2025-2026学年北师大版数学九年级上册期末检测卷（1）[范围：九上全册]
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025九上·南山月考）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九上·龙岗期中）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．4
3．（2025九上·普陀期中）某种幼树在相同条件下移植实验的结果如表：
移植总数n 400 750 1500 3500 7000 9000 14000
成活数m 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
成活的频率 0.923 0.8829 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
根据以上数据可以估计幼树成活的概率约为（ ）
A．0.923 B．0.890 C．0.902 D．0.905
4．（2025九上·龙岗月考）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025九上·宝安期中）如图，正方形ABCD中，点E、F是BC、DC边上的点，连接AE、AF分别交DC、BC的延长线于点G、H，若∠FHG=90°，DF=FC=1，则CE的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九上·南山月考）如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025九上·金牛期中）已知点A（﹣1，y1）、B（﹣3，y2）、C（，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
8．（2025九上·鄞州月考）勾股定理是几何中一个重要定理.著名数学家毕达哥拉斯用如图①所示的图形验证了勾股定理，把图①放入矩形内得到图②∠ACB=90°，BC=2AC，E，F，G，H，I都在矩形MNOP的边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2025九上·南山月考）如图，已知，，如果，那么的长为 ．
10．（2024九上·肇源月考）已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的两根之和为 ．
11．（2025九上·北川期中） 2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程，某校积极实施，建设校园劳动基地. 如图，是该校一块矩形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区. 如果种植区的总面积为805m2，则所修道路的宽为 m.
12．（2025九上·北川期中） 若α，β是方程x2-2x-5=0的两个根，则α-αβ+β的值为 .
13．（2025九上·南山期中）如图，中AB=AC，D是其内部一点，，则 .
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2025九上·北川期中）（1）解方程：
①；
②；
（2）先化简，再求值：，其中x满足方程．
15．（2025九上·龙岗月考）尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数学问题：如图，在矩形纸片中，点E在边的中点，将矩形纸片折叠，使点B与点E重合．
（1）请在图中作出折痕，交边于点F，交边于点G，连接，并在矩形纸片内用尺规作出一点M，使得四边形是菱形，请给出证明；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
作图步骤1（作出折痕）：
作图步骤2（作出点M）：
证明：
（2）在（1）的条件下，若折痕交于点H，连接，若长为6，为，直接写出的长．
16．（2025九上·余杭月考）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，CD：BD=1：3，且∠DAC=∠B，E为AD上一点，CD=CE.
（1）求证：△ACE∽△BAD；
（2）若AB=10，求AD的长.
17．（2025九上·舟山期中）为了让学生体验民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：五谷画，彩陶，剪纸，排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查每位学生必选且只能选一个课程，根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图．根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生总人数为 ；扇形统计图中 ；
（2）补全条形统计图；
（3）甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率．
18．（2025九上·龙岗期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．
（1）尺规作图：过点D作DE∥AC，且，并使得点E在点D的左侧，连接AE，CE；（不用说明作图过程，保留作图痕迹）
（2）在（1）的作图要求下，完成下边两问
①求证：四边形OCED为矩形；
②若菱形ABCD的边长为4，∠BCD＝60°，求AE的长．
19．（2025九上·兰州期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小明利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小明的眼睛到地面的距离为，测得，求树高．
20．（2025九上·拱墅月考） 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 图象与反比例函数 图象交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C， 已知点 A(8， 2)，点 B 的横坐标为 -4.
（1） 求一次函数与反比例函数的解析式；
（2） 当 时，直接写出自变量 x 的取值范围；
（3） 若点 D 是 y 轴上的一点，且 S△ABD=24，求点 D 坐标.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图为：
．
故答案为：D．
【分析】利用三视图的定义并结合图形分析求解即可.
2．【答案】A
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，
∴=（-2）2-4×1×a=4-4a=0，
∴a=1.
故答案为：A。
【分析】首先根据关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，可得出=（-2）2-4×1×a=4-4a=0，解得a=1.
