第七章《万有引力与航天》单元测评(A)
一、单选题（每小题只有一个正确答案）
1．一物体在地球表面所受的重力为G，则在距地面高度为地球半径的2倍时所受重力为 （ ）
A．G/9 B．G/3 C．G/4 D．G/2
2．如图所示，P、Q两颗卫星均绕地心做匀速圆周运动，且轨道半径均为r，卫星P、Q的连线总是通过地心，若两卫星均沿逆时针方向运行，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R、自转周期为T，不计卫星间的相互作用力，下列判断正确的是（ ）
A．这两颗卫星的加速度大小相等，均为
B．卫星P运动到Q目前位置处所需的时间是
C．这两颗卫星的线速度大小相等，均为
D．P、Q两颗卫星一定是同步卫星
3．如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动。以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是( )
A．a2>a3>a1 B．a2>a1>a3 C．a3>a1>a2 D．a3>a2>a1
4．对于相隔一定距离的两个质点，要使它们之间的万有引力变为原来的2倍，可以采用的办法是（ ）
A．仅把两者的质量都增大2倍 B．仅把两者的质量都增大到原来的倍
C．仅把两者的距离减小到原来的 D．仅把两者的距离增大到原来的倍
5．今年4月30日，西昌卫星发射中心的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8 x 107m。它与另一颗同质量的同步轨道卫星（轨道半径为4.2 x 107m）相比（ ）
A．向心力较小 B．动能较大
C．发射速度都是第一宇宙速度 D．角速度较小
6．月球的质量是、月球的半径为，引力常量为，一宇航员站在月球表面上，在距月球表面高处以初速度水平抛出一个物体，若物体只受月球引力的作用，该物体的水平位移为（ ）
A． B． C． D．
7．下面关于物理学史的说法正确的是( )
A．卡文迪许利用扭秤实验得出万有引力与距离的平方成反比的规律
B．奥斯特通过实验发现变化的磁场能在其周围产生电场
C．牛顿猜想自由落体运动的速度与下落时间成正比，并直接用实验进行了验证
D．法拉第首先引入“场”的概念用来研究电和磁现象
8．如图所示， B为绕地球做椭圆轨道运行的卫星，椭圆的半长轴 为a，运行周期为TB；C为绕地球做圆周运动的卫星，圆周的半径为r，运行周期为TC；P为B、C两卫星轨道的交点。下列说法或关系式中正确的是（ ）
A．，该比值的大小与地球质量有关
B．，该比值的大小不仅仅与地球的质量有关，还有其他因素
C．卫星B在P点的加速度与卫星C在该点加速度一定相同
D．若卫星C为近地卫星，且已知C的周期和万有引力常量，则可求出地球的平均密度
9．一同学设计如下实验来测定月球的第一宇宙速度：设想通过月球车上的装置在距离月球表面高处以初速度水平抛出一物体，测得物体的水平射程为。已知月球的半径为，则月球的第一宇宙速度为（ ）
A． B． C． D．
10．已知地球的质量约为木星质量的1/300倍，地球的半径约为木星半径的1/10倍，则航天器在木星表面附近绕木星做匀速圆周运动的速率约为（ ）
A．1.4 km/s B．5.0 km/s C．17.7 km/s D．43 km/s
11．如图为学校自备发电机在停电时为教学楼教室输电的示意图，发电机输出电压恒为220V，发电机到教学楼的输电线电阻用图中r等效替代．若使用中，在原来工作着的日光灯的基础上再增加教室开灯的盏数，则（ ）
A．整个电路的电阻将增大，干路电流将减小
B．因为发电机输出电压恒定，所以原来工作着的日光灯的亮度将不变
C．发电机的输出功率将减小
D．输电过程中的损失功率（即输电线路消耗的功率）将增大
12．已知嫦娥三号探测器在地球表面受的重力为G1，绕月球表面飞行时受到月球的引力为G2，地球的半径为R1，月球的半径为R2，地球表面处的重力加速为g．则：（ ）
A．月球与地球的质量之比为
B．月球表面处的重力加速度为
C．月球与地球的第一宇宙速度之比为
D．探测器沿月球表面轨道上做匀速圆周运动的周期为
二、多选题（每小题至少有两个正确答案）
