苏科版八年级数学上册同步练习2.5 等腰三角形的轴对称性（2）（解析版）

《2.5
等腰三角形的轴对称性》（2）
　
一、选择题
1．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（　　）
A．3cm
B．4cm
C．1.5cm
D．2cm
2．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（　　）
A．∠ACD=∠B
B．CH=CE=EF
C．AC=AF
D．CH=HD
4．若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是（　　）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
5．如图，∠ADE=∠AED=2∠B=2∠C，则图中共有等腰三角形个数为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
　
二、填空题
6．由“△ABC中，∠A=∠B”提供的信息可知：不但△ABC是等腰三角形，而且知道它的底边是______，顶角是______．
7．在△ABC中，∠A=∠B=2∠C，则△ABC是______三角形．
8．在直角三角形中一个锐角是30°，则斜边上的中线把直角分别两部分，它的度数分别是______，______．
9．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则AB：BC=______．
10．一灯塔P在小岛A的北偏西25°，从小岛A沿正北方向前进30海里后到达小岛B，此时测得灯塔P在北偏西50°方向，则P与小岛B相距______海里．
　
三、解答题
11．如图，已知：AD∥BC，∠EAC=2∠C，BD平分∠ABC，AC=4cm，求AD长．
12．如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC交AB于D，交AC于E．BD、CE、DE之间存在怎样的关系？说明理由．
13．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，FB平分∠ABC交AD于E，交AC于F．
求证：AE=AF．
　
《2.5
等腰三角形的轴对称性》（2）
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（　　）
A．3cm
B．4cm
C．1.5cm
D．2cm
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，可得∠AOC=∠BOC，又因为CD∥OB，求得∠C=∠AOC，则CD=OD可求．
【解答】解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC；
又∵CD∥OB，
∴∠C=BOC，
∴∠C=∠AOC；
∴CD=OD=3cm．
故选A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定定理和性质定理以及平行线的性质，注意等腰三角形的判定定理：等角对等边．
　
2．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理．
【分析】由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．
【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．
BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形．
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，
∴△BDC是等腰三角形．
∴共有3个等腰三角形．
故选C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．
　
3．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（　　）
A．∠ACD=∠B
B．CH=CE=EF
C．AC=AF
D．CH=HD
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据角的平分线的性质，得CE=EF，两直线平行，内错角相等，得∠AEF=∠CHE，
用AAS判定△ACE≌△AEF，由全等三角形的性质，得∠CEH=∠AEF，用等角对等边判定边相等．
【解答】解：A、∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，
∴∠ACD=∠B，故正确；
B、∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD
∴∠AEF=∠CHE，
∴∠CEH=∠CHE
∴CH=CE=EF，故正确；
C、∵角平分线AE交CD于H，
∴∠CAE=∠BAE，
又∵∠ACB=∠AFE=90°，AE=AE，
∴△ACE≌△AEF，
∴CE=EF，∠CEA=∠AEF，AC=AF，故正确；
D、点H不是CD的中点，故错误．
故选D．
【点评】本题是一道综合性较强的题目，需要同学们把直角三角形的性质和三角形全等的判定等知识结合起来解答．
　
4．若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是（　　）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【考点】三角形的外角性质．
【分析】直接根据三角形外角的性质进行解答即可．
【解答】解：∵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，
∴若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，则与之不相邻的两个内角相等，
∴这个三角形是等边三角形．
故选D．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
　
5．如图，∠ADE=∠AED=2∠B=2∠C，则图中共有等腰三角形个数为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】首先根据∠ADE=∠AED=2∠B=2∠C，利用等角对等边可得到：AB=AC，AD=AE，再利用内角与外角的关系可得∠B=∠BAD，∠C=∠EAC，从而进一步得到：AE=EC，AD=BD，从而得到答案．
【解答】解；∵∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形，
∵∠ADE=2∠B，
∴∠B=∠BAD，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形，
∵∠AED=2∠C，
∴∠C=∠EAC，
∴AE=EC，
∴△AEC是等腰三角形，
∵∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形．