3．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵次数越多的频率越接近概率，
∴根据图表数据可以估计幼树成活的概率约为 0.902 .
故答案为：C .
【分析】根据次数越多的频率越接近概率及图表即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】
解：设小道的宽为米，
则将阴影部分移到一起，拼成一个新矩形的长为米，宽为米，
可列方程为，
故答案为：C．
【分析】设小道的宽为米，利用平移的知识将阴影部分移到一起，得到一个新矩形的长为米，宽为米，列式即可解答.
5．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AD=CD，AD∥BC，∠D=∠BCD=90°
∴∠D=∠FCH=∠HCG=90°
∵DF=FC=1
∴CD=DF+FC=2
∴AD=CD=2
在△ADF和△CHF中
∴△ADF≌△CHF(AAS)
∴AD=CH=2
在Rt△GCH中，∠CGH+∠CHG=90°
∵∠CHF+∠CHG=∠FHG=90°
∴∠CHF=∠CGH
∵∠FCH=∠HCG=90°
∴△CHF∽△CGH
∴，即
∴CG=4
∴DG=CD+CG=6
∵AD∥BC
∴△GCE∽GDA
∴，即
解得：CE=
故答案为：B
【分析】根据正方形性质可得AD=CD，AD∥BC，∠D=∠BCD=90°，根据边之间的关系可得AD=CD=2，再根据全等三角形判定定理可得△ADF≌△CHF(AAS)，则AD=CH=2，再根据角之间的关系可得∠CHF=∠CGH，再根据相似三角形判定定理可得△CHF∽△CGH，则，代值计算可得CG，根据边之间的关系可得DG，再根据相似三角形判定定理可得△GCE∽GDA，则，代值计算即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】 解：如图1，
∵∠BDE＝∠A＝75°，∠B＝∠B，
∴△DBE∽△ABC，
故A不符合题意；
如图2，
∵∠CFG＝∠A＝75°，∠C＝∠C，
∴△FGC∽△ABC，
故B不符合题意；
如图3，
∵AB＝8，AC＝6，AH＝4.5，
∴，，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ACH∽△ABC，
故C不符合题意；
如图4，
△IBJ与△ABC的对应边不成比例，
∴△IBJ与△ABC不相似，
故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法（①三边对应成比例的两个三角形相似，②有两组角对应相等的两个三角形相似，③两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似）逐项分析判断即可.
7．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵k=-6<0，
∴反比例函数的图象位于二四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴点A(-1，y1)，B(-3，y2)在第二象限，而在第四象限.
∴0∴y1>y2>y3，
故选：A.
【分析】根据k的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点A(-1，y1)，B(-3，y2)，所在的象限，确定y2、y1、y3，大小关系.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股树模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，延长BA交PM于J，过I作 于K，
设BC=2AC=2a，由题意可知，AC=CD=DE=AE=a，BH=HI=CI=BC=2a，
由勾股定理可得，
同理可得：
同理可得：
故答案为：A.
【分析】如图所示，延长BA交PM于J，过I作 于K，设BC=2AC=2a，由题意可知，AC=CD=DE=AE=a，BH=HI=CI=BC=2a，由勾股定理可得， 可得AB=BG= 再利用相似三角形的性质分别用含a的代数式表示MN，MP，即可得到答案.
9．【答案】5
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，即，
解得：DE＝5，
故答案为：5．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，即，再求出DE的长即可.
10．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴关于x的方程可以化为，
∴关于x的方程的两根之和为，
故答案为：．
【分析】由二次函数的对称轴x==2可求得m的值，把m的值代入方程，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
11．【答案】1
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设所修道路的宽为，根据题意得：
，
解得：（舍去），
故答案为：1.
