取值范围是[4，＋∞)，故选A.
A
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法二：设f(x)＝－2x2＋4x＋2＋m，易知f(x)图象的对称轴为直线x＝1，结合题意可得，即
解得m≥4，故选A.
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4．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是(－∞，－1)∪(2，＋∞)，则不等式bx2＋ax－c≤0的解集是( )
A．[－1，2]
B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
C．[－2，1]
D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
A
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解析：A 由题意可知，ax2＋bx＋c＝0的两个实数根是－1和2，且a<0，
则解得
bx2＋ax－c≤0可化为－ax2＋ax＋2a≤0，
即x2－x－2≤0，
解得－1≤x≤2，
所以不等式的解集是[－1，2].
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5．(多选)(2025·浙江绍兴质量调研)已知a∈R，关于x的不等式(ax－2)(x＋2)>0的解集可能是( )
A．{x或x<－2}
B．{x|x>－2}
C．{x}
D．{xACD
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解析：ACD 当a＝0时，(ax－2)(x＋2)＝－2(x＋2)>0，解得x<－2；
当a>0时，(ax－2)(x＋2)＝a(x＋2)>0，解得x>或x<－2，故A正确．
当a<0时，(ax－2)(x＋2)＝a(x＋2)>0，
若＝－2，则a＝－1，则解集为空集；
若<－2，则－1若>－2，解得a<－1，则不等式的解集为{x}，故C正确．故选A、C、D.
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6．已知二次函数y＝x2＋mx－1，若对任意x∈[m，m＋1]，都有y<0成立，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：D 根据题意可得
解得－D
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7．不等式>x的解集是________．
解析：不等式>x化为以下两个不等式组或
解即
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解得x<－1，
解即
解得1所以原不等式的解集是(－∞，－1)∪(1，5)．
答案：(－∞，－1)∪(1，5)
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8．(2025·江苏盐城一中期末)关于x的不等式ax2－2x＋1≤0在(0，2]上有解，则实数a的取值范围是________．
解析：由不等式ax2－2x＋1≤0以及x∈(0，2]可得a≤.依题意可知要使不等式ax2－2x＋1≤0在(0，2]上有解，只需a≤max，x∈(0，2]即可，
令y＝，x∈(0，2]，
又y＝＝－2＋1，
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由x∈(0，2]可得∈，
利用二次函数的性质可知ymax＝－(1－1)2＋1＝1，即可得a≤1，
即实数a的取值范围是(－∞，1].
答案：(－∞，1]
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9．若a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为________．
解析：把不等式的左端看成关于a的函数，
记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
则由f(a)>0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f(－1)＝x2－5x＋6>0，
且f(1)＝x2－3x＋2>0，
解不等式组得x<1或x>3.
答案：(－∞，1)∪(3，＋∞)
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10．(13分)已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值．
解：(1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6
＝－a2＋6a＋3>0，
解得3－2∴不等式的解集为{a10
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(2)∵f(x)>b的解集为(－1，3)，
∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，
∴解得
故a的值为3±，b的值为－3.
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11．(13分)设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若对于x∈[1，3]，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)依题意知，mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0恒成立；
若m≠0，则∴－4∴实数m的取值范围是(－4，0].
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(2)法一：当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立．
当m≠0时，该函数图象的对称轴是直线x＝，
∴f(x)＝mx2－mx－1在x∈[1，3]上是单调函数，
当m>0时，f(x)在[1，3]上单调递增，要使f(x)<0在x∈[1，3]上恒成立，只需f(3)<0，
则9m－3m－1<0，得m<，即0当m<0时，f(x)在[1，3]上单调递减，要使f(x)<0在x∈[1，3]上恒成立，只需f(1)<0.
此时f(1)＝－1<0，显然成立．
综上所述，实数m的取值范围是.
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法二：f(x)＝m(x2－x)－1，x∈[1，3].
①当x＝1时，f(1)＝－1<0恒成立，
则m∈R.
②当x≠1时，即x∈(1，3]时，x2－x>0.
所以要使f(x)<0恒成立，只需m<恒成立．设t＝x2－x，
又t＝x2－x＝2－在(1，3]上单调递增．
∴0综合①②知，实数m的取值范围是.
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?B级 能力提升练?
12．已知当x∈(－1，5]时，>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)
C
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解析：C 法一：因为x∈(－1，5]，所以x＋1>0，又>0恒成立，所以a－x>0对任意x∈(－1，5]恒成立，从而a>xmax(x∈(－1，5])，即a>5，故选C.
