08 第八章　平面解析几何 课件（12份打包）

(共70张PPT)
第8讲
　直线与圆锥曲线
聚焦·必备知识
突破·核心考点
限时规范训练
1
2
3
内容索引
1．理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题的解法．
◆课标要求
聚焦
必备知识
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与圆锥曲线的位置关系有_____、_____、_____；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点．
(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程．消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
相交
相切
相离
①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，当Δ＞0时，直线l与曲线C_____；Δ＝0时，直线l与曲线C_____；Δ＜0时，直线l与曲线C____．
②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的_______平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的_______平行或重合．
相交
相切
相离
渐近线
对称轴
2．圆锥曲线的弦长公式
设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝或=_______________________________或
|AB|＝＝_____________________________，k为直线的斜率且k≠0.
1．在圆锥曲线中最短的焦点弦为通径，在椭圆、双曲线中长为，抛物线中长为2p.
2．过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－；同理，双曲线中kPA·kPB＝(以上焦点在x轴上)．
3．若点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为＝1；同理，在双曲线中为＝1(以上焦点在x轴上)．
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦．(　　)
(2)直线y＝x与椭圆＋y2＝1一定相交．(　　)
(3)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”．(　　)
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　)
√
√
×
×
2．直线y＝kx＋1与椭圆＝1的位置关系为(　　)
A．相离　　　　　 B．相交
C．相切 D．无法确定
解析：B　由于直线y＝kx＋1过定点(0，1)，而(0，1)在椭圆＝1内，故直线与椭圆相交．
B
3．已知点A，B是双曲线C：＝1上的两点，线段AB的中点是M(3，2)，则直线AB的斜率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：D　法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵点A，B是双曲线C上的两点，
∴＝1，
两式相减得，
D
∵M(3，2)是线段AB的中点，
∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，
∴，
∴kAB＝.
法二：由kAB·kOM＝，
得kAB＝.
4．过抛物线y＝x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝________．
解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，题中的抛物线x2＝4y的焦点坐标是F(0，1)，直线AB的方程为y＝x＋1，即x＝(y－1)．由消去x得3(y－1)2＝4y，即3y2－10y＋3＝0，y1＋y2＝＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝y1＋y2＋2＝.
答案：
例1　(1)(2024·北京卷)若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值可以为________．
突破
核心考点
直线与圆锥曲线的位置关系
答案：(答案不唯一)
解析：由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－3)过定点(3，0)．因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±.
(2)若直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则k的值为________．
解析：当直线的斜率k＝0时，直线y＝1平行于x轴，与抛物线y2＝4x仅有一个公共点．
当斜率不等于0时，直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x联立，
消去x可得y2－＝0，
∵直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x只有一个公共点，
∴Δ＝－32＝0，
∴k＝或－1.
综上，k的值为0或或－1.
答案：0或或－1
反思感悟　在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形．
跟踪训练1　(1)若直线y＝kx＋1与椭圆＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m＞1
B．m＞0
C．0＜m＜5且m≠1
D．m≥1且m≠5
D
解析：D　法一：由于直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，
故m≥1且m≠5.
法二：由消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.
由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，
即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，
由于m＞0且m≠5，
所以m≥1－5k2恒成立，
所以m≥1且m≠5.
(2)(2025·浙江金华一中适应性测试)经过点(2，1)且与抛物线y＝x2有且仅有一个公共点的直线有(　　)
A．1条　　　B．2条　　　
C．3条　　　D．4条
C
解析： C　当直线的斜率不存在时，直线为x＝2，其与抛物线y＝x2有唯一公共点，符合要求；
当直线的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－2)＋1，
联立消去y得x2－kx＋2k－1＝0，
由Δ＝k2－4(2k－1)＝k2－8k＋4＝0，得k＝＝4±2，则符合题意的直线有两条．综上，符合题意的直线有3条．故选C.
例2　(人教A版选择性必修第一册P114练习第2题变式)已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为________．
弦长问题
解析：法一：由椭圆的方程可得a2＝4，b2＝1，则c2＝a2－b2＝3，所以c＝.由题意知直线AB的方程为x＝y＋，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x整理得5y2＋1＝0，则y1＋y2＝＝.
法二：由法一知，e＝＝2a－e(x1＋x2)＝4－.
答案：
反思感悟　求解弦长的常用方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代入两点间的距离公式求解．
(3)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
跟踪训练2　已知顶点在原点，关于y轴对称的抛物线与直线x－2y＝1交于P，Q两点，若|PQ|＝，则抛物线的方程为(　　)
A．x2＝－4y
B．x2＝12y
C．x2＝－4y或x2＝12y
D．以上均不正确
C
解析：C　设抛物线的方程为x2＝2ay，
则抛物线与直线x－2y＝1联立消去y，
得x2－ax＋a＝0，
所以x1＋x2＝a，x1x2＝a，
则|x1－x2|＝，
所以|PQ|＝
＝，
所以a2－4a－12＝0，解得a＝－2或a＝6，
所以x2＝－4y或x2＝12y.
考向1　利用中点弦确定直线或曲线方程
例3　(多选)已知椭圆＋y2＝1，斜率为k且不经过原点O的直线l与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A．直线AB与OM垂直
B．若点M的坐标为，则直线l的方程为x＋2y－2＝0
C．若直线l的方程为y＝x＋1，则点M的坐标为
D．若直线l过椭圆焦点，则1＜|AB|＜4
BD
中点弦问题
解析：BD　由题意，a＝2，b＝1.对于A，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则＝1，两式作差可得＝－(y1＋y2)(y1－y2)，∴，则kAB·kOM＝－≠－1，故A错误；对于B，若点M的坐标为，则kAB＝－，则直线l的方程为y－(x－1)，即x＋2y－2＝0，故B正确；对于C，若直线l的方程为y＝x＋1，则kOM＝－，显然点M的坐标不可能为，故C错误；对于D，易知过椭圆焦点的弦中，通径最短，为＝1，长轴最长，为4，(提示：通径是最短的焦点弦)由直线l的斜率存在且不过原点，得1＜|AB|＜4，故D正确．故选B、D.
反思感悟
用“点差法”解决有关中点弦问题的步骤
考向2　对称问题
例4　已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，长轴长为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线l过定点E，若椭圆C上存在两点A，B关于直线l对称，求直线l斜率k的取值范围．
解：(1)因为椭圆的离心率为e＝，长轴长为2a＝4，解得a＝2，c＝1，则b2＝3，所以椭圆C的标准方程是＝1.
(2)易知直线的斜率存在．当k＝0时，符合题意．当k≠0时，设直线方程为y＝，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点的坐标为(x0，y0)，则两式相减得(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)，
即3kx0＝4y0.
又y0＝k，解得x0＝1，y0＝.
因为线段AB的中点在椭圆内部，所以＜1，即＜1，解得－2＜k＜2且k≠0.
综上，直线l的斜率k的取值范围是(－2，2)．
反思感悟　对称问题的求解策略
跟踪训练3　(多选)已知直线l：x＝ty＋2与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，若线段AB的中点是M(m，2)，则(　　)
A．t＝
B．m＝3
C．|AB|＝8
D．点(－2，2)在以AB为直径的圆内
AB
解析：AB　对于A，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－8ty－16＝0，∴y1＋y2＝8t，又线段AB的中点为M(m，2)，＝4t＝2，解得t＝，A正确；对于B，∵M(m，2)在直线l：x＝y＋2上，
(另解：易知t≠0，则直线l的斜率k＝，∴m＝1＋2＝3，B正确；对于C，∵直线l：x＝y＋2过点(2，0)，且点(2，0)为抛物线y2＝8x的焦点，∴|AB|＝x1＋x2＋4＝(y1＋y2)＋8＝10，C错误；对于D，以AB为直径的圆的圆心为M，半径为5，设P(－2，2)，连接MP，则|MP|＝＝5，∴点P(－2，2)在以AB为直径的圆上，D错误．故选A、B.
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?A级　基础落实练?
1．直线y＝kx－k与椭圆＝1的位置关系为(　　)
A．相交　　　　　　 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：A　直线y＝kx－k可化为y＝k(x－1)，所以直线恒过点(1，0)．
又＜1，即(1，0)在椭圆的内部，
所以直线y＝kx－k与椭圆＝1的位置关系为相交．
限时规范
训练(六十六)　直线与圆锥曲线
A
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2．直线y＝x＋2与椭圆＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞)
解析：B　由消去y整理得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
由Δ＞0且m≠3及m＞0，得m＞1且m≠3.
B
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3．设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e的取值范围为(　　)
A．
B．
C．
D．∪
D
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解析：D　由消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1－a2≠0，即a2≠1，且此时Δ＝4a2(2－a2)>0，即a2<2，
所以a2∈(0，1)∪(1，2)．
另一方面，e＝，则a2＝，从而e∈∪.
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4．已知抛物线的方程为y2＝－8x，则直线2x＋y＋8＝0被该抛物线所截得的弦长为(　　)
A．6 B．7
C．5 D．6
D
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1
解析：D　设直线2x＋y＋8＝0与抛物线的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
联立方程，得
解得或故弦长为.故选D.
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5．(多选)已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则(　 　)
A．y1y2为定值
B．k1k2为定值
C．y1＋y2为定值
D．k1＋k2＋t为定值
ABD
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解析：ABD　由得y2－4ty－16＝0，
则
对于A，y1y2＝－16为定值，故A正确；
对于B，k1k2＝＝－1为定值，故B正确；
对于C，y1＋y2＝4t，不为定值，故C错误；
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对于D，k1＋k2＋t＝＋t＝－t＋t＝0为定值，故D正确．
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6．(多选)设抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点A，B是抛物线E上不同的两点，且|AF|＋|BF|＝8，则(　　)
A．线段AB的中点到E的准线的距离为4
B．直线AB过原点时，|AB|＝2
C．直线AB的倾斜角的取值范围为
D．线段AB的垂直平分线过某一定点
ABD
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解析：ABD　由题意知焦点F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义得x1＋1＋x2＋1＝8，所以线段AB的中点到E的准线的距离为＋1＝4，故A正确；直线AB过原点时，设x1＝0，则x2＝6，所以A(0，0)，B＝故B正确；当直线斜率不存在时，符合题意，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b(k≠0)，由得k2x2＋(2kb－4)x＋b2＝0，所以x1＋x2＝＝6，得b＝－3k，又Δ＝(2kb－4)2－4k2b2＞0，所以得1－3k2＜0，解得k＞
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或k＜－，故C错误；直线AB的斜率存在时，线段AB的中点坐标为(3，3k＋b)，所以线段AB的垂直平分线的方程为y－(3k＋b)＝－(x－3)，又b＝－3k，所以得ky＋x－5＝0，直线过定点(5，0)，当直线AB的斜率不存在时也成立，故D正确．故选A、B、D.
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7．过点P(2，2)作抛物线y2＝2x的切线l，切线l在y轴上的截距为________．
解析：∵点P(2，2)在第一象限，由y2＝2x，得y＝，y≥0，则y′＝，
则曲线在点P(2，2)处的切线的斜率k＝，
∴切线方程为y－2＝(x－2)，
令x＝0，得y＝1，
∴切线l在y轴上的截距为1.
答案：1
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8．已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为________．
解析：由消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－.由题意，得，解得m＝±1.
答案：±1
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9．已知斜率为2的直线l与双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)交于A，B两点，若点P(2，1)是线段AB的中点，则C的离心率等于________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则得＝0，
即＝0，
因为点P(2，1)是线段AB的中点，
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所以＝0，
得＝0，
又因为直线l的斜率为2，所以＝0，得a2＝b2，即a2＝c2－a2，
所以C的离心率e＝.
答案：
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10．(13分)(2025·河北衡水模拟)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2，1)，求直线l的方程．
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解：(1)因为离心率e＝，所以a＝c，
因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.
因为四边形MF1NF2的面积为32，所以2bc＝32，
所以b＝c＝4，a＝4，
故椭圆C的标准方程为＝1.
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(2)由题意得，直线l的斜率存在．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
两式相减得＝0，
所以.
因为AB的中点坐标为(－2，1)，
所以＝1，所以直线l的斜率为1，
故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.
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11．(15分)(2024·新课标Ⅰ卷)已知A(0，3)和P为椭圆C：＝1(a>b>0)上两点．
(1)求C的离心率；
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
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解：(1)由题知解得
∴c＝，
∴C的离心率e＝.
(2)|PA|＝，
设点B到直线PA的距离为h，则△ABP的面积为S＝·h＝9，解得h＝.
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易知直线PA：x＋2y－6＝0, 设B(x0，y0)，
则
解得或
∴B(0，－3)或B，
故l：y＝x－3或y＝x.
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2
?B级　能力提升练?
12．已知抛物线C的方程为y＝＝|DB|＝|DN|，则直线AB的斜率为(　　)
A．± B．±
C．± D．±
B
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解析：B　由题意可知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(a，0)，
联立消去y得x2－4kx－4＝0，则x1x2＝－4.
因为|DA|＝|DB|＝|DN|＝，所以x1，x2是方程x2＋(kx＋1)2－2ax－16＝0的解，整理得(1＋k2)x2＋(2k－2a)x－15＝0，则x1x2＝－＝－4，解得k＝±，即直线AB的斜率为±.故选B.
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13．(2025·河北衡水多校联考)过抛物线C：y2＝4x焦点F且斜率为的直线与C交于A，B两点，若PF为△PAB的内角平分线，则△PAB面积的最大值为(　　)
A． B．
C． D．16
B
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2
解析：B　抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，则直线AB的方程为y＝(x－1)，联立
解得或
不妨令B，A，
则|AB|＝，
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2
＝3，
由PF为△PAB的内角平分线，
得＝3(也可由角平分线定理得出)，
设P(x，y)，则
＝3 ，
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2
整理得x2＋2＝4，显然点P在以点为圆心，2为半径的圆上(不包含直线与圆的交点)，由AB：y＝(x－1)，可知圆心在直线AB上，因此点P到直线AB距离的最大值为2，
所以△PAB面积的最大值为.故选B.
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14．(15分)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1，F2＝2.记M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
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2
解：(1)因为|MF1|－|MF2|＝2＜|F1F2|＝，所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支．
设双曲线的方程为＝1(a＞0，b＞0)，
半焦距为c，则2a＝2，c＝，
得a＝1，b2＝c2－a2＝16，
所以点M的轨迹C的方程为x2－＝1(x≥1)．
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2
(2)设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为零，
设直线AB的方程为y－t＝k1(k1≠0)，
直线PQ的方程为y－t＝k2(k2≠0)，
由
得x2－2k1x－2－16＝0.
设A(xA，yA)，B(xB，yB)(，xB＞)，
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由题意知16－≠0，
则xAxB＝，
xA＋xB＝，
所以|TA|＝
＝，
|TB|＝
＝，
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2
则|TA|·|TB|＝
＝(xA＋xB)＋]
＝
＝.
同理得|TP|·|TQ|＝.
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，
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所以，
所以，即，
又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
第8讲　直线与圆锥曲线
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第2讲
　两条直线的位置关系
聚焦·必备知识
突破·核心考点
限时规范训练
1
2
3
内容索引
1．能根据斜率判定两条直线的平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
◆课标要求
聚焦
必备知识
1．两条直线的位置关系
斜截式 一般式
方程 y＝k1x＋b1， y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝，A2x＋B2y＋C2＝
相交 __________ A1B2－A2B1≠0
垂直 k1k2＝____ ___________________
k1≠k2
－1
A1A2＋B1B2＝0
斜截式 一般式
平行 ________________
重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0
k1＝k2且b1≠b2
(1)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组
的解．
3．三种距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝
__________________________．
(2)点到直线的距离公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
(3)两平行直线间的距离公式
两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C2≠C1)间的距离d＝．
1．与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直或平行的直线方程可设为：
(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0.
(2)平行：Ax＋By＋n＝0(n≠C)．
2．有关对称点的结论
点 关于点、线 对称点
(x，y) (a，b) (2a－x，2b－y)
x＝a (2a－x，y)
y＝x (y，x)
x＋y＝k (k－y，k－x)
x－y＝k (k＋y，x－k)
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2成立. (　　)
(2)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　)
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　)
×
×
√
√
2．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为________．
解析：设所求对称直线的点的坐标为(x，y)，关于x轴的对称点的坐标(x，－y)在已知的直线上，所以所求对称直线方程为3x＋4y＋5＝0.
答案：3x＋4y＋5＝0
3．已知直线l过点(0，3)，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是________．
解析：由题意，设直线l的方程为x－y＋a＝0，又直线过点(0，3)，则0－3＋a＝0，得a＝3，
故直线l的方程为x－y＋3＝0.
答案：x－y＋3＝0
4．两条平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为________．
解析：因为l1∥l2，所以由两条平行直线间的距离公式得d＝.
答案：
突破
核心考点
两直线的平行与垂直
例1　(1)设m∈R，则“m＝2”是“直线l1：mx＋2y－1＝0与直线l2：3x＋(m＋1)y＋1＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C
解析：C　当m＝2时，直线l1：2x＋2y－1＝0，直线l2：3x＋3y＋1＝，所以直线l1∥l2；
当l1∥l2时，易知m≠－1，则有－解得m＝2或m＝－3，
当m＝－3时，直线l1与l2重合，所以m＝2.(另解：利用两直线方程为一般式时平行的条件，解得m＝2)．
所以“m＝2”是“直线l1：mx＋2y－1＝0与直线l2：3m＋(m＋1)y＋1＝0平行”的充要条件．
[易错提醒：不要只利用斜率相等，而不注意两直线重合的情况]
(2)若直线l1：ax＋2ay＋1＝0与直线l2：(a－1)x－(a＋1)y－1＝0垂直，则a的值为(　　)
A．0　　 B．－1　　
C．－2　 D．－3
D
解析：D　因为直线l1：ax＋2ay＋1＝0与直线l2：(a－1)x－(a＋1)y－1＝0垂直，
所以a(a－1)－2a(a＋1)＝0，
解得a＝0或a＝－3.
当a＝0时，直线l1不存在，故舍去；
当a＝－3时，满足题意．故选D.
反思感悟　判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在时的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．
跟踪训练1　已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)当l1⊥l2时，求a的值．
解：(1)法一：由A1B2－A2B1＝0，
得a(a－1)－1×2＝0，
由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，
所以l1∥l2 可得a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2；a≠－1时，l1与l2不平行．
法二：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，
l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1：
y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
l1∥l2
解得a＝－1，
综上，当a＝－1时，l1∥l2；a≠－1时，l1与l2不平行．
(2)法一：由A1A2＋B1B2＝0，
得a＋2(a－1)＝0，可得a＝.
法二：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，
l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，
l1不垂直于l2，故a＝0不成立；
当a≠1且a≠0时，l1：y＝－x－3，
l2：y＝x－(a＋1)，
由·＝－1，得a＝.
例2　(1)已知直线l1：2x－y－4＝0，l2：x＋y－5＝0相交于点P，则点P到直线l：x＋2y＋3＝0的距离为(　　)
A．2　　　　　 B．
C． D．
A
两直线的交点与距离问题
解析：A　由题意得，联立方程组
解得即P(3，2)，
则P到直线l：x＋2y＋3＝0的距离
d＝.
(2)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：x＋ny－3＝0之间的距离是，则m＋n等于(　　)
A．0 B．1
C．－2 D．－1
A
解析：A　由题意中两直线平行，得n＝－2.又两平行线之间的距离d＝，且m>0，所以m＝2，所以m＋n＝0.故选A.0
反思感悟　(1)求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)利用距离公式时应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；
②使用两平行线间的距离公式时，要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
跟踪训练2　(1)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．
解析：由方程组
解得∵交点位于第一象限，
∴＞0，且＞0，解得－＜k＜.
答案：
(2)已知直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________．
解析：若所求直线的斜率存在，
则可设其方程为y－2＝k(x－1)，
即kx－y－k＋2＝0，
由题设有，
即|k－1|＝|7－k|，解得k＝4.
此时直线方程为4x－y－2＝0.
若所求直线的斜率不存在，
则直线方程为x＝1，满足题设条件．
故所求直线的方程为4x－y－2＝0或x＝1.
答案：4x－y－2＝0或x＝1
对称问题
考向1　中心对称
例3　直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为(　　)
A．2x－3y＝0　　　
B．3x－2y－2＝0
C．x－y＝0
D．2x－3y－2＝0
B
解析：B　法一：设所求直线上任一点坐标为(x，y)，则其关于点对称的点为，
因为点在直线3x－2y＝0上，
所以3－2(－y)＝0，
化简得3x－2y－2＝0，
所以所求直线方程为3x－2y－2＝0.
法二：在直线3x－2y＝0上任取两点O(0，0)，M(2，3)，
设点O，M关于点的对称点分别为O′，M′，则O′，M′，
所以所求直线方程为，
即3x－2y－2＝0.
考向2　轴对称
例4　已知光线从点A(6，1)射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，再被y轴反射，这时反射光线恰好经过点D(4，4)，则CD所在直线的方程为________________．
解析：如图，由题意知点B在原点O的右侧，直线BC一定过点A(6，1)关于x轴的对称点A′(6，－1)，且一定过点D(4，4)关于y轴的对称点D′(－4，4)，所以BC所在直线的方程为y－4＝(x＋4)，即x＋2y－4＝0，
令x＝0，得y＝2，所以C(0，2)，所以CD所在直线的方程为y＝x＋2，即x－2y＋4＝0.
答案：x－2y＋4＝0
反思感悟　(1)中心对称问题的类型及解题策略
①点关于点对称
若点M(x1，y1)和点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．
②直线关于点对称
ⅰ.在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的点的坐标，再由两点式求出所求直线方程；
ⅱ.求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
(2)轴对称问题的类型及解题策略
①点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则由方程组
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
②直线关于直线对称
ⅰ.若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．
ⅱ.若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后用两点式求解．
跟踪训练3　(1)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．
解析：设l1与l的交点为A(a，8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，
所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
答案：x＋4y－4＝0
(2)(人教A版选择性必修第一册P102复习参考题第1题(3)小题变式)已知直线l：2x－3y＋1＝0，则直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程为______________．
解析：法一：在直线m上取一点，不妨取M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在m′上．设M′(a，b)，则
解得即M′.设m与l的交点为N，则
由得即N(4，3)．
又m′经过点N(4，3)，所以由两点式得直线m′的方程为，即9x－46y＋102＝0.
法二：直线m：3x－2y－6＝0关于直线l：2x－3y＋1＝0对称的直线方程为，即39x－26y－78＝48x－72y＋24，所以直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
答案：9x－46y＋102＝0
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?A级　基础落实练?
