北师大版数学九年级上册期末检测卷（3）[范围：九上全册]
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2021九上·慈溪期末）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AB，DE分别交l1，l2，l3于点A，B，C和D，E，F，若AB：AC=2：5，EF=15，则DF的长等于（ ）
A．18 B．20 C．25 D．30
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴，
解得DF=25.
故答案为C.
【分析】首先由平行线分线段成比例的性质可得，然后将EF=15，DE=DF-EF代入计算即可.
2．（2025九上·梓潼期中）用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程配方得 即 10.
故选： B.
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可.
3．（2025九上·拱墅月考）如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到．若点的对应点恰好落在上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：，
，
由旋转的性质得到：，，
，
，
．
故选：B．
【分析】本题可根据旋转的性质以及相似三角形的性质来求解的度数.
4．（2025九上·成都月考）某厂1月印科技书籍40万册，第一季度共印140万册，问2月、3月平均每月增长率是多少？设平均增长率为x，则列出下列方程正确的是（ ）
A．（1+x）2=140 B．40（1+x）2=140
C．40+40（1+x）+40（1+x）2=140 D．40+40（1+x）=140
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵1月印科技书籍40万册，且2月、3月平均每月增长率为x.
∴2月印科技书籍40(1+x)万册，3月印科技书40(1+x)2万册.
根据题意得：40+40(1+x)+40(1+x)2=140，
故选：C.
【分析】由1月份的印刷量及2月、3月平均每月增长率，可得出2月印科技书籍40(1+x)万册，3月印科技书籍40(1+x)2万册，结合第一季度共印140万册即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
5．（2025九上·深圳期中）如图，在菱形ABCD中，E为AD上一点，F为CB延长线上一点，EF⊥AC于点P，交AB于G，若 则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，，
∵EF⊥AC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∴
设，则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：Ｂ.
【分析】根据四边形ABCD是菱形得，，，在根据EF⊥AC得，可证明得，再根据得设，则，，根据得，进一步得，可得，代入即可求解.
6．（2025九上·佛山月考）如图，在中，点分别在边上，且．下列四种说法：
①四边形是平行四边形；
②如果，那么四边形是矩形；
③如果平分，那么四边形是菱形；
④如果，且，那么四边形是正方形．
其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：，
∴四边形是平行四边形，选项①正确，符合题意；
若，
∴平行四边形为矩形，选项②正确，符合题意；
若平分，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形为菱形，选项③正确，符合题意；
若，
∴平分，
由③得求解过程，可得平行四边形为菱形，选项④错误，不符合题意；
综上所述，四种说法中正确的个数有3个．
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）、矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）、菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）和正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.
7．（2023九上·商河期中）如图，在矩形纸片ABCD中，，，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕，再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段上的点处，EF为折痕，连接．若，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：连接，
设，则，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
当时，，，不符合题意，故舍去，
当时，，，
，
，
故答案为：B．
【分析】连接，设，用表示， ，，证得，在Rt△ABE中，， ， 在Rt△ADF中，，x1=4，x2=6（不符合题意，故舍去)，=2，.
8．（2024九上·长沙月考）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（ ）
A．5 B．1 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
由题意得：．
∵正方形与（其中边分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】
设，利用正方形的性质得到，再利用AA判定三角形相似，再根据性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法计算即可解答．
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2025九上·北川期中） 若关于x的方程（m-4）x|m-2|+2x-5=0是一元二次方程，则m= .
【答案】0
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意可得，，
解得，
故答案为：0．
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可．
10．（2025九上·安定期中）如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，若AB=2，则CF的长度为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，AF
∵四边形ABCD是正方形，AB=2
∴BC=AB=2
∴
∵将正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG
∴
∴△ACF为等边三角形
∴
故答案为：
【分析】连接AC，AF，根据正方形性质可得BC=AB=2，再根据勾股定理可得AC，再根据旋转性质可得，根据等边三角形判定定理可得△ACF为等边三角形，则，即可求出答案.
