第二十七章相似单元练习（含解析）人教版数学九年级下册期末复习

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第二十七章相似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，，那么有（ ）

A． B．
C． D．
3．如图，在中，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，∽，：：，其中，的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如果，则（ ）
A． B． C． D．
7．把△ABC各边都扩大4倍，得到△A1B1C1，则它们的对应角平分线扩大（ ）
A．4倍 B．8倍 C．16倍 D．不变
8．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，与是位似图形，点和点是对应点，则内的点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形与矩形位似，点O是位似中心，已知，，则的值为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
11．在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
12．两个相似六边形，若对应边之比为3：2，则这两个六边形的周长比为（ ）
A．9：4 B．9：2 C．3：1 D．3：2
二、填空题
13．已知，且，那么 ．
14．如图所示，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则的对应点的坐标为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，则它们位似中心的坐标是 ．
16．如图，根据所给信息，可知的值为 .
17．M为矩形ABCD的BC上一点，DN⊥AM于N，AB=3，BC=7，AM=5，则DN= ．
三、解答题
18．如图，在中，点D在上，连接，．求证：．
19．如图，点E是的内心，的延长线与的外接圆相交于点D，与相交于点F．

(1)求证；
(2)若，，，求的长．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P从点A沿AC向C以2cm/s的速度移动，到C即停，点Q从点C沿CB向B以1cm/s的速度移动，到B就停．
（1）若P、Q同时出发，经过几秒钟S△PCQ＝2cm2；
（2）若点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过几秒△PCQ与△ACB相似．

21．“创新实践”小组想利用标杆与皮尺测量树的高度，因树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：立两根高1米的标杆和，两杆之间的距离米，点在一条直线上，从B处退行1.2米到点F处，恰好发现点在一条直线上，从D处退行2米到点G处，恰好发现点三点也在一条直线上，，，，请计算树的高度．
22．（1）已知，求的值；
（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB=2，求PA、PB的长．
23．如图，和是两个等腰直角三角形，，的顶点E位于边 的中点上．设与交于点M，与交于点N，求证：．
24．已知，如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在反比例函数y＝(x＞0)图象上，∠AOB＝30°，顶点B在x轴上，求此△OAB顶点A的坐标和△OAB面积．
《第二十七章相似》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D B A C A C B C
题号 11 12
答案 D D
1．D
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】解：，
，，
，故A错误；
，故D正确；
根据平行线分线段成比例定理无法判定B，C，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确理解平行线分线段成比例定理是解本题的关键．
2．D
【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定．
【详解】解：∵，
∴，
∵是正三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质．
3．D
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
4．B
【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可．
【详解】解：由题知，
，
因为，
所以．
故选：B．
5．A
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：：：，
：：，
∽，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
6．C
【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，直接进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴；
故选C．
7．A
【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比即可得出结论
【详解】解：因为△ABC的各边都分别扩大4倍，得到△A1B1C1，
那么△A1B1C1的各边为△ABC的4倍，即△ABC与△A1B1C1的相似比为1：4．
则△ABC与△A1B1C1的对应角平分线比为1：4，所以它们的对应角平分线扩大4倍
故选：A．
【点睛】此题主要考查学生对相似三角形性质的运用，属于基础题．
8．C
【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握位似图形的性质和相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据位似图形的性质可得，，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出，再利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形，
，，
，
，
，
，
，
的值为．
故选：C．
9．B
【分析】先根据点和点是对应点求出位似比，再结合所在的象限即可求出点的对应点的坐标.
【详解】由点和点是对应点，可得与的相似比为1：2，结合与的位置，可得内的点的对应点的坐标为.
故选B.
【点睛】此题主要考查了位似变换，以及坐标与图形的性质，①当位似图形在原点同侧时，其对应顶点坐标的比为k，此时；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点坐标的比为k，此时.②当时，图形扩大为原来的倍；当时，图形缩小为原来的.
10．C
【分析】先由可得，再由矩形与矩形位似可得，最后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵矩形与矩形位似，
∴
∵，
∴．
故选C．
【点睛】本题主要考查了位似的性质，根据题意得到是解答本题的关键．
11．D
【详解】解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6．
A．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
C．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键．
12．D
【分析】根据相似图形的性质求解即可．
【详解】解：因为这两个六边形相似，
所以这两个六边形的周长比＝对应边之比＝3：2，
故选：D．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的周长比等于相似比，即相似多边形的周长比等于对应边的比是解题的关键．
13．
【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则，再根据建立关于k的方程，解方程求出k的值，进而求出b的值即可得到答案．
【详解】解：设，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似比计算，把坐标都缩小即可求解．
【详解】解：∵线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，
∴端点的横坐标和纵坐标都变为点横坐标和纵坐标的一半，
故点的对应点的坐标为．
故答案为：．
15．
【分析】此题考查了位似变换，利用位似图形的性质：对应点的连线都经过同一点，这个点叫做位似中心，找到位似中心的位置，进而即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图所示，位似中心的坐标为，
故答案为：．
16．
【详解】由题意可得：△ABC∽△A′B′C′，且′=，
故的值为.
故答案为.
17．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=7，∠B=90°，AD//BC，
∴∠AMB=∠DAN，
∵∠AND=90°=∠B，
∴△ADN∽△MAB，
∴，即 ，∴DN= ，
故答案为.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，结合图形以及已知条件选择恰当的方法是解题的关键.
18．见详解
【分析】该题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定定理．
根据题意得出，根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴．
19．(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了三角形的内心定义、同弧所对圆周角相等、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确理解三角形的内心定义．
（1）连接，证明，根据等角对等边可得结论；
（2）证明，根据相似三角形对应边成比例可得，，根据可得结论．
【详解】（1）证明：连接．