1．已知直线l1经过点A(2，a－1)，B(a，4)，且与直线l2：2x＋y－3＝0平行，则a等于(　　)
A．－2　　　　　　　 B．2
C．－1 D．1
解析：C　直线l1的斜率k1＝，直线l2的斜率k2＝－2，
所以＝－2，解得a＝－1，
经检验，符合题意．
限时规范
训练(六十)　两条直线的位置关系
C
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2．过点P(4，－1)且与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程是(　　)
A．4x＋3y－13＝0 B．4x－3y－19＝0
C．3x－4y－16＝0 D．3x＋4y－8＝0
解析：A　与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程可设为4x＋3y＋m＝0.
把点P(4，－1)代入得4×4－3＋m＝0，
解得m＝－13.
所以满足条件的直线方程为4x＋3y－13＝0.
A
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3．(2025·河北石家庄质检)若直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：x＋ay－1＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　易知直线l1的斜率为，
则直线l2的斜率为－，即a＝－2，
故直线l2：x－2y－1＝0，
所以l1和l2间的距离为.
B
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11
4．(人教A版选择性必修第一册P102复习参考题第10题变式)点A(0，－1)到直线l：y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A．1 B．
C． D．2
B
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1
解析：B　法一：点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝，由1＋k2≥，当且仅当k＝1时等号成立，得，故选B.
法二：点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝＝＝，因为要求距离的最大值，所以数形结合知需k>0，由k2＋1≥2k，当且仅当k＝1时等号成立，可得d≤，当k＝1时等号成立．
法三：易知直线y＝k(x＋1)过定点B(－1，0)，则点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d≤|AB|＝.故选B.
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5．若直线y＝x关于直线x＝1的对称直线为l，则直线l的方程是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．x＋y＋2＝0
C．x＋y－2＝0 D．x＋y＋2＝0
解析：C　直线y＝x与直线x＝1交于点
所以直线l的斜率为－且过点A，
所以直线l的方程为y－(x－1)，
即x＋y－2＝0.
C
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6．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为(　　)
A． B．
C．2 D．2
A
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解析：A　联立解得x＝1，y＝2.
把(1，2)代入mx＋ny＋5＝0可得m＋2n＋5＝0，所以m＝－5－2n.
所以点(m，n)到原点的距离
d＝
＝，
当n＝－2，m＝－1时取等号．
所以点(m，n)到原点的距离的最小值为.
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7．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于(　　)
A．2 B．2　
C．2 D．4
B
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解析：B　因为菱形四条边都相等，
所以每条边上的高也相等，且菱形的对边平行，
直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为，
3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之间的距离为，
于是＝2.
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8． (2025·山东烟台质检)唐代诗人李欣的诗《古从军行》的开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即：将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A(1，1)，若将军从山脚下的点B(4，4)处出发，河岸线所在直线l的方程为x－y＋1＝0，则“将军饮马”的最短的总路程是(　　)
A．3 B．
C． D．2
D
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2
解析：D　如图所示，设B(4，4)关于直线x－y＋1＝0对称的点为C(a，b)．
则
解得即C(3，5)．
依题意可得“将军饮马”的最短总路程为|AC|，|AC|＝.
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9．(多选)已知直线l1：ax＋2y＋3a＝0和直线l2：3x＋(a－1)y＋7－a＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A．当a＝时，l1⊥l2
B．当a＝－2时，l1∥l2
C．直线l1过定点(－3，0)，直线l2过定点(－1，1)
D．当l1∥l2时，两直线间的距离为
AD
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解析：AD　对于A，当a＝时，直线l1：＝0，其斜率k1＝－，直线l2：3x－＝0，其斜率k2＝5，所以k1·k2＝－1，所以l1⊥l2，故A选项正确；对于B，当a＝－2时，直线l1：x－y＋3＝0，直线l2：x－y＋3＝0，此时两直线重合，故B选项错误；对于C，由ax＋2y＋3a＝0，可得a(x＋3)＋2y＝0，故直线l1过定点(－3，0)，由3x＋(a－1)y＋7－a＝0，可得a(y－1)＋3x－y＋7＝0，故直线l2过定点(－2，1)，故C选项错误；对于D，当l1∥l2时，两直线的斜率相等，易知a≠0，则－，解得a＝3或a＝－2，由B知当a＝－2时，两直线重合，舍去，故a＝3，此时，直线l1：3x＋2y＋9＝0，直线l2：3x＋2y＋4＝0，两直线间的距离d＝，故D选项正确．故选A、D.
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10．(多选)设直线l1：y＝px＋q，l2：y＝kx＋b，则下列说法中正确的是
(　　)
A．直线l1或l2可以表示平面直角坐标系内任意一条直线
B．l1与l2至多有无穷多个交点
C．l1∥l2的充要条件是p＝k且q≠b
D．记l1与l2的交点为M，则y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0可表示过点M的所有直线
BC
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解析：BC　对于A，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝m(m为直线与x轴交点的横坐标)，此时直线l1或l2的方程无法表示，故A错误；
对于B，当p＝k且q＝b时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故B正确；
对于C，当p＝k且q≠b时，l1∥l2，故C正确；
对于D，记l1与l2的交点为M，则M的坐标满足l1：y＝px＋q且满足l2：y＝kx＋b，则y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0不表示过点M的直线l2，故D错误．
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11．(多选)(人教A版选择性必修第一册P79习题2.3第8题变式)已知直线l经过点P(3，1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0所截得的线段长为5，则直线l的方程可以为(　　)
A．y＝1　　　　　　 B．x＝3
C．y＝0 D．x＝2
AB
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解析：AB　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时l与直线l1，l2的交点坐标分别为(3，－4)，(3，－9)，所截得的线段长为|－4＋9|＝5，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，直线l与直线l1和l2的交点分别为A，B，易知k≠－1，联立方程组，
得解得
即A，
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同理联立得B＝5，得2＋2＝52，解得k＝0，则直线l的方程为y＝1.综上所述，所求直线l的方程为x＝3或y＝1.
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12．已知直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝________．
解析：由题意，若l1⊥l2，则m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2.
答案：3或－2
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13．若直线l1：x－my＋1＝0过定点A，l2：mx＋y－m＋3＝0过定点B，l1与l2交于点P，则|PA|2＋|PB|2＝________．
解析：由题意，l1过定点A(－1，0)，由mx＋y－m＋3＝0得m(x－1)＋(y＋3)＝0，则直线l2过定点B(1，－3)，(接下来若去求交点P，再算|PA|2＋|PB|2，则计算量大，|PA|2＋|PB|2的结构让我们想到勾股定理，故接下来看看PA，PB是否垂直).因为1×m＋(－m)×1＝0，所以l1⊥l2，连接AB(图略)，故|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－1)2＋[0－(－3)]2＝13.
答案：13
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14．已知△ABC的一个顶点A(4，－1)，两条角平分线所在直线的方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为________________．
解析：由题知，A(4，－1)不在这两条角平分线上，因此l1，l2是角B，角C的角平分线所在直线．设点A关于直线l1的对称点为A1(x1，y1)，关于直线l2的对称点为A2(x2，y2)，则A1，A2均在边BC所在的直线上．由得
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所以A1(0，3)．
因为l2：x＝1，所以易得y2＝－1，由＝1，得x2＝－2，所以A2(－2，－1)．所以BC边所在直线的方程为，即2x－y＋3＝0.
答案：2x－y＋3＝0
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?B级　能力提升练?
15．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，若直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为(　　)
A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0
C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0
B
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解析：B　设A(a，b)，则
解得所以A(－1，1)．
设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，
当d＝|AB|时取得最大值，
此时直线l2垂直于直线AB，
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所以直线l2的斜率
k＝－，
所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，
即3x－2y＋5＝0.
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16．已知A(0，2)，B(3，－1)，点P为x轴上一动点，则|PA|－|PB|的最大值是(　　)
A． B．3
C．2 D．
A
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解析：A　由已知点A关于x轴的对称点为C(0，－2)，kBC＝，直线BC的方程为y＝x－2，
令y＝0得x＝6，
所以直线BC与x轴的交点为Q(6，0)，
|PA|－|PB|＝|PC|－|PB|≤|CB|＝，当且仅当P是直线BC与x轴交点Q时等号成立．
第2讲　两条直线的位置关系
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第9讲
高考中圆锥曲线的综合问题
第1课时　定点、定值问题
突破·核心考点
限时规范训练
1
2
内容索引
定点问题包含直线过定点和曲线过定点．定值问题一般是探索某些几何量(斜率、距离、线段长度、面积等)或某些代数式的值(某些量的和、积、商)，与变量无关．定点、定值问题在高考题中一般作为压轴题出现，难度较大．
◆命题解读
突破
核心考点
定点问题
例1　(2023·全国乙卷改编)已知椭圆C：＝1，点A(－2，0)在C上，过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
证明：由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由
得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0，
则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k＞0，
故x1＋x2＝－.
直线AP：y＝(x＋2)，
令x＝0，解得yM＝，
同理得yN＝，
则yM＋yN＝2×
＝2×
＝2×
＝2×
＝2×＝6.
所以MN的中点的纵坐标为＝3，
所以MN的中点为定点(0，3)．
反思感悟　圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动直线中的系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
跟踪训练1　(2025·山东聊城模拟)已知抛物线C关于y轴对称，顶点在原点，且经过点P(2，2)，动直线l：y＝kx＋b不经过点P，与C相交于A，B两点，且直线PA和PB的斜率之积等于3.
(1)求C的标准方程；
(2)证明：直线l过定点，并求出定点坐标．
解：(1)由抛物线C关于y轴对称，可设C：x2＝2py，由P(2，2)在抛物线C上，得4＝2p×2，解得p＝1，
故C的标准方程为x2＝2y.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则kPA＝，同理可得kPB＝，
由kPA·kPB＝3，得＝3，得x1x2＋2(x1＋x2)＝8，
联立消去y得x2－2kx－2b＝0，
Δ＝4k2＋8b＞0，x1＋x2＝2k，x1x2＝－2b，
即有－2b＋2×2k＝8，化简得b＝2k－4，
此时Δ＝4k2＋8b＝4k2＋16k－32，则Δ＞0有解，
则l：y＝k(x＋2)－4，即直线l过定点(－2，－4)．
定值问题
例2　(2025·广西南宁模拟)双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)上一点D到左、右焦点的距离之差为6.
(1)求C的方程；
(2)已知点A(－3，0)，B(3，0)，过点(5，0)且与x轴不重合的直线l与C交于M，N两点，直线MA与NB交于点P，试问：点P到直线x＝－2的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解：(1)依题意可得解得故C的方程为－y2＝1.
(2)设l的方程为x＝my＋5，M(x1，y1)，
N(x2，y2)，
联立消去x整理得(m2－9)y2＋10my＋16＝0，
则y1＋y2＝.
直线AM：y＝(x＋3)，直线BN：y＝(x－3)．
联立
消去y得.
＝.
＝＝－4，
解得x＝，所以点P在定直线x＝上．
因为直线x＝与直线x＝－2之间的距离为，
所以点P到直线x＝－2的距离为定值，且定值为.
反思感悟　圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值．
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形得出定值．
(3)求某线段长度为定值．利用两点间距离公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可得出定值．
跟踪训练2　设抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线与E交于A，B两点，且|AB|＝8.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知过点(－1，0)的直线l与E交于不重合的两点M，N，且P(1，2)，直线PM和PN的斜率分别为kPM和kPN.求证：kPM＋kPN为定值．
解：(1)由题意得F，故直线AB的方程为y＝x－，
联立消去y整理得x2－3px＋＝0，Δ＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，x1x2＝＝x1＋x2＋p＝4p，所以4p＝8，解得p＝2，
故抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)证明：由题可知，直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝－1＋my，联立消去x整理得y2－4my＋4＝0，
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝4m，
y3y4＝4，则kPM＝，
所以kPM＋kPN＝＝
＝
＝＝2.
所以kPM＋kPN为定值2.
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1
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1．(17分)(2024·四川遂宁模拟)已知O为坐标原点，过点P(2，0)的动直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点．
(1)求的值；
(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在不同于点P的定点Q，使得∠AQP＝∠BQP恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
限时规范
训练(六十七)　定点、定值问题
3
4
1
2
解：(1)显然直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为x＝ty＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x并整理得y2－4ty－8＝0，显然Δ＞0，则y1y2＝－8，
所以－8＝－4.
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1
2
(2)由(1)知y1＋y2＝4t，y1y2＝－8，
假设存在不同于点P的定点Q，使得∠AQP＝∠BQP恒成立，由抛物线的对称性知，点Q在x轴上，设Q(m，0)(m≠2)，
则直线QA，QB的斜率互为相反数，即＝0，即
y1(ty2＋2－m)＋y2(ty1＋2－m)＝0，
3
4
1
2
整理得2ty1y2＋(2－m)(y1＋y2)＝0，即－16t＋4t(2－m)＝0，即4t(－2－m)＝0，而t不恒为0，则m＝－2，
所以存在不同于点P的定点Q，使得∠AQP＝∠BQP恒成立，点Q的坐标为(－2，0)．
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1
3
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2．(17分)(2025·湖北七市联考)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)经过点A(0，1)，且右焦点为F(1，0)．
(1)求C的标准方程；
(2)过点的直线l与椭圆C交于两个不同的点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.证明：以MN为直径的圆过y轴上的定点．
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1
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解：(1)由题意可得，在椭圆＝1(a>b>0)中，c＝1，b＝1，a2＝b2＋c2＝2.
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明：由题意可知直线l的斜率存在，
设直线l：y＝kx＋，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将直线l代入椭圆方程，得
(4k2＋2)x2＋4kx－3＝0，
2
1
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4
所以x1＋x2＝.
直线AP的方程为y＝x＋1，
直线AQ的方程为y＝x＋1.
令y＝0，可得M，N，
以MN为直径的圆的方程为
＋y2＝0，
即x2＋y2＋x＋＝0.①
2
1
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因为
＝＝－6，
在①中令x＝0，得y2＝6，
解得y＝±.
即以MN为直径的圆过y轴上的定点.
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3．(17分)(2025·湖南长沙雅礼中学模拟)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点在椭圆上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，一条斜率不为0的直线过点(－1，0)与椭圆交于M，N两点，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线BN的斜率为k1，直线AM的斜率为k2，求证：为定值．
2
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4
解：(1)由椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，
可得，所以＝1－2＝.
又点在该椭圆上，所以＝1，所以a2＝4，b2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＝1.
2
3
1
4
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由于该直线斜率不为0，可设lMN∶x＝my－1，
联立消去x整理得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
由题知Δ＞0恒成立，根据根与系数的关系可知，y1＋y2＝，
my1y2＝－(y1＋y2)，
k1＝，
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＝，
所以＝3，
所以为定值．
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3
4
1
4．(17分)如图，已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的焦距为，且过点A，直线l与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，O为坐标原点．

(1)求双曲线C的方程；
(2)求证：△MON的面积为定值，并求出该定值．
2
3
4
1
解：(1)设双曲线C的焦距为2c(c＞0)，
由题意可得解得
则双曲线C的方程为－y2＝1.
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1
(2)证明：由于直线l与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，则直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m，
联立
消去y整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0，
Δ＝64k2m2－4(4k2－1)(4m2＋4)＝0 4k2
＝m2＋1，
设l与x轴交于一点D，|OD|＝－，
2
3
4
1
S△OMN＝S△MOD＋S△NOD＝×|yM－yN
＝，
双曲线两条渐近线方程为y＝±x，
联立 M，
联立 N，
则S△MON＝·＝·＝·＝2(定值)．
第9讲　第1课时　定点、定值问题
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三新命题
　解析几何
(教师用书独具)
限时规范训练
内容索引
命题点一　解析几何的新定义问题
例1　 (2024·山东青岛三模)在平面内，若直线l将多边形分为两部分，多边形在l两侧的顶点到直线l的距离之和相等，则称l为多边形的一条“等线”，已知O为坐标原点，双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，E的离心率为2，点P为E右支上一动点，直线m与曲线E相切于点P，且与E的渐近线交于A，B两点，当PF2⊥x轴时，直线y＝1为△PF1F2的等线．
(1)求E的方程；
(2)若y＝x是四边形AF1BF2的等线，求四边形AF1BF2的面积；
(3)设＝，点G的轨迹为曲线Γ，证明：Γ在点G处的切线n为△AF1F2的等线．
解：(1)由题意知P(c，)，F1(－c，0)，F2(c，0)，显然点P在直线y＝1的上方，
因为直线y＝1为△PF1F2的等线，所以－1＝2，e＝＝2，c2＝a2＋b2，
解得a＝1，b＝，所以E的方程为x2－＝1.
(2)设P(x0，y0)，切线m：y－y0＝k(x－x0)，代入x2－＝1得：
(3－k2)x2＋2k(kx0－y0)x－（＋－2kx0y0＋3）＝0，
故Δ1＝[2k(kx0－y0)]2＋4(3－k2)（＋－2kx0y0＋3）＝0，
该式可以看作关于k的一元二次方程＋3＝0，
Δ2＝＋3)＝0
所以k＝＝＝，
即m的方程为x0x－＝1，(*)
当m的斜率不存在时，方程也成立，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设A在B上方，
联立得xA＝，xB＝，
故xA＋xB＝＝2x0，
所以P是线段AB的中点，因为F1，F2到过O的直线距离相等，
则过O点的等线必定满足：A，B到该等线距离相等且分居两侧，所以该等线必过点P，即OP的方程为y＝x，
由解得故P() .
所以yA＝xA＝＝＝＋3，
所以yB＝－xB＝－＝＝－3，
所以|yA－yB|＝6，所以＝|F1F2|·|yA－yB|＝2|yA－yB|＝12.
(3)证明：设G(x，y)，由＝，所以x0＝3x，y0＝3y，
故曲线Γ的方程为9x2－3y2＝1(x>0)，
由(*)式知切线为n，也为＝1，即x0x－＝，即3x0x－y0y－1＝0，
易知A与F2在n的右侧，F1在n的左侧，分别记F1，F2，A到n的距离为d1，d2，d3，
由(2)知xA＝，yA＝·
＝，
所以d3＝
＝＝
＝，
由x0≥1得d1＝＝，
d2＝＝ ，
因为d2＋d3＝＝＝d1，所以直线n为△AF1F2的等线 .
思维升华　(1)解本例的第(1)(2)问需要理解“等线”的定义，根据定义求参数，再求双曲线的方程和四边形的面积．
(2)解第(3)问关键是利用给定定义和条件，然后结合前面的结论，通过d2＋d3＝d1进行证明．
跟踪训练1　在xOy平面上，我们把与定点F1(－a，0)，F2(a，0)(a>0)距离之积等于a2的动点的轨迹称为伯努利双纽线，F1，F2为该曲线的两个焦点．已知曲线C：(x2＋y2)2＝9(x2－y2)是一条伯努利双纽线．
(1)求曲线C的焦点F1，F2的坐标；
(2)判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B(异于坐标原点O)，使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求出点A，B的坐标；如不存在，请说明理由．
解：(1)设焦点F1(－a，0)，F2(a，0)(a>0)，
由题意得，·＝a2，即[(x－a)2＋y2][(x＋a)2＋y2]＝a4，
整理得，(x2＋y2)2＝2a2(x2－y2)，
又(x2＋y2)2＝9(x2－y2)，
则2a2＝9，解得a＝±，因为a>0，所以a＝，所以F1(－，0)，F2(，0)．
(2)假设曲线C上存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过原点O，则OA⊥OB，由C：(x2＋y2)2＝9(x2－y2)，令x＝0，(0＋y2)2＝9(0－y2)，即y4＋9y2＝0，
解得y＝0，所以直线OA，OB的斜率均存在，
不妨设直线OA的方程为y＝k1x，直线OB的方程为y＝k2x,
将直线OA的方程与曲线C联立，得)2x4＝9x2)，
因为A，B异于坐标原点O，即x≠0，
所以x2＝>0，解得k1∈(－1，1)，
同理可得k2∈(－1，1)，
所以k1k2＝－1不成立，则假设不成立，
即曲线C上不存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过原点O.
命题点二　解析几何与其他数学知识的交汇问题
例2　(2024·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C：x2－y2＝m(m>0)，点P1(5，4)在C上，k为常数，0(1)若k＝，求x2，y2；
(2)证明：数列{xn－yn}是公比为的等比数列；
(3)设Sn为△PnPn＋1Pn＋2的面积，证明：对任意的正整数n，Sn＝Sn＋1.
解：将点P1(5，4)的坐标代入C的方程得52－42＝m，解得m＝9，所以C：x2－y2＝9.
(1)过点P1(5，4)且斜率k＝的直线方程为y＝(x－5)＋4，与C的方程联立，消去y化简可得x2－2x－15＝0，即(x－5)(x＋3)＝0，
所以点Q1的横坐标为－3，将x＝－3代入直线方程，得y＝0，
因此Q1(－3，0)，从而P2(3，0)，
即x2＝3，y2＝0.
(2)证明：由题意，Pn(xn，yn)，Pn＋1(xn＋1，yn＋1)，Qn(－xn＋1，yn＋1)．
设过点Pn(xn，yn)且斜率为k的直线为ln：y＝k(x－xn)＋yn，
将ln的方程与C的方程联立，消去y化简可得(1－k2)x2＋(2k2xn－2kyn)x－(kxn－yn)2－9＝0，
由根与系数的关系得
－xn＋1＋xn＝－，
所以xn＋1＝＋xn
＝.
又Qn(－xn＋1，yn＋1)在直线ln上，
所以yn＋1＝k(－xn＋1－xn)＋yn＝－kxn＋1－kxn＋yn.
从而xn＋1－yn＋1＝xn＋1＋kxn＋1＋kxn－yn＝(1＋k)xn＋1＋kxn－yn＝(1＋k)·＋kxn－yn＝·(xn－yn)，
易知xn－yn≠0，所以数列{xn－yn}是公比为的等比数列．
(3)证明：由(2)知，数列{xn－yn}是首项为x1－y1＝5－4＝1，公比为的等比数列．
令t＝，由01，则xn－yn＝tn-1，
又＝9，所以xn＋yn＝＝，
可得xn＝，yn＝.
所以Pn()，Pn＋1()，Pn＋2()，
Pn＋3()．
所以＝
＝，
＝＝，
即＝，
所以PnPn＋3∥Pn＋1Pn＋2，
所以点Pn和点Pn＋3到直线Pn＋1Pn＋2的距离相等，
因此△PnPn＋1Pn＋2和△Pn＋1Pn＋2Pn＋3的面积相等，即Sn＝Sn＋1.
