第二十八章锐角三角函数单元练习 （含解析）人教版数学九年级下册期末复习

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第二十八章锐角三角函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC＝，水平距离BC＝1，则斜坡AB的坡度为(　　)
A． B． C．30° D．60°
2．如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
4．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度，如图，将长度与旗杆高度相同的拉绳拉到如图的位置，测得（为水平线），测角仪的高度为1米，则旗杆的高度为（ ）
A． B． C． D．
5．位于深圳市罗湖区的梧桐山公园自西南向东北渐次崛起，分布着小梧桐、豆腐头、大梧桐三大主峰．从远处观看，山中最为瞩目的当属小梧桐电视塔．登临小梧桐山顶，可上九天邀月揽星，可鸟瞰深圳关内外壮丽美景．我校某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该塔的高度，已知电视塔位于坡度的斜坡上，测量员从斜坡底端处往前沿水平方向走了达到地面处，此时测得电视塔顶端的仰角为，电视塔底端的仰角为，已知、、、在同一平面内，则该塔的高度为（　　），（结果保留整数，参考数据；，）

A．24 B．31 C．60 D．136
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，若∠C=90°，则（ ）

A．sinA= B．sinA=
C．cosA= D．cosA=
8．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)，为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升200米到达A处，在A处观察B地的俯角为α，则B，C两地之间的距离为(　　)
A．米 B．米 C．米 D．米
9．如图，在等腰中，，，是上一点，若，则的长为（ ）.
A．2 B． C． D．1
10．如图，上午9时，一条船从A处出发以20里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B处到灯塔C的距离是（ ）
A．20里 B．36里 C．72里 D．40里
11．在中，，则的值（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不确定，与的值有关
12．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线AC=4，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．12 B．20 C．8 D．16
二、填空题
13．若，则锐角 ．
14．在中，，都是锐角，且，则的度数为 ．
15．已知等腰，，BH为腰AC上的高，，，则CH的长为 ．
16．已知B港口位于A观测点北偏东方向，且其到A观测点正北风向的距离的长为，一艘货轮从B港口沿如图所示的方向航行到达C处，测得C处位于A观测点北偏东方向，则此时货轮与A观测点之间的距离的长为 ．

17．如图所示，在离地面高度为5m的C处引拉线固定电线杆，拉线和地面成α角，则拉线AC的长为 m（用α的三角函数表示）．
三、解答题
18．用计算器求下列各式的值（精确到）．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
19．已知中的与满足．
(1)试判断的形状．
(2)求的值．
20．如图，已知：内接于⊙O，是⊙O的切线，的延长线交于点．
（1）若∠B=2∠D ，求∠D的度数；
（2）在（1）的条件下，若，求⊙O的半径．
21．一艘游艇在湖面上以12千米/小时的速度向正东方向航行，在处看到灯塔在游艇北偏东方向上，航行1小时到达处，此时看到灯塔在游艇北偏西方向上．求灯塔到航线的最短距离（结果保留根号）．
22．计算：．
23．如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米．
(1)请求出的长；
(2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）．
24．计算与化简题
(1)计算：
(2)先化简，再求代数式的值，其中．
《第二十八章锐角三角函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C A B A A D A D
题号 11 12
答案 A D
1．A
【分析】直接利用坡度的定义得出，斜坡AB的坡度为：，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：∠ACB＝90°，
则斜坡AB的坡度为：，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题关键．
2．C
【分析】设与交于点E．由于阴影部分的面积，又，所以关键是求．为此，连接．根据易证，得出．在直角中，由正切的定义得出．再利用三角形的面积公式求出．
【详解】解：设与交于点E，连接．
在与中，，
，
∴（），
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴阴影部分的面积．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形、旋转的性质，直角三角形的判定及性质，图形的面积以及三角函数等知识，综合性较强，有一定难度．
3．C
【分析】首先根据勾股定理求得AC的长，然后根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：根据勾股定理可得：AC＝＝，
∴sinB＝＝．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求一个角的正弦值，求出AC的长，正确理解正弦的定义是解题关键．
4．A
【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，先证四边形是矩形，得出，设，则，利用三角函数解即可．
【详解】解：由题意知，
四边形是矩形，
，
设，
，
在中，，
解得，
旗杆的高度为，
故选A．
5．B
【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题等知识，关键是根据已知条件在合适的直角三角形中通过解直角三角形求解．设于，设，则，根据可先列出方程求出的值，从而得出，的长，在中可求出的长，从而由可得到结论．
【详解】解：如图，设于，
设，则，