法二：>0等价于(a－x)(1＋x)>0，所以问题可转化为当x∈(－1，5]时，(x－a)(x＋1)<0恒成立，从而a>5，所以选C.
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13．(2025·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝x2－2tx＋1，在(－∞，1]上单调递减且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2成立，则实数t的取值范围是( )
A． B．
C．[2，3] D．[1，2]
B
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解析：B 由于f(x)＝x2－2tx＋1图象的对称轴为x＝t，
又y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，
所以t≥1.
则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，
f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，
要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，
都有|f(x1)－f(x2)|≤2，
只需1－(－t2＋1)≤2，解得－成立.
又t≥1，所以1≤t≤.
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14．(13分)解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0(a∈R)．
解：原不等式可化为(ax－1)(x－2)<0.
①当a>0时，原不等式可化为a(x－2)<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)<0.
因为方程(x－2)＝0的两个根分别是2，，所以当0当a>时，<2，则原不等式的解集是{x14
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②当a＝0时，原不等式为－(x－2)<0，解得x>2，
即原不等式的解集是{x|x>2}．
③当a<0时，原不等式可化为a(x－2)<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)>0，由于<2.故原不等式的解集是{x或x>2}．
综上所述，当a<0时，不等式的解集为{x或x>2}；
当a＝0时，不等式的解集为{x时，不等式的解集为{x；
当a＝时，不等式的解集为 ；当a>时，不等式的解集为{x第6讲 一元二次方程、不等式
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第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第1讲
集合
聚焦·必备知识
突破·核心考点
限时规范训练
1
2
3
内容索引
1．了解集合、全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与给定子集的补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的问题，会使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
◆课标要求
聚焦
必备知识
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：__________、__________、无序性．
(2)元素与集合的关系是_________或____________，用符号_______或______表示．
(3)集合的表示法：____________、____________、图示法．
确定性
互异性
属于
不属于
∈
列举法
描述法
(4)常见数集的记法
集合 非负整数集(或自然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集
符号 ______ N*(或N＋) ______ ______ ______
N
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中__________一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作_____________(或B A)．
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且____________，就称集合A是集合B的真子集，记作____________(或B?A)．
(3)集合相等：若A B，且____________，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .空集是_______________的子集，是_____________________的真子集．
任意
A B
x A
A?B
B A
任何集合
任何非空集合
3．集合的基本运算
运算 表示
集合语言 图形语言 记法
并集 _____________________ A∪B
交集 ____________________ A∩B
补集 _____________________ UA
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( UA)＝______，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
1．若有限集合A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
2．A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
3． U(A∩B)＝( UA)∪( UB)，
U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}.( )
(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( )
(3)直线y＝x＋3与y＝6－2x的交点构成的集合是{(1，4)}．( )
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B) (A∪B)恒成立．( )
×
×
√
√
2．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩( UB)＝________．
解析：易知 UB＝{2，4，6}，故A∩( UB)＝{2，4}．
答案：{2，4}
3．若集合A＝{x|2≤x＜14}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B＝________．
解析：∵B＝{x|x≥3}，∴A∪B＝{x|x≥2}．
答案：{x|x≥2}
4．已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B A，则实数a的取值范围是________．
解析：由图可知a≥2， a的取值范围为[2，＋∞).
答案：[2，＋∞)
例1 (1)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b，0}，则a2025＋b2026的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．±1
A
突破
核心考点
集合的概念
解析：A 由集合相等可知0∈{a，，1}且a≠0，则＝0，所以b＝0，所以a2＝1，解得a＝1或a＝－1.根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，所以a2025＋b2026＝＋02026＝－1.故选A.
(2)(2025·江苏南京模拟)已知集合A＝{1，2，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B的元素个数为________．
解析：当x＝1时，y＝1，2，4，x－y＝0，－1，－3，不符合(x－y)∈A，舍去；当x＝2时，y＝1，2，4，x－y＝1，0，－2，则x＝2，y＝1；当x＝4时，y＝1，2，4，x－y＝3，2，0，则x＝4，y＝2.故B＝{(x，y)|(2，1)，(4，2)}，共2个
答案：2
反思感悟 (1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义．
(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
跟踪训练1 (1)(多选)(人教A版必修第一册P9习题1.2第1题变式)下列结论错误的是( )
A．{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
B．{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}
C． ＝{0}
D．集合{a，b}的真子集为{a}，{b}
BCD
解析：BCD 对于A，B，{y|y＝x2＋1，x∈R}＝[1，＋∞)，{x|x＝t2＋1，t∈R}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}表示函数y＝x2＋1图象上的点的集合，所以A正确，B错误；对于C， ?{0}，所以C错误；对于D，集合{a，b}的真子集为 ，{a}，{b}，所以D错误．故选B、C、D.