思维升华　解答本题的两个关键点
(1)应注意Pn在双曲线上，所以其纵横坐标满足双曲线的方程，可实现横纵坐标和与差的相互转化；
(2)通过证明平行证明三角形的面积相等可得Sn＝Sn＋1.
跟踪训练2　(2024·辽宁沈阳三模)设抛物线C：x2＝2py(p>0)，过点M(0，4)的直线与C交于A，B两点，且OA⊥OB.若抛物线C的焦点为F，记△AOB，△AOF的面积分别为S△AOB，S△AOF.
(1)求S△AOB＋2S△AOF的最小值；
(2)设点D(1，－4)，直线AD与抛物线C的另一交点为E，求证：直线BE过定点；
(3)我国南北朝数学家祖暅所提出的祖暅原理是“幂势既同，则积不容异”，即：夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．当△AOB为等腰直角三角形时，记线段AB与抛物线围成的封闭图形为ω，ω绕y轴旋转半周形成的曲面所围成的几何体为Ω.试用祖暅原理的数学思想求出Ω的体积．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝kx＋4，
由消去y整理得x2－2pkx－8p＝0，
x1x2＝－8p，y1y2＝＝16，
由OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝0，16－8p＝0，
解得p＝2，即x1x2＝－8p＝－16，
S△AOB＋2S△AOF＝×|OM|×|x1－x2|＋2××|OF|×|x1|＝3|x1|＋2|x2|
＝3|x1|＋≥2＝8，
当且仅当＝时等号成立，所以S△AOB＋2S△AOF最小值为8.
(2)证明：设E(x3，y3)，则直线AE的斜率kAE＝，方程为y＋4＝(x－1)，
由(1)知抛物线C：x2＝4y，
由消去y得＋4＝(x－1)，
整理得＋16＝0，显然x1＋x3＝，x1x3＝＋16，
于是x1＋x3＋16＝x1x3，又x1x2＝－16，联立消去x1，得x2x3＋16(x2＋x3)－16＝0，
设直线BE：y＝k2x＋m，与抛物线联立消去y整理得：x2－4k2x－4m＝0，
x2x3＝－4m，x2＋x3＝4k2，因此－4m＋64k2－16＝0，m＝16k2－4，
直线y＝k2x＋16k2－4恒过定点(－16，－4)．
(3)作底面半径为4、高为4的圆柱，并将内部切割去掉Ω之后，上下翻转得到几何体Φ，
现做一平面，使其平行于Ω和Φ的底面，且被两几何体分别截得如图中阴影所示截面，
图1：几何体Ω　 　　图2：几何体Φ
在图1的几何体Ω中，设P(x0，y0)，即PQ＝x0，QT＝y0，QS＝4－y0，且＝4y0，
在图2的几何体Φ中，有KJ＝4－y0，由抛物线方程得＝4(4－y0)＝16－4y0＝，
则图2中截面圆环面积S2＝)＝，而图1中截面圆面积S1＝，
由祖暅原理可得，Ω和Φ的体积相等，均为圆柱体积的一半，即VΩ＝πR2h＝π×42×4＝32π.
图1：几何体Ω　 　　图2：几何体Φ
1
2
1．(17分)(2024·福建漳州四检)已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的离心率为，点A(1，)，B(1，－)，C(－1，2)中恰有两个点在E上．
(1)求E的方程；
(2)设n∈N*，△AnBnCn的内角An，Bn，Cn的对边分别为an，bn，cn，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝.若点Bn，Cn在x轴上且关于原点对称，问：是否存在a1，使得点An都在E上，若存在，求出a1，若不存在，请说明理由．
限时规范
训练　解析几何
1
2
解：(1)因为A(1，)与B(1，－)关于x轴对称，E也关于x轴对称，A，B，C中恰有两个点在E上，所以A，B在E上，C不在E上，所以＝1，
又因为e＝＝，c＝，a＞b＞0，
所以a＝2，b＝，c＝1，
所以E的方程为＝1.
1
2
(2)存在a1＝2，使得点An都在E上．理由如下：
因为an＋1＝an，所以an＝a1，因为bn＋1＝，cn＋1＝，
所以bn＋1＋cn＋1＝(bn＋cn)＋an，即bn＋1＋cn＋1＝(bn＋cn)＋a1，所以bn＋1＋cn＋1－2a1＝(bn＋cn－2a1)，
又因为b1＋c1＝2a1，所以b1＋c1－2a1＝0，所以bn＋cn－2a1＝0，即bn＋cn＝2a1，所以AnCn＋AnBn＝2a1＞a1＝BnCn，
所以点An在以Bn，Cn为焦点，2a1为长轴长的椭圆上，又E的焦点为(±1，0)，长轴长为4，点Bn，Cn在x轴上且关于原点对称，
1
2
所以点An都在椭圆E上
解得a1＝2，
所以存在a1＝2，使得点An都在E上．
2
1
2．(17分)(2025·广东汕头模拟)已知点M(x0，y0)为双曲线－y2＝1上的动点．
(1)判断直线－y0y＝1与双曲线的公共点个数，并说明理由
(2)(ⅰ)如果把(1)的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明；
(ⅱ)将双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为＝0，请利用该方程证明如下命题：若T(m，n)为双曲线C上一点，直线l：＝1与C的两条渐近线分别交于点P，Q，则T为线段PQ的中点．
2
1
解：(1)直线与双曲线只有1个公共点．
理由：∵点M(x0，y0)在双曲线－y2＝1上，
＝1，①
联立得)＝0，
将①式代入，整理得＝0，
∵Δ＝＝0，
∴该直线与双曲线有且仅有1个公共点．
2
1
(2)(ⅰ)过双曲线＝1(a＞0，b＞0)上一点(x0，y0)的切线方程为＝1.
(ⅱ)证明：当n＝0时，直线l的斜率不存在，此时T为双曲线与x轴的交点，
由对称性知，点T为线段PQ的中点，
当n≠0时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点N(t，s)，
联立得()x2＋2mx－a2＝0，
2
1
由＝1将上式整理得x2－2mx＋a2＝0，
∴t＝＝m，
又∵＝1(注意：点N(t，s)在直线l上)，
∴s＝－1)＝n，则N(m，n)，
∴点T与点N重合，∴点T为线段PQ的中点．
综上，点T为线段PQ的中点．
三新命题　解析几何
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第八章　平面解析几何
第1讲
　直线的方程
聚焦·必备知识
突破·核心考点
限时规范训练
1
2
3
内容索引
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的五种形式.3.直线方程的综合考查(常与向量、不等式、几何结合)
◆课标要求
聚焦
必备知识
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l_____的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_____．
③范围：直线l倾斜角的取值范围是_______．
向上
0°
[0，π)
(2)直线的斜率
①定义式：当直线l的倾斜角为α时，其倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，即k＝_________．
②坐标式：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则直线l的斜率k＝
__________．
tan α
(3)直线的方向向量与斜率的关系
定义 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线，其方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)·(1，)，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为_________
关 系 当直线的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k＝
__
(1，k)
2.直线方程的五种形式
名称 几何要素 方程形式 适用范围
点斜式 点(x0，y0)，斜率k _________________ 与x轴不
垂直
斜截式 斜率k， 纵截距b ___________
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
名称 几何要素 方程形式 适用范围
两点式 点(x1，y1)，点(x2，y2)， x1≠x2，y1≠y2 _________________ 与坐标轴不垂直
截距式 纵、横截距， a≠0，b≠0 _______________ 不过原点且不垂直于坐标轴
一般式 Ax＋By＋C＝0 (A≠0或B≠0) 所有直线
＝1
1．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．
2．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0 不存在 k<0
记忆口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论．”
1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)
(1)所有的直线都有唯一的倾斜角，也就是都有唯一的斜率．(　　)
(2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)
(3)直线的纵截距就是直线与y轴的交点到原点的距离．(　　)
(4)直线l向上的方向与y轴的正方向所成的角与该直线的倾斜角互余．(　　)
×
×
×
×
2．设m为实数，过两点的直线l的倾斜角为45°，则m的值为________．
解析：∵过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2，2m)的直线l的倾斜角为45°，
∴＝1，
解得m＝－2.
答案：－2
3．过点P且倾斜角为30°的直线方程为________．
解析：易知直线的斜率为，
故直线方程为y－(x＋1)，
即x－y＋4＝0.
答案：x－y＋4＝0
4．过点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．
解析：当直线过原点时，直线斜率为，则直线方程为3x－2y＝0，
当直线不过原点时，设直线方程为x＋y＝a，
又过点P(2，3)，则a＝5，
则直线方程为x＋y－5＝0.
答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0
例1　(1)设直线l的方程为x－y sin θ＋2＝0，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A．[0，π]　　 B．
C． D．∪
C
突破
核心考点
直线的倾斜角与斜率
解析：C　由题意知，当sin θ＝0时，直线l的斜率不存在，其倾斜角α＝；当sin θ≠0时，直线l的斜率k＝∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以倾斜角α∈∪.综上，α∈.
(2)若直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
B
解析：B　如图，当直线l过点B时，设直线l的斜率为k1，则k1＝；当直线l过点A时，设直线l的斜率为k2，则k2＝＝1，所以要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是.
反思感悟　(1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法．
(2)倾斜角和斜率取值范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tan α的单调性．
跟踪训练1　(1)如图所示，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为(　　)
A．k1＜k2＜k3
B．k1＜k3＜k2
C．k2＜k1＜k3
D．k3＜k2＜k1
解析：A　由斜率的定义可知，k1＜k2＜k3.故选A.
A
(2)已知直线l的一个方向向量为p＝(，cos )，则直线l的倾斜角为
(　　)
A．　　　　　　　 B．
C． D．
解析：A　由题意可得，直线l的斜率k＝，又倾斜角的范围是[0，π)，所以k＝＝tan ，即直线l的倾斜角为.
A
求直线的方程
例2　求符合下列条件的直线方程：
(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－；
(2)直线过点(2，1)，且横截距为纵截距的两倍；
(3)直线过点(5，10)，且原点到该直线的距离为5.
解：(1)∵所求直线过点A(－1，－3)，且斜率为－，
∴y＋3＝－(x＋1)，即x＋4y＋13＝0.
(2)当横截距与纵截距都为0时，
可设直线方程为y＝kx，又直线过点(2，1)，
∴1＝2k，解得k＝，
∴直线方程为y＝x，即x－2y＝0；
当横截距与纵截距都不为0时，
可设直线方程为＝1，
由题意可得解得
∴直线方程为＝1，即x＋2y－4＝0.
综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.
(3)当直线的斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足题意；
当直线的斜率存在时，设斜率为k，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋10－5k＝0.
所以原点到直线的距离d＝＝5，
解得k＝，
所以所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
反思感悟　求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意直接写出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数的值．
跟踪训练2　(1)过点A(1，4)的直线的方向向量为m＝(1，2)，则该直线方程为(　　)
A．2x－y＋2＝0　　　 B．2x＋y－6＝0
C．x－2y＋7＝0 D．x＋2y－10＝0
解析：A　由于直线的方向向量为m＝(1，2)，故直线的斜率为＝2，故直线的方程为y－4＝2(x－1)，即2x－y＋2＝0，选A.
A
(2)(人教A版选择性必修第一册P64练习第3题变式)过点A(1，4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　　)
A．x－y＋3＝0
B．x＋y－5＝0
C．4x－y＝0或x＋y－5＝0
D．4x－y＝0或x－y＋3＝0
D
解析：D　法一：当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为y＝4x，即4x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为＝1(a≠0)，因为直线过点A(1，4)，所以＝1，解得a＝－3，此时直线方程为x－y＋3＝0.综上，选D.
法二：易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意．设直线方程为y－4＝k(x－1)(k≠0)，则x＝0时，y＝4－k，y＝0时，x＝1－，由题意知1－＋4－k＝0，解得k＝4或k＝1，即直线方程为y＝4x或x－y＋3＝0.
[易错提醒：截距之和为0时，易直接将直线方程设为截距式(截距互为相反数)，从而忽视直线过原点的情况]
直线方程的综合应用
例3　已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4.当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则实数a＝________．
解析：根据题意画出示意图，如图所示：
由于直线l1：ax－2y＝2a－4，
当x＝0时，y＝2－a，
即直线l1和y轴交于点A(0，2－a)，
由于直线l2：2x－a2y＝2a2＋4，
则直线l2与x轴交于点C(a2＋2，0)，
易知l1和l2均经过定点(2，2)，
即两直线交于点B(2，2)．
则四边形AOCB的面积S＝S△AOB＋S△BOC＝×(2－a)×2＋×(a2＋2)×2＝2＋，
又0＜a＜2，所以当a＝时，四边形的面积最小．
答案：
反思感悟　(1)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)求直线方程：弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或取值范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
跟踪训练3　已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，当|MA|·|MB|最小时，则直线l的方程为________．
解析：设A(a，0)，B(0，b)，则a>0，b>0，
则直线l的方程为＝1，所以＝1.
＝－
＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1
＝2a＋b－5＝(2a＋b)·－5
＝≥4，
当且仅当a＝b＝3时等号成立，
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
3
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2
?A级　基础落实练?
1．(人教A版选择性必修第一册P58习题2.1第4题变式)已知点A(m，1)，B(4，2)，C(－4，2m)在同一条直线上，则m等于(　　)
A．0　　　　　　　　 B．5
C．0或5 D．0或－5
解析：C　由点A(m，1)，B(4，2)，C(－4，2m)在同一条直线上，知直线斜率存在，且，解得m＝0或m＝5，故选C.
限时规范
训练(五十九)　直线的方程
C
2
1
3
4
5
6
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11
2．已知经过点(3，1)的直线l的一个方向向量为(3，2)，则l的方程为
(　　)
A．3x＋2y－11＝0 B．2x－3y－3＝0
C．2x＋3y－9＝0 D．3x－2y－7＝0
解析：B　设Q(3，1)，直线l上与点Q不重合的任意一点为P(x，y)，由题意有与向量(3，2)共线，所以，整理得直线l的方程为2x－3y－3＝0(x≠3)，又点Q(3，1)在直线l上，且点Q(3，1)满足方程2x－3y－3＝0，故l的方程为2x－3y－3＝0.
B
2
3
1
4
5
6
7
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3．(人教A版选择性必修第一册P55练习第4题变式)若0<α<两点的直线的倾斜角为(　　)
A．α B．＋α
C．π－α D．－α
解析：B　经过P1(0，cos α)，P2(sin α，0)两点的直线的斜率为，其中0<α<，设直线的倾斜角为β，则tan β＝.又0<α<，所以β＝＋α.故选B.
B
2
3
4
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4．若直线l的方程y＝－中，ab＞0，ac＜0，则此直线必不经过
(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：C　由y＝－，ab＞0，ac＜0，
知直线l的斜率k＝－＜0，
在y轴上的截距－＞0，
所以此直线必不经过第三象限．
C
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5．(2025·山东临沂调研)过点A(－1，1)的直线l的倾斜角是直线l1：x－y＋1＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程是(　　)
A．＋1＝0
B．－1＝0
C．＋3＝0
D．－3＝0
解析：B　因为k1＝tan α＝，α＝60°，
所以k＝tan 120°＝－，
所以直线l的方程是y－1＝－(x＋1)，
即－1＝0.
B
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6．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2第9题变式)欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为“欧拉线”．已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)，则△ABC的欧拉线方程为(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－＝0
C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋1＝0
C
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解析：C　由△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)知，△ABC的重心为点，即点(1，1)．因为BC⊥AB，所以△ABC为直角三角形，所以其外心为斜边的中点，即点，即点，所以△ABC的“欧拉线方程”为，即x＋2y－3＝0.故选C.
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7．若直线l经过点A(1，2)，且在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是(　　)
A．
B．∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪
D．(－∞，－1)∪
D
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解析：D　在平面直角坐标系中作出点A(1，2)，B(－3，0)，C(3，0)，过点A，B作直线AB，过点A，C作直线AC，则直线AB在x轴上的截距为－3，直线AC在x轴上的截距为3.因为kAB＝＝－1，所以直线l的斜率的取值范围为(－∞，－1)∪.故选D.
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8．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4，3)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为(　　)
A．4x－3y＋1＝0 B．3x－4y－1＝0
C．4x＋3y＋1＝0 D．3x＋4y－1＝0
解析：C　因为直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4，3)，
所以4a1＋3b1＋1＝0，4a2＋3b2＋1＝0.
由上式可得点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)都在直线4x＋3y＋1＝0上，
即过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为4x＋3y＋1＝0.
C
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9．(多选)已知直线l：x－my＋m－1＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．直线l的斜率可能为0
B．直线l的斜率可能不存在
C．直线l过定点(1，1)
D．直线l的横、纵截距不可能相等
BC
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解析：BC　当m＝0时，直线l：x＝1，其斜率不存在．当m≠0时，直线l：x－my＋m－1＝0的斜率k＝≠0，故A不正确，B正确．由x－my＋m－1＝0，得x－1＝m(y－1)，令解得所以直线l过定点(1，1)，故C正确．当m＝1时，直线l：x－y＝0，其在x，y轴上的截距均为0，故D不正确．故选BC.
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10．(多选)已知直线l的方程为ax＋by－2＝0，则下列结论中正确的是
( 　　)
A．若ab>0，则直线l的斜率小于0
B．若b＝0，a≠0，则直线l的倾斜角为90°
C．直线l可能经过坐标原点
D．若a＝0，b≠0，则直线l的倾斜角为0°
ABD
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解析：ABD　若ab>0，则直线l的斜率－<0，故A正确；
若b＝0，a≠0，则直线l的方程为x＝，其倾斜角为90°，故B正确；
将点(0，0)代入ax＋by－2＝0中，显然不成立，故C错误；
若a＝0，b≠0，则直线l的方程为y＝，其倾斜角为0°，故D正确．
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11．(多选)下列说法中正确的有(　　)
A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限
B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3，2)
C．过点(2，－1)，斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)
D．斜率为－2，在y轴上截距为3的直线方程为y＝－2x±3
ABC
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解析：ABC　A中，直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，所以(k，b)在第二象限，故A正确；B中，直线可写为y－2＝a(x－3)，所以直线过定点(3，2)，故B正确；C中，根据直线的点斜式方程知正确；D中，由直线的斜截式方程得y＝－2x＋3，故D错误．
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12．如果直线x－4y＋b＝0的纵截距为正，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，则b＝________．
解析：由题意，知直线的方程为y＝(b＞0)，
它与两坐标轴的交点为和(－b，0)，
它与两坐标轴围成的三角形的面积为×b＝8，解得b＝8.
答案：8
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13．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．
解析：由题意知，要使直线不经过第一象限，需满足直线在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，即解得k≥.
答案：
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14．已知直线x＋ky－2－k＝0恒过定点A，则A点的坐标为________；若点A在直线mx－y＋n＝0(m，n>0)上，则的最小值为________．
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解析：已知直线方程可变形为x－2＋k(y－1)＝0，
由解得
即定点A的坐标为(2，1)．
由于点A在直线mx－y＋n＝0上，
则2m－1＋n＝0，所以2m＋n＝1.
所以＝(2m＋n)＝3＋≥3＋2 ，
当且仅当，即当n＝－1时等号成立．
答案：(2，1)　3＋2
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15．已知两点A(2，－3)，B(－3，2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A．－4≤k≤－
B．k≤－4或k≥－
C．－4≤k≤
D．－≤k≤4
B
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解析：B　画出点与直线的示意图如图所示，
结合图形，由题意得，所求直线的斜率k满足k≥kPB或k≤kPA，
即k≥－或k≤－4，
即直线的斜率的取值范围是k≤－4或k≥－.
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16．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点M(4，1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点．
(1)当△AOB的面积最小时，直线l的方程为________．
(2)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程为________．
(3)当|MA|·|MB|取得最小值时，直线l的方程为________．
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解析：(1)法一：易知直线l的斜率小于0.由题意，设直线l的方程为y－1＝k(x－4)，且k<0，则A，B(0，1－4k)，则S△AOB＝＝·(1－4k)＝(1－4k)＝≥＝×(8＋8)＝8，当且仅当－＝－16k，即k＝－时，△AOB的面积最小，为8，此时，直线l的方程为y－1＝－(x－4)，即x＋4y－8＝0.
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法二：设直线l的方程为＝1(a>0，b>0)，则＝1.由1＝得ab≥16，当且仅当，即a＝8，b＝2时，△AOB的面积S＝ab取得最小值，为8，此时，直线l的方程为＝1，即x＋4y－8＝0.
(2)由(1)的法一可得|OA|＋|OB|＝4－＋1－4k＝5＋＋(－4k)≥5＋＝5＋4＝9，当且仅当＝－4k，即k＝－取得最小值，为9，此时直线l的方程为x＋2y－6＝0.
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(3)由(1)的法一可得|MA|·|MB|＝＝4≥8，当且仅当－k＝－，即k＝－1时，|MA|·|MB|取得最小值，为8.此时直线l的方程为x＋y－5＝0.
答案：(1)x＋4y－8＝0　(2)x＋2y－6＝0　(3)x＋y－5＝0
第1讲　直线的方程
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第6讲
　双曲线
聚焦·必备知识
突破·核心考点
限时规范训练
1
2
3
内容索引
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.利用双曲线的几何性质能进行简单应用．
◆课标要求
聚焦
必备知识
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于非零常数(______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
绝对值
小于
数学表达式：集合P＝{MF1F2＝2a，(0<2a<|F1F2|)}．
|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数.
①若2a＜2c，则集合P为双曲线.
②若2a＝2c，则集合P为两条射线，端点分别是F1，F2.
③若2a＞2c，则集合P为空集．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ＝1 (a>0，b>0) ＝1
(a>0，b>0)
图形
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R __________________________R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 ______________ ________
离心率 e＝ ＝____ 虚轴：线段B1B2，|B1B2|＝____
a，b，c 的关系 c2＝__________
y≤－a或y≥a，x∈R
y＝±x
y＝±x
2a
2b
a2＋b2
3.等轴双曲线
(1)定义：实轴与虚轴_____的双曲线叫做等轴双曲线，其方程写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．
(2)性质：①a＝b；②e＝；
③两条渐近线y＝±x互相垂直；
④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．
等长
e＝＝∈(1，＋∞)；
e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大．
1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．
2．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
3．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝c－a.
