初中数学中考专区二轮专题专题《圆》专项练习题（含解析）

九年级数学人教版上学期专题《圆》练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图①），赵州桥是我国古代石拱桥的代表，图②是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，，为半径，半径，垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）．
(1)直接写出与的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径．
2．如图，为的直径，垂直于弦，垂足为点E，，，求的长．
二、单选题
3．如图，点，，，均在上，是的直径，连接，，，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的弦（不是直径），以点A为圆心，以长为半径画弧交于点C，连接、、、．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的直径，点C，D是圆上两点，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，A，B，C是上的三个点，若∠，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
7．如图，已知是的圆心角，，则圆心角的度数是 ．

8．如图，点A，B，C在上，，则的度数为 °．
9．如图，为的直径，点C，点D在上，并且在直径的两侧，，则 ．
10．如图，点A、C、B在⊙O上，已知，则的值为 ．
四、单选题
11．如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
五、填空题
12．如图，四边形内接于，点E在的延长线上，若，则的度数是 ．
13．如图，四边形内接于，点是的中点，连接，若，则 度．
14．如图，四边形内接于，是直径，若，则的度数为 ．
六、单选题
15．如图，为的切线，A为切点，的延长线交于点C，，的度数（ ）
A． B． C． D．
16．如图，与相切于点A，与相交于点C，点D是优弧上一点．若，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
17．在同一平面内，已知的半径为5，点A在外，则的长度可以等于（ ）
A．6 B．5 C．3 D．0
18．的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
七、解答题
19．如图，在中，，点在斜边上运动．以点为圆心，为半径的圆与边相切．
(1)求证：平分．
(2)求的度数．
20．如图， ABC内接于，是直径，切线切于C，交的延长线于点P，交于点E，交于点F；
(1)写出与的关系：________；
(2)求证：是的切线．
21．如图，在 ABC中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E．直线与有怎样的位置关系？为什么？
22．如图，在 ABC中，，，的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若的半径为4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．
23．如图，点D在的直径的延长线上，点C在上，平分于点E．
(1)求证：是的切线．
(2)是的切线，F为切点，若，求的长．
24．如图，将含角的直角三角板放入半圆O中，，A，B，C三点恰好在半圆O上，延长到点E，作直线，使得．
(1)求证：是半圆O的切线．
(2)若，求阴影部分的面积．
25．如图，是的直径，平分交于点，过作的切线交于点．试判断的形状，并说明理由．
26．如图，点在的直径的延长线上，点在上，且，，求证：是的切线．
27．如图所示，、是的切线，、为切点，，点是上不同于、的任意一点，求的度数．
八、填空题
28．如图，在等边 ABC中，，以为直径作半圆，交边、于点、，则图中阴影部分的面积是 ．
29．如图，扇形纸片的半径为3，沿折叠扇形纸片点O恰好落在弧上的点C处，则图中阴影部分的面积为 ．

30．如图，在矩形中，已知，将矩形绕点旋转，到达的位置，则在转动过程中，边扫过的图形的面积 ．
31．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的侧面积为 ．
九、解答题
32．如图，的直径，点C在上，，点D为上一点，点E为的中点，且，垂足为点E，求劣弧的长（结果保留π）．
33．如图，在的正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B为格点，即是小正方形的顶点，若将扇形围成一个圆锥，求这个圆锥的底面圆的半径的最大长度．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．(1)
(2)这座石拱桥主桥拱半径约为
【分析】此题考查垂径定理和勾股定理，是重要考点，根据题意利用勾股定理列出方程是解题关键．
（1）根据垂径定理即可得出结论；
（2）设主桥拱半径为，在中，根据勾股定理列出方程，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵半径，
∴．
（2）解:设主桥拱半径为，
∵，，，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
因此，这座石拱桥主桥拱半径约为．
2．
【分析】本题主要考查了垂径定理以及三角函数，关键是根据含的直角三角形的性质得出．根据垂径定理和含的直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：是的直径，垂直于弦，
，，
，，
，
．
3．C
【分析】本题主要考查了圆周角定理，掌握同弦所对的圆周角相等是解题的关键．由同弧所对圆周角相等得到，根据直径所对的圆周角为直角可得，再根据直角三角形两锐角互余可得，即可解答．
【详解】解：∵与所对的弧都是，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：C．