(易错点：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集)
(2)(2025·北京西城区模拟)已知集合A＝{x||x－1|<3}，B＝{x|x2－3x－10<0}，若a A，且a∈B，则a的取值范围是( )
A．(－2，4) B．(4，5)
C．[4，5] D．[4，5)
解析：D 由|x－1|<3，可得－3由x2－3x－10<0，可得(x－5)(x＋2)<0，即－2D
例2 (1)已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋2，k∈Z}，则( )
A．A?B B．A?B
C．A＝B D．A ≠ B
解析：C 集合A表示所有的偶数集，而集合B也表示所有的偶数集，故A＝B.
C
集合间的基本关系
(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，当x∈Z时，集合A的真子集有________个；当B A时，实数m的取值范围是________．
解析：A＝{x|－2≤x≤1}，
若x∈Z，则A＝{－2，－1，0，1}，
故集合A的真子集有24－1＝15(个)．
由B A，得
①若B＝ ，则2m＋1＜m－1，即m＜－2；
②若B≠ ，则
解得－1≤m≤0.
综上，实数m的取值范围是(－∞，－2)∪[－1，0].
答案：15 (－∞，－2)∪[－1，0]
反思感悟 (1)判定两集合关系的方法
①化简集合，从表达式中寻找两集合的关系．
②用列举法、图示法、数轴表示各个集合，从元素或图形中寻找关系．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数的取值范围．
注意：①合理利用数轴、Venn图等方式直观地分析并解决问题．②求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，避免增解或漏解．
跟踪训练2 (1)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|x＝mn，m∈A，n∈A}，则集合B的真子集个数是( )
A．4 B．7
C．8 D．15
解析：B 法一：由题意得B＝{x|x＝mn，m∈A，n∈A}＝{－1，0，1}，
故集合B的真子集个数为23－1＝7(结论：含有n个元素的集合的真子集个数为2n－1)．
法二(列举法)：由题意得B＝{x|x＝mn，m∈A，n∈A}＝{－1，0，1}，其真子集有 ，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}，{0，1}，共7个．
B
(2)(2025·广东广州模拟)设集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若B A，则a等于( )
A．2 B．1
C．－2 D．－1
解析：A 因为B A，所以a＋2＝3或a2＝a＋2，解得a＝1或a＝2或a＝－1.
当a＝1时，集合A中的元素不满足元素的互异性，舍去；
当a＝2时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，B A，符合题意；当a＝－1时，集合A中的元素不满足元素的互异性，舍去．综上可知，a＝2.
A
考向1 集合的运算
例3 (1)(2024·北京卷)已知集合M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{x|－1≤x＜4}，则M∪N等于( )
A．{x|－1≤x＜1}
B．{x|x＞－3}
C．{x|－3＜x＜4}
D．{x|x＜4}
C
解析：C 由集合的并运算，得M∪N＝{x|－3＜x＜4}．
集合的基本运算
(2)(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x∈A}，则 A(A∩B)等于( )
A．{1，4，9} B．{3，4，9}
C．{1，2，3} D．{2，3，5}
D
解析：D B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则 A(A∩B)＝{2，3，5}．故选D.
(3)(2025·山东德州、烟台模拟)已知集合U＝R，集合A＝{x|x2＋2x－3<0}，B＝{x|0≤x≤2}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．(－3，0)
B．(－1，0)
C．(0，1)
D．(2，3)
A
解析：A 由题图可知阴影部分表示的集合为A∩ UB.解不等式x2＋2x－3<0，得－3考向2 利用集合的运算求参数的值(取值范围)
例4 已知集合A＝{x|x2≤4}，B＝{x|a－1≤x≤a＋1}，若A∩B＝ ，则a的取值范围是________．
解析：由x2≤4，得－2≤x≤2，所以A＝{x|－2≤x≤2}．
因为A∩B＝ ，所以a＋1<－2或a－1>2，解得a<－3或a>3，
所以a的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．
答案：(－∞，－3)∪(3，＋∞)
反思感悟 (1)进行集合运算时， 首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系后进行运算．
(2)数形结合思想的应用
①离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；②连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心．
跟踪训练3 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5A．{－1，0} B．{2，3}
C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2}
解析：A 通解：因为A＝{x|－5优解：因为(－3)3＝－27<－5，(－1)3＝－1∈(－5，5)，03＝0∈(－5，5)，23＝8>5，33＝27>5，所以－1∈A，0∈A，－3 A，2 A，3 A，所以A∩B＝{－1，0}，故选A.