4．共轭双曲线：＝1(a>0，b>0)与＝1(a>0，b>0)互为共轭双曲线，它们有相同的渐近线、相等的焦距，它们的离心率的倒数的平方和等于1.
5．焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为.
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)
(3)方程＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)
(4)双曲线方程＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是＝0，即±＝0.(　　)
×
×
×
√
2．经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为__________．
解析：设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
把点A(3，－1)代入，得9－1＝λ，λ＝8，
故所求双曲线方程为＝1.
答案：＝1
3．已知方程＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是____________．
解析：由题意可知(2＋m)(m＋1)＞0，解得m＜－2或m＞－1.
答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
4．一动圆过定点A(－4，0)，且与圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________________．
解析：设动圆圆心为点P，连接PB，PA(图略)，则|PB|＝|PA|＋4，则|PB|－|PA|＝4＜|AB|＝8，所以点P的轨迹是以A(－4，0)，B(4，0)为焦点，且实轴长为4的双曲线的左支．设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，则a＝2，b2＝42－a2＝12.所以动圆圆心的轨迹方程为＝1(x≤－2)．
答案：＝1(x≤－2)
突破
核心考点
例1　(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．x2－＝1
B．－y2＝1
C．x2－＝1(x≤－1)
D．x2－＝1(x≥1)
C
双曲线的定义及其应用
解析：C　设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，
|MC2|－|MC1|＝2＜6，
所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，
且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，
则b2＝c2－a2＝8，
所以动圆圆心M的轨迹方程为
x2－＝1(x≤－1)．
(2)已知点P(x0，y0)是双曲线E：－y2＝1上一点，F1，F2分别是双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的周长为12＋2，则cos ∠F1PF2＝________，△PF1F2的面积为________．
解析：在双曲线E中，a＝2，b＝1，
则c＝.
根据对称性，不妨设点P在双曲线E的右支上，则|PF1|－|PF2|＝4.
因为|F1F2|＝2c＝2，△PF1F2的周长为12＋2＝12，
所以|PF1|＝8，|PF2|＝4.
在△PF1F2中，
cos ∠F1PF2＝，
则sin ∠F1PF2＝
＝，
所以△PF1F2的面积S＝.
答案：　
反思感悟　(1)双曲线定义的应用
①判断平面内动点轨迹是否为双曲线，进而求出轨迹方程．
②在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常被使用；常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立关于|PF1|·|PF2|的方程．
(2)应用双曲线定义时需注意的问题
在双曲线的定义中，一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”小于|F1F2|，否则轨迹是两条射线或不存在．
跟踪训练1　(1)(人教A版选择性必修第一册P121练习第4题变式)设P是双曲线＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．
解析：由题意，易得a＝4，c＝6，根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或|PF2|＝17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.
(易错：一定要记得检验所得结果是否满足双曲线上的点与焦点之间的距离的范围)
答案：17
归纳总结：在双曲线的定义中，距离的差要加绝对值，否则只表示双曲线的一支，如若F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则有如下两种情形：
若点P满足|PF2|－|PF1|＝2a(a＞0且2a＜|F1F2|)，则点P在双曲线的左支上，如图1；若点P满足|PF1|－|PF2|＝2a(a＞0且2a＜|F1F2|)，则点P在双曲线的右支上，如图2.特别地，当|PF1|＝|PF2|时，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线；当||PF1|－|PF2||＝|F1F2|时，动点P的轨迹为两条射线；当||PF1|－|PF2||＞|F1F2|时，不存在满足题意的动点P.
图1　　　　　　图2
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
解析：不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos ∠F1PF2＝，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴·sin 60°＝2.
答案：2
例2　(1)(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2第2题变式)若双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为________．
求双曲线的标准方程
答案：－y2＝1
解析：因为双曲线的焦点在x轴上，且双曲线的半焦距为，所以设双曲线的标准方程为＝1，0＜a2＜6.
又双曲线过点(－5，2)，所以＝1，得a2＝5，或a2＝30(舍去)，
所以双曲线的标准方程为－y2＝1.
(2)若双曲线过点(2，0)，且与双曲线＝1的离心率相等，则双曲线的标准方程为________．
答案：－y2＝1
解析：由题意知，所求双曲线的焦点在x轴上，故可设其方程为＝λ(λ＞0)，将点(2，0)的坐标代入方程，得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
(3)若双曲线过点P1和P2，则双曲线的标准方程为________．
答案：＝1
解析：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．因为点P1，P2在双曲线上，所以解得于是所求双曲线的标准方程为＝1.
反思感悟　求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”．
求双曲线方程的常见设法：①与双曲线＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为＝t(t≠0)；
②过两个已知点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)；
③与双曲线＝1(a＞0，b＞0)有相同的离心率，且双曲线焦点在x轴上时，可设所求的双曲线方程为＝λ(λ＞0)．
跟踪训练2　(1)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，点P(2，1)在C的一条渐近线上，则C的方程为(　　)
A．x2－＝1　　　　　 B．－y2＝1
C．＝1 D．＝1
解析：B　由题意可知c＝，故a2＋b2＝5，
因为点P(2，1)在双曲线C的一条渐近线上，所以，解得a＝2，b＝1，故双曲线C的方程为－y2＝1.
B
(2)(2024·天津卷)已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
C
解析：C　由题意可知，∠F1PF2＝90°，又直线PF2的斜率为2，可得tan ∠PF2F1＝＝2，根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝＝×4a×2a＝4a2，又|PF2|2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2＝40.又|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，所以双曲线的方程为＝1，故选C.
考向1　双曲线的渐近线和离心率问题
例3　(1)(2025·河南郑州模拟)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在点P，满足e·sin∠PF1F2＝1，且＝4a2，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．2x±y＝0 B．x±2y＝0
C．3x±y＝0 D．x±3y＝0
A　
双曲线的几何性质
解析：A　设|PF1|＝t(t＞0)，则|PF2|＝t－2a，因为e·sin∠PF1F2＝1，所以sin ∠PF1F2＝，所以点P到直线F1F2的距离为|PF1|sin ∠PF1F2＝，又|F1F2|＝2c，所以S△F1PF2＝＝4a2，解得t＝4a，即|PF1|＝4a，从而|PF2|＝2a.
又因为sin ∠PF1F2＝，
所以cos ∠PF1F2＝，
在△PF1F2中，由余弦定理得cos ∠PF1F2＝，
所以4ab＝4a2＋c2－a2＝b2＋4a2，即＋4＝0，解得＝2，则双曲线C的渐近线方程为2x±y＝0.
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
解析：法一：由|AB|＝10及双曲线的对称性得|AF2|＝＝＝＝12，所以a＝4，c＝6，则C的离心率e＝.
法二：因为|AB|＝10，所以＝10，所以＝5，又|AF1|＝13，所以|F1F2|＝2c＝＝12，得c＝6，所以a2＋5a－36＝0，得a＝4，所以C的离心率e＝.
答案：
反思感悟　(1)求双曲线离心率的方法
①公式法：直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．
②构造法：列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
(2)求双曲线＝1(a＞0，b＞0)或＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法：令＝0，即得两渐近线方程y＝±x，或令＝0得渐进线方程y＝±x.
椭圆、双曲线的第三定义
教材溯源(人教A版选择性必修第一册P108例3与P121探究)如图所示，设点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，试求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状，与它们的斜率之积是－比较，你有什么发现？
(1)结论：我们会发现当斜率之积是时，
点M的轨迹方程是＝1(y≠0)，当斜率
之积是点M的轨迹方程是＝1(y≠0)．
(2)结论推广：
①椭圆方程为＝1(a＞b＞0)，A与B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A，B的任意一点，则kPA·kPB＝－＝e2－1.
②双曲线方程为＝1(a＞0，b＞0)，A与B是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上异于A，B的任意一点，则kPA·kPB＝＝e2－1.
特别注意：①焦点在x轴上的时候，椭圆和双曲线可以统一来记忆，两组直线斜率乘积为e2－1.
②焦点在y轴上的时候，有所变化，椭圆的两组直线斜率乘积为－，双曲线为，统一来记忆斜率乘积为.
训练　(1)(2022·全国甲卷)椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
A
解析：A　法一(第三定义)：设P(x0，y0)，则Q(－x0，y0)，Q(－x0，y0)关于x轴的对称点Q′(－x0，－y0)，而A(－a，0)，根据椭圆的第三定义可知kAP·kAQ′＝－，故，于是e＝.故选A.
法二(直接法)：设P(x0，y0)，则Q(－x0，y0)，而A(－a，0)，有kAP＝，故kAP·kAQ＝，　①
又＝1，即，　②
将②代入①可得，于是e＝.故选A.
(2)设双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)，M，N是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，P为双曲线C上的一动点，若kPM·kPN＝4，则双曲线C的离心率为(　　)
A．2 B．
C． D．5
C
解析：C　法一(第三定义)：由题知kPM·kPN＝＝e2－1＝4，所以e＝.故选C.
法二(直接法)：由题意，设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(－x1，－y1)，所以kPM·kPN＝，因为＝1，所以两式相减可得＝0，即，因为kPM·kPN＝4，所以＝4，则e＝.故选C.
考向2　双曲线几何性质的综合应用
例4　已知双曲线Γ：－y2＝1(a＞0)，任取双曲线Γ右支上两个不相同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，都有x1x2－y1y2＞0成立，则实数a的取值范围是________．
解析：设O是坐标原点，点P3与点P2关于x轴对称，如图，则P3＝x1x2－y1y2＞0，即＞0恒成立，∴∠P1OP3恒为锐角，
∴∠MON≤90°，
∴双曲线Γ的其中一条渐近线y＝x的斜
率≤1，又a＞0，∴a≥1，
即a的取值范围是[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
反思感悟　与双曲线性质有关的取值范围问题的解题方法：
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解．
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．
跟踪训练3　(1)(2025·山东聊城模拟)设F1，F2是双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是C上的一点，若C的一条渐近线的倾斜角为60°，且|PF1|－|PF2|＝2，则C的焦距等于(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
D
解析：D　由C的一条渐近线的倾斜角为60°，可得＝tan 60°＝，
由|PF1|－|PF2|＝2，可得2a＝2，
则a＝1，b＝，
所以c＝＝2，故2c＝4.
(2)双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，过点A的直线交双曲线C于另一点B，当BF⊥AF时，满足|AF|＞2|BF|，则双曲线C的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，2) B．
C． D．
B
解析：B　由BF⊥AF，可得|BF|＝＝a＋c，所以a＋c＞2·，即a＋c＞2·，即a2＋ac＞2(c2－a2)，两边同时除以a2，整理可得2e2－e－3＜0，又e>1，所以1＜e＜.所以双曲线C的离心率e的取值范围是.
(3)(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．
C
解析：C　法一：根据焦点坐标可知c＝4，根据焦点在y轴上，可设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，则得所以离心率e＝＝2.
法二：根据双曲线的定义，得2a＝＝|6－10|＝4，根据焦点坐标可知c＝4，所以离心率e＝＝2.
椭圆、双曲线的二级结论
1．椭圆＝1(a＞b＞0)的参数方程是
2．(1)椭圆＝1(a＞b＞0)焦半径公式
|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P(x0，y0)为椭圆上任意一点．
(2)双曲线＝1(a，b>0)的焦半径公式
|PF1|＝|ex0＋a|，|PF2|＝|ex0－a|，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P(x0，y0)为双曲线上任意一点．
3．双曲线的渐近线的相关结论
(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±x(a＞0，b＞0)，即±＝0，则双曲线的方程可设为＝λ(λ≠0)．
(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.
(3)双曲线＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±x的斜率k与离心率e的关系：e＝
4．圆锥曲线的焦点三角形的相关结论
(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＝1(a＞b＞0)中：
①当P为短轴端点时，θ最大．
②S＝·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
③焦点三角形的周长为2(a＋c)．
(2)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2.
训练　(1)双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的离心率为(　　)
A．5　　　　　　 B．
C． D．
D
解析：D　通解：由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，可知＝2，即b＝2a.
又c2＝a2＋b2＝a2＋4a2＝5a2，
所以e2＝＝5，即e＝.
优解：由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
可知渐近线的斜率k＝±2.
得e＝.
(2)椭圆＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是(　　)
A． B．
C．16 D．32
A
解析：A　通解：由椭圆＝1的焦点为F1，F2知|F1F2|＝2c＝6，
在△F1PF2中，不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则|PF1|＋|PF2|＝m＋n＝2a＝10.
由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos ∠F1PF2，
即(2c)2＝m2＋n2－2mn cos 60°，
即36＝(m＋n)2－3mn＝100－3mn，
解得mn＝.
所以·sin ∠F1PF2
＝mn sin 60°＝.
优解：依题意知b＝4，
得＝b2tan
＝16×tan .
(3)已知双曲线＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上有一个点P，满足|PF1|＝3|PF2|，则点P的横坐标为________．
解析：设点P的横坐标为x0，由双曲线的焦半径公式有|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝ ex0 －a，
结合条件|PF1|＝3|PF2|，
则ex0 ＋a＝3(ex0 －a)，
又a＝4，c＝5，可得e＝，所以x0＝.
答案：
3
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5
6
7
8
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1
2
?A级　基础落实练?
1．(人教A版选择性必修第一册P121练习第3题变式)已知方程＝1表示双曲线，则k的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1，1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：D　由题意得(1＋k)(k－1)＞0，解得k＜－1或k＞1，故选D.
限时规范
训练(六十四)　双曲线
D
2
1
3
4
5
6
7
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12
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14
11
2．(2025·陕西汉中模拟)已知双曲线mx2＋y2＝1的一条渐近线的斜率为2，则m等于(　　)
A．－4　　　　　　　 B．4
C．－ D．
解析：A　由mx2＋y2＝1，得到y2－＝1，则双曲线的焦点在y轴上，故渐近线方程为y＝±，则＝2，故m＝－4.故选A.
A
2
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1
4
5
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9
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11
3．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为(　　)
A．＝1
B．＝1或＝1
C．＝1
D．＝1或＝1
D
2
3
1
4
5
6
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11
解析：D　设双曲线的方程为＝1(m≠0)，
∵2a＝4，∴a2＝4，
当m＞0时，2m＝4，m＝2；
当m＜0时，－m＝4，m＝－4.
故所求双曲线的标准方程为
＝1或＝1.
2
3
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11
4．(2025·湖南长沙长郡中学质检)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，F为C的右焦点，C的离心率为2，若P为C右支上的一点，PF⊥FA2，记∠A1PA2＝θ，则tan θ等于(　　)
A． B．1
C． D．2
A
2
3
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6
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8
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1
解析：A　法一：由C的离心率为2可知c＝2a，又c2＝a2＋b2，所以b＝a.
设点P(x0，y0)，因为PF⊥FA2，所以x0＝c，将P(c，y0)代入C的方程得＝1，解得|y0|＝b，所以tan ∠PA2F＝＝3，tan ∠PA1F＝＝1，
故tan θ＝tan (∠PA2F－∠PA1F)＝.故选A.
2
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1
法二：由题意得，c＝2a，b＝＝＝3a，|FA1|＝c＋a＝3a，|FA2|＝c－a＝a，tan ∠A1PF＝＝1，tan ∠A2PF＝，
因而tan θ＝tan ∠A1PA2＝tan (∠A1PF－∠A2PF)＝.
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3
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1
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11
5．(多选)已知双曲线C：－y2＝λ(λ＜0)，则(　　)
A．双曲线C的实轴长为定值
B．双曲线C的焦点在y轴上
C．双曲线C的离心率为定值
D．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
BCD
2
3
4
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1
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8
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11
解析：BCD　对于A，B，由双曲线C：－y2＝λ(λ＜0)，
整理可得＝1(λ＜0)，
所以曲线表示焦点在y轴上的双曲线，
且a2＝－λ，b2＝－2λ(λ＜0)，实轴长不是定值，所以A错误，B正确；
对于C，离心率e＝为定值，C正确；
对于D，渐近线的方程为y＝±x＝±x，D正确．
2
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6．(2025·云南昆明一中模拟)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线与C及其渐近线在第一象限分别交于Q，P两点，且Q为PF2的中点．若等腰三角形PF1F2的底边为PF2，且|PF2|＝a，则双曲线C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
C
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解析：C　连接QF1(图略)，由△PF1F2是底边为PF2的等腰三角形且Q为PF2的中点，得QF1⊥PF2，
由|PF2|＝a知|QF2|＝＝2a，所以|QF1|＝.
在Rt△QF1F2中，|QF1|2＋|QF2|2＝2＋2＝(2c)2，所以，所以离心率e＝.
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7．已知双曲线C：x2－＝1(m＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，并且经过点M＝________；双曲线C的渐近线方程为________．
解析：双曲线C：x2－＝1过点M，则(－2)2－＝1，解得m＝2，显然点M在双曲线C：x2－＝1的左支上，其实半轴长a＝1，虚半轴长b＝，
所以|MF1|－|MF2|＝－2，双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
答案：－2　y＝±x
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8．(2022·全国甲卷)记双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值为________．
解析：双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
若直线y＝2x与双曲线C无公共点，
则2≥，∴≤4，
∴e2＝≤5，又e＞1，∴e∈，
∴填写内的任意值均可．
答案：2内的任意值均可)
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9．已知F1，F2为双曲线C：－x2＝1的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则双曲线C的渐近线方程为________的最小值为________．
解析：由题意知双曲线C的焦点在y轴上，a＝，b＝1，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x.设P(x，y)(x∈R)，连接PO(图略)，O为坐标原点，则|PO|＝(当且仅当x＝0时等号成立)，因为O为F1F2的中点，所以＝＝2≥2，故.
答案：y＝±x　2
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10．(13分)已知双曲线＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点，求双曲线C的方程．
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解：(1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，在双曲线中，a＝4，b＝2，c＝2，
∵＝0，∴MF1⊥MF2.
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线的定义知m－n＝2a＝8.①
在Rt△F1MF2中，
由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得mn＝8.
∵×2ch，∴h＝.
即M点到x轴的距离为.
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(2)设双曲线C的方程为
＝1(－4＜λ＜16)．
∵双曲线C过点，
∴＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，
∴双曲线C的方程为＝1.
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11．(13分)已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c，0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
解：(1)因为双曲线的渐近线方程为
y＝±x，所以a＝b，
所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，即a2＝b2＝2，
所以双曲线方程为＝1.
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2
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，所以直线AO的斜率满足·＝－1，
所以x0＝y0，　①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得＝c2，
即y0＝c，所以x0＝c，
所以点A的坐标为，
代入双曲线方程得＝1，
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2
即a2c2＝a2b2，②
又因为a2＋b2＝c2，
所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得
c4－2a2c2＋a4＝0，
所以34－82＋4＝0，
即3e4－8e2＋4＝0，
所以(3e2－2)(e2－2)＝0，
因为e＞1，所以e＝，
所以双曲线的离心率为.
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2
?B级　能力提升练?
12．(2025·四川雅安模拟)已知F1，F2分别为双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点A在C上，若|F1A|＝2|F2A|，∠AF1F2＝30°，△AF1F2的面积为6，则C的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
B
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解析：B　因为|F1A|＝2|F2A|，所以|F1A|＞|F2A|，又因为点A在C上，所以|F1A|－|F2A|＝2a，
即2|F2A|－|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，则|F1A|＝4a.在△AF1F2中，由正弦定理得，
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11
2
所以sin ∠AF2F1＝＝1，又0°＜∠AF2F1＜150°，所以∠AF2F1＝90°，故∠F1AF2＝60°，则|AF1|·|AF2|sin 60°＝2，所以a2＝3，则|F1F2|2＝(2c)2＝|AF1|2－|AF2|2＝16a2－4a2＝12a2＝36，所以c2＝9，
所以b2＝c2－a2＝6，所以C的
方程为＝1.故选B.
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2
13．(2025·黑龙江部分学校模拟)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作C的一条渐近线的垂线并交C于M，N两点．若|MN|＝，则△MNF1的周长为________．
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解析：由题意e＝，a2＋b2＝c2，
得a＝3b，c＝b，
则双曲线C：＝1，F2，
C的渐近线方程为y＝±x.
不妨设直线MN：y＝－3，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立消去y并整理得80x2－162bx＋819b2＝0，
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则Δ＝2－320×819b2＝360b2＞0，x1＋x2＝，
所以|MN|＝·
，
解得b＝1，可得a＝3.
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由双曲线的定义可得|MF1|－|MF2|＝6，|NF1|－|NF2|＝6，
则(|MF1|＋|NF1|)－(|MF2|＋|NF2|)＝(|MF1|＋|NF1|)－|MN|＝12，
可得|MF1|＋|NF1|＝＝.
答案：
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14．(15分)如图，已知双曲线的中心在原点，F1，F2为左、右焦点，焦距是实轴长的倍，且双曲线过点.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上.
(3)在(2)的条件下，若点M在第一象限，且直线MF2交双曲线于另一点N，求△F1MN的面积．
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解：(1)设双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)，双曲线的焦距为2c，实轴长为2a，
则2c＝2a，即c＝a，
∴b2＝c2－a2＝a2，
∴双曲线方程为x2－y2＝a2，
将代入得，a2＝16－10＝6，
∴双曲线的标准方程为＝1.
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(2)证明：由(1)知，F1，F2，
∵M(3，m)在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2＝3，
以F1F2为直径的圆为x2＋y2＝12，
将M(3，m)代入得9＋3＝12，
∴M在以F1F2为直径的圆上．
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(3)由(2)知，点M坐标为或，
∵点M在第一象限，
∴M的坐标为，直线MF2的方程为y－(x－3)＝－(x－3)，
即x＝y＋2，
代入双曲线方程整理可得
y2－4y＋6＝0，
∵M的纵坐标为，
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∴N的纵坐标为
＝－，
所以△F1MN的面积为
S＝
＝2＝12＋4.
第6讲　双曲线
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第5讲
　椭圆
聚焦·必备知识
突破·核心考点
限时规范训练
1
2
3
内容索引
1．理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.利用椭圆的几何性质能进行简单应用．
◆课标要求
聚焦
必备知识
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点．|F1F2|叫做焦距．
数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
①若2a＞2c，则集合P为椭圆.
②若2a＝2c，则集合P为线段.