13．量子科学实验卫星“墨子号”由火箭发射至高度为500km的预定圆形轨道．此前，6月在西昌卫星发射中心成功发射了第二十三颗北斗导航卫星G7．G7属地球静止轨道卫星（高度为36000km），它将使北斗系统的可靠性进一步提高．关于卫星以下说法中正确的是（ ）
A．这两颗卫星的运行速度可能大于7.9km/s
B．量子科学实验卫星“墨子号”的向心加速度比北斗G7大
C．量子科学实验卫星“墨子号”的周期比北斗G7小
D．通过地面控制可以将北斗G7定点于广州市的正上方
14．新型“长征”运载火箭，将重达8.4t的飞船向上送至近地轨道1，如图所示．飞船与火箭分离后，在轨道1上以速度7.2km/s绕地球做匀速圆周运动，则（ ）
A．飞船在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．飞船在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．飞船在轨道1上经过Q点的加速度大于它在轨道2上经过Q点的加速度
D．飞船在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度
15．为了探测某星球，载有登陆舱的探测飞船在以星球中心为圆心，半径为的圆轨道上运动，其周期为，总质量为；随后登陆舱脱离飞船，变轨到距离星球更近的半径为的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为，则（ ）
A．该星球表面的重力加速度为 B．该星球的质量为
C．登陆舱在轨道和上的运动速度大小之比为
D．登陆舱在轨道上运行周期为
16．载人飞船绕地球做匀速圆周运动。已知地球半径为R0，飞船运动的轨道半径为KR0，地球表面的重力加速度为g0，则飞船运行的（ ）
A．加速度是 B．加速度是 C．角速度是 D．角速度是
17．宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作10.我国计划近期发射的嫦娥五号月球探测器，是负责采样返回任务的中国首颗地月釆样往返探测器。嫦娥五号具体的发射方案是，先由运载火箭将探测器送入近地点高度 200km、远地点高度 51000km、运行周期约为 16h 的椭圆轨道；然后探测器与运载器分离……。如图为嫦娥五号绕地球沿椭圆轨道运动的轨道， P 为近地点， Q 为远地点， M、N 为轨道短轴的两个端点。若只考虑嫦娥五号和地球间的相互作用，则在嫦娥五号从 P 经过 M、 Q 到 N 的运动过程中（ ）
A．嫦娥五号从 P 到 M 运动的时间约为 4h
B．从 P 到 Q 的过程中，嫦娥五号的加速度逐渐变小
C．从 Q 到 N 的过程中，嫦娥五号的机械能逐渐变大
D．从 M 到 N 的过程中，地球引力对嫦娥五号先做负功后做正功
三、实验题
18．通常情况下，地球上的两个物体之间的万有引力是极其微小以至于很难被直接测量，人们在长时间内无法得到引力常量的精确值。在牛顿发现万有引力定律一百多年以后的1789年，英国物理学家卡文迪许巧妙地利用如图所示的扭秤装置，才第一次在实验室里比较精确地测出了万有引力常量。
（1）在图所示的几个实验中，与“卡文迪许扭秤实验”中测量微小量的思想方法最相近的是__________。（选填“甲”“乙”或“丙”）
（2）引力常量的得出具有重大意义，比如：_____________________。（说出一条即可）
19．一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在行星上，宇宙飞船上备有以下实验仪器：A．弹簧测力计一个 B．精确秒表一只 C．天平一台（附砝码一套) D．物体一个
为测定该行星的质量M和半径R，宇航员在绕行及着陆后各进行一次测量，依据测量数据可以求出M和R（已知引力常量为G)．
（1)绕行时测量所用的仪器为________（用仪器的字母序号表示)，所测物理量为________．
（2)着陆后测量所用的仪器为________，所测物理量为________．用测量数据求该星球半径R＝________.
四、解答题
20．地球和月球的质量之比为81:1，半径之比4:1,求：
(1)地球和月球表面的重力加速度之比；
(2) 在地球上和月球上发射卫星所需最小速度之比.