11．（2024九上·锦江期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，点B在x轴的负半轴上，连接．若，的面积为6，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，作轴于点D，
∵直线与反比例函数的图象交于点A，
∴设，
∴，
∴
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
【分析】作轴于点D，设，可推出的长度，进一步可得OA、OB的长度，再用含m的式子表示出的面积 ，由得，由此即可求出k的值．
12．（2025九上·坪山月考） 欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根. 若利用以上方法解关于x的一元二次方程时，如果构造后的图形满足AD = 2BD，则m的值为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵AD=2BD
∴AD=m
即m就是x2+mx=36的一个正根
∴m2+m2=36
解得：(负值舍去)
故答案为：
【分析】由题意可得：，根据边之间的关系可得AD=m，即m就是x2+mx=36的一个正根，将x=m代入方程，解方程即可求出答案.
13．（2025九上·成都月考）在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为线段AD，DC上的动点，且AE=CF，连接B，F，过E点作EH⊥BF于点H，连接C，H，则CH的最小值为 .
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：连接AH和AC，如图所示，
∵CH≤AC-AH
∴当A、H、C三点共线时，CH最小，如图所示，在BC上取BG=CF，连接AG交BF于点N，延长EH交BC于点M，
在△ABG和△BCF中，
∴△ABG≌△BCF(SAS)
∴∠BAG=∠CBF.
∵∠ABF+∠CBF=∠ABC=90°
∴∠ABF+∠BAG=90°
∴∠ANB=90°，即AG⊥BF
∵EH⊥BF
∴EM//AG
∵AD//BC
∴四边形AGME是平行四边形
∴GM=AE
∵AE=CF
∴BG=GM
∵GN//HM
∴BN=HN
∴AG垂直平分BH
∴AH=AB=1
在Rt△ABC中，，
∴，
∴CH的最小值为
故答案为：.
【分析】连接AH和AC，当A、H、C三点共线时，CH最小，在BC上取BG=CF，连接AG交BF于点N，延长EH交BC于点M，证明△ABG≌△BCF，四边形AGME是平行四边形，进而证明AG垂直平分BH，可得AH=AB=1，再利用线段的关系求解即可.
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2023九上·澧县月考）先化简，再求值：，其中a满足方程．
【答案】解：
，
解方程得：或，
∵分式中不能为，0，
∴，
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先运用分式的混合运算进行化简，进而解一元二次方程，再结合分式有意义的条件代入数值即可求解。
15．（2023九上·湘桥期末）已知关于的一元二次方程（为常数）．
（1）若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根；
（2）求证：不论为何值时，方程总有两个实数根．
【答案】（1）解：把代入方程可得，
解得，
当时，原方程为，
∴(x-2)(x-1)=0
解得，
即方程的另一根为2；
（2）证明：，，，
，
不论为何值时，方程总有两个实数根．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的定义，把x=1代入原方程可求得关于字母m的方程，求解得出m=2，然后将m=2代回原方程，利用因式分解法再解方程即可求出原方程的另一个根；
（2）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此此题只需要证明根的判别式一定不为负数即可.
（1）解：把代入方程可得，
解得，
当时，原方程为，
解得，
即方程的另一根为2；
（2），，，
，
不论为何值时，方程总有两个实数根．
16．（2024九上·柳北月考）2023年11月，第一届全国学生（青年）运动会在广西举行，“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱．一某超市在今年9月份销售吉祥物毛绒玩具共256个，10月、11月销售量持续走高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到400个．
（1）求10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率．
（2）若吉祥物毛绒玩具每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年12月进行降价促销，经调查发现，若吉祥物毛绒玩具价格在9月的基础上，每个降价1元，月销售量可增加4个，当毛绒玩具每个降价多少元时，出售毛绒玩具在12月份可获利4200元？
【答案】（1）解：设10、11这两个月毛线玩具销售量的月平均增长率为x，则：，
∴（舍），，
答：2、3这两个月销售量的月平均增长率为．
（2）解：设每个毛线玩具降价a元，
则：，
整理得：，
解得：（舍），，
答：每个毛线玩具降价5元时可在12月份可获利4200元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意列一元二次方程求出x的值即可；
（2）设每个毛线玩具降价a元，根据利润=单利润×销售量列一元二次方程求出a的值即可．
17．（2024九上·南宁月考）2024年12月1日在“跃动南马，壮行天下”的口号下第十六届南宁马拉松比赛正式开跑，这场赛事展示了南宁的城市魅力和文化底蕴．为此学校举办了一次南宁历史知识竞赛，并随机抽取部分学生，将竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：，并绘制出如图的统计图1和图2．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次竞赛抽取学生的人数为__________，并将条形统计图补充完整．
