九年级数学人教版上册24.3《正多边形和圆》小节复习题（含答案）

24.3《正多边形和圆》小节复习题
一、单选题
1．下列说法中，错误的是（ ）
A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心
B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径
C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距
D．正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角
2．若正六边形的半径是，则该正六边形的边长是（ ）
A． B． C．3 D．
3．“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正六边形内接于，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是正六边形，边长为2，是边上一个动点，的值可能是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，公共边为，其中一个正六边形的外接圆与交于点A，若，则四边形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
7．如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．11
8．如图，正六边形F内接于，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正五边形内接于⊙O，点F是劣弧上一点(点F不与点D，E重合)，连接，，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知O为边长为2的正六边形的中心，P为正六边形内一点，且．若，则的度数为（ ）
A． B．或 C． D．或
二、填空题
11．如图， 正五边形内接，点F是的中点， 连接，交于点G， 则的度数是 ．
12．如图，是正五边形的外接圆，则 ．
13．如图，正六边形内接于，，则正六边形的周长为 ，面积为 ．
14．如图，正五边形内接于，连接，，则的大小是 ．

15．如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的内切圆的半径为 ．
16．如图，在内接正六边形中，连接，交于点．设正六边形的面积为，的面积为，则 ．
三、解答题
17．请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，圆内多边形是矩形，请作出该圆的圆心；点 即为所求；
(2)在图2中，圆内正多边形是正五边形，请作出垂直的直径．线段 即为所求．
18．如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)求以为边的圆内接正多边形的周长．
19．已知正六边形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．
(1)在图中作出以为对角线的一个菱形；
(2)已知六边形的边长为2，求菱形的面积．
20．如图，的周长等于，正六边形内接于．
(1)求圆心到的距离．
(2)求正六边形的面积．
21．如图，的半径为r，六边形是圆的内接正六边形，四边形是正方形．

(1)求正六边形与正方形的面积比；
(2)连接，求度数．
22.如图，正方形内接于，M为弧中点，连接．
(1)求证：；
(2)连接，求的度数．
23.如图，已知正方形 ，以边为直径作，点E是边上一点（不与B，C重合），将正方形沿折叠，使得点C恰好落在上．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若正方形的边长为2，求线段的长．
24.正方形的四个顶点都在上，E是上一动点．
(1)若点E不与点A、D重合，请直接写出的度数；
(2)如图2，若点E在上运动（点E不与点B、C重合），连接，，，试探究线段，，的数量关系并说明理由；
(3)如图3，若点E在上运动，分别取、的中点M、N，连接，，交于点F，四边形与四边形关于直线对称，连接，，当正方形的边长为2时，求面积的最小值．
25.如图正方形内接于，为任意一点，连接、．
(1)求的度数．
(2)如图2，过点作交于点，连接，，，，求的长度．
参考答案
一、单选题
1．D
【详解】解：正多边形的中心是外接圆和内切圆的共同圆心，故A正确，不符合题意．
正多边形的半径定义为外接圆的半径，故B正确，不符合题意．
正多边形的边心距是中心到边的距离，等于内切圆的半径，故C正确，不符合题意．
外接圆的圆心角是圆中任意的圆心角，正多边形的中心角是相邻顶点与圆心形成的角（），两者不等价，故D错误，符合题意．
故选：D．
2．C
【详解】解：∵正六边形的外接圆半径等于其边长，
∴ 当外接圆半径为时，该正六边形的边长为，
故选：C．
3．A
【详解】解：如图，设正六边形的中心为点，连接、，过点作于点，
∴中心角，
∵正六边形的半径为，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
即正六边形可以分解为六个全等的三角形，且每个三角形的边长都为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴这个正六边形的面积是．
故选：A．
4．C
【详解】解：∵正六边形内接于，
∴，
∵，
∴ AOB是等边三角形，
∴，
故选：．
5．C
【详解】解：如图，设正六边形的中心为点，连接，，
∴是正六边形的外接圆的直径，则
依题意，，
∴，
∵是边上一个动点，
∴，
∵，
∴的值可能是，
故选：C．
6．D
【详解】解：如图，连接，令与交于点，
则，，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
则四边形为菱形，
∴四边形的面积是，
故选：D．
7．C
【详解】解：如图，连接，
，
，
该正多边形的边数为，
故选C．
8．C
【详解】解∶连接，，
∵正六边形F内接于，
∴，
∴，
又，
∴，
故选∶C．
9．B
【详解】解：如图，连接，，.
∵正五边形 内接于⊙O，
∴
，
．
故选： B．
10．B
【详解】解：根据，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，
连接，连接，交于点G，
∵O为边长为2的正六边形的中心，
∴，
∴直线是线段的垂直平分线，， AOB都是等边三角形，
∴，，，
∴，，
延长交小圆于点P，连接，则，
在和中，
∴
∴，即，
此时，；
延长交小圆于点P，连接，同理可得，
此时，；
故选：B．
二、填空题
11．
【详解】如图所示，连接，，，，
∵正五边形内接，
∴
∵点F是的中点
∴
∴
∵
∴．
故答案为：．
12．
【详解】解：连接，
∵是正五边形，
∴，
∴
故答案为：．
13．
【详解】解：连接，，过F点作于点H，如图：
六边形是正六边形，
，
，且，
是等边三角形，且边长，
∴正六边形的周长，，
∴，
等边的面积为：，
正六边形的面积为：，
故答案为：，．
14．
【详解】解：如图，连接、，