A
(2)已知集合A＝{x|(x－1)(x－4)＜0}，B＝{x|x＞a}，若A∪B＝{x|x＞1}，则a的取值范围是( )
A．[1，4) B．(1，4)
C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)
解析：A 由题意可得A＝{x|1＜x＜4}．
因为A∪B＝{x|x＞1}，
所以1≤a＜4.
A
例5 (多选)(2025·河南开封联考)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A＝{－2，0，，1}，B＝{x|(ax－1)(x＋a)＝0}，若A与B构成“全食”或“偏食”，则实数a的取值可以是( )
A．－ B．－
C．0 D．1
BCD
集合的新定义问题
解析：BCD 当a＝0时，B＝{x|(ax－1)(x＋a)＝0}＝{0}，
当a≠0时，B＝{x|(ax－1)(x＋a)＝0}＝{－a，}．
对于A，若a＝－2，则B＝{2，－}，此时A∩B＝ ，不满足题意；对于B，若a＝－，则B＝{－2，}，此时B A，满足题意；
对于C，若a＝0，则B＝{0}，此时B A，满足题意；
对于D，若a＝1，则B＝{－1，1}，此时A∩B＝{1}≠ ，满足题意．故选B、C、D.
反思感悟 求解以集合为背景的新定义问题的策略
(1)准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
(2)方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解．
跟踪训练4 (2025·广东珠海调研)若集合A＝{x|3x2－8x－3≤0}，B＝{x|x>1}，定义集合A－B＝{x|x∈A且x B}，则A－B＝( )
A． B．
C． D．(1，3]
解析：C 由3x2－8x－3≤0得－≤x≤3，则A＝，又A－B＝{x|x∈A且x B}，则A－B＝.故选C.
C
典例 (2025·山东菏泽质检)已知关于x的不等式ax－1>0的解集为M，若2∈M且1 M，则实数a的取值范围是________．
解析：因为2∈M，所以2适合不等式，即2a－1>0，解得a>.因为1 M，所以1不适合不等式，即a－1≤0，解得a≤1.综上，a∈.
答案：
风向解读 本题难度低，计算量小，但是考查形式与以往考查不同，学生很容易陷入思维定式，不能深刻理解本题考查的知识点，即元素与集合的关系，导致正确率低．在复习过程中应从各个角度加强对基础概念的理解．
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?A级 基础落实练?
1．(2024·全国甲卷)若集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x＋1∈A}，则A∩B等于( )
A．{1，3，4} B．{2，3，4}
C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4，9}
解析：C 因为B＝{x|x＋1∈A}，分别令x＋1＝1，x＋1＝2，x＋1＝3，x＋1＝4，x＋1＝5，x＋1＝9，得x＝0，1，2，3，4，8，所以B＝{0，1，2，3，4，8}，于是A∩B＝{1，2，3，4}，故选C.
限时规范
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2．已知集合A＝{(x，y)|xy＝8，x∈N，y∈N}，则集合A中的元素个数为( )
A．6 B．4
C．3 D．2
解析：B 由题知A＝{(1，8)，(2，4)，(4，2)，(8，1)}，共4个元素．
B
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3．(人教A版必修第一册P35复习参考题第8题变式)若集合M＝{(x，y)|y＝1}，集合N＝{(x，y)|x＝0}，则M∩N等于( )
A．{0，1} B．{(0，1)}
C．{(1，0)} D．{(0，1)，(1，0)}
解析：B 集合M表示纵坐标为1的点集，集合N表示横坐标为0的点集，所以M∩N＝{(0，1)}，故选B.
B
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4．设集合A＝{2，a2－a＋2，1－a}，若4∈A，则a的值为( )
A．－1，2 B．－3
C．－1，－3，2 D．－3，2
解析： D 由题意知a2－a＋2＝4或1－a＝4.当a2－a＋2＝4时，a＝－1或a＝2；当1－a＝4时，a＝－3.
当a＝－1时，A＝{2，4，2}，不满足集合中元素的互异性，故a＝－1舍去；当a＝2时，A＝{2，4，－1}, 满足集合中元素的互异性，故a＝2满足要求；当a＝－3时，A＝{2，14，4}，满足集合中元素的互异性，故a＝－3满足要求．综上可知，a＝2或a＝－3.