∵点E是的内心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴，，
又，
∴．
20．（1）则P、Q同时出发，经过（2±）秒钟S△PCQ=2cm2；（2）点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过1.6秒或秒秒△PCQ与△ACB相似．
【分析】（1）根据题意用t表示出CQ，PC，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可；
（2）分△PCQ∽△ACB，△PCQ∽△BCA两种情况列出比例式，计算即可．
【详解】解：（1）由题意得：AP=2t，CQ=t，则PC=8﹣2t，
由题意得：×（8﹣2t）×t=2，整理得：t2﹣4t+2=0，
解得：t=2±，
则P、Q同时出发，经过（2±）秒钟S△PCQ=2cm2；
（2）由题意得：AP=2t，CQ=2+t，则PC=8﹣2t，分两种情况讨论：
①当△PCQ∽△ACB时，=，即=，解得：t=1.6；
②当△PCQ∽△BCA时，=，即=，解得：t=．
综上所述：点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过1.6秒或秒，△PCQ与△ACB相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，一元二次方程的应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
21．6米
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，
先根据“两个角相等的两个三角形相似”得 ，进而得，再说明，可得，结合两式可得答案.
【详解】解：由题意可得，，
∴，
∴，
即.
由题意可得，，
∴，
∴，
即，
∴解得．
∴树的高度为6米．
22．（1）；（2）PA=，PB=．
【分析】(1)设a=3k，则b=5k，代入，计算即可求解；
(2)根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则PA=AB，PB=AB，代入数据即可得出PA、PB的长．
【详解】解：(1)∵=，
∴可设a=3k，则b=5k，
∴==；
(2)∵点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=2，
∴PA=AB= 1，PB=AB=3 .
故答案为（1）；（2）PA=，PB=．
【点睛】本题考查了黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的．同时考查了比例的性质．
23．见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质，由等腰直角三角形的性质得到，，，进而得到，，则可证明，据此可证明结论．
【详解】证明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
24．A（，2）；S△AOB＝.
【分析】作AC⊥OB于C，设OC=x，根据题意得AC=x，则A（x，x），根据k=x x=4，进一步求得A的坐标，根据射影定理求得BC，最后根据三角形面积求得即可．
【详解】
解：作AC⊥OB于C，
∵∠AOB＝30°，
∴设OC＝x，则AC＝x，
∴A，
∵顶点A在反比例函数y＝(x＞0)图象上，
∴x·x＝4，
∴x＝2，
∴A，
∴OC＝2，AC＝2，
∵在Rt△AOB中，AC2＝OC·BC，
∴BC＝，
∴S△AOB＝×2＝.
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，利用了射影定理，三角形的面积公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
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