21．某恒星的两颗行星P、Q在同一轨道平面沿同一方向绕恒星做匀速圆周运动，行星Q的轨道半径为行星P的轨道半径的4倍。
(1)求P、Q两行星的运行周期之比；
(2)若某时刻两行星和恒星正好在一条直线上，求两行星再次与恒星在一条直线上所需的最小时间与P行星周期的比值k。
参考答案
1．A
【解析】根据公式在地面时重力为,在距离地面高度为地球半径的2倍时
2．AC
【解析】试题分析：根据万有引力提供向心力：，在地球表面：，联立可以得到：，故选项A正确；卫星P运动到Q目前位置处所需的时间是它们周期的一半，但是不等于地球自转的周期的一半，故选项B错误；根据万有引力提供向心力：，在地球表面：，联立可以得到：，故选项C正确；P、Q两颗卫星不一定是同步卫星故选项D错误。
考点：万有引力定律及其应用
【名师点睛】卫星所受的万有引力等于向心力、地面附近引力等于重力是卫星类问题必须要考虑的问题，本题根据这两个关系即可列式求解。
3．D
【解析】
试题分析：在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动，
根据向心加速度an=r，
由于拉格朗日点L1的轨道半径小于月球轨道半径，所以a2＞a1，
同步卫星离地高度约为36000公里，故同步卫星离地距离小于拉格朗日点L1的轨道半径，
根据a=得a3＞a2＞a1，
故选：D．
4．B
【解析】根据万有引力定律可得：可知，
A项：仅把两者的质量都增大2倍，万有引力将变为原来的4倍；
B项：仅把两者的质量都增大到原来的倍，万有引力将变为原来的2倍；
C项：仅把两者的距离减小到原来的一半，万有引力将变为原来的4倍；
D项：仅把两者的距离增大到原来的倍，万有引力将变为原来的一半。
5．B
【解析】
卫星做圆周运动万有引力提供向心力有可知半径越大引力越小即向心力越小答案A错误；而由公式可知卫星线速度和角速度分别为所以B正确,D错误，第一宇宙速度是最小的发射速度，实际发射速度都要比它大所以C错；
6．B
【解析】月球的质量为M，对月球表面质量为m的物体，根据万有引力等于重力有，解得：，物体在月球表面做平抛运动，在水平方向上：，在竖直方向上：，联立解得：，故选B。
【点睛】根据万有引力等于重力求出月球表面的重力加速度，平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据平抛运动的知识求出该物体的水平位移。
7．D
【解析】卡文迪许利用扭秤实验测出万有引力常量，A错误；奥斯特通过实验发现电流周围存在磁场，B错误；伽利略用实验和数学证明自由落体运动的位移与下落时间平方成正比，并用实验进行了验证，C错误；法拉第首先引入“场”的概念用来研究电和磁现象，D正确．
8．ACD
【解析】
试题分析：两颗卫星都绕同一个中心天体运动，圆周运动也是一个半长轴与半短轴等长的椭圆，所以符合开普勒第三定律，所以根据圆周运动万有引力提供向心力，可得，所以该比值只与地球质量有关，选项A对，选项B错。两颗卫星在P点距离地心距离相等，根据加速度可得卫星B和卫星C在P点加速度一定相同，选项C对。若卫星C为近地卫星，则有，可得密度，即可求出地球平均密度选项D对。
考点：万有引力与航天
9．B
【解析】
试题分析：根据平抛运动的规律可得：L=v0t；h=gt2，解得；则第一宇宙速度为：，选项B正确。
考点：平抛运动的规律；第一宇宙速度。
10．D
【解析】根据可得 ，则，则，故选D.