【分析】根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可．
12．【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两个根，
∴，，
∴
，
故答案为：7．
【分析】根据根与系数的关系可以得到，，然后代入所求式子计算即可．
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在CD上截取CF=AD=1，连接AF，延长BD交AF于点E
在△ABD和△CAF中
∴△ABD≌△CAF(SAS)
∴
∴∠AED=∠ADE
∴△AFD∽△ADE
∴
∴，解得：
∴
∴
设
则
解得：
∴
∴
故答案为：
【分析】在CD上截取CF=AD=1，连接AF，延长BD交AF于点E，根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△CAF(SAS)，则，再根据相似三角形判定定理可得△AFD∽△ADE，则，代值计算可得，根据边之间的关系可得EF，则，，再根据勾股定理建立方程，解方程可得a值，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】解：（1）①
移项，得：，
配方，得，，
（x-3）2=12，
由此可得，x-3=，
∴x1=，x2=；
②，
移项，得：=0，
分解因式，得：（x-1）（x-1+2x）=0，
∴x-1=0或者3x-1=0
∴x1=1，x2=；
（2）原式=·--
=·-
=-
=-
=，
∵ x满足方程，
∴x=-3或x=1，
根据分式有意义的条件可知，x=-3，x=1不合题意，舍去，
当x=-3时，原式=．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）①根据一元二次方程的配方法即可得出答案；
②利用因式分解法解一元二次方程即可得出答案；
（2）根据分式的混合运算法则化简可得最简分式为，由 x满足方程得，根据分式有意义的条件，舍去，把代入最简分式即可得出答案．
15．【答案】（1）解：如图，直线为折痕，点M为所求作；
证明如下：
由题意可知，点B、E关于直线对称，
垂直平分
，，，在射线上取点M，使得
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：如图：∵四边形是矩形，
，
∵点H为的中点，，
，
∵四边形是菱形，，
，，，，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】
（1）连接BE，尺规作图，作线段BE的垂直平分线交AB于点F，交BE于点O，交DC于点G，在射线上取点M，使得，画图即可解答；
（2）根据垂直平分线的性质得到，从而可判定四边形是平行四边形，再根据邻边相等判定得到四边形是菱形，解答即可.
(3)根据矩形的性质得到，根据中点的性质得到，再由菱形的性质结合勾股定理计算即可解答.
16．【答案】（1）证明：∵ CD=CE
∴
∵
∴
在 △ACE 与 △BAD 中，
∴ △ACE∽△BAD
（2）解：设CD=x，则CE=x，BD=3x
∵
∴
∴
∴CA=2x
∵△ACE∽△BAD
∴
∴
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)首先利用等边对等角得到，再利用等角的补角相等证明，从而可证 △ACE∽△BAD；
(2)易证，可得，设参数表示CD，CD，BD的长度，从而表示出CA的长度，再根据△ACE∽△BAD得到从而得到。
17．【答案】（1）160人；
（2）解：选择B的人数为．
补全条形统计图如图1所示．
（3）解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有16种等可能的结果，其中两人恰好选到同一个课程的结果有4种，
两人恰好选到同一个课程的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：解：此次被调查的学生总人数为（人），，
．
故答案为：160人；．
【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得此次被调查的学生总人数；用条形统计图中C的人数除以此次被调查的学生总人数再乘以可得，即可得a的值．
（2）求出选择B的人数，补全条形统计图即可．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选到同一个课程的结果数，再利用概率公式可得出答案．
18．【答案】（1）解：如图所示，在CD的左侧，根据尺规作图作∠CDE=∠ACD，并截取， 再连接AE，CE即可。
（2）解：①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC，
∴∠DOC＝90°，
∵DE∥AC，DE＝AC，
∴DE＝OC，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
②解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC＝CD＝4，OB＝OD，AO＝OC＝AC，
∵∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝4，
∴OD＝OB＝2，
∴在Rt△COD中，OC＝＝，
∴AC＝2OC＝，
由①得：四边形OCED为矩形，
∴CE＝OD＝2，∠OCE＝90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE＝＝，
答：AE的长为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1），在CD的左侧，根据尺规作图作∠CDE=∠ACD，并截取， 再连接AE，CE即可。
（2）①首先根据菱形的性质可得出AC⊥BD，AO＝OC＝AC，再根据作图知： DE∥AC，，进而即可得出四边形OCED是矩形；②首先根据菱形的性质，结合 ∠BCD＝60°， 可得出△BCD是等边三角形，得出OC＝＝，进而得出AC=2OC=4，再根据①可知四边形OCED是矩形，即可得出CE＝OD＝2，∠OCE＝90°，进而根据勾股定理得出AE＝＝。
19．【答案】解：解：根据题意可得∠DEF＝∠BCD＝90°，AC＝DM＝1.5m，AM＝CD＝18m，
∵∠EDF＝∠CDB，
∴△DEF∽△DCB，
∴．
∵EF＝0.2m，DE＝0.3m，AM＝CD＝18m，
∴，
∴BC＝12m，
∴AB＝AC＋BC＝1.5＋12＝13.5（m）．
答：树高AB为13.5m.