4．C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆周角定理等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
由题意可知，由等腰三角形的性质可得，由三角形的内角和定理可得，由圆周角定理可得，于是得解．
【详解】解：由题意可知：，
，
，
，
故选：．
5．A
【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆心角是圆周角的一半．先求出，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，据此即可求解．
【详解】解：由圆周角定理可：，
故选：D．
7．/62度
【分析】本题考查圆周角定理，由圆周角定理，即可得到答案．掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
8．
【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角求角度，三角形内角和定理．熟练掌握圆周角定理，等边对等角求角度，三角形内角和定理是解题的关键．
由圆周角定理得，由，可得，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
9．/度
【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，根据直径所对的圆周角是直角得到，则由三角形内角和定理可得，再由同弧所对的圆周角相等得到．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
10．/120度
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．先运用“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，再运用周角即可解．
【详解】解：∵，
∴优弧所对的圆心角为，
∴，
∴．
故答案为：．
11．D
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键．根据圆内接四边形的性质：对角互补，求出，再利用圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
12．/80度
【分析】本题考查圆内接四边形性质，根据平角的定义求出，利用圆内接四边形对角互补得到．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，根据三角形内角和定理求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可．熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【详解】解：∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
故答案为：．
14．/110度
【分析】本题考查圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据三角形内角和定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．B
【分析】本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
根据切线的性质得，再利用等腰三角形的性质，再根据三角形外角的性质可得,最后根据直角三角形的两锐角互余即可解答．
【详解】解：∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
故选：B．
16．B
【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，直角三角形的两锐角互余．
由圆周角定理可得，由切线的性质可得，从而根据直角三角形的两锐角互余即可解答．
【详解】∵，
∴，
∵与相切于点A，
∴，即，
∴．
故选：B
17．A
【分析】本题考查点与圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围．
根据题意可以求得的范围，从而进行解答．
【详解】的半径为5，点A在外
∴的长度可以等于6．
故选：A．
18．C
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，圆的半径与圆心到直线的距离的大小关系决定了其位置关系，设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当时，直线和圆相交；当时，直线和圆相切；当时，直线和圆相离，熟练掌握其判断方法是解题的关键．
【详解】解：∵的半径是6，点O到直线a的距离为5，，
∴直线a与的位置关系为相交．
故选：C．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由切线的性质可知，从而可证明，由平行线的性质可知，由可知，于是得到，即证结论；
（2）在中，利用互余计算出，再根据角平分的定义得到，则，根据圆周角定理得到，最后利用互余计算出的度数．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵与相切，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：在中，，
，
平分，
，
，
又是直径，
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，掌握切线的性质是解题的关键．
20．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了圆周角，圆的切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握圆的相关性质是解题关键．
（1）由直径所对的圆周角是直角，得到，再结合平行线的性质求解即可；
（2）连接，由圆的切线的性质，得到，根据平行线的性质和等边对等角的性质，得出，证明，得到，即可证明结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
内接于，是直径，
，即，
∵，
∴；
（2）证明：如图，连接，
为切线，
．