在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，（），
∴，
故选：．
6．A
【详解】试题分析：首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB，再根据同角的余角相等得出∠A=∠BCD，进而利用锐角三角函数关系即可求出sin∠BCD的值．
解：在Rt△ABC中,
∵∠ACB=90，AC=12，BC=5，
∴AB=＝=13，
∵∠ACB=90，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90,∠A+∠B=90，
∴∠A=∠BCD，
∴sin∠BCD=sinA==.
故选A.
7．A
【分析】根据锐角三角函数的表达方式进行求解即可.
【详解】A.，此选项正确；
B.，此选项错误；
C.，此选项错误；
D.，此选项错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的准确表达方式是解决本题的关键.
8．D
【分析】根据正切的定义解答即可．
【详解】由题意得，∠B=，
在Rt△ACB中，tanB=，
则BC=米，
故选D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角和俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
9．A
【详解】如图，作DE⊥AB于E．
∵tan∠DBA= = ，
∴BE=5DE．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴AE=DE．
∴BE=5AE，
又∵AC=6，
∴AB=6 ，
∴AE+BE=AE+5AE=6 ，
∴AE= ，
∴在等腰直角△ADE中，
由勾股定理，得AE=，AD=2．
故选：A.
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质及解直角三角形．解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，运用三角函数的定义建立关系式然后求解．
10．D
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求出∠NAC=∠ACB，再根据等角对等边即可求出BC=AB，利用路程=速度×时间计算即可求出AB的长度，也就是海岛B与灯塔C相距的距离．
【详解】解：∵∠NAC=36°，∠NBC=72°，
∴∠ACB=∠NBC-∠NAC=36°，
∴∠NAC=∠ACB，
∴BC=BA=20×（11-9）=20×2=40．
答：海岛B与灯塔C相距40里．
故选D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，利用三角形的外角性质进行计算是解题的关键，难度适中.
11．A
【分析】根据锐角三角函数的概念表示出，，所以；再根据三角形的三边关系进行分析．
【详解】解：设直角三角形中，的对边是，邻边是，斜边是．
根据锐角三角函数的概念，得
，．
所以，
再根据三角形的三边关系，得，
故的值大于1．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，首先理解锐角三角函数的概念，再结合三角形的三边关系进行分析．
12．D
【分析】连接BD交AC于点O，由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=OC=AC=2，∠ABD=∠CBD=∠ABC=60°，求出∠BAO=30°，由直角三角形的性质得OB=OA=2，AB=2OB=4，即可得出答案．
【详解】解：连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=OC=AC=2，∠ABD=∠CBD=∠ABC=60°，
∴∠BAO=30°，
∴OB= OA==2，AB=2OB=4，
∴菱形ABCD的周长=4AB=16；
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
13．
【分析】先求出tan(α+10°)= ，然后求α+10°的值，再求α的值即可．
【详解】解：∵，
∴tan(α+10°)= ，
∴α+10°=60°，
故α=50°，
故答案为50°．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
14．/75度
【分析】本题主要考查偶次幂与绝对值的非负性及特殊三角函数值，熟练掌握偶次幂与绝对值的非负性及特殊三角函数值是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据三角形内角和可进行求解．
【详解】解：∵，且，
∴，即，
∴，
∴；
故答案为．
15．或
【分析】如图所示，分两种情况，利用特殊角的三角函数值求出的度数，利用勾股定理求出所求即可．
【详解】当为钝角时，如图所示，
在中，，，
，
根据勾股定理得：，即，
；
当为锐角时，如图所示，
在中，，
，
，
设，则有，
根据勾股定理得：，
解得：，
则，
故答案为或
【点睛】此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：等腰三角形的性质，勾股定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形的性质及分类的求解的数学思想是解本题的关键．
16．
【分析】根据，和勾股定理求出的长，再根据求出的长，即可得到以及的长，进而得到答案．
【详解】解：，
，
过点作．交的延长线于，
在中，，
，
，
，
，
即，
，
，
在中，，，
，
．

故答案为：．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，根据已知构造直角三角形得到边长是解题的关键．
17．
【分析】运用三角函数定义求解．
【详解】解：在直角△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=α，CD=5．
∵sin∠CAD= ，
∴AC＝（米）．
【点睛】本题中关键是把实际问题转化为数学问题，然后利用正弦的定义加以解决．
18．(1)0.45
(2)0.52
(3)0.64
(4)1.44
【分析】本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力，要注意把秒转化成分，把分转化为度．
（1）分别把分化成度，然后利用计算器进行计算即可得解；
（2）利用计算器进行计算即可得解；
（3）把秒转化成分，把分转化成度，然后利用计算器进行计算即可得解．
（4）利用计算器进行计算即可得解；
【详解】（1）解：，
（2）解：
（3）解：
（4）解：
19．(1)是锐角三角形．
(2)
【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论；
（2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【详解】解：（1），
，
是锐角三角形．
（2），
原式．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
20．（1）；（2）4
【详解】解：（1）如图，连结
∵AD是⊙O的切线 ∴
设，则，，
∴
∴
∴
（2）解：，．
∴．
∴．
在Rt中，
∴⊙O的半径是4．
21．灯塔A到航线的最短距离为千米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，构造直角三角形求解是解答的关键．
过A作于C，根据垂线段最短得知的长即为灯塔A到航线OB的最短距离，利用特殊角的三角函数求解即可．
【详解】解：过A作于C，则的长即为灯塔A到航线OB的最短距离，
根据题意，，千米，
∴，
，
∴，，
∴，
解得：（千米），
故灯塔A到航线的最短距离为千米．
22．
【分析】本题主要考查特殊角三角函数值的混合运算 ，首先计算特殊角的三角函数值、乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
．
23．(1)2.6米
(2)该车库入口的限高数值为2.4米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线．
（1）根据，得出，即，求出米，得出（米）；
（2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理求出，根据米，得出，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：由题意可知，，
∵，
∴，
∴，
∵米，
∴米．　　
∵米，
∴（米）；
（2）解：过点D作于点H，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，，
∴，
∵米，
∴，
解得，
∴（米），
答：该车库入口的限高数值为2.4米
24．(1)
(2)，
【分析】（1）根据负整数指数幂，胡加绝对值，零次幂，特殊角的三角函数值，进行计算求解即可；
（2）先去括号，把除法变为乘法把分式化简，再把数代入求值．
【详解】（1）解：原式＝
；
（2）
；
；
原式．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．
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