（2）若“”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100．则这组数据的众数是__________，中位数是__________．
（3）经过初赛，进入决赛的同学有1名女生和2名男生，现从这三位同学中决出冠亚军，请用列表或画树状图法求冠亚军的两人恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）解：本次竞赛抽取学生的人数为：（人），
B组人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）96，95.5
（3）解：1名女生记为A，2名男生记为B，C，
画树状图如下：
∴一共有6种等可能的结果，其中冠亚军的两人恰好是一男一女的情况有4种，
∴冠亚军的两人恰好是一男一女的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；众数
【解析】【解答】（2）解：排序为90，92，93，95，95，96，96，96，97，100，
∴中位数为：，
∵96出现次数最多，
∴众数为96，
故答案为：96，95.5；
【分析】（1）先用C组的人数除以占比得到此次竞赛的总人数；用总人数乘以B组的占比得到B组的人数，补条形统计图即可；
（2）利用众数和中位数的定义，即可进行解答；
（3）画出树状图得到所有的等可能结果，找出符合条件的结果数，然后利用概率公式解题即可．
（1）解：本次竞赛抽取学生的人数为：（人），
B组人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）解：排序为90，92，93，95，95，96，96，96，97，100，
∴中位数为：，
∵96出现次数最多，
∴众数为96，
故答案为：96，95.5；
（3）解：1名女生记为A，2名男生记为B，C，
画树状图如下：
∴一共有6种等可能的结果，其中冠亚军的两人恰好是一男一女的情况有4种，
∴冠亚军的两人恰好是一男一女的概率为
18．（2025九上·宝安期中）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个与原三角形相似，就称这条线段是该三角形的完美分割线。
（1）【应用】
如图1，△ABC中，AC=3，AB=4，BC=2，D是AB上一点，BD=1，求证：CD是△ABC的完美分割线；
（2）如图2，菱形ABCD中，AB=4，点E是边CD的中点，点F是边BC上一点，连接AF交线段BE于G，若BG是△ABF的完美分割线，且AB=AG，求FG的长；
（3）如图3，矩形ABCD中，点O是DB的中点，E为射线DA上的动点，连接EO并延长交射线BC于F，G是射线OB上一点，∠GFO=∠DFO，若GO是△EGF的完美分割线，请直接写出的值。
【答案】（1）解：∵AB=4，BC=2，BD=1
∴
∵∠B=∠B
∴△BCD∽△BAC
∵AB=4，BD=1，AC=3
∴AD=AC=3
∴CD是△ABC的完美分割线
（2）解：∵菱形ABCD
∴AB∥CD，AB=BC
∴∠ABG=∠BEC
∵AB=AG
∴∠ABG=∠AGB
∴∠BEC=∠AGB
∴BG是△ABF的完美分割线，AB=AG
∴△BGF∽△ABF
∴∠GBF=∠BAF
∴△BAG≌△CBE
∴BG=EC=2
∵△BGF∽△ABF
∴设FG=x，则FB=2x，FA=4x，
∴4x-x=4
∴即FG=
（3）1或或
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（3）①当GO=OF或FO=OE时，如图
则四边形EGFD是正方形
∴=1
②当GF=OF时，如图
设GF=OF=OE=1
∴EF=2
∵△EOG∽△EGF
∴，即
∴
∴
∵△EOG∽△EGF
∴∠EGO=∠EFG
∵∠GFO=∠DFO
∴∠EGO=∠DFO
∵∠EOG=∠DOF
∴△EOG∽△DOF
∴
∴
∴
③当GE=OE时，如图
此时EF=2OE=2EG
同理可得
∵△FGO∽△FEG
∴
∵∠GFO=∠DFO
∴，即
∵
∴DF=BD
∴∠GEO=∠OGF=∠ODC=∠CDF
∴DC平分∠ODF
∴
设OQ=1，则QF=2
∴EG=EO=FO=3
∵
∴
∵
∴
∴
综上所述，的值为1或或
【分析】（1）根据边之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得△BCD∽△BAC，则AD=AC=3，再根据“完美分割线”定义即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得AB∥CD，AB=BC，则∠ABG=∠BEC，根据等边对等角可得∠ABG=∠AGB，则∠BEC=∠AGB，根据“完美分割线”定义可得BG是△ABF的完美分割线，AB=AG，则△BGF∽△ABF，根据全等三角形判定定理可得△BAG≌△CBE，则BG=EC=2，根据相似三角形判定定理可得，设FG=x，则FB=2x，FA=4x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当GO=OF或FO=OE时，则四边形EGFD是正方形，根据正方形性质即可求出答案；②当GF=OF时，设GF=OF=OE=1，根据相似三角形性质可得，代值计算可得EG，再根据边之间的关系可得，根据相似三角形性质可得∠EGO=∠EFG，则∠EGO=∠DFO，再根据相似三角形判定定理可得△EOG∽△DOF，则，再根据边之间的关系即可求出答案；③当GE=OE时，此时EF=2OE=2EG，同理可得 ，根据相似三角形性质可得，再根据边之间的关系可得DF=BD，根据角平分线判定定理可得DC平分∠ODF，则，设OQ=1，则QF=2，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．（2025九上·龙岗期中）请认真阅读材料
材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系：；
材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根；
材料3：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根；
材料4：如果实数m、n满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有m、n两个实数根。