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】先证出△DEF∽△DCB，利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出BC的长，最后利用线段的和差求出AB的长即可.
20．【答案】（1）解：将点A(8，2)代入反比例函数，得，得m=16，故；
令x=-4，则y=-4，故点B(-4，-4).
将点A(8，2)和B(-4，-4)代入一次函数得，解得
故一次函数的表达式为
（2）-48
（3）解：对一次函数，令x=0，y=-2，即C(0，-2)
设点D(0，n)，则DC=|n-(-2)|=|n+2|，则
整理得|n+2|=4，解得n1=2，n2=-6，
故点D(0，2)或(0，-6)
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：(2)观察函数图象知在点A的右侧和点B的右侧且点O的左侧，一次函数图象在反比例函数图象的上方，故-48
【分析】(1)将点A坐标代入反比例函数解析式可得m的值即得反比例函数解析式，令x=-4可得y的值，即点B的坐标，将A、B坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求出k、b的值，即得一次函数解析式；
(2)直接观察函数图象可知点A的右侧和点B的右侧且点O的左侧满足题意，即得x的范围；
(3)设点D(0，n)可得DC=|n+2|，由此可得△ABD的面积表达式，得|n+2|=4，求出n的值，即得点D的坐标.
1 / 12025-2026学年北师大版数学九年级上册期末检测卷（1）[范围：九上全册]
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025九上·南山月考）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图为：
．
故答案为：D．
【分析】利用三视图的定义并结合图形分析求解即可.
2．（2025九上·龙岗期中）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．4
【答案】A
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，
∴=（-2）2-4×1×a=4-4a=0，
∴a=1.
故答案为：A。
【分析】首先根据关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，可得出=（-2）2-4×1×a=4-4a=0，解得a=1.
3．（2025九上·普陀期中）某种幼树在相同条件下移植实验的结果如表：
移植总数n 400 750 1500 3500 7000 9000 14000
成活数m 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
成活的频率 0.923 0.8829 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
根据以上数据可以估计幼树成活的概率约为（ ）
A．0.923 B．0.890 C．0.902 D．0.905
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵次数越多的频率越接近概率，
∴根据图表数据可以估计幼树成活的概率约为 0.902 .
故答案为：C .
【分析】根据次数越多的频率越接近概率及图表即可得出答案.
4．（2025九上·龙岗月考）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】
解：设小道的宽为米，
则将阴影部分移到一起，拼成一个新矩形的长为米，宽为米，
可列方程为，
故答案为：C．
【分析】设小道的宽为米，利用平移的知识将阴影部分移到一起，得到一个新矩形的长为米，宽为米，列式即可解答.