③若2a＜2c，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程与几何性质
标准方程 ＝1 (a>b>0) ＝1
(a>b>0)
图形
标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
性 质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性 对称轴：_______；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)， A2(a，0)， B1(0，－b)， B2(0，b) A1(0，－a)，
A2(0，a)，
B1(－b，0)，
B2(b，0)
坐标轴
标准方程 ＝1 (a>b>0) ＝1
(a>b>0)
性 质 轴 长轴A1A2的长为____； 短轴B1B2的长为____
焦距 |F1F2|＝____
离心率 e＝∈__________
a，b，c间的关系 c2＝__________
2a
2b
2c
(0，1)
a2－b2
离心率e表示椭圆的扁平程度，由e＝＝知，当a不变时，e越大，b越小，椭圆越扁平；e越小，b越大，椭圆越接近于圆．
1．设点P是椭圆上的一点，点F为椭圆的一个焦点，则
(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
2. 焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，设∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，S取最大值；
(2)S＝·sin θ＝b2tan ＝c|y0|.
3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝，最长的焦点弦是长轴．
4．AB为椭圆，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长|AB|＝＝(k≠0)；
(2)直线AB的斜率kAB＝－(y0≠0)．
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)
(2)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　)
(3)若椭圆的短轴端点为B，焦点为F，则cos ∠OFB＝e(e为离心率)．(　　)
(4)＝1(a＞b＞0)与＝1(a＞b＞0)的焦距相等．(　　)
×
√
√
√
2．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(　　)
A．椭圆　　　　　　
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
A
解析：A　连接QA(图略)．由已知得|QA|＝|QP|，所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，
根据椭圆的定义知，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆．
3．已知椭圆C以坐标轴为对称轴，经过点(3，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆C的标准方程为________．
解析：由题意，可设椭圆C的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，因为椭圆C经过点(3，0)，且长轴长是短轴长的2倍，所以或得或
所以椭圆C的标准方程为＝1或＝1.
答案：＝1或＝1
4．已知椭圆C：＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为________．
解析：由已知得a2－4＝4，故a＝2，所以离心率e＝.
答案：
例1　(1)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是(　　)
A．椭圆　 B．双曲线
C．抛物线 D．双曲线的一支
A
突破
核心考点
椭圆的定义及应用
解析：A　设动圆P的半径为r，又圆A：(x＋1)2＋y2＝1的半径为1，圆B：(x－1)2＋y2＝64的半径为8，
则|PA|＝r＋1，|PB|＝8－r，
可得|PA|＋|PB|＝9，又9＞2＝|AB|，
则动圆的圆心P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为9的椭圆．
(2)椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且∠F1PF2＝，则△F1PF2的面积是________．
解析：法一：由题意可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，c＝＝3，|F1F2|＝2c＝6，又∠F1PF2＝·cos ∠F1PF2＝|F1F2|2，
即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝|F1F2|2，
所以102－3|PF1||PF2|＝62，
故|PF1||PF2|＝，
故.
法二：利用椭圆焦点三角形的二级结论＝b2·tan ＝16tan .
答案：
反思感悟　椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用：利用定义求椭圆的轨迹方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
跟踪训练1　(1)已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0，2)，则顶点A的轨迹方程为(　　)
A．＝1(x≠0)
B．＝1(y≠0)
C．＝1(x≠0)
D．＝1(y≠0)
A
解析：A　∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0，2)，
∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，又8>4，
∴点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，
∴b2＝12，
所以椭圆的方程为＝1(x≠0)．
(2)(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A．1　　 B．2　　
C．4　　 D．5
解析：B　法一：因为＝0，
所以PF1⊥PF2，
则＝b2tan ，
得＝1×tan ，
所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B.
法二：因为＝0，
所以PF1⊥PF2，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.
因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，
即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，
所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B.
椭圆的标准方程
例2　(人教A版选择性必修第一册P115习题3.1第4题变式)求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长半轴长为4，半焦距为，焦点在y轴上；
(2)与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点；
(3)经过A，B两点．
解：(1)设椭圆方程为＝1(a>b>0)，(注意焦点在y轴上)
由题意得，a＝4，c＝，所以b2＝a2－c2＝1，
所以其标准方程为＋x2＝1.
(2)椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(±1，0)，
设所求椭圆方程为＝1(a>b>0)，则c＝1.
因为椭圆过点，所以2a＝＝4，即a＝2，所以b＝，所求椭圆的标准方程为＝1.
(3)设所求椭圆方程为＝1(m>0，n>0，m≠n)．
分别把A，B的坐标代入，得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
反思感悟　根据条件求椭圆方程的方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b的值.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＝1(a>b>0，m>－b2)；与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＝λ或＝λ(a>b>0，λ>0)．
跟踪训练2　(1)过点(3，2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为(　　)
A．＝1　　　　 B．＝1
C．＝1 D．＝1
C
解析：C　由3x2＋8y2＝24化简可得＝1，所以椭圆的焦点在x轴上，
设所求椭圆方程为＝1(a>b>0)，
则解得a2＝15，b2＝10.
故所求椭圆方程为＝1.
(2)已知过椭圆＝1(a>b>0)的左焦点F(－1，0)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
B
解析：B　不妨设A(xA，yA)在第一象限，
由椭圆的左焦点F(－1，0)，点C，F是线段AB的三等分点，
则C为AF的中点，F为BC的中点，所以xA＝1，所以＝1，则yA＝，
即A，
所以C，B，
将点B的坐标代入椭圆方程得＝1，
即＝1，
又a2－b2＝1，所以a2＝5，b2＝4，
所以椭圆的标准方程是＝1.
考向1　求椭圆的离心率或值(取值范围)
例3　(1)(2025·吉林长春模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)上有两点A，B，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，△ABF1是以F2为中心的正三角形，则椭圆的离心率为(　　)
A． B．－1
C． D．－1
C
椭圆的几何性质
解析：C　设线段AB与x轴交于点D，因为△ABF1是以F2为中心的正三角形，所以AB⊥F1D，且F2为△ABF1的重心，连接AF2，|AF2|＝|F1F2|＝2c，|F2D|＝＝c，则|F1D|＝3c.
在Rt△AF1D中，∠AF1D＝30°，则cos 30°
＝＝
由椭圆的定义可得，|AF1|＋|AF2|＝2a，
即2c＋2c＝2a，化简可得c＝a，
则e＝.故选C.
(2)设F1、F2分别是椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与椭圆C交于A，B两点．若△ABF1为钝角三角形，则离心率e的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
A
解析：A　由F1，F2分别是椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与椭圆C交于A，B两点，可得|AB|＝＝.因为△ABF1为钝角三角形，所以∠AF1F2>45°，可得，即2c<，即b2>2ac，又因为b2＝a2－c2，所以a2－c2>2ac，即c2＋2ac－a2<0，即e2＋2e－1<0，且0反思感悟　求椭圆离心率或值(取值范围)的方法
考向2　求与椭圆性质有关的最值(取值范围)问题
例4　若点O和点F分别为椭圆＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为(　　)
A．2　　　　　　　 B．3
C．6 D．8
C
解析：C　由椭圆＝1可得F(－1，0)，
设P(x，y)(－2≤x≤2)．
则＝x2＋x＋y2
＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3
＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，
当且仅当x＝2时，取得最大值6.
反思感悟　利用椭圆几何性质求最值(取值范围)的方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．
(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．
(4)利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围．
跟踪训练3　(1)(2025·广东广州模拟)设B，F2分别是椭圆C：＝1(a>b>0)的右顶点和上焦点，点P在C上，且，则C的离心率为
(　　)
A． B．
C． D．
A
解析：A　由题意得B(b，0)，F2(0，c)，
则＝(－b，c)．设P(x，y)，则＝(x，y－c)．
由得(－b，c)＝2(x，y－c)，
则即则P，
因为点P在C上，所以＝1，
，则e＝.故选A.
(2)已知F1，F2分别为椭圆C：＝1的两个焦点，P为椭圆C上的一点，则△PF1F2内切圆半径的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
C
解析：C　设△PF1F2的内切圆半径为r.由题意得，a＝4，b＝2＝2，
故|F1F2|＝4.
因为P为椭圆C上的一点，故|yP|≤b＝所以△PF1F2的周长＋|F1F2|＝2a＋2c＝12.
又△PF1F2的面积＝·r，则6r＝2|yP|≤4，
所以r≤.故选C.
典例　(2025·河南中原名校联考)已知由椭圆C1：＝1(a>b>1)与椭圆C2：x2＋＝1的交点连线可构成矩形ABCD(点A，B在x轴下方)，且BC＝3CD，则b2＋的最小值为(　　)
A．2　　 B．　　
C．　　 D．
D
解析：D　如图所示，根据椭圆的对称性及BC＝3CD可得直线AC的方程为y＝3x，
由
解得－1，即，
(把y＝3x分别代入两个椭圆方程，解出x2，相等可得)
所以b2＋，
当且仅当b2＝，即b2＝时等号成立，则b2＋的最小值为.故选D.
风向解读　本题将解析几何与基本不等式相结合，题目情境新颖，需要充分挖掘几何关系并转化为直线方程才能顺利解决，充分体现了解析几何中先用几何眼光观察，再用代数方法解决的思想．这与新高考倡导的鼓励学生多角度主动思考、深入探究的思想不谋而合．
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?A级　基础落实练?
1．已知F1，F2是定点，|F1F2|＝6.若动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是(　　)
A．直线　　　　　　　 B．线段
C．圆 D．椭圆
解析：B　动点M到F1，F2两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点F1，F2的距离，所以动点M的轨迹是以F1，F2为端点的线段．
限时规范
训练(六十三)　椭圆
B
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2．(人教A版选择性必修第一册P109练习第3题变式)若F为椭圆C：＝1的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为(　　)
A．4 B．8
C．10 D．20
解析：D　由题意知，a＝5，b＝4，记F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′(图略)，则|AB|＋|AF|＋|BF|≤|AF′|＋|BF′|＋|AF|＋|BF|＝4a＝20，当且仅当AB所在直线经过椭圆的左焦点时，△ABF的周长取得最大值，且最大值为20.故选D.
D
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3．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F，椭圆上的两点P，Q关于原点对称，若|PF|＋|QF|＝6，且椭圆C的离心率为，则椭圆C的方程为
(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
解析：A　由题意知，P，Q关于原点对称，所以|PF|＋|QF|＝2a＝6，得a＝3，又椭圆C的离心率为，所以，得b2＝8，故椭圆C的方程为＝1，故选A.
A
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归纳总结：若椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P，Q两点在椭圆上，且关于坐标原点对称，则P，F1，Q，F2四点所构成的四边形为平行四边形，若|PQ|＝|F1F2|或四边形有一个内角为90°，则该四边形为矩形．
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4．(多选)如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成45°角的平面所截，截面是一个椭圆，则(　　)
A．椭圆的长轴长为4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的方程可以为＝1
D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－
ACD
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1
解析：ACD　圆柱的底面半径是，直径是所以椭圆的长轴长2a＝＝4，a＝2，短轴长2b＝2，则c＝，离心率e＝.以椭圆中心为原点，长轴与短轴所在直线分别为y轴，x轴建立平面直角坐标系，可得椭圆的方程为＝1.椭圆上的点到焦点的距离的最小值是a－c＝2－.故选A、C、D.
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5．(2025·浙江宁波模拟)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＝1的焦点，点P在C上，|OP|＝，则cos ∠F1PF2等于(　　)
A．－ B．0
C． D．
C
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解析：C　如图所示，不妨设F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，点P在第一象限，|PF1|＝m，|PF2|＝n，根据椭圆的定义可得m＋n＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理可知cos ∠F1PF2＝.
因为，所以2＝＝，
所以m2＋n2＋2mn cos ∠F1PF2＝12，
所以m2＋n2＝10.
又m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝16－2mn＝10，则mn＝3，
所以cos ∠F1PF2＝.故选C.
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6．(2025·河北廊坊重点高中调研)已知O为坐标原点，A，B，F分别是椭圆C：＝1(a>b>0) 的左顶点、上顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且PF⊥OF.若AB∥OP，则椭圆C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
D
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解析：D　通解：由题可知，点P在第一象限，设P点的纵坐标为yP，令C：＝1(a>b>0)中x＝c，则yP＝，所以P，所以kOP＝.因为A(－a，0)，B(0，b)，所以kAB＝.
因为AB∥OP，所以kAB＝kOP，则，即b＝c，
则a＝c，所以e＝.故选D.
速解：由题意知，椭圆的半通径|PF|＝，AB∥OP，所以△OPF∽△ABO，则，即b＝c，所以e＝.
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7．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1，P2，则该椭圆的方程为________．
解析：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)．将P1，P2代入方程，
得解得
所以椭圆的方程为＝1.
答案：＝1
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8．椭圆＝1(m>0)的两个焦点分别为F1，F2，与y轴的一个交点为A，若∠F1AF2＝，则m＝________．
解析：在椭圆＝1(m>0)中，
a＝，b＝m，c＝1.
如图所示，易知|AF1|＝|AF2|＝a.
又∠F1AF2＝，
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所以△F1AF2为等边三角形，
即|AF1|＝|F1F2|，
所以＝2，即m＝.
答案：
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9．(2025·山东威海模拟)已知椭圆＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，以F为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)与椭圆的一个交点为M，若MF垂直于x轴，则该椭圆的离心率为________．
解析：根据椭圆和抛物线的对称性，不妨令点M在第一象限．由M在抛物线上且MF⊥x轴得，由M在椭圆上且MF⊥x轴得
由条件得＝c且p＝，
则2ac＝b2，∴2ac＝a2－c2，即e2＋2e－1＝0，
解得e＝－1＋或e＝－1－(舍去)，
所以e＝－1＋.
答案：－1
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10．(13分)如图所示，已知椭圆＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程．
解：(1)∵|AF1|＝|AF2|＝a，
且∠F1AF2＝90°，|F1F2|＝2c，
∴2a2＝4c2，∴a＝c，∴e＝.
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(2)由题知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，
由，解得x＝，
代入＝1，得＝1，
即＝1，解得a2＝3，
∴b2＝a2－c2＝2.
∴所求椭圆方程为＝1.
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11．(13分)已知椭圆E：＝1(a>b>0)，若椭圆上一点P与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形．
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆M：(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一条直径，求椭圆E的标准方程．
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解：(1)由题意不妨设椭圆上点P的坐标为，代入椭圆方程可得＝1，
即a2＝3b2，∴a2＝3b2＝3(a2－c2)，
∴2a2＝3c2，∴离心率e＝.
(2)由(1)得椭圆E的方程为＝1，
易知直线l的斜率存在，设其方程为
y＝k(x－1)－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
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联立
∴(3k2＋1)x2－6k(k＋1)x＋3(k＋1)2－3b2＝0.
∴x1＋x2＝，
x1x2＝.
又x1＋x2＝2，∴k＝，∴x1x2＝，
则|AB|＝
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＝，
∴b2＝，则a2＝10，
∴椭圆E的标准方程为＝1.
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?B级　能力提升练?
12．(多选)已知F1，F2分别是椭圆C：＝1的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论中正确的是(　　)
A．△PF1F2的周长为10
B．△PF1F2面积的最大值为2
C．椭圆C的焦距为6
D．椭圆C的离心率为
AB
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解析：AB　因为椭圆C的方程为＝1，所以a＝3，b＝，c＝2.
对于A，△PF1F2的周长为2a＋2c＝10，故A正确；
对于B，因为|F1F2|＝4，在△PF1F2中，F1F2上的高最大时，△PF1F2的面积最大，此时P为短轴端点，即高最大为b，所以△PF1F2面积的最大值为，故B正确；
对于C，椭圆C的焦距为4，故C错误；
对于D，椭圆C的离心率e＝，故D错误．故选AB.
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13．若椭圆E：x2＋＝1(0A． B．
C． D．
D
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解析：D　设椭圆E的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c，由题意知a＝1，b＝，c＝m，
椭圆E上存在点P满足|OP|＝m，等价于以O为原点，以c为半径的圆与椭圆有交点，得c≥b，
所以c2≥b2＝a2－c2，解得，
所以e＝.又0所以椭圆E的离心率的取值范围为.
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14．(15分)(2025·山东烟台调研)已知椭圆A：＝1(a>b>0)的长轴长等于抛物线y2＝16x的焦点到准线的距离，椭圆A的离心率是方程2x2－3x＋3＝0的一个实数根．
(1)求椭圆A的方程；
(2)若F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的一点．求的取值范围．
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解：(1)由y2＝16x，得p＝8，抛物线的焦点到准线的距离为8，
则椭圆的长轴长2a＝8，∴a＝4，
由2x2－3x＋3＝0，解得x＝或x＝，
由0＜e＜1，得椭圆A的离心率e＝，
∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝4，
∴椭圆A的方程为＝1.
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(2)设M(x0，y0)，则＝1，
即，
易知F1，F2，
则＝·＝＋4，
∵－2≤y0≤2，∴－8≤－＋4≤4，
即的取值范围是[－8，4].
第5讲　椭圆
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第4讲　
直线与圆、圆与圆的位置关系
聚焦·必备知识
突破·核心考点
限时规范训练
1
2
3
内容索引
1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能利用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际应用问题.
◆课标要求
聚焦
必备知识
1．直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r，圆心到直线的距离为d，则
位置关系 相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ___0 Δ___0 Δ___0
几何观点 d___r d___r d___r
＜
＝
＞
＞
＝
＜
2.圆与圆的位置关系
设两圆的圆心为O1，O2，半径为r1，r2，两圆的圆心距为d则
(1)d___r1＋r2 ⊙O1与⊙O2相离；
(2)d___r1＋r2 ⊙O1与⊙O2外切；
(3)|r1－r2|___d(4)d___|r1－r2| ⊙O1与⊙O2内切(r1≠r2)；
(5)d___|r1－r2| ⊙O1与⊙O2内含．
>
＝
<
＝
<
两圆的位置关系与公切线的条数
①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．
圆的切线方程常用结论
1．过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
3．过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(　　)
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　)
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　)
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆，且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　　)
×
×
×
√
2．直线y＝圆C：x2＋y2－2x＝0截得的线段长为________．
解析：圆C：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1，0)，半径为1，圆心到直线y＝x的距离为d＝，
故弦长为2×＝1.
答案：1
3．圆x2＋y2－2y＝0与圆x2＋y2－4＝0的位置关系为________．
解析：圆x2＋y2－2y＝0的圆心为C1(0，1)，半径r1＝1，圆x2＋y2－4＝0的圆心为C2(0，0)，半径r2＝2，由于|C1C2|＝r2－r1，所以两圆内切．
答案：内切
4．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．
解析：由
得两圆公共弦所在直线方程为x－y＋2＝0.

又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为.
由勾股定理得弦长为2×.
答案：2
例1　(1)已知直线l：kx－y－k－2＝0和圆C：x2－2x＋4y＋y2－1＝0，则直线l与圆C的位置关系是 (　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．相交或相切
B
突破
核心考点
直线与圆的位置关系
解析：B　圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝6，圆心C(1，－2)，直线l：kx－y－k－2＝0可化为y＋2＝k(x－1)，则直线l过定点(1，－2)，因此直线l经过圆心C，所以直线l与圆C相交．故选B.
(2)已知直线l：x＋ky－3k－1＝0，若无论k取何值，直线l与圆(x＋2)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)恒有公共点，则r的取值范围是(　　)
A．[5，＋∞) B．(3，＋∞)
C．[4，6) D．[3，5]
A
解析：A　将直线l：x＋ky－3k－1＝0化为(x－1)＋k(y－3)＝0，故直线l恒过定点A(1，3)，因为直线l与圆(x＋2)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)恒有公共点，所以点A(1，3)在圆上或圆内，即(1＋2)2＋(3＋1)2≤r2，
又r>0，所以r≥5，即r的取值范围为[5，＋∞)．故选A.
反思感悟　判断直线与圆的位置关系的方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的关系判断．
(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数来判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
跟踪训练1　(1)(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，则以下说法中正确的是(　　)
A．直线l恒过定点(3，1)
B．直线l与圆C相切
C．直线l与圆C恒相交
D．直线l与圆C相离
AC
解析：AC　将直线l的方程整理为
x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，
由解得
则无论m为何值，直线l过定点(3，1)，
因为点(3，1)在圆C内，
故直线l与圆C恒相交，故AC正确．
(2)若直线＝1与圆x2＋y2＝1相交，则(　　)
A．<1 B．>1
C．a2＋b2<1 D．a2＋b2>1
解析：B　由直线＝1，
可化为bx＋ay－ab＝0，
因为直线bx＋ay－ab＝0与圆x2＋y2＝1相交，
可得<1，
整理得a2＋b2>a2b2，
所以>1.
B
考向1　切线问题
例2　过点P(2，4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为(　　)
A．3x＋4y－4＝0
B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2或4x－3y＋4＝0
D．y＝4或3x＋4y－4＝0
C
圆的切线、弦长问题
解析：C　当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则＝1，解得k＝，得切线方程为4x－3y＋4＝0.综上，得切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
考向2　弦长问题
例3　过A(－1，0)，B(0，3)，C(9，0)三点的圆与y轴交于M，N两点，则|MN|等于(　　)
A．3 B．4
C．8 D．6
D
解析：D　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则所以
则圆的方程为x2＋y2－8x－9＝0，即(x－4)2＋y2＝25，圆心到y轴的距离为4，所以|MN|＝2×＝6，故选D.
考向3　最值(取值范围)问题
例4　(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0，与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．2
C
解析：C　根据题意有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by＋c＝0过点M(1，－2)且点M在圆内，设圆x2＋y2＋4y－1＝0的圆心为C，连接CM，则AB⊥CM时，|AB|最小，将圆的方程化为x2＋(y＋2)2＝5，则C(0，－2)，所以|MC|＝1，所以＝4，故选C.
反思感悟　直线与圆问题的解题策略
(1)设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若直线与圆相切，则d＝r；若直线与圆相交，则所得弦长l＝2.
(2)涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．
跟踪训练2　(1)已知圆x2＋y2＝4截直线y＝k(x－2)所得弦的长度为2，那么实数k的值为(　　)
A．± B．
C． D．±
解析：D　圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径r＝2，点(0，0)到直线y＝k(x－2)的距离d＝，则弦长为2＝2，
即2＝2，解得k＝±.故选D.
D
(2)由直线x－y＋4＝0上一点向圆(x－1)2＋(y－1)2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)
A． B．3
C．2 D．2－1
解析：A　圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心C(1，1)，半径为1，由直线x－y＋4＝0上一点P向圆(x－1)2＋(y－1)2＝1引切线，设切点为M，连接PC，MC(图略)，则|PM|＝的最小值等于圆心C到直线x－y＋4＝0的距离，故|PC|min＝，故切线长的最小值为.故选A.
A
(3)(2024·浙江杭州二模)写出与圆x2＋y2＝1相切且方向向量为的一条直线的方程______________．
解析：由题意可知，所求直线的斜率为，圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径为1.