D
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5．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|－1A．8 B．7
C．4 D．3
解析：B A＝{1，2}，B＝{0，1，2，3，4}，又A?C B，所以1，2∈C，所以集合C的个数等于集合{0，3，4}的非空子集个数，故集合C的个数为23－1＝7.
B
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6．已知集合A＝{x|ln (x－1)≥0}，集合B＝{x|x2－3x<0}，则A∪B等于
( )
A．(0，2] B．[2，3)
C．(0，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：C 由ln (x－1)≥0得x－1≥1，即x≥2，则A＝{x|x≥2}，由x2－3x<0得0C
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7．设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2>0}，B＝{x|x≥1}，则( UA)∩B等于( )
A．{x|1≤x≤2} B．{x|1C．{x|x>2} D．{x|1≤x<2}
解析：A 由x2－x－2＝(x－2)(x＋1)>0得x>2或x<－1，则A＝{x|x>2或x<－1}，则 UA＝{x|－1≤x≤2}，又B＝{x|x≥1}，所以( UA)∩B＝{x|1≤x≤2}．故选A.
A
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8．设集合M＝{x|x＝4k－3，k∈Z}，N＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，则( )
A．M N B．N M
C．M＝N D．M∩N＝
解析：A 因为M＝{x|x＝4k－3，k∈Z}＝{x|x＝2(2k－1)－1，k∈Z}，N＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，所以M N.故选A.
A
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9．(多选)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|1<2x<4}，则( )
A．A∪B＝R B．A∩B＝
C． UA B D．B UA
解析：BD 集合A＝{x|x2－3x－4>0}＝{x|x>4或x<－1}，集合B＝{x|1<2x<4}＝{x|04或0BD
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10．(多选)已知集合A＝{1，3，m2}，B＝{1，m}．若A∪B＝A，则实数m的值可能为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
AD
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解析：AD 因为A∪B＝A，所以B A.
因为A＝{1，3，m2}，B＝{1，m}，
所以m2＝m或m＝3，
解得m＝0或m＝1或m＝3.
当m＝0时，A＝{1，3，0}，B＝{1，0}，符合题意；
当m＝1时，集合A、集合B均不满足集合元素的互异性，不符合题意；
当m＝3时，A＝{1，3，9}，B＝{1，3}，符合题意．
综上，m＝0或3.
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11．(多选)已知集合A，B均为R上的子集，若A∩B＝ ，则( )
A．A RB B． RA B
C．A∪B＝R D．( RA)∪( RB)＝R
解析：AD 如图所示，根据Venn图可得A RB，B RA，(A∪B) R，( RA)∪( RB)＝ R(A∩B)＝R，故选A、D.
AD
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12．高三某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛，则该班这两项比赛都没有参加的人数是________．
解析：由题意画出Venn图，如图所示，
由Venn图知，参加比赛的人数为26，
所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29.
答案：29
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13．(2025·河北沧州质量监测)已知全集U＝R，集合A＝{x≥0}，集合B＝{x||x|>2}，则A∩( UB)＝________．
解析：≥0等价于≤0，转化为解得－52得x>2或x<－2，则 UB＝[－2，2]，所以A∩( UB)＝.
答案：
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14．(2025·江苏南通适应性调研)定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊙B所有元素之和为________．
解析：当x＝0时，y＝2，3，对应的z＝0；当x＝1时，y＝2，3，对应的z＝6，12，即集合A⊙B＝{0，6，12}，
故集合A⊙B的所有元素之和为18.
答案：18
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?B级 能力提升练?
15．(多选)(2025·浙江绍兴适应性考试)已知集合A＝{x|x2＋mx≤0}，B＝{－，m－1}，且A∩B有4个子集，则实数m的取值可能为( )
A． B．
C．1 D．
ABC
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解析：ABC 由A∩B有4个子集得A∩B中有两个元素，所以B A，所以
解得≤m≤1，故选A、B、C.
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16．(2025·湖南九校联盟联考)对于非空集合P，定义函数fP(x)＝已知集合A＝{x|00，则实数t的取值范围为________．
解析：由题意知fA(x)＋fB(x)可取±2，0，若fA(x)＋fB(x)>0，则fA(x)＋fB(x)＝2，即集合A∩B≠ ，即解得0答案：(0，1)
第1讲 集合
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