点睛：对于卫星类型，关键建立卫星运动的模型，理清其向心力来源：万有引力，根据万有引力等于向心力进行解答．
11．D
【解析】试题分析：在原来工作着的日光灯的基础上再增加教室开灯的盏数，即并联灯泡，总电阻减小，总电流增大，则输电线上消耗的电压就变大，从而判断灯泡两端电压的变化情况，从而判断灯泡的亮度，根据P=UI求解发电机输出功率，根据P判断输电过程中的损失功率．
解：A、增加教室开灯的盏数，即并联灯泡，总电阻减小，总电流增大，故A错误；
B、根据欧姆定律可知，输电线上消耗的电压变大，则日光灯两端电压变小，亮度变暗，故B错误；
C、发电机的输出功率P=UI，电压不变，电流变大，输出功率变大，故C错误；
D、电流电大，输电线电阻不变，根据P可知，输电过程中的损失功率将增大，故D正确．
故选：D
点评：本题为闭合电路欧姆定律中的动态分析问题，由程序法解析时，一般按照：部分﹣整体﹣部分的思路进行分析．
12．D
【解析】A项：嫦娥三号探测器在地球表面受的重力为G1，根据，可得地球的质量为，绕月球表面飞行时受到月球的引力为G2，根据 ，可得月球的质量为，所以月球与地球的质量之比，故A错误；
B项：嫦娥三号绕月球表面飞行时受到月球的引力为G2，有，解得月球表面的重力加速度，故B错误；
C项：根据,第一宇宙速度,则月球与地球的第一宇宙速度之比为,故C错误；
D项：嫦娥三号的质量，根据解得，故D正确。
点晴：解决本题关键理解万有引力与般天问题的两个中心思想：一、，二、。
13．BC
【解析】
是绕地球表面运动的速度，是卫星的最大环绕速度，则这两颗卫星的速度都小于，A错误；根据，得，轨道半径小的量子科学实验卫星“墨子号”的向心加速度比北斗G7大，B正确；根据，得，半径越大，周期越大，则半径小的量子科学实验卫星“墨子号”的周期比北斗G7小．C正确；同位卫星的轨道只能在赤道的上方，D错误．
14．BD
【解析】研究卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，得出：，表达式里M为中心体星球的质量，r为运动的轨道半径．又因为r1＜r3，所以v1＞v3．故A错误．根据万有引力提供向心力，=mrω2得出：，则半径大的角速度小，则B错误；根据万有引力提供向心力，即=ma，则在同一位置加速度相同，则C错误，D正确，故选D.
点睛：解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论，并能根据题意结合向心力的几种不同的表达形式，选择恰当的向心力的表达式．
15．BD
【解析】A、由于火星的半径未知，则无法求出星球表面的重力加速度，A错误
B、根据 得，，B正确；
C、根据 得，，则：，C错误；
D、根据 ，解得：T=，则：，所以登陆舱在半径为r2轨道上做圆周运动的周期为；，D正确；
故选BD。
16．AC
【解析】在地球表面重力等于万有引力
对于飞船，万有引力提供向心力
联立解得：，，A、C正确，B、D错误。
故选：AC。
17．BD
【解析】根据开普勒第二定律可知，嫦娥五号从 P 到 M 运动的速率大于从M到Q的速率，因从P到Q的时间为8h，则从 P 到 M 运动的时间小于 4h，选项A错误；从 P 到 Q 的过程中，嫦娥五号受到的引力逐渐减小，则加速度逐渐变小，选项B正确；嫦娥五号运动过程中只有地球的引力做功，机械能守恒，则从 Q 到 N 的过程中，嫦娥五号的机械能不变，选项C错误；从 M 到 N 的过程中，地球引力对嫦娥五号先做负功后做正功，选项D正确；故选BD.
18． 乙 引力常量的普适性证明了万有引力定律的正确性（或：引力常量的得出使得可以定量计算万有引力的大小；引力常量的得出使得人们可以方便地计算出地球的质量）
【解析】（1）甲图中验证力的平行四边形法则利用的是等效思想；乙图中观察桌面的形变利用的是微小量放大法；丙图中探究加速度、质量和力的关系利用的是控制变量法；故与“卡文迪许扭秤实验”中测量微小量的思想方法最相近的是乙；
2）引力常量的得出具有重大意义，比如：引力常量的普适性证明了万有引力定律的正确性（或：引力常量的得出使得可以定量计算万有引力的大小；引力常量的得出使得人们可以方便地计算出地球的质量）