请根据上述材料解决下面问题：
（1）已知实数m、n满足、，求的值．
（2）已知实数p、q满足、，且，求的值．
（3）已知实数a、b、c满足、，求c的最大值．
【答案】（1）解：由题意得：m和n为的两个不相等实数根
（2）解：∵1 3q 2q2=0
∴q≠0
∴
∵p2 3p 2=0，，pq≠1
∴p和为x2 3x 2=0的两个不相等实数根
∴，
∴
（3）解：∵a+b=，ab=
∴构造（c-1）x2+2cx+2+c=0，a和b为方程的两个实数根
∴△=（2c）2-4（c-1）（2+c）≥0
∴c≤2
∴cmax=2
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系可得。进而根据完全公式变形即可得出；
（2）首先把方程1 3q 2q2=0进行变形可得出，结合，可得出p和为x2 3x 2=0的两个不相等实数根，进而根据根与系数的关系可得出，，进一步即可得出；
（3）首先根据已知条件进行变形，可得出a+b=，ab=，即可得出a和b为方程（c-1）x2+2cx+2+c=0的两个实数根，进一步根据根的判别式可得出△=（2c）2-4（c-1）（2+c）≥0，解得c≤2，即可得出c的最大值为2．
20．（2025九上·北湖期中）如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点．
（1）求的值和反比例函数的表达式；
（2）若在线段上存在点，使得，请求出点的坐标；
（3）若点在反比例函数图象上，是第一象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，，连接分别与轴，轴交于点，，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：把点代入直线中，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
把点的坐标代入比例函数中，
可得：，
反比例函数的解析式是
（2）解：如下图所示，连接、，
解方程组，
可得：，，
点的坐标是，点的坐标是，
，，
设点的坐标是，
则中边上的高是，中边上的高是，
，，
，
，
解得：，，
点的坐标是
（3）解：的值为定值，
点在反比例函数图象上，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
是第一象限反比例函数图象上一动点，
设点的坐标是，
设直线的解析式为，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
设直线的解析式是，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
，，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】两个函数均过B点，只需要将点代入直线中，求出点坐标中的m值，再把求出的点的坐标代入求出k值，从而可知反比例函数的解析式；
通过将两个函数联立方程组，可求出两个函数相交点的坐标，可算出BD=2，AC=3，E点的坐标不确定，但E点在一次函数图象上，故设点的坐标是，则中边上的高是，中边上的高是，根据三角形的面积公式可得：，解方程求出的值，即可得到点的坐标；
设点的坐标是，用待定系数法求出直线、的解析式，根据直线的解析式分别求出点、、、的坐标，根据坐标求出和的长度，从而可得：的值．
（1）解：把点代入直线中，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
把点的坐标代入比例函数中，
可得：，
反比例函数的解析式是；
（2）解：如下图所示，连接、，
解方程组，
可得：，，
点的坐标是，点的坐标是，
，，
设点的坐标是，
则中边上的高是，中边上的高是，
，，
，
，
解得：，，
点的坐标是；
（3）解：的值为定值，
点在反比例函数图象上，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
是第一象限反比例函数图象上一动点，
设点的坐标是，
设直线的解析式为，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
设直线的解析式是，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
，，
．
1 / 1北师大版数学九年级上册期末检测卷（3）[范围：九上全册]
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2021九上·慈溪期末）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AB，DE分别交l1，l2，l3于点A，B，C和D，E，F，若AB：AC=2：5，EF=15，则DF的长等于（ ）
A．18 B．20 C．25 D．30
2．（2025九上·梓潼期中）用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九上·拱墅月考）如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到．若点的对应点恰好落在上，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九上·成都月考）某厂1月印科技书籍40万册，第一季度共印140万册，问2月、3月平均每月增长率是多少？设平均增长率为x，则列出下列方程正确的是（ ）
A．（1+x）2=140 B．40（1+x）2=140
C．40+40（1+x）+40（1+x）2=140 D．40+40（1+x）=140
5．（2025九上·深圳期中）如图，在菱形ABCD中，E为AD上一点，F为CB延长线上一点，EF⊥AC于点P，交AB于G，若 则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九上·佛山月考）如图，在中，点分别在边上，且．下列四种说法：
①四边形是平行四边形；
②如果，那么四边形是矩形；
③如果平分，那么四边形是菱形；
④如果，且，那么四边形是正方形．