∵五边形是的内接正五边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．
【详解】解：连接，如图所示：
∵的周长等于，
∴的半径，
∵正六边形内接于，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
过点O作，
∴，
则，
∴正六边形的内切圆的半径为，
故答案为：．
16．
【详解】解：如图，连接，，连接交于点，
正六边形内接于，
经过点，且，，，
∵∠BEC=∠DCE，
，
，
在正六边形中，，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：如图1，连接，，相交于点，则点即为所求．
（2）解：如图2，延长交于点，作射线交圆于点，则即为所求．
18．（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，
∵，，，
∴，
∴以为边的圆内接正六边形的周长为．
19．（1）解：如图，菱形即为所求（点，可以对调位置）：
（2）解：∵六边形是正六边形，
∴，，
又∵正六边形是关于所在直线的对称，
∴，
∴是等边三角形，
∴
①如图1-1，连接交于点,
∵六边形是正六边形，
∴，，，，
∴是等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴菱形的面积为，
②如图1-2，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，，
∴，
∴菱形的面积，
③如图1-3，
由①可知：，是等边三角形，同理可求，
∴，
∴，
∴菱形的面积为．
20．（1）解：如图，连接，过点作于点，则，
∵的周长等于，
∴半径，
∵六边形是正六边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即圆心到的距离为；
（2）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
21．（1）解：∵为正六边形的中心角，
∴．
∵，
∴是边长为r的等边三角形，
∴．
正方形的面积为，正六边形的面积为，
∴正六边形与正方形的面积比为；
（2）解：∵，
∴是等腰三角形．
∵，
∴，
∴．
22.（1）∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵M为的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）连接．
∵四边形是正方形，
∴．
∵M为弧的中点，
∴，
∴．
23.（1）解：与相切．
理由如下：
四边形为正方形，
，
正方形沿折叠，使得点恰好落在上，
，
，
在和中，
，
，
，
为的半径，
为的切线：
（2）由（1）得，
，
点O、、E共线，
设，则，
，
为的直径，
，
，
在中，，
解得
即线段的长为．
24.（1）解：连接，
∵正方形，
∴，
当点E在优弧AD上时，，
当点E在劣弧AD上时，，
综上，的度数为或；
（2），理由如下，
在上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：∵正方形的边长为2，点M、N是、的中点，
∴，
∵四边形与四边形关于直线对称，
∴，，
∴当边上的高最小时，面积取得最小值，
∴当点与点A重合，此时点E与点D重合，
∴边上的高就是的长，
∴面积的最小值为．
25.（1）解：如图1中，连接、．
四边形是正方形，
，
；
（2）解：如图2中，连接，，，，作于．
∵，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
解得或（舍弃），
．