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
又为的半径，
为的切线．
21．相切，理由见解析．
【分析】本题考查直线与圆的位置关系．欲求直线与位置关系，关键是证明，因而连接，通过平行线的性质证明之．
【详解】解：连接，
∵在 ABC中，，
∴，
∵在中，均为的半径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴直线与相切．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接．由中垂线的性质得出，由等腰三角形的性质得出．求出，则可得出答案；
（2）求出，，由扇形的面积公式可得出答案．
【详解】（1）证明：如图所示，连接．
是的垂直平分线，
．
点在上．
，，
．
，
．
．
即，
是的切线．
（2）解：，
．
，
在中，，
．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质和相关公式是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是切线的判定和性质、弧长的计算：
（1）连接，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
（2）连接，根据切线的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质求出，根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
，
∵平分，
∴，
，
∴，
，
∴，
为的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵是的切线，是的切线，，
∴，
，
∴，
，
，
∴的长为：．
24．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接，则是直径，，是等边三角形，则，，即，进而结论得证；
（2）由（1）可知，由勾股定理得，，根据计算求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
是直径．
，，
．
，
是等边三角形．
．
，
．
．
是的半径，
是半圆的切线．
（2）解：由（1）可知，
由勾股定理得，．
．
，
．
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的判定，勾股定理，扇形面积等知识．熟练掌握的圆周角所对的弦为直径，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的判定，勾股定理，扇形面积是解题的关键．
25．为直角三角形，理由见解析．
【分析】本题考查切线的性质、直角三角形的判定、直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
连结，，利用角平分线的定义及切线的性质得出即可得出．
【详解】解：为直角三角形．理由如下：
连结，．
是直径，
，
．
又平分，
．
切圆于点，
．
．
，
，
．
是直角三角形．
26．证明见解析．
【分析】此题考查了切线的判定，三角形的内角和，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，连接，由等腰三角形的性质可得，，再利用三角形的内角和及外角性质即可求证，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线．
27．当点在劣弧上时，；当点在优弧上时，．
【分析】本题主要考查圆的切线的性质、四边形的内角和、同弧所对的圆心角与圆周角的关系等知识．本题注意要分情况讨论：C点在劣弧上或点C点在优弧上．连接过切点的半径，根据四边形的内角和定理求得的度数，进一步根据圆周角定理进行计算．
【详解】连接，在弧上任取一点C，连接．
∵是的切线，A、B为切点，
∴，
∵，在四边形中，可得，
分两种情况讨论：
①若C点在劣弧上，则；
②若C点在优弧上，则．
28．
【分析】本题考查了扇形的面积公式，等边三角形的性质，勾股定理，掌握扇形的面积公式是解题的关键．取中点，连接，由等边三角形的性质的求出，等边的高为，等边的高为，根据阴影部分的面积是计算即可．
【详解】解：如图，取中点，连接，
∵是等边三角形，，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
如图，等边的高为，
∴，
∴，
同理，等边的高为，
∴阴影部分的面积是
故答案为：．
29．
【分析】本题考查求不规则图形的面积，利用分割法求出图形的面积即可，掌握扇形的面积公式，是解题的关键．
【详解】解：∵折叠，
∴，
∴四边形为菱形，
连接，交于点，则：，

∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：．
30．
【分析】本题考查了扇形面积的计算．先设，再根据勾股定理求出的值，再根据扇形的面积公式求解．
【详解】解：设，
则，
，
扫过的图形为扇环，
面积，
故答案为：．
31．
【详解】先求出圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，再利用弧长公式求得圆锥的母线长，进而根据扇形面积公式计算即可．
本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长，圆周长公式，扇形弧长公式，扇形面积公式，是解决问题的关键．
【解答】解：设该圆锥的母线长为l．
由题意，得．
∴（cm），
∴．
故答案为：．
32．
【分析】本题主要考查了弧长的计算，圆的相关性质．连接，先求出的度数，再利用弧长公式求解可得．
【详解】解：如图，连接，
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴劣弧的长度为．
33．
【分析】本题主要考查弧长公式的应用，根据弧长公式求出这个圆锥的底面圆的周长，进而即可求解；
【详解】解：如图，当圆心角为，半径为2时，所围成的圆锥底面圆的半径最大，
这个圆锥锥的底面圆的周长为：；
∴这个锥的底面圆的半径为：．
答案第1页，共2页
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