19．B 周期T ACD 物体质量m,重力F
【解析】
试题分析：据题意，当飞船绕行时有：，在星球表面有：和，联立这三式就可以求出行星质量M和半径R,所以需要用秒表测量绕行时的周期T和用弹簧测力计、物体一个及天平一台测量星球地面的重力加速度g；联立求得：。
考点：本题考查万有引力定律。
20．（1）81/16 （2）9/2
【解析】（1）根据万有引力提供向心力可知
则
（2）根据发射卫星的最小速度
可知
故本题答案是：（1） （2）
点睛：根据万有引力提供向心力求星球表面的重力加速度。
21．(1) (2)
【解析】. (1)由万有引力提供向心力，则：
可知：
解得：
(2)设两行星与恒星再次在一条直线上的最短时间为t，分析可知：
两行星再次与恒星在一条直线上所需的最小时间与P行星周期的比值：
联立以上方程可以得到：。
点睛：本题考查万有引力定律的应用，同时也可以利用开普勒第三定律进行求解；当两行星与恒星再次在一条直线上的时候，二者圆心角相差。
试卷第6页，总6页第七章《万有引力与航天》单元测评(B)
(满分:100分;时间:75分钟)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,第1～8小题只有一项符合题目要求,第9～12题有多项符合题目要求。全部选对的得5分,选不全的得3分,有选错或不答的得0分)
1.两个质量均为M的星体,其连线的垂直平分线为AB,O为两星体连线的中点,如图所示。一个质量为M的物体从O点沿OA方向运动,则它受到的万有引力大小变化情况是 ( )
A.一直增大 B.一直减小 C.先减小,后增大 D.先增大,后减小
2.2021年3月15日13时29分,嫦娥五号轨道器在地面飞控人员精确控制下,成功被“日地L1点”捕获,成为我国首颗进入“日地L1点”探测轨道的航天器。“日地L1点”全称为“拉格朗日L1点”,位于太阳与地球的连线上,距离地球大约150万公里。在这个位置上,嫦娥五号可以在太阳和地球引力的共同作用下,和地球一起以相同的周期绕太阳做匀速圆周运动,可以不间断地观测太阳和地球的向阳面。则绕日运行时地球的向心加速度a1和嫦娥五号的向心加速度a2的大小关系是 ( )
A.a1>a2 B.a1
3.某宇航员在某星球表面,将一质量为m的小球由静止释放,小球做自由落体运动,测得小球下落高度为h,所用的时间为t。若该星球的半径为R,引力常量为G,则该星球的质量为(不考虑星球自转) ( )
A. B. C. D.
4.木星的卫星中有4颗是伽利略发现的,称为伽利略卫星,其中三颗卫星的周期之比为1∶2∶4。小华同学打算根据万有引力的知识计算木卫二绕木星运动的周期T,他收集到了如下一些数据。木卫二的数据:质量为m1=4.8×1022 kg,绕木星做匀速圆周运动的轨道半径为r1=6.7×108 m;木星的数据:质量为m2=1.9×1027 kg,半径为r2=7.1×107 m,自转周期为T1=9.8 h。但他不知道怎样做,请你帮助他选出计算木卫二绕木星运动的周期的计算公式 ( )
A.T=T1 B.T= C.T= D.T=
5.假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4 200 km的赤道上空绕地球做匀速圆周运动,地球半径约为6 400 km,地球同步卫星距地面高度为36 000 km,宇宙飞船和地球同步卫星绕地球同向运动,每当二者相距最近时,宇宙飞船就向同步卫星发射信号,然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站。某时刻二者相距最远,从此刻开始,在一昼夜的时间内,接收站共接收到信号的次数为 ( )
A.4次 B.6次 C.7次 D.8次
6.2019年12月27日,长征五号遥三运载火箭在中国文昌发射场发射升空,将卫星送入预定轨道。如图所示为该卫星绕地球运行的示意图,测得卫星在t时间内沿逆时针方向从P点运动到Q点,这段圆弧所对的圆心角为θ。已知地球的半径为R,地球表面的重力加速度为g,则这颗卫星在轨道上运行的线速度大小为 ( )