设直线的方程为y＝x＋b，由直线与圆x2＋y2＝1相切可得＝1，解得b＝±2，所以直线的方程为y＝x＋2或y＝x－2.
答案：y＝x＋2或y＝x－2(写出一个即可)
圆与圆的位置关系
例5　(多选)已知⊙O1：x2＋y2－2mx＋2y＝0，⊙O2：x2＋y2－2x－4my＋1＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A．若点(1，－1)在⊙O1内，则m≥0
B．当m＝1时，⊙O1与⊙O2共有两条公切线
C．若⊙O1与⊙O2存在公共弦，则公共弦所在直线过定点
D． m∈R，使得⊙O1与⊙O2公共弦的斜率为
BC
解析：BC　因为⊙O1：x2＋y2－2mx＋2y＝0，⊙O2：x2＋y2－2x－4my＋1＝0，所以⊙O1：(x－m)2＋(y＋1)2＝m2＋1，⊙O2：(x－1)2＋(y－2m)2＝4m2，则O1(m，－1)，r1＝，O2(1，2m)，r2＝2|m|，则m≠0.对于A，由点(1，－1)在⊙O1内，可得(1－m)2＋(－1＋1)2＜m2＋1，即m＞0，故A错误；
对于B，当m＝1时，O1(1，－1)，r1＝，O2(1，2)，r2＝2，所以|O1O2|＝3∈，所以两圆相交，有两条公切线，故B正确；
对于C，⊙O1和⊙O2的方程相减，得(－2m＋2)x＋(2＋4m)y－1＝0，即m(－2x＋4y)＋(2x＋2y－1)＝0，令解得所以⊙O1与⊙O2的公共弦所在直线过定点，故C正确；
对于D，公共弦所在直线的斜率为，令，无解，故D错误．故选BC.
反思感悟　(1)判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
(2)两圆公共弦长的求法
先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．
跟踪训练3　(1)(2024·广东广州天河二模)若直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝与圆O(　　)
A．外切　　　　　 B．相交
C．内切 D．没有公共点
解析：B　直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆心O(0，0)到直线ax＋by＝1的距离等于圆O的半径1，
即d＝＝1，解得a2＋b2＝1.
圆(x－a)2＋(y－b)2＝的圆心坐标为(a，b)，半径为，其圆心在圆O上，所以两圆相交．故选B.
B
(2)圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为____________，公共弦长为______________．
解析：联立两圆的方程，得
两式相减并化简，得x－2y＋4＝0，即为两圆公共弦所在直线的方程．把x2＋y2－2x＋10y－24＝0化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，则圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离d＝.设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝2＋l2，解得l＝，故公共弦长为2.
答案：x－2y＋4＝0　2
典例　(2024·湖北华大新高考联盟联考)已知实数a，b满足a2＋b2－|a|－|b|＝0，则|a＋b－3|的最小值与最大值之和为(　　)
A．4　　 B．5　　
C．6　　 D．7
C
解析：C　易知点(a，b)在曲线C：x2＋y2－|x|－|y|＝0上，当x≥0且y≥0时，曲线可化为x2＋y2－x－y＝0，即2＋2＝，曲线C是以为圆心，为半径的圆在第一象限及x，y轴的正半轴上的部分，根据对称性可知曲线C：x2＋y2－|x|－|y|＝0既关于原点对称，又关于x轴，y轴对称，而d＝表示曲线C上的点(a，b)到直线l：x＋y－3＝0的距离，如图所示，
当点(a，b)位于A点时，距离最小，当点(a，b)位于B点时，距离最大，易求得A点的坐标为(1，1)，dmin＝，则
|a＋b－3|min＝1，易求得B点的坐标为(－1，－1)，dmax＝，
则|a＋b－3|max＝5，
故|a＋b－3|的最小值与最大值之和为1＋5＝6.故选C.
风向解读　本题实质上是考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，但是题目设置上需要学生对题干条件进行转化后，才能利用已有知识解决，本题落实“通过材料信息的丰富性、试题要素的灵活性”的高考命题改革要求，引导学生减少死记硬背和机械化刷题．
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?A级　基础落实练?
1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4与直线3x＋4y＋5＝0的位置关系为(　　)
A．相离　　　　　　 B．相切
C．相交 D．不确定
解析：B　由题意知，圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为(－1，2)，半径r＝2，
则圆心到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝＝2＝r，
所以直线3x＋4y＋5＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的位置关系是相切．
限时规范
训练(六十二)　直线与圆、圆与圆的位置关系
B
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2．(2025·江苏南京模拟)在平面直角坐标系中，圆O1：(x－1)2＋y2＝1和圆O2：x2＋(y－2)2＝4的位置关系是(　　)
A．外离 B．相交
C．外切 D．内切
B
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解析：B　由题意知，圆O1：(x－1)2＋y2＝1的圆心坐标O1(1，0)，半径r1＝1，
圆O2：x2＋(y－2)2＝4的圆心坐标为O2(0，2)，半径r2＝2，
则两圆的圆心距O1O2＝，
则2－1<<2＋1，
即|r2－r1|所以圆O1与圆O2相交．
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3．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2，1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝6
B．(x－2)2＋(y－1)2＝22
C．(x－2)2＋(y－1)2＝6或 (x－2)2＋(y－1)2＝22
D．(x－2)2＋(y－1)2＝36或(x－2)2＋(y－1)2＝32
C
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解析：C　设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r>0)．因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，所以直线AB的方程为4x＋4y＋r2－10＝0.圆心O1(0，－1)到直线AB的距离d＝，由d2＋22＝6，得＝2，所以r2－14＝±8，r2＝6或22.故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22.故选C.
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4．(多选)(2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)已知圆C1：(x－3)2＋y2＝1，C2：x2＋(y－a)2＝16，则下列结论中正确的是(　 　)
A．若圆C1和圆C2外离，则a>4
B．若圆C1和圆C2外切，则a＝±4
C．当a＝0时，圆C1和圆C2有且仅有一条公切线
D．当a＝－2时，圆C1和圆C2相交
BCD
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解析：BCD　由题知，C1(3，0)，C2(0，a)，|C1C2|＝，r1＝1，r2＝4.
若C1和C2外离，则|C1C2|＝>r1＋r2＝5，解得a>4或a<－4，故A错误；
若C1和C2外切，则|C1C2|＝＝5，解得a＝±4，故B正确；
当a＝0时，|C1C2|＝3＝r2－r1，则C1和C2内切，所以圆C1和圆C2有且仅有一条公切线，故C正确；
当a＝－2时，3<|C1C2|＝<5，则C1和C2相交，故D正确．
故选BCD.
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5．已知P(x0，y0)是直线l：x－y＋4＝0上一点，过点P作圆O：x2＋y2＝5的两条切线，切点分别为A，B，当直线AB与l平行时，|AB|等于(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．4
C
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解析：C　连接OA，OB，OP，如图所示．由题易知，OA⊥PA，OB⊥PB，OP⊥AB.
因为直线AB与l平行，所以OP⊥l，|OP|＝，而圆O的半径为，
于是|AP|＝，由四边形
OAPB面积S＝2S△OPA，
得＝2×，
所以|AB|＝.故选C.
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6．(2025·北京石景山区模拟)已知直线l：kx－y－2k＋2＝0被圆C：x2＋(y＋1)2＝25所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有(　　)
A．6条 B．7条
C．8条 D．9条
B
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解析：B　将直线l的方程整理可得k(x－2)－y＋2＝0，易知直线恒过定点(2，2)，圆心C(0，－1)，半径R＝5.
所以当直线过圆心时弦长取最大值，此时弦长为直径2R＝10.
易知，当圆心C(0，－1)与(2，2)的连线与直线l垂直时，弦长最小．
此时弦长为2，所以截得的弦长为整数可取7，8，9，10.
由对称性可知，当弦长为7，8，9时，各对应2条，共6条，当弦长为10时，只有直径1条，
所以满足条件的直线l共有7条．
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7．若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为____________．
解析：设点A(－2，－3)关于y轴的对称点为A′(2，－3)，故可设反射光线所在的直线方程为y＋3＝k(x－2)，
化为kx－y－2k－3＝0，
∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，
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∴圆心(－3，2)到直线的距离
d＝＝1.
化为24k2＋50k＋24＝0，
∴k＝－或－.
答案：－或－
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8．(2025·山东济南质检)过点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则弦长|AB|＝________．
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解析：如图所示，∵PA，PB均为圆O：x2＋y2＝1的切线，
∴OA⊥AP.
∵P，O(0，0)，
∴|OP|＝＝2.
在Rt△APO中，|OA|＝1，
∴cos ∠AOP＝，∴∠AOP＝60°，
∴|AB|＝2|OA|sin ∠AOP＝.
答案：
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9．(2025·广东汕尾期末)已知A(－2，3)，B(a，0)，若直线AB关于x轴对称的直线与圆(x－3)2＋(y－2)2＝1有公共点，则实数a的取值范围是________．
解析：设点A(－2，3)关于x轴的对称点为A′(－2，－3)，则kA′B＝，
可得直线AB关于x轴对称的直线A′B的方程为y－0＝(x－a)，即3x－(a＋2)y－3a＝0.
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(另解：先求直线AB的方程为y＝(x－a)，即y＝－(x－a)，以－y替换y，得直线AB关于x轴对称的直线方程为y＝(x－a)，即3x－(a＋2)y－3a＝0)
又直线A′B与圆(x－3)2＋(y－2)2＝1有公共点，则圆心(3，2)到直线A′B的距离d＝≤1，
整理得4a2－9a＋2≤0，解得≤a≤2，即实数a的取值范围为.
答案：
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10．已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0，直线l过点A(1，0)．
(1)求圆C的圆心坐标及半径长；
(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(3)当直线l的斜率存在且与圆C相切于点B时，求|AB|的值.
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解：圆C的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝22.
(1)圆C的圆心坐标是(3，4)，半径长是2.
(2)①当直线l的斜率不存在时，其方程是x＝1，满足题意．
②当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程是y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
由圆心(3，4)到直线l的距离等于圆C的半径，
即＝2，解得k＝，
此时直线l的方程是3x－4y－3＝0.
综上，直线l的方程是x＝1或3x－4y－3＝0.
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(3)由(2)得直线l的方程是3x－4y－3＝0.
圆C的圆心是点C(3，4)，
则|AC|＝，
所以|AB|＝＝4.
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11．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)设直线l与圆C交于不同两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
(2)若定点P(1，1)分弦AB为AP∶PB＝1∶2，求此时直线l的方程．
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解：(1)直线l：mx－y＋1－m＝0变形为m(x－1)－y＋1＝0，可知直线l恒过点(1，1)，由圆C的方程可知圆心C(0，1)，过C作CM⊥l于M，可知M为线段AB的中点，设M(x，y)，则x2＋(y－1)2＋(x－1)2＋(y－1)2＝12，化简得x2＋y2－x－2y＋1＝0，点(1，1)也满足此方程，
故M的轨迹方程为x2＋y2－x－2y＋1＝0.
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(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AP∶PB＝1∶2，得1－x1＝(x2－1)，
化简得x2＝3－2x1，①
又由
消去y得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，②
∴x1＋x2＝，③
由①③解得x1＝，
代入②式，解得m＝±1，
∴直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
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?B级　能力提升练?
12．(多选)(2025·湖南邵阳第一次联考)设点P(x，y)为圆C：x2＋y2＝1上一点，已知点A(4，0)，B(5，0)，则下列结论中正确的有(　　)
A．x＋y的最大值为
B．x2＋y2－4x－4y的最小值为8
C．存在点P，使得|PB|＝
D．过A点作圆C的切线，则切线长为
AD
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解析：AD　因为P(x，y)在圆上，所以设x＝cos θ，y＝sin θ.
x＋y＝cos θ＋sin θ＝sin ，故A正确；
x2＋y2－4x－4y＝1－4sin ≥1－4，故B错误；
由|PB|＝2＝2|PA|2，得(cos θ－5)2＋sin2θ＝2(cosθ－4)2＋2sin2θ，整理得cosθ＝＝，故C错误；
圆C的圆心为C(0，0)，半径为r＝1，则过A点的圆C的切线长为，故D正确．故选AD.
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13．(2025·河南部分学校摸底)已知点A(－2，0)，B(2，0)，点M是直线y＝kx＋3上任意一点，且∠AMB<90°，则实数k的取值范围是________．
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解析：因为∠AMB<90°，所以点M在以线段AB为直径的圆外，即直线y＝kx＋3与以线段AB为直径的圆相离，设线段AB的中点为O(0，0)，又|AB|＝4，可知以线段AB为直径的圆的圆心为O(0，0)，半径r＝＝2，故圆的方程为x2＋y2＝4，
又圆心(0，0)到直线y＝kx＋3的距离d＝>2，解得－答案：
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14．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.
(1)若直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0(m∈R)，证明：无论m为何值，直线l都与圆C相交；
(2)若过点P(1，0)的直线m与圆C相交于A，B两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线m的方程．
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解：(1)证明：l的方程(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0，可化为m(x－y＋1)－2x＋y＋1＝0，
由解得
所以直线l恒过点(2，3)，
由(2－3)2＋(3－4)2＝2＜4，
得点(2，3)在圆内，
即直线l恒过圆内一点，
所以无论m为何值，直线l都与圆C相交．
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(2)由圆C的圆心为(3，4)，半径r＝2，
易知此时直线m的斜率存在且不为0，
故设直线m的方程为x＝my＋1(m≠0)，
直线m的一般方程为my－x＋1＝0，
圆心到直线m的距离
d＝，
所以|AB|＝2，
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所以S2＝2
＝·，
令t＝，可得S2＝4t－t2，
当t＝2时＝4，
所以△ABC面积的最大值为2，
此时由2＝，得7m2－8m＋1＝0，
解得m＝1或m＝，符合题意，
此时直线m的方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0.
第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系
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第3课时　证明、探索性问题
突破·核心考点
限时规范训练
1
2
内容索引
圆锥曲线中的证明问题大多涉及几何量的证明，一般转化为代数关系证明；探索性问题则转化为方程(组)的实数解是否存在问题．解决这两类问题的难点：一是向代数问题的转化，二是运算量较大．
◆命题解读
突破
核心考点
证明问题
例1　(12分)(2024·全国甲卷)设椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F，点M在C上，且MF⊥x轴．
(1)求C的方程；
(2)过点P(4，0)的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴．
问题1　如何求椭圆C的方程？
　利用待定系数法求解或利用椭圆的定义求解．
问题2　如何证明AQ⊥y轴？
　证明点A与点Q的纵坐标相等．
(1)法一(直接法)：
由题意知（3分）
解得
所以椭圆C的方程为＝1.(5分)
法二：
由题意知（3分）
得
所以椭圆C的方程为＝1.(5分)
法三(巧用椭圆的定义)：
设F′为椭圆的左焦点，连接MF′(图略)，
则|MF|＝＝2，
在Rt△MFF′中，|MF′|＝
＝，
由椭圆的定义知2a＝|MF′|＋|MF|＝4，
2c＝|FF′|＝2，(3分)
所以a＝2，c＝1，
又a2＝b2＋c2，所以b＝，
所以椭圆C的方程为＝1.(5分)
(2)证明：分析知直线AB的斜率存在．
易知当直线AB的斜率为0时，AQ⊥y轴．
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝ty＋4(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(1，n)，
联立方程
消去x整理得(3t2＋4)y2＋24ty＋36＝0，Δ＞0，
则y1＋y2＝.(7分)
因为N为线段FP的中点，F(1，0)，所以
由N，Q，B三点共线，得kBN＝kNQ，
即，得－y2＝n，
得n＝，(9分)
所以n－y1＝
＝＝0，(11分)
所以n＝y1，所以AQ⊥y轴．(12分)
本试题考查椭圆的基本概念和基本性质，包含椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查考生的运算求解能力．
(1)法一：
第一步：构造关于a，b，c的方程组．


第二步：求解方程组，并写出椭圆方程．


法二：
第一步：构造关于a，b，c的方程组．



第二步：求解方程组，并写出椭圆方程．
法三：
第一步：设出椭圆的左焦点F′.

第二步：由勾股定理求出|MF′|.

第三步：由椭圆定义得出a，b.


第四步：写出椭圆方程．
(2)第一步：联立方程，消元得出关于y的一元二次方程．

第二步：将三点共线代数化，建立关于n的代数式．

第三步：证明n＝y1.
第四步：得出结论AQ⊥y轴．
反思感悟　圆锥曲线中证明问题的解题策略
(1)位置关系：例如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等．
(2)数量关系：例如存在定值、恒成立、相等等．在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明．
跟踪训练1　如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴正半轴相交于M，N两点(点M在点N的下方)，且|MN|＝3.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一条直线与椭圆＝1相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：∠ANM＝∠BNM.
解：(1)设圆C的半径为r(r＞0)，
依题意，圆心C的坐标为(2，r)．
因为|MN|＝3，所以r2＝2＋22＝，
所以r＝，圆C的方程为
(x－2)2＋2＝.
(2)证明：把x＝0代入方程(x－2)2＋2＝，
解得y＝1或y＝4，
即点M(0，1)，N(0，4)．
①当AB⊥x轴时，可知∠ANM＝∠BNM＝0.
②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y＝kx＋1.
联立方程
消去y得(1＋2k2)x2＋4kx－6＝0.
Δ＝16k2＋24(1＋2k2)＞0恒成立，
设直线AB交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1＋x2＝.
所以kAN＋kBN＝
＝
＝＝0.
所以∠ANM＝∠BNM.
综合①②知∠ANM＝∠BNM.
探索性问题
例2　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＝1(a＞b＞0)的右顶点为(2，0)，离心率为，P是直线x＝4上任一点，过点M(1，0)且与PM垂直的直线交椭圆于A，B两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，是否存在常数λ，使得k1＋k3＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意知，a＝2，e＝，
∴c＝，b2＝a2－c2＝1，
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)假设存在常数λ，使得k1＋k3＝λk2.
①当直线AB的斜率不存在时，不妨设点A在x轴上方，则A，B，此时P(4，0)，可得k1＋k3＝0＝k2.
②当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y整理得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0，Δ＞0，
∴x1＋x2＝.
∵直线PM的方程为y＝－(x－1)，
∴P，
∴k2＝－.
∵k1＋k3＝λk2，
∴＝λ，
，
将y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)代入上式，得
，
将x1＋x2＝，代入上式，
得，即－，解得λ＝2.
综上，存在常数λ＝2，使得k1＋k3＝λk2.
反思感悟　存在性问题的解题策略
存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．
跟踪训练2　已知抛物线C：x2＝4y，不过点M(2，1)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为－2，试判断直线l能否与圆(x－2)2＋(y－1)2＝80相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由．
解：设点A，B，
则kMA＝，
所以kMAkMB＝＝－2，
得x1x2＋2(x1＋x2)＋36＝0；
设直线AB方程为y＝kx＋b，
由得x2－4kx－4b＝0，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以－4b＋8k＋36＝0，得b＝2k＋9，
所以直线AB的方程为y＝kx＋2k＋9，
即直线AB恒过抛物线内部的定点N(－2，9)，
又圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝80经过点N(－2，9)，
当且仅当直线AB与半径MN垂直时直线AB与圆M相切，
此时k＝－，
所以直线AB的方程为y＝x＋10.
3
4
1
2
1．(17分)若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”．
限时规范
训练(六十九)　证明、探索性问题
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：A1H⊥PA2.
3
4
1
2
解：(1)由椭圆C1：＝1的离心率为e＝＝＝，设椭圆C2的方程为＝1(a＞b＞0)，且b＝，
因为两个椭圆为“相似椭圆”，可得e＝＝，解得a2＝12，
所以椭圆C2的方程为＝1.
3
4
1
2
(2)证明：不妨设P(m，n)，其中n＞0，则＝1，可得m2＝6－，把x＝m代入椭圆C1：＝1，可得y＝，所以H(m，)，所以＝＝，所以＝＝＝－
＝－＝－1.
所以A1H⊥PA2.
2
1
3
4
2．(17分)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，且圆x2＋y2＝2过椭圆C的上、下顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率为，且直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于原点的对称点为E，点A(－2，1)是椭圆C上一点，若直线AE与AQ的斜率分别为kAE，kAQ，证明：kAE＋kAQ＝0.
2
1
3
4
解：(1)因为圆x2＋y2＝2过椭圆C的上、下顶点，所以b＝；
又因为离心率e＝，所以＝＝＝，解得a2＝8，
所以椭圆的方程为＝1.
2
1
3
4
(2)证明：由于直线l的斜率为，可设直线l的方程为y＝x＋t；
代入椭圆方程x2＋4y2＝8，可得x2＋2tx＋2t2－4＝0，
由于直线l交椭圆C于P，Q两点，所以Δ＝4t2－4(2t2－4)＞0，解得－2＜t＜2，
设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由于点P与点E关于原点对称，故E(－x1，－y1)，
x1＋x2＝－2t，x1x2＝2t2－4；
因为A(－2，1)，所以kAE＋kAQ＝＝，y1＝x1＋t，y2＝x2＋t，
2
1
3
4
(2－x1)(y2－1)－(2＋x2)(y1＋1)＝2(y2－y1)－(x1y2＋x2y1)＋x1－x2－4＝x2－x1－(x1x2＋tx1＋tx2)＋x1－x2－4＝－x1x2－t(x1＋x2)－4＝－(2t2－4)－t(－2t)－4＝0，故kAE＋kAQ＝0，结论得证．
2
3
1
4
3．(17分)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，M(－2，y0)是C上一点，且|MF|＝2.
(1)求C的方程；
(2)过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，点P关于直线AB的对称点为Q，判断四边形PAQB是否存在外接圆？如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．
2
3
1
4
解：(1)根据题意知，4＝2py0，①
因为|MF|＝2，所以y0＋＝2.②
联立①②，解得y0＝1，p＝2.
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
2
3
1
4
(2)四边形PAQB存在外接圆．理由如下：
由(1)知F(0，1)，
设直线AB的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y中，得x2－4kx－4＝0，Δ＝16(k2＋1)＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
所以|AB|＝|x1－x2|＝4(k2＋1)．
因为C：x2＝4y，即y＝，所以y′＝，
因此切线l1的斜率k1＝，切线l2的斜率k2＝.
2
3
1
4
所以k1k2＝＝－1，
所以PA⊥PB，即△PAB是直角三角形，
所以△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是外接圆的直径，
所以点Q一定在△PAB的外接圆上，即四边形PAQB存在外接圆．
又|AB|＝4(k2＋1)，
所以当k＝0时，线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.