其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023九上·商河期中）如图，在矩形纸片ABCD中，，，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕，再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段上的点处，EF为折痕，连接．若，则的值为( )
A． B． C． D．
8．（2024九上·长沙月考）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（ ）
A．5 B．1 C．3 D．2
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2025九上·北川期中） 若关于x的方程（m-4）x|m-2|+2x-5=0是一元二次方程，则m= .
10．（2025九上·安定期中）如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，若AB=2，则CF的长度为 .
11．（2024九上·锦江期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，点B在x轴的负半轴上，连接．若，的面积为6，则k的值为 ．
12．（2025九上·坪山月考） 欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根. 若利用以上方法解关于x的一元二次方程时，如果构造后的图形满足AD = 2BD，则m的值为 .
13．（2025九上·成都月考）在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为线段AD，DC上的动点，且AE=CF，连接B，F，过E点作EH⊥BF于点H，连接C，H，则CH的最小值为 .
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2023九上·澧县月考）先化简，再求值：，其中a满足方程．
15．（2023九上·湘桥期末）已知关于的一元二次方程（为常数）．
（1）若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根；
（2）求证：不论为何值时，方程总有两个实数根．
16．（2024九上·柳北月考）2023年11月，第一届全国学生（青年）运动会在广西举行，“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱．一某超市在今年9月份销售吉祥物毛绒玩具共256个，10月、11月销售量持续走高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到400个．
（1）求10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率．
（2）若吉祥物毛绒玩具每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年12月进行降价促销，经调查发现，若吉祥物毛绒玩具价格在9月的基础上，每个降价1元，月销售量可增加4个，当毛绒玩具每个降价多少元时，出售毛绒玩具在12月份可获利4200元？
17．（2024九上·南宁月考）2024年12月1日在“跃动南马，壮行天下”的口号下第十六届南宁马拉松比赛正式开跑，这场赛事展示了南宁的城市魅力和文化底蕴．为此学校举办了一次南宁历史知识竞赛，并随机抽取部分学生，将竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：，并绘制出如图的统计图1和图2．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次竞赛抽取学生的人数为__________，并将条形统计图补充完整．
（2）若“”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100．则这组数据的众数是__________，中位数是__________．
（3）经过初赛，进入决赛的同学有1名女生和2名男生，现从这三位同学中决出冠亚军，请用列表或画树状图法求冠亚军的两人恰好是一男一女的概率．
18．（2025九上·宝安期中）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个与原三角形相似，就称这条线段是该三角形的完美分割线。
（1）【应用】
如图1，△ABC中，AC=3，AB=4，BC=2，D是AB上一点，BD=1，求证：CD是△ABC的完美分割线；
（2）如图2，菱形ABCD中，AB=4，点E是边CD的中点，点F是边BC上一点，连接AF交线段BE于G，若BG是△ABF的完美分割线，且AB=AG，求FG的长；
（3）如图3，矩形ABCD中，点O是DB的中点，E为射线DA上的动点，连接EO并延长交射线BC于F，G是射线OB上一点，∠GFO=∠DFO，若GO是△EGF的完美分割线，请直接写出的值。
19．（2025九上·龙岗期中）请认真阅读材料
材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系：；
材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根；
材料3：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根；
材料4：如果实数m、n满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有m、n两个实数根。
请根据上述材料解决下面问题：
（1）已知实数m、n满足、，求的值．
（2）已知实数p、q满足、，且，求的值．
（3）已知实数a、b、c满足、，求c的最大值．
20．（2025九上·北湖期中）如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点．
（1）求的值和反比例函数的表达式；
（2）若在线段上存在点，使得，请求出点的坐标；
（3）若点在反比例函数图象上，是第一象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，，连接分别与轴，轴交于点，，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴，
解得DF=25.