A. B. C. D.
7.科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论,加入人物和相关情节改编而成的。电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间,用数千台计算机精确模拟才得以实现。若某黑洞的半径R约45 km,质量M和半径R的关系满足=(其中c为光速,G为引力常量),则该黑洞表面重力加速度的数量级约为 ( )
A.108 m/s2 B.1010 m/s2 C.1012 m/s2 D.1014 m/s2
8.已知地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,地球自转周期为T,引力常量为G,则 ( )
A.周期为T的人造地球卫星的运行轨道一定在赤道平面内 B.可求得地球的质量为
C.可求得地球同步卫星的向心加速度为 D.可求得地球同步卫星的轨道半径为
9.地球赤道上的重力加速度为g,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a,卫星甲、乙、丙在如图所示的三个椭圆轨道上绕地球运行,卫星甲和乙的运行轨道在P点相切,以下说法中正确的是 ( )
A.如果地球自转的角速度突然变为原来的倍,那么赤道上的物体将会“飘”起来
B.卫星甲、乙经过P点时的加速度大小相等 C.卫星甲的周期最小
D.三个卫星在远地点的速度可能大于第一宇宙速度
10.极地卫星是一种特殊的人造地球卫星,其轨道平面与赤道平面的夹角为90°,极地卫星运行时能到达地球南极和北极区域的上空。若某极地卫星从北极正上方运行至赤道正上方的最短时间为3 h,认为卫星做匀速圆周运动,下列说法正确的是 ( )
A.该卫星的加速度小于9.8 m/s2 B.该卫星的环绕速度大于7.9 km/s
C.该卫星每隔12 h经过北极的正上方一次 D.该卫星轨道半径与地球同步卫星轨道半径相等
11.我国计划发射“嫦娥五号”探月卫星,执行月面取样返回任务。“嫦娥五号”从月球返回地球的过程可以简单分成四步,如图所示,第一步将“嫦娥五号”发射至月球表面附近的环月圆轨道Ⅰ,第二步在环月轨道的A处进行变轨,进入月地转移轨道Ⅱ,第三步当接近地球表面附近时,又一次变轨,从B点进入绕地圆轨道Ⅲ,第四步再次变轨道后降落至地面。下列说法正确的是 ( )
A.将“嫦娥五号”发射至轨道Ⅰ时,所需的发射速度为7.9 km/s
B.“嫦娥五号”从环月轨道Ⅰ进入月地转移轨道Ⅱ时需要加速
C.“嫦娥五号”从A点沿月地转移轨道Ⅱ到达B点的过程中其速率先减小后增大
D.“嫦娥五号”在第四步变轨时需要加速
12.2020年11月24日,长征五号遥五运载火箭搭载嫦娥五号探测器成功发射升空并将其送入轨道,11月28日,嫦娥五号进入环月轨道飞行,12月17日凌晨,嫦娥五号返回器携带月壤着陆地球。假设嫦娥五号环绕月球飞行时,在距月球表面高度为h处,绕月球做匀速圆周运动(不计周围其他天体的影响),测出其飞行周期T,已知引力常量G和月球半径R,则下列说法正确的是 ( )
A.嫦娥五号绕月球飞行的线速度为 B.月球的质量为
C.月球的第一宇宙速度为 D.月球表面的重力加速度为
二、非选择题(本大题共4小题,共40分)
13.(8分)学完了万有引力定律及航天知识后,两位同学在探究学习时,一位同学设想可以发射一颗周期为1 h的人造环月卫星,而另一位同学表示不可能有这种卫星。这两位同学记不住引力常量G的数值,且手边没有可查找的资料,但他们记得月球半径约为地球半径的,月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的,地球半径约为6.4×103 km,地球表面的重力加速度约为9.8 m/s2。经过推理,他们认定不可能有周期为1 h 的人造环月卫星,试写出他们的论证方案。
14.(8分)已知月球半径为R,月球表面的重力加速度为g0,飞船在绕月球的圆形轨道Ⅰ上运动,轨道半径为r,r=4R,到达轨道Ⅰ的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ,到达轨道的近月点B时再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。已知引力常量G,求:
(1)第一次点火和第二次点火分别是加速还是减速;
(2)飞船在轨道Ⅰ上的运行速率;
(3)飞船在轨道Ⅲ上绕月运行一周所需的时间。
15.(8分)2018年12月27日,我国北斗卫星导航系统开始提供全球服务,标志着北斗系统正式迈入全球时代。覆盖全球的北斗卫星导航系统是由静止轨道卫星(即与赤道共面的地球同步卫星)和非静止轨道卫星组成的。卫星绕地球近似做匀速圆周运动。
已知其中一颗静止轨道卫星距离地球表面的高度为h,地球质量为M,地球半径为R,引力常量为G。
(1)求该静止轨道卫星绕地球运动的线速度v的大小。
(2)如图所示,O点为地球的球心,P点处有一颗静止轨道卫星,P点所在的虚线圆轨道为静止轨道卫星绕地球运动的轨道。已知h=5.6R。忽略大气等一切影响因素,请论证说明要使卫星通讯覆盖全球,至少需要几颗静止轨道卫星。(cos 81°≈0.15,sin 81°≈0.99)
16.(16分)由三颗星体构成的系统,忽略其他星体对它们的作用,存在着一种运动形式:三颗星体在相互之间的万有引力作用下,分别位于等边三角形的三个顶点上,绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)。若A星体质量为2m,B、C两星体的质量均为m,三角形的边长为a,求:
(1)A星体所受合力大小FA;(2)B星体所受合力大小FB;
(3)C星体的轨道半径RC;(4)三星体做圆周运动的周期T。
答案全解全析
1.D 本题利用极限法分析,物体在O点时,受到的万有引力的合力为零,在无穷远处,受到的万有引力的合力也接近零;在O、A之间的位置,其所受的万有引力的合力不为零,所以,物体从O点沿OA方向运动,它受到的万有引力先增大后减小,故D正确。
2.A 嫦娥五号和地球一起以相同的周期绕太阳做匀速圆周运动,故嫦娥五号和地球做匀速圆周运动的角速度相同,设地球的轨道半径为L,拉格朗日L1点与太阳间的距离为l,由a=rω2可得a1=Lω2,a2=lω2,因L>l,故a1>a2,A正确,B、C、D错误。
3.B 小球下落过程中,根据自由落体运动规律,有h=gt2,解得g=;在星球表面,质量为m的物体所受重力等于星球对它的万有引力,有mg=G,解得星球质量M=,选项B正确。
4.B 以木卫二为研究对象,根据万有引力提供向心力,可得G=m1r1,解得T=,故B正确,A、C、D错误。
5.C 宇宙飞船的轨道半径约为r1=4 200 km+6 400 km=10 600 km,地球同步卫星的轨道半径约为r2=36 000 km+6 400 km=42 400 km,可知r2=4r1。根据开普勒第三定律=k,可得地球同步卫星的运行周期为宇宙飞船运行周期的8倍。从二者相距最远时开始计时,在一昼夜的时间内,接收站共接收到信号的次数为7次,选项C正确。
6.A 由题意可知,卫星的角速度ω=;由万有引力提供向心力,有G=mrω2,在地球表面,物体的重力近似等于万有引力,有mg=G;且有v=rω,联立解得v=,选项A正确。
7.C 黑洞实际为一天体,天体表面的物体受到的重力近似等于该天体对物体的万有引力。设黑洞表面的重力加速度为g,对黑洞表面的某一质量为m的物体,有mg=G,又有=,联立解得g=,代入数据得g的数量级为1012 m/s2,故选C。
8.D 周期为T的人造地球卫星的运行轨道不一定在赤道平面内,只要轨道平面过地心、轨道半径等于地球同步卫星的轨道半径就可以,故A错误。根据地球表面附近物体所受的重力与万有引力的关系,有mg=G,可求得地球的质量为M=,由于T不是近地卫星的运行周期,不能用表示地球质量,故B错误。地球同步卫星的周期为T,根据万有引力提供向心力可得G=mr,解得地球同步卫星的轨道半径r=;地球同步卫星的角速度大小为ω=,则地球同步卫星的向心加速度a=rω2=,故C错误,D正确。
9.AB 物体在赤道上随地球自转时,对物体有G-mg=ma,物体“飘”起来时,仅受万有引力,有G=ma'=m(g+a),结合a=ω2R,可得地球自转的角速度突然变为原来的倍时,赤道上的物体会“飘”起来,A正确;卫星在同一位置其加速度相同,则B正确;根据开普勒第三定律,卫星丙轨道的半长轴最小,则其周期最小,故C错误;假设一卫星沿经过丙卫星轨道上远地点(设为Q点)的圆轨道运行,则此卫星的速度一定小于第一宇宙速度,而如果此卫星从Q点变轨进入丙卫星的椭圆轨道,需减速,由以上分析知三个卫星在远地点的速度均小于第一宇宙速度,D错误。故选A、B。