5．（2025九上·宝安期中）如图，正方形ABCD中，点E、F是BC、DC边上的点，连接AE、AF分别交DC、BC的延长线于点G、H，若∠FHG=90°，DF=FC=1，则CE的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AD=CD，AD∥BC，∠D=∠BCD=90°
∴∠D=∠FCH=∠HCG=90°
∵DF=FC=1
∴CD=DF+FC=2
∴AD=CD=2
在△ADF和△CHF中
∴△ADF≌△CHF(AAS)
∴AD=CH=2
在Rt△GCH中，∠CGH+∠CHG=90°
∵∠CHF+∠CHG=∠FHG=90°
∴∠CHF=∠CGH
∵∠FCH=∠HCG=90°
∴△CHF∽△CGH
∴，即
∴CG=4
∴DG=CD+CG=6
∵AD∥BC
∴△GCE∽GDA
∴，即
解得：CE=
故答案为：B
【分析】根据正方形性质可得AD=CD，AD∥BC，∠D=∠BCD=90°，根据边之间的关系可得AD=CD=2，再根据全等三角形判定定理可得△ADF≌△CHF(AAS)，则AD=CH=2，再根据角之间的关系可得∠CHF=∠CGH，再根据相似三角形判定定理可得△CHF∽△CGH，则，代值计算可得CG，根据边之间的关系可得DG，再根据相似三角形判定定理可得△GCE∽GDA，则，代值计算即可求出答案.
6．（2025九上·南山月考）如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】 解：如图1，
∵∠BDE＝∠A＝75°，∠B＝∠B，
∴△DBE∽△ABC，
故A不符合题意；
如图2，
∵∠CFG＝∠A＝75°，∠C＝∠C，
∴△FGC∽△ABC，
故B不符合题意；
如图3，
∵AB＝8，AC＝6，AH＝4.5，
∴，，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ACH∽△ABC，
故C不符合题意；
如图4，
△IBJ与△ABC的对应边不成比例，
∴△IBJ与△ABC不相似，
故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法（①三边对应成比例的两个三角形相似，②有两组角对应相等的两个三角形相似，③两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似）逐项分析判断即可.
7．（2025九上·金牛期中）已知点A（﹣1，y1）、B（﹣3，y2）、C（，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵k=-6<0，
∴反比例函数的图象位于二四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴点A(-1，y1)，B(-3，y2)在第二象限，而在第四象限.
∴0∴y1>y2>y3，
故选：A.
【分析】根据k的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点A(-1，y1)，B(-3，y2)，所在的象限，确定y2、y1、y3，大小关系.
8．（2025九上·鄞州月考）勾股定理是几何中一个重要定理.著名数学家毕达哥拉斯用如图①所示的图形验证了勾股定理，把图①放入矩形内得到图②∠ACB=90°，BC=2AC，E，F，G，H，I都在矩形MNOP的边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股树模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，延长BA交PM于J，过I作 于K，
设BC=2AC=2a，由题意可知，AC=CD=DE=AE=a，BH=HI=CI=BC=2a，
由勾股定理可得，
同理可得：
同理可得：
故答案为：A.
【分析】如图所示，延长BA交PM于J，过I作 于K，设BC=2AC=2a，由题意可知，AC=CD=DE=AE=a，BH=HI=CI=BC=2a，由勾股定理可得， 可得AB=BG= 再利用相似三角形的性质分别用含a的代数式表示MN，MP，即可得到答案.
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2025九上·南山月考）如图，已知，，如果，那么的长为 ．
【答案】5
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，即，
解得：DE＝5，
故答案为：5．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，即，再求出DE的长即可.
10．（2024九上·肇源月考）已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的两根之和为 ．
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴关于x的方程可以化为，
∴关于x的方程的两根之和为，
故答案为：．
【分析】由二次函数的对称轴x==2可求得m的值，把m的值代入方程，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
11．（2025九上·北川期中） 2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程，某校积极实施，建设校园劳动基地. 如图，是该校一块矩形劳动场地，长36m，宽24m，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区. 如果种植区的总面积为805m2，则所修道路的宽为 m.
【答案】1
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设所修道路的宽为，根据题意得：
，
解得：（舍去），
故答案为：1.
【分析】根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可．
12．（2025九上·北川期中） 若α，β是方程x2-2x-5=0的两个根，则α-αβ+β的值为 .
【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两个根，
∴，，
∴
，
故答案为：7．
【分析】根据根与系数的关系可以得到，，然后代入所求式子计算即可．
13．（2025九上·南山期中）如图，中AB=AC，D是其内部一点，，则 .