2
3
4
1
4．(17分)(2025·山东德州模拟)如图，已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且△EOF的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，
且点F恰为△EAB的垂心？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
2
3
4
1
解： (1)由题意可知解得
所以椭圆C的方程为＝1.
(2)假设满足条件的直线l存在．理由如下：
由E(0，－2)，F，得kEF＝，
因为点F为△EAB的垂心，所以AB⊥EF，
所以kAB＝－.
2
3
4
1
设直线l的方程为y＝－x＋t，
代入＝1，
得7x2－6tx＋6(t2－4)＝0，
Δ＝2－4×7×6(t2－4)＝－96t2＋672＞0，
即－＜t＜.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2
3
4
1
则
由AF⊥BE得＝－1，
所以y1y2＋2y1＋x1x2－x2＝0.
将y1＝－x2＋t代入上式，
2
3
4
1
得3x1x2－(t＋2)(x1＋x2)＋(2t2＋4t)＝0，
所以3×(t＋2)·＋(2t2＋4t)＝0.
所以5t2＋t－18＝0，解得t＝或t＝－2.将t＝－2代入直线l的方程得y＝－x－2，直线过E点，三角形不存在．故t＝－2舍去．
t＝时，满足Δ＞0，
所以直线l的方程为y＝－.
第9讲　第3课时　证明、探索性问题
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第7讲
　抛物线
聚焦·必备知识
突破·核心考点
限时规范训练
1
2
3
内容索引
1．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.利用抛物线的几何性质能进行简单应用．
◆课标要求
聚焦
必备知识
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离_____的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的_____．
相等
准线
(1)定义可归纳为“一动，三定”：一动点M，一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值(即动点到焦点和准线的距离比值为常数1)．
(2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py
(p>0)
开口 方向 向右 向左 向上 向下
图形
标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py
(p>0)
顶点 O(0，0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F __________ F F
离心率 e＝1
准线 方程 _________ x＝ ________ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
F
x＝－
y＝－
标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py
(p>0)
焦半径(其中P (x0，y0)在抛物线上) |PF|＝ ______ |PF|＝ －x0＋ |PF|＝ ______ |PF|＝
－y0＋
x0＋
y0＋
1．y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
2．过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点O(0，0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A，B.则直线AB过定点M(2p，0)；反之，若过点M(2p，0)的直线l与抛物线y2＝2px(p>0)交于两点A，B，则必有OA⊥OB成立.
3．抛物线的通径是过焦点且垂直于对称轴的弦中最短的那条，弦长等于2p.
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)
(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　)
(3)过抛物线的焦点垂直于对称轴的弦，是抛物线过焦点中最短的弦．(　)
(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)
×
×
√
×
2．抛物线y2＝10x的焦点到准线的距离是________．
解析：抛物线的方程为y2＝10x，则p＝5，
所以抛物线y2＝10x的焦点到准线的距离是5.
答案：5
3．过点P(－2，3)的抛物线的标准方程为________．
解析：当抛物线的焦点在x轴上时，设其方程为y2＝mx，又过点P(－2，3)，则9＝－2m，得m＝－，
故抛物线方程为y2＝－x，
当抛物线的焦点在y轴上时，设其方程为x2＝ny，又过点P(－2，3)，则4＝3n，得n＝，
故抛物线方程为x2＝y.
答案：y2＝－x或x2＝y
4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A为抛物线C上一点，若|AF|＝3，则点A的横坐标为________．
解析：设A(m，n)，由抛物线的方程可知p＝2，由抛物线的定义可知，|AF|＝m＋＝m＋1＝3，所以m＝2.
答案：2
例1　(1)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l，交l于点D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为________．
突破
核心考点
抛物线的方程与几何性质
答案：y2＝4x
解析：根据抛物线的定义可得|AD|＝|AF|＝4，又∠DAF＝60°，
所以|AD|－p＝|AF|cos 60°＝，
所以4－p＝2，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
答案：x＝－
解析：由题易得|OF|＝＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan ∠OPF＝tan ∠PQF，所以，即，
解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－.
反思感悟　(1)求抛物线标准方程的常用方法：定义法和待定系数法，用待定系数法求解的关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
(2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图象思考，通过图象可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想．
跟踪训练1　(1)(人教A版选择性必修第一册P145复习参考题3第6题变式)已知等边三角形的一个顶点为抛物线C：y2＝4x的焦点F，其余两个顶点都在抛物线C上，则该等边三角形的边长为(　　)
A．4＋2　　　　　 B．8＋4
C．4±2 D．8±4
D
解析：D　由题意知抛物线的焦点为F(1，0)，由对称性可知三角形的另两点关于x轴对称，∴三角形过点(1，0)的一边所在直线的方程为y＝(x－1)，联立方程，
得解得或∴由抛物线的定义得等边三角形的边长为8＋4或8－4.故选D.
(2)(人教A版选择性必修第一册P138习题3.3第5题变式)设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于(　　)
A．3 B．4
C． D．
B
解析：B　过点M作抛物线的准线的垂线，垂足为点N，连接FN，如图所示，因为∠OFM＝120°，MN∥x轴，所以∠FMN＝60°，由抛物线的定义可得|MN|＝|FM|，所以△FNM为等边三角形，则∠FNM＝60°.抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，设直线x＝－1交x轴于点E，则∠ENF＝30°，易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，则|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.
考向1　求轨迹方程
例2　在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P的轨迹方程为(　　)
A．y2＝2x
B．y2＝4x
C．y2＝－4x
D．y2＝－8x
D
抛物线的定义及应用
解析：D　由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2，0)的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2，0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，
所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.
考向2　最值问题
例3　若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为__________．
答案：
解析：如图，∵y2＝－4x，∴p＝2，焦点坐标为(－1，0)．依题意可知当A，P及P到准线的垂足Q三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小，故点P的纵坐标为1.将y＝1代入抛物线方程可得x＝－，则点P的坐标为.
反思感悟　与抛物线有关的最值问题的解题策略
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
跟踪训练2　(1)设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，过点B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为(　　)
A．x2＝8y B．x2＝16y
C．y2＝8x D．y2＝16x
A
解析：A　因为圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，
所以A(0，2)，B(0，－2)，
又因为过点B作圆O的切线l，
所以切线l的方程为y＝－2，
因为动点P到A的距离等于P到l的距离，
所以动点P的轨迹为抛物线，且其焦点为(0，2)，准线为y＝－2，
所以P的轨迹方程为x2＝8y.
(2)已知点F(0，4)是抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点，点P(2，3)，且点M为抛物线C上任意一点，则|MF|＋|MP|的最小值为(　　)
A．7 B．6
C．5 D．4
解析：A　由F(0，4)是抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点，得＝4，则p＝8，故C：x2＝16y，其准线方程为y＝－4，当x＝2时，有4＝16y，解得y＝，故点P(2，3)在抛物线上方，由抛物线的定义可知，点M到焦点F的距离|MF|等于其到准线的距离d，则|MF|＋|MP|＝d＋|MP|≥yp＋4＝7(当且仅当直线PM垂直于准线y＝－4且点M在点P与准线y＝－4之间时等号成立).故选A.
A
抛物线的综合问题
例4　已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程；
(2)若的值.
解：设直线l的方程为y＝x＋t，
A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设得F，
故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋.
又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
其中Δ＝144(1－2t)＞0，则x1＋x2＝－，
从而－，得t＝－(满足Δ＞0)，
所以l的方程为y＝.
(2)由，可得y1＝－3y2.
由可得y2－2y＋2t＝0，
其中Δ＝4－8t＞0，
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，
故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝.
所以A(3，3)，B＝.
反思感悟　(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
跟踪训练3　过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程．
解：(1)抛物线C：x2＝2py(p＞0)的准线方程为y＝－，焦点为F.
∵当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，
∴1＋＝2，解得p＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)∵点M(－2，y0)在抛物线C上，
∴y0＝＝1.又F(0，1)，
∴设直线l的方程为y＝kx＋1.
由得x2－4kx－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
＝(x1＋2，y1－1)，＝(x2＋2，y2－1)．
∵MA⊥MB，∴＝0，
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
∴－4＋8k＋4－4k2＝0，
解得k＝2或k＝0.
当k＝0时，l过点M，舍去，∴k＝2，
∴直线l的方程为y＝2x＋1.
抛物线焦点弦中的结论
抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解题时可迅速打开思路．抛物线焦点弦的常见结论如下：
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，AB所在直线的倾斜角为α，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点A，B在准线l上的射影为点A1，B1，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝＝.
弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝.
S△AOB＝.
(3)(为定值) .
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
(8)若N为准线与x轴的交点，则∠ANF＝∠BNF.
(9)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．
(10)以A1B1为直径的圆与AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°.
训练　(1)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
D
解析：D　通解：由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0.
与抛物线方程联立
化简得4y2－12y－9＝0，
则yA＋yB＝3，
故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝＝.
优解：由2p＝3，及|AB|＝
得|AB|＝＝12.
原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝，
故S△AOB＝·d＝.
(2)过抛物线y2＝8x焦点的直线与抛物线交于M，N两点，设抛物线的准线与x轴的交点为A，当MA⊥NA时，|MN|＝________．
解析：通解：由题意可知A(－2，0)，焦点坐标为(2，0)．
设过抛物线焦点的直线方程为x＝ky＋2，
代入y2＝8x，消去x，得y2－8ky－16＝0.
设M(xM，yM)，N(xN，yN)，则yMyN＝－16，
所以xMxN＝＝4.
因为MA⊥NA，
所以kMA·kNA＝
＝＝－1，
所以8＋2(xM＋xN)＝16，即xM＋xN＝4，
所以由抛物线的定义知|MN|＝xM＋xN＋4＝8.
优解：由题意可知A(－2，0)，
设M(xM，yM)，N(xN，yN)，
则xMxN＝＝4，yMyN＝－p2＝－16.
＝(xM＋2，yM)(xN＋2，yN)＝0，
即(xM＋2)(xN＋2)＋yMyN＝0，
得4＋2(xM＋xN)＋4－16＝0，
∴xM＋xN＝4，|MN|＝xM＋xN＋4＝8.
答案：8
3
4
5
6
7
8
9
10
12
13
14
11
1
2
?A级　基础落实练?
1．(2024·江苏徐州一模)若抛物线y2＝2px(p＞0)上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则p＝(　　)
A．1　　　　　　　 B．
C．2 D．4
限时规范
训练(六十五)　抛物线
C
3
4
5
6
7
8
9
10
12
13
14
11
1
2
解析：C　由y2＝2px(p＞0)，得焦点F，0)，设抛物线上一点P(x，y)，则由抛物线的定义知，|PF|＝x＋，
所以1＝，解得p＝2.
2
1
3
4
5
6
7
8
9
10
12
13
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11
2．(2025·云南昆明一中质检)过抛物线y2＝8x的焦点的直线l与抛物线相交于M，N两点．若M，N两点到直线x＝－3的距离之和等于11，则这样的直线l(　　)
A．不存在 B．有且仅有一条
C．有且仅有两条 D．有无穷多条
解析：C　由题意知M，N两点到准线x＝－2的距离之和等于9，由抛物线定义得|MN|＝9.又抛物线y2＝8x的通径长为2p＝8＜|MN|＝9根据过焦点的弦的对称性知，这样的弦有且仅有两条，故选C.
C
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3．已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，过E上的一点A作l的垂线，垂足为B，若|AB|＝3|OF|(O为坐标原点)，且△ABF的面积为，则抛物线E的方程为(　　)
A．y2＝4x B．y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝8x
解析：C　由题意知，|AB|＝3准线l：x＝－，
∴|OF|＝＝p，∴A，
∴S△ABF＝＝p·＝12，解得p＝4，
∴抛物线E的方程为y2＝8x.
C
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4．已知圆x2＋y2＝1与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则p等于(　　)
A． B．
C． D．
D
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解析：D　因为四边形ABCD是矩形，
所以由抛物线与圆的对称性知，弦AB为抛物线y2＝2px(p＞0)的通径，
因为圆的半径为1，抛物线的通径为2p，
所以2＋p2＝1，
解得p＝.
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5．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，点A在x轴上方，且A的横坐标为5，则＝(　　)
A． B．
C． D．
C
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解析：C　如图，设点A，B在抛物线C的准线上的投影分别是A′，B′，连接AA′，BB′，过点B作BD⊥AA′，垂足为D，BD与x轴交于点E.
由题意可知|AF|＝5＋2＝7.
设|BF|＝m，则|AD|＝7－m，|EF|＝4－m，
易知△BEF∽△BDA，则，即，整理得5m＝14，
解得m＝，故.
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6．(多选)设抛物线C：y2＝2px的焦点为F，准线方程为x＝－1，点A，B是抛物线C上不同的两点，且|AF|＋|BF|＝8，则(　　)
A．p＝2
B．以线段AB为直径的圆必与准线相切
C．线段AB的长为定值
D．线段AB的中点E到准线的距离为定值
AD
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解析：AD　因为抛物线C的准线方程为x＝－1，所以焦点为F(1，0)，p＝2，抛物线C的方程为y2＝4x，A正确；
令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，则x1＋x2＝6，取x1＝0，则x2＝6，
即点A(0，0)，B(6，±2)，此时|AB|＝2，
以线段AB为直径的圆的圆心为(3，±)，该圆心到准线x＝－1的距离为4，不等于圆的半径，因此该圆与准线不相切，B错误；
(提示：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线准线相切，以抛物线非焦点弦为直径的圆与准线相离)
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以点A(0，0)，B(6，±2)为端点的线段长|AB|＝2，当直线AB垂直于x轴时，x1＝x2＝3，此时|AB|＝4，C错误；
线段AB的中点E的横坐标为3，点E到准线的距离为3－(－1)＝4，D正确．故选A，D.
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7．(2024·北京卷)抛物线y2＝16x的焦点坐标为________．
解析：由题意，知p＝8，则＝4，所以抛物线y2＝16x的焦点坐标为(4，0)．
答案：(4，0)
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8．(2024·天津卷)圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为________．
解析：由题意知圆(x－1)2＋y2＝25的圆心坐标为(1，0)，则F(1，0)，故＝1，p＝2，由抛物线的定义得|AF|＝xA＋1＝5，得xA＝4.由对称性不妨设A(4，4)，则直线AF的方程为y＝(x－1)，即4x－3y－4＝0，所以原点到直线AF的距离是.
答案：
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9．动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．
解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆圆心的轨迹方程为y2＝4x.
答案：y2＝4x
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10．(13分)已知F为抛物线C：x2＝12y的焦点，直线l：y＝kx＋4与C相交于A，B两点．
(1)O为坐标原点，求的值；
(2)M为C上一点，F为△ABM的重心(三边中线的交点)，求k的值.
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将l的方程代入C得，x2－12kx－48＝0，所以x1＋x2＝12k，x1x2＝－48，y1y2＝＝16，
从而＝x1x2＋y1y2＝－32.
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(2)依题意得F(0，3)，设M(x3，y3)，因为F为△ABM的重心，所以x1＋x2＋x3＝0，y1＋y2＋y3＝9，
从而x3＝－(x1＋x2)＝－12k，y3＝9－(y1＋y2)＝9－＝1－12k2.
因为M(x3，y3)在抛物线C上，
所以(－12k)2＝12(1－12k2)，即k2＝.
故k＝或k＝－.
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11．(13分)已知动圆过定点(4，0)，且在y轴上截得的弦长为8.
(1)求动圆圆心C的轨迹方程；
(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线y＝x＋4和y轴的距离之和的最小值．
解：(1)设圆心C的坐标为(x，y)，
则半径r＝，
又动圆在y轴上截得的弦长为8，
所以42＋x2＝(x－4)2＋y2，化简得y2＝8x，
即动圆圆心C的轨迹方程为y2＝8x.
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(2)如图所示，设轨迹C的焦点为F，点P到直线y＝x＋4的距离为|PP1|，到y轴的距离为|PP2|，点F到直线y＝x＋4的距离为|FF1|，
由抛物线的定义，可知|PP2|＝|PF|－2，
所以|PP1|＋|PP2|＝|PP1|＋|PF|－2，
由图可知|PP1|＋|PF|的最小值为点F到直线
y＝x＋4的距离，
所以(|PP1|＋|PF|)min＝|FF1|＝，
所以－2.
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?B级　能力提升练?
12．(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为点B，则(　　)
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
ABD
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解析：ABD　对于A，易知l：x＝－1，故l与⊙A相切，A正确；
对于B，A(0，4)，⊙A的半径r＝1，当P，A，B三点共线时，P(4，4)，所以|PA|＝4，|PQ|＝，故B正确；
对于C，当|PB|＝2时，P(1，2)，B(－1，2)或P(1，－2)，B(－1，－2)，易知PA与AB不垂直，故C错误；
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对于D，记抛物线C的焦点为F，连接AF，PF，易知F(1，0)，由抛物线定义可知|PF|＝|PB|，因为|PA|＝|PB|，所以|PA|＝|PF|，所以点P在线段AF的中垂线上，线段AF的中垂线方程为y＝，即x＝4y－，代入y2＝4x可得y2－16y＋30＝0，解得y＝8±，易知满足条件的点P有且仅有两个，故D正确．故选A、B、D.
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13．(多选)抛物线C：y2＝mx(m＞0)的焦点为F(4，0)，直线l经过点F，交C于A，B两点，交y轴于点P，若，则(　　)
A．m＝16
B．点B的坐标为(，±)
C．|AB|＝
D．弦AB的中点到y轴的距离为
ACD
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解析：ACD　抛物线C：y2＝mx(m>0)的焦点坐标为，由题意可得＝4，解得m＝16，∴A选项正确．过B作BB′垂直于y轴于点B′(图略)，由得＝＝，∴点B的横坐标为，代入抛物线的方程，可得y2＝16×，∴y＝±，∴B选项不正确．根据抛物线的对称性，不妨取B，则kAB＝kBF＝，∴直线AB的方程为y＝2(x－4)，与抛物线的方程y2＝16x联立并消元，可得3x2－
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26x＋48＝0，设A(x1，y1)，则x1＋＝x1＋，∴C选项正确．∵AB的中点的横坐标为，∴AB的中点到y轴的距离为，∴D选项正确．故选A、C、D.
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14．(15分)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)证明：直线AB过定点；
(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．
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解：(1)证明：设D，A(x1，y1)，
则＝2y1.
因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，
故＝x1，整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.
所以直线AB过定点.
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(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.
由可得x2－2tx－1＝0.
于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，
y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，
|AB|＝
＝×
＝2(t2＋1)．
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设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，
则d1＝.
因此，四边形ADBE的面积
S＝(d1＋d2)＝(t2＋3).
设M为线段AB的中点，则M.
因为⊥，而＝(t，t2－2)，
与向量(1，t)平行，
所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.
当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4.
因此，四边形ADBE的面积为3或4.
第7讲　抛物线
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第3讲
　圆的方程
聚焦·必备知识
突破·核心考点
限时规范训练
1
2
3
内容索引
1．理解确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
◆课标要求
聚焦
必备知识
1．圆的定义与方程
定长
(a，b)
r
2．点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，设M的坐标为(x0，y0)．
三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2____r2 点在圆上
(x0－a)2＋(y0－b)2____r2 点在圆外
(x0－a)2＋(y0－b)2____r2 点在圆内
＝
>
<
二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件为
1．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)
(2)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(　　)
(3)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．(　　)
(4)方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0不是圆．(　　)
√
√
×
√
2．当m∈________时，方程x2＋y2－4x＋2my＋2m2－2m＋1＝0表示圆，半径最大时圆的一般方程为________．
解析：原方程可化为(x－2)2＋(y＋m)2＝＋2m＋3，它表示圆时应有－m2＋2m＋3＞0，得－1＜m＜3.当－m2＋2m＋3最大时，此时m＝1，故此时圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.
答案：(－1，3)　x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
3．若直线2x＋y＋3＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝________．
解析：圆心坐标为(a，0)，由题意知点(a，0)在直线上，故2a＋0＋3＝0，得a＝－.
答案：－
4．已知圆C的圆心在x轴上，且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是________．
解析：圆C的圆心在x轴上，设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|，可得|CA|2＝|CB|2，
即(a＋1)2＋1＝(a－1)2＋9，求得a＝2，可得圆心为C(2，0)，半径为|CA|＝，故圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.
答案：(x－2)2＋y2＝10
突破
核心考点
圆的方程
例1　(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为____________________．
解析：法一：设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则解得
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
法二：设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则M，
∴
解得
∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
法三：设A(3，0)，B(0，1)，⊙M的半径为r，
则kAB＝，
AB的中点坐标为，
∴AB的垂直平分线方程为y－＝3，
即3x－y－4＝0.
联立解得
所以M(1，－1)，
∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5
反思感悟　求圆的方程的两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．
(2)代数法：设出圆的方程，用待定系数法求解．
跟踪训练1　(1)已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是(5，6)，(3，－4)，则这个圆的方程为(　　)
A．x2＋y2－4x－2y＋7＝0
B．x2＋y2－8x－2y－9＝0
C．x2＋y2＋8x＋2y－6＝0
D．x2＋y2－4x＋2y－5＝0
B
解析：B　根据题意，圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是(5，6)，(3，－4)，则圆的圆心坐标为(4，1)，半径r＝，则圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝26，即x2＋y2－8x－2y－9＝0.故选B.
(2)(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________．
解析：依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0.
①若圆过(0，0)，(4，0)，(－1，1)三点，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，
即(x－2)2＋(y－3)2＝13；
②若圆过(0，0)，(4，0)，(4，2)三点，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
③若圆过(0，0)，(4，2)，(－1，1)三点，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－y＝0，
即2＋2＝；
④若圆过(－1，1)，(4，0)，(4，2)三点，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－＝0，
即2＋(y－1)2＝.
答案：(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或2＋2＝或2＋(y－1)2＝(写出一个即可)
例2　(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，点P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　)
A．＝1(y>0)
B．＝1(y>0)
C．＝1(y>0)
D．＝1(y>0)
A
与圆有关的轨迹问题
解析：A　通解：设M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，因为点P在曲线C上，所以＋(2y0)2＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)，所以线段PP′的中点M的轨迹方程为＝1(y>0)，故选A.
优解：由题意可知把曲线C上所有点的纵坐标缩短至原来的一半，横坐标不变，即可得到点M的轨迹．曲线C为半圆，则点M的轨迹为椭圆(x轴上方部分)，其中长半轴长为4，短半轴长为2，故选A.