10.AC 极地卫星从北极正上方运行到赤道正上方的最短时间为其运行周期的四分之一,则极地卫星运行的周期为12 h,这个时间小于同步卫星的运行周期,则由=mr知,极地卫星的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径,选项C正确,D错误;由=ma,=mg对比可知,极地卫星的加速度小于重力加速度,选项A正确;地球的第一宇宙速度为v==7.9 km/s,式中g为重力加速度,则可知极地卫星的环绕速度小于7.9 km/s,选项B错误。
11.BC 7.9 km/s是地球的第一宇宙速度,也是将卫星从地面发射到近地圆轨道的最小发射速度,而月球的第一宇宙速度比地球的小得多,故将卫星发射到近月轨道Ⅰ上的发射速度比7.9 km/s小得多,选项A错误;“嫦娥五号”从环月轨道Ⅰ进入月地转移轨道Ⅱ时做离心运动,因此需要加速,选项B正确;“嫦娥五号”从A点沿月地转移轨道Ⅱ到达B点的过程中,开始时月球的引力大于地球的引力,“嫦娥五号”做减速运动,当地球的引力大于月球的引力时,“嫦娥五号”开始做加速运动,选项C正确;“嫦娥五号”在第四步变轨时做近心运动,因此需要减速,选项D错误。
12.ACD 嫦娥五号绕月球飞行的轨道半径是R+h,则线速度v=,故A正确;嫦娥五号绕月球做匀速圆周运动,由牛顿第二定律有G=m(R+h),得月球的质量M=,故B错误;月球的第一宇宙速度v==,故C正确;在月球表面有mg=G,解得月球表面的重力加速度g==,故D正确。
13.答案 见解析
解析 对环月卫星,由万有引力提供向心力,有
=mr (1分)
解得T=2π (1分)
当r=R月时,T有最小值。 (1分)
在月球表面,物体的重力近似等于万有引力,即
mg月= (1分)
可得Tmin=2π=2π=2π (2分)
代入数据解得Tmin≈1.73 h(1分)
由于环月卫星的最小周期约为1.73 h,故不可能有周期为1 h的人造环月卫星。 (1分)
14.答案 (1)见解析 (2) (3)2π
解析 (1)由高轨道到低轨道,必须使飞船所需要的向心力小于万有引力,故要减速才可实现,即第一次点火与第二次点火都要减速。 (2分)
(2)飞船在轨道Ⅰ上运行时,由万有引力提供向心力,设月球的质量为M,飞船的质量为m,运行速率为v,根据牛顿第二定律有
G=m (1分)
设在月球表面上有一个质量为m'的物体,其所受重力与万有引力相等,则有m'g0=G (1分)
得M= (1分)
联立解得v= (1分)
(3)由题意可知轨道Ⅲ的半径为R,设飞船在轨道Ⅲ上的运行周期为T,根据牛顿第二定律有
G=mR (1分)
解得T=2π (1分)
15.答案 (1) (2)3颗
解析 (1)设静止轨道卫星的质量为m,由万有引力提供向心力,得
=m (2分)
得v= (1分)
(2)如图所示,设P点处静止轨道卫星可以覆盖地球赤道的范围对应地心的角度为2θ,至少需要N颗静止轨道卫星才能覆盖全球。
由几何知识可知cos θ= (1分)
其中h=5.6R
得θ=81° (1分)
所以一颗静止轨道卫星可以覆盖地球赤道的范围对应地心的角度为2θ=162° (1分)
由于=2.2,N只能取整数 (1分)
所以N=3,即至少需要3颗静止轨道卫星才能覆盖全球。 (1分)
16.答案 (1)2G (2)G (3)a (4)π
解析 (1)由万有引力定律,A星体所受B、C星体引力大小为
FBA=G=G=FCA,方向如图 (2分)
则合力大小为FA=2G (2分)
(2)同上,B星体所受A、C星体引力大小分别为
FAB=G=G,FCB=G=G,方向如图 (2分)
由FBx=FAB cos 60°+FCB=2G,FBy=FAB sin 60°=G (2分)
可得FB==G (2分)
(3)通过分析可知,圆心O在中垂线AD的中点,RC= (2分)
(或:由对称性可知OB=OC=RC cos∠OBD===)
可得RC=a (1分)
(4)三星体运动周期相同,对C星体,由FC=FB=G=m()2RC (2分)
可得T=π (1分)