故答案为C.
【分析】首先由平行线分线段成比例的性质可得，然后将EF=15，DE=DF-EF代入计算即可.
2．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程配方得 即 10.
故选： B.
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：，
，
由旋转的性质得到：，，
，
，
．
故选：B．
【分析】本题可根据旋转的性质以及相似三角形的性质来求解的度数.
4．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵1月印科技书籍40万册，且2月、3月平均每月增长率为x.
∴2月印科技书籍40(1+x)万册，3月印科技书40(1+x)2万册.
根据题意得：40+40(1+x)+40(1+x)2=140，
故选：C.
【分析】由1月份的印刷量及2月、3月平均每月增长率，可得出2月印科技书籍40(1+x)万册，3月印科技书籍40(1+x)2万册，结合第一季度共印140万册即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
5．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，，
∵EF⊥AC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∴
设，则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：Ｂ.
【分析】根据四边形ABCD是菱形得，，，在根据EF⊥AC得，可证明得，再根据得设，则，，根据得，进一步得，可得，代入即可求解.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：，
∴四边形是平行四边形，选项①正确，符合题意；
若，
∴平行四边形为矩形，选项②正确，符合题意；
若平分，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形为菱形，选项③正确，符合题意；
若，
∴平分，
由③得求解过程，可得平行四边形为菱形，选项④错误，不符合题意；
综上所述，四种说法中正确的个数有3个．
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）、矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）、菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）和正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：连接，
设，则，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
当时，，，不符合题意，故舍去，
当时，，，
，
，
故答案为：B．
【分析】连接，设，用表示， ，，证得，在Rt△ABE中，， ， 在Rt△ADF中，，x1=4，x2=6（不符合题意，故舍去)，=2，.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
由题意得：．
∵正方形与（其中边分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】
设，利用正方形的性质得到，再利用AA判定三角形相似，再根据性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法计算即可解答．
9．【答案】0
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据题意可得，，
解得，
故答案为：0．
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可．
10．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，AF
∵四边形ABCD是正方形，AB=2
∴BC=AB=2
∴
∵将正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG
∴
∴△ACF为等边三角形
∴
故答案为：
【分析】连接AC，AF，根据正方形性质可得BC=AB=2，再根据勾股定理可得AC，再根据旋转性质可得，根据等边三角形判定定理可得△ACF为等边三角形，则，即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，作轴于点D，
∵直线与反比例函数的图象交于点A，
∴设，
∴，
∴
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
【分析】作轴于点D，设，可推出的长度，进一步可得OA、OB的长度，再用含m的式子表示出的面积 ，由得，由此即可求出k的值．
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵AD=2BD
∴AD=m
即m就是x2+mx=36的一个正根
∴m2+m2=36
解得：(负值舍去)
故答案为：
【分析】由题意可得：，根据边之间的关系可得AD=m，即m就是x2+mx=36的一个正根，将x=m代入方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：连接AH和AC，如图所示，
∵CH≤AC-AH
∴当A、H、C三点共线时，CH最小，如图所示，在BC上取BG=CF，连接AG交BF于点N，延长EH交BC于点M，
在△ABG和△BCF中，
∴△ABG≌△BCF(SAS)
∴∠BAG=∠CBF.
∵∠ABF+∠CBF=∠ABC=90°
∴∠ABF+∠BAG=90°
∴∠ANB=90°，即AG⊥BF
∵EH⊥BF
∴EM//AG
∵AD//BC
∴四边形AGME是平行四边形
∴GM=AE
∵AE=CF
∴BG=GM
∵GN//HM
∴BN=HN
∴AG垂直平分BH
∴AH=AB=1
在Rt△ABC中，，
∴，
∴CH的最小值为
故答案为：.