反思感悟　求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用不同方法：
(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法，利用圆的几何性质列方程．
(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
阿波罗尼斯圆
教材溯源(人教A版选择性必修第一册P97例6)已知圆O的直径AB＝4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系．本例中点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．
(1)阿波罗尼斯圆的定义及应用
若点A，B为两定点，动点M满足|MA|＝λ|MB|，则λ＝1时，动点M的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点M的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆．
如图所示，设A(－m，0)，B(m，0)．当λ>0，且λ≠1时，可得阿波罗尼斯圆的方程为2＋y2＝，是以点P为圆心，为半径的圆．
(2)拓展：已知平面上两定点A，B，则所有满足＝λ(λ>0且λ≠1)的动点M的轨迹是一个以定比为＝λ(λ>0且λ≠1)内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆．若以线段AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则圆的半径为
，圆心为.
训练　已知点C到点A(－1，0)，B(1，0)的距离之比为，求点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值．
解：设C(x，y)，则，
即，
化简得(x－2)2＋y2＝3，
所以点C的轨迹是以(2，0)为圆心，r＝的圆，则圆心到直线x－2y＋8＝0的距离
d＝，
所以点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为2.
跟踪训练2　已知定点M(1，0)，N(2，0)，动点P满足|PN|＝.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知点B(6，0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程．
解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，
因为M(1，0)，N(2，0)，且|PN|＝，
所以，
整理得x2＋y2＝2，
所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设点Q的坐标为(x，y)，
点A的坐标为(xA，yA)，
因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点，
所以，
即(x－xA，y－yA)＝2(6－x，－y)，
解得
又点A在轨迹C上运动，
由(1)有(3x－12)2＋(3y)2＝2，
化简得(x－4)2＋y2＝，
即点Q的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝.
与圆有关的最值问题
考向1　利用几何性质求最值
例3　已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．
(1)求的最小值；
(2)求x＋y的最大值；
(3)求的最大值．
解：由题意知，圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1的圆心为(2，－3)，半径为1.
(1)可视为圆上的点(x，y)与原点连线的斜率，的最小值就是与该圆有公共点且过原点的直线斜率的最小值，易知直线与圆相切时取得最小值．
设过原点的切线方程为y＝kx，
则＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－，
所以的最小值为－2－.
(2)法一：设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
所以x＋y的最大值就是直线y＝－x＋t与圆有公共点时，直线y＝－x＋t在y轴上截距的最大值，易知直线与圆相切时取得最值．
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即＝1，
解得t＝－1或t＝
所以x＋y的最大值为－1.
法二：设x＝2＋cos θ，y＝－3＋sin θ，0≤θ<2π，则x＋y＝sin －1，0≤θ<2π，
因为sin ≤1，当且仅当θ＝时取等号，所以x＋y的最大值为－1.
(3)＝，其最值可视为点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，
又圆心到定点(－1，2)的距离为，所以的最大值为＋1.
反思感悟　与圆有关的最值问题的三种几何转化法
(1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，也可用三角代换求解．
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．
考向2　利用对称性求最值
例4　已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为
(　　)
A．5－4　　　　　 B．－1
C．6－2 D．
解析：A　P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)(图略)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5－4≥5－4.
A
反思感悟　求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路
(1)动化定：把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离．
(2)曲化直：将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
考向3　建立函数关系求最值
例5　(人教A版选择性必修第一册P98习题2.5第12题变式)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则的最大值为________．
解析：法一：由题意知，＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，∴＝x2＋y2－4.
∵x2＋y2为圆x2＋(y－3)2＝1上任一点到原点的距离的平方，∴(x2＋y2)max＝(3＋1)2＝16，∴的最大值为16－4＝12.
法二：由于点P(x，y)是圆上的动点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，∴＝(2－x，－y)·(－2－x，－y)＝x2＋y2－4＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，知2≤y≤4，∴当y＝4时，的值最大，最大值为6×4－12＝12.
法三：设O为坐标原点，连接OP，由极化恒等式得，＝，易知＝4，|PO|的最大值为点O(0，0)到圆x2＋(y－3)2＝1的距离的最大值，则|PO|max＝3＋1＝4，∴的最大值为42－×42＝12.
答案：12
反思感悟　建立函数关系式求最值：根据题中条件列出关于所求目标式的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
跟踪训练3　(1)(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　)
A．1＋ B．4
C．1＋3 D．72
C
解析：C　将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆．
设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最大值，
此时＝3，解得z＝1±3，
故z＝x－y的最大值为1＋3.
(2)在平面直角坐标系中，当θ，m变化时，点P(cos θ，sin θ)到直线x－my＋3m－4＝0的距离的最大值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
D
解析：D　直线x－my＋3m－4＝0，
即(－y＋3)m＋(x－4)＝0，
令解得
所以直线x－my＋3m－4＝0恒过点A(4，3)(提示：过定点直线系，求出定点坐标)．点P(cos θ，sin θ)为圆x2＋y2＝1上的点，圆心为O(0，0)，半径r＝1，则|OA|＝＝5，所以点P(cos θ，sin θ)到直线x－my＋3m－4＝0的距离最大值为|OA|＋r＝6.故选D.(提示：转化为圆心到直线距离的最大值加半径)．
3
4
5
6
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11
1
2
?A级　基础落实练?
1．(2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为
(　　)
A．　　　　　　　 B．2
C．3 D．3
解析：D　化圆的方程为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以该圆的圆心(1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为.
限时规范
练(六十一)　圆的方程
D
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3
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5
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8
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11
2．(人教A版选择性必修第一册P102复习参考题第7题变式)已知点P(1，－2)在圆C：x2＋y2＋kx＋4y＋k2＋1＝0的外部，则k的取值范围是(　　)
A．－2C．k<－2 D．－2B
2
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11
解析：B　由x2＋y2＋kx＋4y＋k2＋1＝0，得2＋(y＋2)2＝3－k2，由3－k2>0，解得－2(提示：圆的半径的平方大于0)
∵点P(1，－2)在圆C的外部，∴1＋4＋k－8＋k2＋1>0，即k2＋k－2>0，得k<－2或k>1，　②
由①②得12
3
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11
3．与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圆心，且过点(1，－1)的圆的方程是
(　　)
A．x2＋y2－4x＋6y－8＝0
B．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0
C．x2＋y2＋4x－6y－8＝0
D．x2＋y2＋4x－6y＋8＝0
解析：B　设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋m＝0，由该圆过点(1，－1)，得m＝8，所以所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.
B
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3
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7
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11
4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，若动点M满足，则点M的轨迹方程是(　　)
A．x2＋(y＋2)2＝2
B．x2＋(y－2)2＝2
C．x2＋(y＋2)2＝8
D．x2＋(y－2)2＝8
D
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3
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5
6
7
8
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16
11
1
解析：D　设M(x，y)，因为，A(0，－2)，
所以，
所以x2＋(y＋2)2＝2(x2＋y2)，
所以x2＋(y－2)2＝8为点M的轨迹方程．
2
3
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1
6
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11
5．已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为
(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：A　设圆心C(x，y)，则＝1，化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以点(3，4)为圆心，1为半径的圆，所以圆心到原点的距离的最小值为－1＝4.
A
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3
4
5
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11
6．(2024·江苏南通如皋调研)已知曲线y＝x2－x－2与x轴交于A，B两点，圆M经过A，B，C(2，4)三点，则圆M的方程为(　　)
A．x2＋y2－x－4y－2＝0
B．x2＋y2－3x＋2＝0
C．x2＋y2＋2x－4y－8＝0
D．x2＋y2＋x－y－18＝0
A
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3
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5
6
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7
8
9
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11
解析：A　法一：由题不妨设A，B两点的坐标分别为(－1，0)，(2，0)，
设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将A，B，C三点的坐标代入圆M的方程，可得
解得即圆M的方程为x2＋y2－x－4y－2＝0.故选A.
2
3
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1
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11
法二：由题不妨设A，B两点的坐标分别为(－1，0)，(2，0)．设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，分别将A，B，C三点的坐标代入，列式求出a＝，即所求圆的方程为2＋(y－2)2＝，即x2＋y2－x－4y－2＝0.
法三：由题不妨设A，B两点的坐标分别为(－1，0)，(2，0)．圆心既在线段AB的中垂线x＝上，又在线段BC的中垂线y＝2上，因而圆心坐标为，半径为，
故所求圆的方程为2＋(y－2)2＝，即x2＋y2－x－4y－2＝0.
2
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11
法四：由题可得A，B两点的坐标为(－1，0)，(2，0)，不妨设A(－1，0)，B(2，0)，又C(2，4)，可得|AB|＝3，|BC|＝4，|AC|＝5，则△ABC是直角三角形，过其三个顶点的圆，圆心为AC的中点，AC为圆的直径，则(x＋1)(x－2)＋(y－0)(y－4)＝0(提示：若已知圆的直径的两端点M1(x1，y1)，M2(x2，y2)，则圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0)，即x2＋y2－x－4y－2＝0.
7
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3
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6
2
7．已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆M的说法中错误的是(　　)
A．圆M的圆心坐标为(1，3)
B．圆M的半径为
C．圆M关于直线x＋y＝0对称
D．点(2，3)在圆M内
C
7
8
9
10
12
13
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1
3
4
5
6
2
解析：C　设△ABC的外接圆M的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则解得
所以△ABC的外接圆M的方程为
x2＋y2－2x－6y＋5＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝5.
7
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3
4
5
6
2
故圆M的圆心坐标为(1，3)，圆M的半径为，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称．
因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，
故点(2，3)在圆M内．
8
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2
8．设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(　　)
A．6 B．25
C．26 D．36
解析：D　(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到点(5，－4)的距离的平方，
∵P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，
∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2，0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，
即[(x－5)2＋(y＋4)2]max＝2＝36.
D
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14
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3
4
5
6
7
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2
9．(多选)已知圆C关于y轴对称，过点(1，0)，且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程可能为(　　)
A．x2＋2＝
B．x2＋2＝
C．2＋y2＝
D．2＋y2＝
AB
9
10
12
13
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15
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1
3
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5
6
7
8
2
解析：AB　由已知得圆C的圆心在y轴上，且被x轴所截得的劣弧所对的圆心角为.
设圆心的坐标为(0，a)，半径为r，
则r sin ＝1，r cos ＝|a|，
解得r＝，即r2＝，
|a|＝，即a＝±.
故圆C的方程为x2＋2＝或x2＋2＝.
10
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1
3
4
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7
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2
10．(多选)若实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则(　　)
A．的最大值为
B．的最小值为－
C．的最大值为
D．的最小值为－
CD
10
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3
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7
8
9
2
解析：CD　由题意可得方程x2＋y2＋2x＝0表示圆心坐标为(－1，0)，半径r＝1的圆，
则为圆上的点与点(1，0)连线的斜率的值，设过点(1，0)的直线为y＝k(x－1)，
即kx－y－k＝0，即求直线kx－y－k＝0与圆相切时k的值，当直线与圆相切时，圆心到直线kx－y－k＝0的距离d＝r，
即＝1，整理可得3k2＝1，
解得k＝±，所以∈.
即的最大值为，最小值为－.
11
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2
11．(多选)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列说法中正确的是(　　)
A．满足条件的圆C的圆心在一条直线上
B．满足条件的圆C有且只有一个
C．点(2，－1)在满足条件的圆C上
D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4
ACD
11
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2
解析：ACD　因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a＞0)，故圆心在直线y＝－x上，A正确；
圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，
把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，
解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；
11
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7
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2
圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，
(x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入这两个方程可知其在圆C上，故C正确；
它们的圆心距为，D正确．
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2
12．圆(x－3)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝－x对称的圆的方程为________．
解析：圆(x－3)2＋(y－1)2＝5的圆心坐标为(3，1)，设(3，1)关于直线y＝－x对称的点的坐标为(x0，y0)，故＝1.　①
(3，1)与(x0，y0)的中点坐标为，且中点在直线y＝－x上，所以.　②
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2
联立①②解得x0＝－1，y0＝－3，所以对称圆的圆心坐标为(－1，－3)．
所以圆(x－3)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝－x对称的圆的方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝5.
(提示：两圆关于直线对称，则两圆半径相同，圆心关于直线对称，因而求出圆心(3，1)的对称点，便可得到对称圆的方程)．
答案：(x＋1)2＋(y＋3)2＝5
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2
13．已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0，0)，底边的一个端点B的坐标为(1，1)，则另一个端点C的轨迹方程为_____________．
解析：设C(x，y)，根据在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.
考虑到A，B，C三点要构成三角形，因此点C不能为(1，1)和(－1，－1)．
所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1))．
答案：x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1))
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2
14．已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为________．
解析：求△ABP面积的最小值，即求P到直线AB距离的最小值，即为圆心到直线AB的距离减去半径．
直线AB的方程为＝1，
即3x－4y－12＝0，
圆x2＋y2－2y＝0，
即为x2＋(y－1)2＝1，圆心为(0，1)，半径为1，
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2
∵圆心到直线AB的距离为d＝，
∴P到直线AB的最小值为，
∵|AB|＝＝5，
∴△ABP面积的最小值为.
答案：
15
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2
?B级　能力提升练?
15．若点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则的最大值为________．
解析：由题意，知＝(－x，2－y)，
＝(－x，－2－y)，
所以＝(－2x，－2y)，
由于点P(x，y)是圆上的点，
故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，
故y2＝－(x－3)2＋4，
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2
所以＝.
由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，
所以当x＝5时，＝10.
答案：10
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3
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16．(2025·河南郑州名校模拟) 三角形任意一个顶点到其垂心的距离等于外心到该顶点对边距离的2倍．若点A，B，C都在圆E上，直线BC的方程为x＋y－2＝0，且|BC|＝2，△ABC的垂心G(2，2)在△ABC内，点E在线段AG上，则圆E的标准方程为________．
解析：在平面直角坐标系中作出直线BC及点
G，由点G向直线BC作垂线，垂足为D，由题意
可知点A及点E都在这条垂线上，作出大致图
象如图所示．
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△ABC的垂心G(2，2)到直线BC的距离d＝，设圆E的半径为r，
由题中定理可得|AG|＝2|ED|，即r＋|EG|＝2，由圆的几何性质可得
2＋2＝r2，联立解得|EG|＝，
因为直线BC的方程为x＋y－2＝0，EG⊥BC，
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所以kEG＝1，又G(2，2)，所以直线EG的方程为y＝x，设E(a，a)，则E到直线BC的距离d′＝，解得a＝－1(舍去)或a＝3，
所以圆E的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.
答案：(x－3)2＋(y－3)2＝18
第3讲　圆的方程
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第2课时　最值、取值范围问题
突破·核心考点
限时规范训练
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内容索引
求解圆锥曲线中的最值或取值范围问题一般是指面积、距离或代数式的最值或取值范围，基本方法是建立目标函数，然后利用不等式、函数的性质求解．
◆命题解读
突破
核心考点
利用不等式求最值(取值范围)
例1　已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且，求四边形ABF1F2面积的最大值．
解：由，得AF2∥BF1，如图，延长BF1，AF2，交椭圆于C，D两点，根据椭圆的对称性可知，四边形ABCD为平行四边形，且四边形ABF1F2的面积为四边形ABCD的面积的一半．
由题知，BF1的斜率不为零，
故设BF1的方程为x＝my－，
联立
得(m2＋3)y2－2my－1＝0，
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
∵Δ＞0，
∴y1＋y2＝，
故|BC|＝＝，O到BF1的距离d＝，
S四边形ABCD＝×4S△OBC
＝2×·d＝|BC|·d
＝
＝2
＝2，
当且仅当，即m＝±1时取等号，
∴当m＝±1时，四边形ABF1F2的面积最大，最大值为.
反思感悟
构造不等式求最值(取值范围)的三种方法
跟踪训练1　已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设过点F2且倾斜角不为0的直线l与椭圆E的交点为A，B，求△F1AB面积最大时直线l的方程．
解：(1)因为|F1F2|＝2c＝4，可得c＝2，
则F1(－2，0)，F2(2，0)，
由椭圆的定义可得2a＝|PF1|＋|PF2|＝，得a＝，
所以b＝，因此，椭圆E的标准方程为＝1.
(2)由题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线l的方程为x＝my＋2(m≠0)，
联立消去x整理得(m2＋3)y2＋4my－2＝0，
Δ＝16m2＋8(m2＋3)＝24(m2＋1)＞0，
由根与系数的关系可得y1＋y2＝－＝|F1F2|·|y1－y2|＝2，
令t＝＞1，
则S△F1AB＝，
当且仅当t＝时，即当m＝±1时，等号成立，此时直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0.
利用函数的性质求最值(取值范围)
例2　(2023·全国甲卷改编)已知抛物线C：y2＝4x，设F为C的焦点，M，N为C上两点，且＝0，求△MFN面积的最小值．
解：易知抛物线的焦点为F(1，0)．
由题意知直线MN的斜率不可能为0，
∴设MN的方程为x＝my＋t，M(x3，y3)，N(x4，y4)，联立消去x整理得
y2－4my－4t＝0，
∴Δ＝16m2＋16t＞0，即m2＋t＞0，
由根与系数的关系得
y3＋y4＝4m，y3y4＝－4t，
∵＝0，
∴(x3－1，y3)·(x4－1，y4)＝0，
即(x3－1)(x4－1)＋y3y4
＝(my3＋t－1)(my4＋t－1)＋y3y4
＝(m2＋1)y3y4＋m(t－1)(y3＋y4)＋(t－1)2
＝(m2＋1)(－4t)＋m(t－1)4m＋(t－1)2＝0，
即－4m2t－4t＋4m2t－4m2＋t2－2t＋1＝0，
即4m2＝t2－6t＋1.
设F到MN的距离为d，则d＝，
又|MN|＝
＝
＝，
∴S△MFN＝·d＝
＝2＝
＝＝(t－1)2.
∵4m2＝t2－6t＋1≥0，
解得t≤3－2或t≥3＋2，
∴当且仅当t＝3－2时，S△MFN取得最小值12－8.
即△MFN面积的最小值为12－8.
反思感悟　圆锥曲线中的最值(取值范围)问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数、不等式等求解．
跟踪训练2　(2025·济南联考节选)已知抛物线C：y2＝4x，F为焦点，点Q在直线x＝－1上，点P是抛物线上一点，且P点在第一象限，满足FP⊥FQ，O为坐标原点，记直线OP，OQ，PQ的斜率分别为k1，k2，k3，求k1·k2·k3的最小值．
解：设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，Q(－1，t)，
则＝4x0.
因为FP⊥FQ，
所以＝－2(x0－1)＋ty0＝0，
即ty0＝2(x0－1)，
因为k1＝，
所以k1k2k3＝
＝
＝＝－4＝4.
令＝x(x＞0)，
则构造函数f(x)＝4x3－x(x＞0)，
所以f′(x)＝12x2－1，
令f′(x)≥0，得x≥，
令f′(x)＜0，得0＜x＜，
所以f(x)在上单调递减，
在上单调递增，
所以f(x)min＝f＝－，
即的最小值为－，
所以k1k2k3的最小值为－.
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1．(17分)如图所示，点A，B分别是椭圆＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
限时规范
训练(六十八)　最值、取值范围问题
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解：(1)由已知可得点A(－6，0)，F(4，0)，
设点P的坐标是(x，y)，
则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．
∵PA⊥PF，∴＝0，
则
可得2x2＋9x－18＝0，得x＝或x＝－6.
由于y＞0，故x＝，得y＝.
∴点P的坐标是.
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(2)由(1)可得直线AP的方程是
x－y＋6＝0，点B(6，0)．
设点M的坐标是(m，0)．
则点M到直线AP的距离是，
于是＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2.
由椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，
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得d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－2＋15，由于－6≤x≤6，
由f(x)＝2＋15的图象(图略)可知，
当x＝时，d取最小值，且最小值为.
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2．(17分)已知点A(0，－2)，椭圆E：＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
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解：(1)设F(c，0)，由条件知，得c＝.
又，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意；
设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx－2代入＋y2＝1，
得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
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Δ＝16(4k2－3)＞0，
即k2＞，
x1·x2＝.
从而|PQ|＝
＝.
又点O到直线PQ的距离d＝.
所以△OPQ的面积
S△OPQ＝＝.
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设＝t，
则t＞0，S△OPQ＝≤1，
当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
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3．(17分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F点，M在抛物线C上．
(1)若|MF|＝6，求抛物线的标准方程；
(2)若直线x＋y＝t与抛物线C交于A，B两点，点N的坐标为(1，0)，且满足NA⊥NB，原点O到直线AB的距离不小于，求p的取值范围．
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解：(1)由题意及抛物线的定义得，a＋＝6，
又点M在抛物线C上，所以20＝2pa，由解得或
所以抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝20x.
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(2)联立消去y，整理得x2－(2t＋2p)x＋t2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2t＋2p，x1x2＝t2.
因为NA⊥NB，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，
又y1＝t－x1，y2＝t－x2，
所以2x1x2－(1＋t)(x1＋x2)＋t2＋1＝0，得2p＝.
由原点O到直线AB的距离不小于，得
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，即t≤－2(舍去)或t≥2，
因为2p＝－4，函数y＝在t∈[2，＋∞)上单调递增，
所以p≥，即p的取值范围为.
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4．(17分)(2025·河南洛平、许济质量检测)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，F1，F2分别为C的左、右焦点，点P(不在x轴上)在C上运动，且cos ∠F1PF2的最小值为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过F2的直线l与椭圆C交于M，N两点，记△F1MN的内切圆的半径为r，求r的取值范围．
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解：(1)由题意得a＝2，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a＝4.
在△F1PF2中，由余弦定理可得
cos ∠F1PF2＝
＝
＝－1
＝－1，当且仅当m＝n时取等号，
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从而，得，所以b2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由椭圆的定义可得△F1MN的周长为4a＝8，
S△F1MN＝r＝4r，
所以r＝.
由题知，直线l的斜率不为0，
设l的方程为x＝ty＋1，
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联立
消去x整理得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0，Δ＞0，
由根与系数的关系知y1＋y2＝－.
因为
＝
＝
＝
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＝，
所以r＝＝.
令＝k，则k≥1，
r＝，
令函数f(x)＝3x＋，
则f′(x)＝3－，
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当x∈[1，＋∞)时，f′(x)＝3－＞0恒成立，所以f(x)＝3x＋在[1，＋∞)上单调递增，
则3k＋≥4，所以0＜，
即0＜r≤，
故r的取值范围为.
第9讲　第2课时　最值、取值范围问题
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