故选C．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是根据角相等得到边相等．
　
二、填空题
6．由“△ABC中，∠A=∠B”提供的信息可知：不但△ABC是等腰三角形，而且知道它的底边是　AB　，顶角是　∠C　．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据等角对等边解答．
【解答】解：∵△ABC中，∠A=∠B，
∴它的底边是AB，顶角是∠C．
故答案为：AB，∠C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的形状是解题的关键，作出图形更形象直观．
　
7．在△ABC中，∠A=∠B=2∠C，则△ABC是　锐角　三角形．
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】运用三角形的内角和定理求出∠C=36°，进而求出∠A=∠B=72°，即可解决问题．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠A=∠B=2∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，
∴5∠C=180°，∠C=36°，
∴∠A=∠B=72°，
∴△ABC是锐角等腰三角形．
故答案为锐角．
【点评】该题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理及其应用问题；灵活运用三角形的内角和定理来解题是关键．
　
8．在直角三角形中一个锐角是30°，则斜边上的中线把直角分别两部分，它的度数分别是　30°　，　60°　．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【分析】作出图形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD，再根据等边对等角求出∠ACD=∠A，然后求出∠BCD即可．
【解答】解：如图，∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴CD=AD=BD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠BCD=90°﹣30°=60°．
故答案为：30°，60°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
　
9．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则AB：BC=　1：1　．
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】首先根据三角形的内角和定理求得：∠C的度数，再根据等角对等边得到，AB=BC，从而不难求得两者的比值．
【解答】解：∵∠A=65°，∠B=50°
∴∠C=65°=∠A
∴AB=BC
∴AB：BC=1：1．
故填1：1．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定．由三角形的内角和求角度是正确解答本题的关键．
　
10．一灯塔P在小岛A的北偏西25°，从小岛A沿正北方向前进30海里后到达小岛B，此时测得灯塔P在北偏西50°方向，则P与小岛B相距　30　海里．
【考点】等腰三角形的判定；方向角．
【专题】应用题．
【分析】作出图形，利用角与角之间的关系求出△PBA为等腰三角形，从而得出PB=AB．
【解答】如图，已知∠A=25°，∠DBP=50°，AB=30，求PB的长．
解：延长AB
∵∠DBP=50°
∴∠PBA=130°
∵∠A=25°
∴∠P=25°
∴PB=AB=30．
故填30．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定及方向角问题；正确画出图形，得到等腰三角形是解答本题的关键．
　
三、解答题
11．如图，已知：AD∥BC，∠EAC=2∠C，BD平分∠ABC，AC=4cm，求AD长．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EAC=∠ABC+∠C，然后求出∠ABC=∠C，根据等角对等边可得AB=AC，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBD=∠D，然后求出∠ABD=∠D，再利用等角对等边可得AD=AB，从而得解．
【解答】解：由三角形的外角性质得，∠EAC=∠ABC+∠C，
∵∠EAC=2∠C，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC=4cm，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠D，
∴∠ABD=∠D，
∴AD=AB=4cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
　
12．如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC交AB于D，交AC于E．BD、CE、DE之间存在怎样的关系？说明理由．
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【专题】探究型．
【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质可证得：BD=DF，EF=EC，结合图形即可得出结论．
【解答】解：DE=BD+CE．理由：
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC．
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC．
∴∠ABF=∠DFB．
∴DB=DF．
同理EF=EC．
∴DB+EC=DF+FE=DE．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义及等角对等边等知识．
　
13．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，FB平分∠ABC交AD于E，交AC于F．
求证：AE=AF．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】由△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC与FB平分∠ABC，根据等角的余角相等，易得∠AFE=∠BED，又由对顶角相等，可得∠AEF=∠AFE，则可证得AE=AF．
【解答】证明：∵△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠ABF+∠AFB=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠EBD+∠BED=90°，
∵FB平分∠ABC，
∴∠ABF=∠EBD，
∴∠BED=∠AFE，
∵∠BED=∠AEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．