【分析】连接AH和AC，当A、H、C三点共线时，CH最小，在BC上取BG=CF，连接AG交BF于点N，延长EH交BC于点M，证明△ABG≌△BCF，四边形AGME是平行四边形，进而证明AG垂直平分BH，可得AH=AB=1，再利用线段的关系求解即可.
14．【答案】解：
，
解方程得：或，
∵分式中不能为，0，
∴，
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先运用分式的混合运算进行化简，进而解一元二次方程，再结合分式有意义的条件代入数值即可求解。
15．【答案】（1）解：把代入方程可得，
解得，
当时，原方程为，
∴(x-2)(x-1)=0
解得，
即方程的另一根为2；
（2）证明：，，，
，
不论为何值时，方程总有两个实数根．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的定义，把x=1代入原方程可求得关于字母m的方程，求解得出m=2，然后将m=2代回原方程，利用因式分解法再解方程即可求出原方程的另一个根；
（2）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此此题只需要证明根的判别式一定不为负数即可.
（1）解：把代入方程可得，
解得，
当时，原方程为，
解得，
即方程的另一根为2；
（2），，，
，
不论为何值时，方程总有两个实数根．
16．【答案】（1）解：设10、11这两个月毛线玩具销售量的月平均增长率为x，则：，
∴（舍），，
答：2、3这两个月销售量的月平均增长率为．
（2）解：设每个毛线玩具降价a元，
则：，
整理得：，
解得：（舍），，
答：每个毛线玩具降价5元时可在12月份可获利4200元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意列一元二次方程求出x的值即可；
（2）设每个毛线玩具降价a元，根据利润=单利润×销售量列一元二次方程求出a的值即可．
17．【答案】（1）解：本次竞赛抽取学生的人数为：（人），
B组人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）96，95.5
（3）解：1名女生记为A，2名男生记为B，C，
画树状图如下：
∴一共有6种等可能的结果，其中冠亚军的两人恰好是一男一女的情况有4种，
∴冠亚军的两人恰好是一男一女的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；众数
【解析】【解答】（2）解：排序为90，92，93，95，95，96，96，96，97，100，
∴中位数为：，
∵96出现次数最多，
∴众数为96，
故答案为：96，95.5；
【分析】（1）先用C组的人数除以占比得到此次竞赛的总人数；用总人数乘以B组的占比得到B组的人数，补条形统计图即可；
（2）利用众数和中位数的定义，即可进行解答；
（3）画出树状图得到所有的等可能结果，找出符合条件的结果数，然后利用概率公式解题即可．
（1）解：本次竞赛抽取学生的人数为：（人），
B组人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）解：排序为90，92，93，95，95，96，96，96，97，100，
∴中位数为：，
∵96出现次数最多，
∴众数为96，
故答案为：96，95.5；
（3）解：1名女生记为A，2名男生记为B，C，
画树状图如下：
∴一共有6种等可能的结果，其中冠亚军的两人恰好是一男一女的情况有4种，
∴冠亚军的两人恰好是一男一女的概率为
18．【答案】（1）解：∵AB=4，BC=2，BD=1
∴
∵∠B=∠B
∴△BCD∽△BAC
∵AB=4，BD=1，AC=3
∴AD=AC=3
∴CD是△ABC的完美分割线
（2）解：∵菱形ABCD
∴AB∥CD，AB=BC
∴∠ABG=∠BEC
∵AB=AG
∴∠ABG=∠AGB
∴∠BEC=∠AGB
∴BG是△ABF的完美分割线，AB=AG
∴△BGF∽△ABF
∴∠GBF=∠BAF
∴△BAG≌△CBE
∴BG=EC=2
∵△BGF∽△ABF
∴设FG=x，则FB=2x，FA=4x，
∴4x-x=4
∴即FG=
（3）1或或
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（3）①当GO=OF或FO=OE时，如图
则四边形EGFD是正方形
∴=1
②当GF=OF时，如图
设GF=OF=OE=1
∴EF=2
∵△EOG∽△EGF
∴，即
∴
∴
∵△EOG∽△EGF
∴∠EGO=∠EFG
∵∠GFO=∠DFO
∴∠EGO=∠DFO
∵∠EOG=∠DOF
∴△EOG∽△DOF
∴
∴
∴
③当GE=OE时，如图
此时EF=2OE=2EG
同理可得
∵△FGO∽△FEG
∴
∵∠GFO=∠DFO
∴，即
∵
∴DF=BD
∴∠GEO=∠OGF=∠ODC=∠CDF
∴DC平分∠ODF
∴
设OQ=1，则QF=2
∴EG=EO=FO=3
∵
∴
∵
∴
∴
综上所述，的值为1或或
