高中数学函数

函数
1.函数的定义
（1）映射的定义：
(2) 一一映射的定义：
上面中是映射的是_____________,是一一映射的是____________。
(3)函数的定义：
2.函数的性质
（1）定义域：
（2）值域
（3）奇偶性
①定义：
②判断方法：Ⅰ.定义法 步骤：a.求出定义域；（证明方法） b.判断定义域是否关于原点对称；
c.求 d.比较或的关系。
Ⅱ图象法
③已知：
若非零函数的奇偶性相同，则在公共定义域内为偶函数
若非零函数的奇偶性相反，则在公共定义域内为奇函数
④常用的结论：若是奇函数，且，则；
若是偶函数，则；反之不然。
（4）单调性（在定义域的某一个子集内考虑）
①定义：（必修一P34）
②证明函数单调性的方法：
Ⅰ.定义法 步骤：
a.设；
b.作差；
（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）
c.判断正负号。
Ⅱ用导数证明： 若在某个区间A内有导数，
则在A内为增函数；
在A内为减函数。
③求单调区间的方法：
a.定义法： b.导数法：c.图象法： d.复合函数在公共定义域上的单调性：
若f与g的单调性相同，则为增函数；
若f与g的单调性相反，则为减函数。
注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。
④一些有用的结论：
a.奇函数在其对称区间上的单调性相同；
b.偶函数在其对称区间上的单调性相反；
c.在公共定义域内
增函数增函数是增函数；
减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数；
减函数增函数是减函数。
d.函数在上单调递增；在上
是单调递减。
（5）函数的周期性
定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立
则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
例：（1）若函数在R上是奇函数，且在上是增函数，且
则①关于 对称；②的周期为 ；
③在（1，2）是 函数（增、减）；
④=，则 。
（2）设是定义在上，以2为周期的周期函数，且为偶函数，在区间[2，3]上，=,则= 。
3、函数的图象
1、基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数。
2、图象的变换
（1）平移变换
①函数的图象是把函数平；
②函数的图象是把函数右平；
③函数的图象是把函数平；
④函数的图象是把函数平。
（2）对称变换
①函数与函数的图象关于直线x=0对称；
函数与函数的图象关于直线y=0对称；
函数与函数的图象关于坐标原点对称；
②如果函数对于一切都有，那么 的图象关于直线对称。
③函数与函数的图象关于直线对称。
④
⑤
⑥与关于直线对称。
（3）伸缩变换
①的图象，可将的图象上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍。
②的图象，可将的图象上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍。
例：（1）已知函数的图象过点（1，1），则的反函数的图象过点 。
（2）由函数的图象，通过怎样的变换得到的图象？
4、函数的反函数
1、求反函数的步骤：
①求原函数，的值域B
②把看作方程，解出；
③x，y互换的的反函数为，。
2、函数与反函数之间的一个有用的结论：
3、原函数在区间上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。
例1：，的反函数为 。
2：已知，求的反函数。
3：设 。
4：四十五分钟能力训练题十（13题）。
5、函数、方程与不等式
1、“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到必须；当=0时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？
2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。
设为方程的两个实根。
①若则；
②当在区间内有且只有一个实根，时，
③当在区间内有且只有两个实根时，
④若时
注意：①根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。
②注意端点，验证端点。
例：1、对于定义在R上的函数若其所以的函数值都不超过1，则m的取值范围 。
2、已知函数的定义域是一切实数，则 。
3、若关于x的方程有实根，则 。
4、设集合A=，B是关于x的不等式组的解集，试确定的取值范围，使。
5、已知方程的两个根为一个三角形两内角的正切值，试求的取值范围。