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在CD上截取CF=AD=1，连接AF，延长BD交AF于点E
在△ABD和△CAF中
∴△ABD≌△CAF(SAS)
∴
∴∠AED=∠ADE
∴△AFD∽△ADE
∴
∴，解得：
∴
∴
设
则
解得：
∴
∴
故答案为：
【分析】在CD上截取CF=AD=1，连接AF，延长BD交AF于点E，根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△CAF(SAS)，则，再根据相似三角形判定定理可得△AFD∽△ADE，则，代值计算可得，根据边之间的关系可得EF，则，，再根据勾股定理建立方程，解方程可得a值，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2025九上·北川期中）（1）解方程：
①；
②；
（2）先化简，再求值：，其中x满足方程．
【答案】解：（1）①
移项，得：，
配方，得，，
（x-3）2=12，
由此可得，x-3=，
∴x1=，x2=；
②，
移项，得：=0，
分解因式，得：（x-1）（x-1+2x）=0，
∴x-1=0或者3x-1=0
∴x1=1，x2=；
（2）原式=·--
=·-
=-
=-
=，
∵ x满足方程，
∴x=-3或x=1，
根据分式有意义的条件可知，x=-3，x=1不合题意，舍去，
当x=-3时，原式=．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）①根据一元二次方程的配方法即可得出答案；
②利用因式分解法解一元二次方程即可得出答案；
（2）根据分式的混合运算法则化简可得最简分式为，由 x满足方程得，根据分式有意义的条件，舍去，把代入最简分式即可得出答案．
15．（2025九上·龙岗月考）尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数学问题：如图，在矩形纸片中，点E在边的中点，将矩形纸片折叠，使点B与点E重合．
（1）请在图中作出折痕，交边于点F，交边于点G，连接，并在矩形纸片内用尺规作出一点M，使得四边形是菱形，请给出证明；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
作图步骤1（作出折痕）：
作图步骤2（作出点M）：
证明：
（2）在（1）的条件下，若折痕交于点H，连接，若长为6，为，直接写出的长．
【答案】（1）解：如图，直线为折痕，点M为所求作；
证明如下：
由题意可知，点B、E关于直线对称，
垂直平分
，，，在射线上取点M，使得
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：如图：∵四边形是矩形，
，
∵点H为的中点，，
，
∵四边形是菱形，，
，，，，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】
（1）连接BE，尺规作图，作线段BE的垂直平分线交AB于点F，交BE于点O，交DC于点G，在射线上取点M，使得，画图即可解答；
（2）根据垂直平分线的性质得到，从而可判定四边形是平行四边形，再根据邻边相等判定得到四边形是菱形，解答即可.
(3)根据矩形的性质得到，根据中点的性质得到，再由菱形的性质结合勾股定理计算即可解答.
16．（2025九上·余杭月考）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，CD：BD=1：3，且∠DAC=∠B，E为AD上一点，CD=CE.
（1）求证：△ACE∽△BAD；
（2）若AB=10，求AD的长.