【分析】（1）根据边之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得△BCD∽△BAC，则AD=AC=3，再根据“完美分割线”定义即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得AB∥CD，AB=BC，则∠ABG=∠BEC，根据等边对等角可得∠ABG=∠AGB，则∠BEC=∠AGB，根据“完美分割线”定义可得BG是△ABF的完美分割线，AB=AG，则△BGF∽△ABF，根据全等三角形判定定理可得△BAG≌△CBE，则BG=EC=2，根据相似三角形判定定理可得，设FG=x，则FB=2x，FA=4x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当GO=OF或FO=OE时，则四边形EGFD是正方形，根据正方形性质即可求出答案；②当GF=OF时，设GF=OF=OE=1，根据相似三角形性质可得，代值计算可得EG，再根据边之间的关系可得，根据相似三角形性质可得∠EGO=∠EFG，则∠EGO=∠DFO，再根据相似三角形判定定理可得△EOG∽△DOF，则，再根据边之间的关系即可求出答案；③当GE=OE时，此时EF=2OE=2EG，同理可得 ，根据相似三角形性质可得，再根据边之间的关系可得DF=BD，根据角平分线判定定理可得DC平分∠ODF，则，设OQ=1，则QF=2，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．【答案】（1）解：由题意得：m和n为的两个不相等实数根
（2）解：∵1 3q 2q2=0
∴q≠0
∴
∵p2 3p 2=0，，pq≠1
∴p和为x2 3x 2=0的两个不相等实数根
∴，
∴
（3）解：∵a+b=，ab=
∴构造（c-1）x2+2cx+2+c=0，a和b为方程的两个实数根
∴△=（2c）2-4（c-1）（2+c）≥0
∴c≤2
∴cmax=2
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系可得。进而根据完全公式变形即可得出；
（2）首先把方程1 3q 2q2=0进行变形可得出，结合，可得出p和为x2 3x 2=0的两个不相等实数根，进而根据根与系数的关系可得出，，进一步即可得出；
（3）首先根据已知条件进行变形，可得出a+b=，ab=，即可得出a和b为方程（c-1）x2+2cx+2+c=0的两个实数根，进一步根据根的判别式可得出△=（2c）2-4（c-1）（2+c）≥0，解得c≤2，即可得出c的最大值为2．
20．【答案】（1）解：把点代入直线中，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
把点的坐标代入比例函数中，
可得：，
反比例函数的解析式是
（2）解：如下图所示，连接、，
解方程组，
可得：，，
点的坐标是，点的坐标是，
，，
设点的坐标是，
则中边上的高是，中边上的高是，
，，
，
，
解得：，，
点的坐标是
（3）解：的值为定值，
点在反比例函数图象上，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
是第一象限反比例函数图象上一动点，
设点的坐标是，
设直线的解析式为，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
设直线的解析式是，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
，，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】两个函数均过B点，只需要将点代入直线中，求出点坐标中的m值，再把求出的点的坐标代入求出k值，从而可知反比例函数的解析式；
通过将两个函数联立方程组，可求出两个函数相交点的坐标，可算出BD=2，AC=3，E点的坐标不确定，但E点在一次函数图象上，故设点的坐标是，则中边上的高是，中边上的高是，根据三角形的面积公式可得：，解方程求出的值，即可得到点的坐标；
设点的坐标是，用待定系数法求出直线、的解析式，根据直线的解析式分别求出点、、、的坐标，根据坐标求出和的长度，从而可得：的值．
（1）解：把点代入直线中，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
把点的坐标代入比例函数中，
可得：，
反比例函数的解析式是；
（2）解：如下图所示，连接、，
解方程组，
可得：，，
点的坐标是，点的坐标是，
，，
设点的坐标是，
则中边上的高是，中边上的高是，
，，
，
，
解得：，，
点的坐标是；
（3）解：的值为定值，
点在反比例函数图象上，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
是第一象限反比例函数图象上一动点，
设点的坐标是，
设直线的解析式为，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
设直线的解析式是，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
点的坐标是，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
，，
．
1 / 1