【答案】（1）证明：∵ CD=CE
∴
∵
∴
在 △ACE 与 △BAD 中，
∴ △ACE∽△BAD
（2）解：设CD=x，则CE=x，BD=3x
∵
∴
∴
∴CA=2x
∵△ACE∽△BAD
∴
∴
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)首先利用等边对等角得到，再利用等角的补角相等证明，从而可证 △ACE∽△BAD；
(2)易证，可得，设参数表示CD，CD，BD的长度，从而表示出CA的长度，再根据△ACE∽△BAD得到从而得到。
17．（2025九上·舟山期中）为了让学生体验民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：五谷画，彩陶，剪纸，排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查每位学生必选且只能选一个课程，根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图．根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生总人数为 ；扇形统计图中 ；
（2）补全条形统计图；
（3）甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率．
【答案】（1）160人；
（2）解：选择B的人数为．
补全条形统计图如图1所示．
（3）解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有16种等可能的结果，其中两人恰好选到同一个课程的结果有4种，
两人恰好选到同一个课程的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：解：此次被调查的学生总人数为（人），，
．
故答案为：160人；．
【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得此次被调查的学生总人数；用条形统计图中C的人数除以此次被调查的学生总人数再乘以可得，即可得a的值．
（2）求出选择B的人数，补全条形统计图即可．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选到同一个课程的结果数，再利用概率公式可得出答案．
18．（2025九上·龙岗期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．
（1）尺规作图：过点D作DE∥AC，且，并使得点E在点D的左侧，连接AE，CE；（不用说明作图过程，保留作图痕迹）
（2）在（1）的作图要求下，完成下边两问
①求证：四边形OCED为矩形；
②若菱形ABCD的边长为4，∠BCD＝60°，求AE的长．
【答案】（1）解：如图所示，在CD的左侧，根据尺规作图作∠CDE=∠ACD，并截取， 再连接AE，CE即可。
（2）解：①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC，
∴∠DOC＝90°，
∵DE∥AC，DE＝AC，
∴DE＝OC，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
②解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC＝CD＝4，OB＝OD，AO＝OC＝AC，
∵∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝4，
∴OD＝OB＝2，
∴在Rt△COD中，OC＝＝，
∴AC＝2OC＝，
由①得：四边形OCED为矩形，
∴CE＝OD＝2，∠OCE＝90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE＝＝，
答：AE的长为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1），在CD的左侧，根据尺规作图作∠CDE=∠ACD，并截取， 再连接AE，CE即可。
（2）①首先根据菱形的性质可得出AC⊥BD，AO＝OC＝AC，再根据作图知： DE∥AC，，进而即可得出四边形OCED是矩形；②首先根据菱形的性质，结合 ∠BCD＝60°， 可得出△BCD是等边三角形，得出OC＝＝，进而得出AC=2OC=4，再根据①可知四边形OCED是矩形，即可得出CE＝OD＝2，∠OCE＝90°，进而根据勾股定理得出AE＝＝。
19．（2025九上·兰州期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小明利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小明的眼睛到地面的距离为，测得，求树高．
【答案】解：解：根据题意可得∠DEF＝∠BCD＝90°，AC＝DM＝1.5m，AM＝CD＝18m，
∵∠EDF＝∠CDB，
∴△DEF∽△DCB，
∴．
∵EF＝0.2m，DE＝0.3m，AM＝CD＝18m，
∴，
∴BC＝12m，
∴AB＝AC＋BC＝1.5＋12＝13.5（m）．
答：树高AB为13.5m.
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】先证出△DEF∽△DCB，利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出BC的长，最后利用线段的和差求出AB的长即可.
20．（2025九上·拱墅月考） 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 图象与反比例函数 图象交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C， 已知点 A(8， 2)，点 B 的横坐标为 -4.
（1） 求一次函数与反比例函数的解析式；
（2） 当 时，直接写出自变量 x 的取值范围；
（3） 若点 D 是 y 轴上的一点，且 S△ABD=24，求点 D 坐标.
【答案】（1）解：将点A(8，2)代入反比例函数，得，得m=16，故；
令x=-4，则y=-4，故点B(-4，-4).
将点A(8，2)和B(-4，-4)代入一次函数得，解得
故一次函数的表达式为
（2）-48
（3）解：对一次函数，令x=0，y=-2，即C(0，-2)
设点D(0，n)，则DC=|n-(-2)|=|n+2|，则
整理得|n+2|=4，解得n1=2，n2=-6，
故点D(0，2)或(0，-6)
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：(2)观察函数图象知在点A的右侧和点B的右侧且点O的左侧，一次函数图象在反比例函数图象的上方，故-48
【分析】(1)将点A坐标代入反比例函数解析式可得m的值即得反比例函数解析式，令x=-4可得y的值，即点B的坐标，将A、B坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求出k、b的值，即得一次函数解析式；
(2)直接观察函数图象可知点A的右侧和点B的右侧且点O的左侧满足题意，即得x的范围；
(3)设点D(0，n)可得DC=|n+2|，由此可得△ABD的面积表达式，得|n+2|=4，求出n的值，即得点D的坐标.
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