第22章二次函数易错精选题（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册人教版

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第22章二次函数易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．抛物线的顶点坐标和开口方向分别是（ ）
A．，开口向下 B．，开口向上
C．，开口向上 D．，开口向下
2．把抛物线向下平移3个单位，得到抛物线，则、的值分别是（）
A．1，3 B．1， C．，3 D．，
3．如图，小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ）
A．22 B．21 C．16 D．12
4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．若二次函数，当时，有最大值4，最小值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．用长的木条围成如图所示的“日”字形窗框，则窗户的最大透光面积（木条宽度和损耗忽略不计）为（ ）
A． B． C． D．
7．已知某二次函数的图象如图所示，则该二次函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：
①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②③④
二、填空题
10．若抛物线与轴的公共点是，则这条抛物线的对称轴为 ．
11．点在抛物线上运动，当到轴的距离为1时，点的坐标为 ．
12．二次函数与轴交于点，点是该二次函数图象上位于点右侧的一个动点，当点变化时，若函数图象取之间的部分时函数最大值与最小值之差等于，则的值为 ；若函数图象取之间的部分时函数最大值与最小值之差始终等于，则的取值范围是 ．
13．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤当时，的取值范围是．其中，正确的结论有 个．
14．如图，某蔬菜大棚的截面图可以近似看成二次函数的图象抛物线，其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为 ．
15．如图，已知抛物线与的形状相同，顶点分别为和，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于，两点，其中．当时，的值为 ．
三、解答题
17．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上的一点，且，求点的坐标．
18．某网店专售一种商品，其成本为每件60元，当售价为每件80元时，每月可销售400件．已知销售过程中，销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于．据市场调查发现：销售单价每提高5元，则每月少销售25件，设每件商品的售价为元（为正整数），每月的销售量为件．
(1)直接写出与的函数关系式；
(2)设该网店每月获得的利润为元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
19．对于二次函数，分别满足下列条件，求相应的函数表达式．
(1)当时，随增大而增大，当时，随增大而减小；
(2)图象在轴上截得的线段长是，且与轴交于正半轴．
20．如图，要建一个矩形养殖场，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽为米，面积为平方米．
(1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽为多少米？
21．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称．
(1)求线段的长；
(2)当时，求的取值范围；
(3)如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值．
22．综合与实践
问题情境：
蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，上面覆上一层或多层保温塑料膜，就形成了一个温室空间，大棚的设计要保证安全、通风且利于采光．
数学建模：
如图是一种使用钢结构作为骨架的蔬菜大棚，其横截面示意图如图1，是由抛物线和立柱构成．经测量，大棚的最高点到地面的距离为，大棚宽度为，立柱，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系．
问题解决：
(1)求该蔬菜大棚横截面所在抛物线对应的函数解析式．
(2)如图2，从安全角度考虑，需安装“支撑架”对大棚进行加固，“支撑架”由三根支架构成，其中，垂直于地面，平行于地面，且点，均在抛物线上．经考察，当“支撑架”与地面构成正方形时，承受能力最强，此时为最安全的状态．请通过计算说明最安全时，这样的一组“支撑架”的总长度是多少．
(3)为提高水分的利用率，大棚引进智能节水灌溉系统，将灌溉管平行于地面安装于两立柱与之间，每组灌溉管上安装若干个洒水器，且这种洒水器喷洒的纵截面呈抛物线形状．如图3，当洒水器距地面高度为时（即灌溉管为），其最大喷洒直径为．为保证蔬菜获得充足的水分，同时考虑喷洒的密集程度，需要将灌溉管上的洒水器悬于距地面的高度．若使大棚内蔬菜均被完全喷洒到，请直接写出此时一组灌溉管上至少要安装洒水器的个数．（参考数据：）
《第22章二次函数易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B B D C B A D B B
1．B
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式确定二次项系数和顶点坐标是解题的关键．
根据二次函数顶点式确定出开口方向和顶点坐标即可求解．
【详解】解：，
顶点坐标为 ，
又，
开口向上．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查二次函数图象的平移，抛物线向下平移，函数值减少，因此新抛物线为，对应形式，直接比较系数即可．
【详解】解：∵原抛物线向下平移3个单位，
∴新抛物线为；
又∵新抛物线表示为，
∴，，
故选：B．
3．D
【分析】首先由求出点的坐标为 ，然后根据，可知点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度．
本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点和点的坐标是解决问题的关键．
【详解】解：，
抛物线顶点的坐标为，
，
点的横坐标为，
把代入，得到，
，
．
故选：D．
4．C
【分析】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．
根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与轴的交点为，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
【详解】解：当时，一次函数经过一、二、三象限，
二次函数开口向上，且与轴交于正半轴，
没有选项满足要求；
当时，一次函数经过一、二、四象限，
二次函数开口向上，且与轴交于负半轴，
只有C选项满足要求，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了求二次函数最值的问题，解决本题的关键是根据对称轴求出顶点坐标．
根据抛物线的图象及性质可知当时，有最大值4，当时，，关于直线的对称点为，据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，开口向下，
当时，有最大值4，
当时，，
关于直线的对称点为，
∵当时，有最大值4，最小值，
∴，
故选：B．
6．A
【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键．
设窗框的较长一边为，窗户的面积为，则较短一边（宽）为，据此得到窗户透光面积的表达式，根据二次函数的性质，求解最大值即可．
【详解】解：设窗框的较长一边为，窗户的面积为，
则较短一边（宽）为，
根据题意得，，
∵，
∴当，即时，y有最大值，最大值为6，
∴窗户的最大透光面积为
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点．分别求出各选项与x轴交点的横坐标，然后结合图象作答即可．
【详解】解：由函数图象知，二次函数与x轴的交点在正半轴，
∴二次函数与x轴的交点的横坐标为正数，
对于选项A，当时，，解得，，不符合题意，
对于选项B，当时，，解得，，不符合题意，
对于选项C ，当时，，解得，，不符合题意，
对于选项D，当时，，解得，，符合题意，
故选：D．
8．B
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标运算，根据题意代入求值比较大小即可．
【详解】∵二次函数 ，
∴对于点 ，有，
对于点，有，
对于点 ，有，
∵为常数，不影响大小比较，
∴，，，
∴．
故选：B．
9．B
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图象及性质依次排除选项即可．
【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线，
∴，即，故②正确；
∴，故①错误；
由图象可知：当时，则有，故③正确；
若m为任意值，当时，则，
当时，y有最小值，最小值为，
∴，
∴，
∴，故④错误；
方程的两根可看作是直线与二次函数的交点问题，如图，
∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
∴二次函数也过点，
∴方程的两个根分别为，
∴；故⑤正确；
综上所述：正确的有②③⑤；
故选：B．
10．直线
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，抛物线与轴的交点关于对称轴对称，因此对称轴为两交点横坐标的中点，即可求解．
【详解】解：抛物线与轴的交点坐标为 和，
对称轴为直线 ．
11．或或
【分析】本题考查已知函数值求自变量的值．点到轴的距离为，则其纵坐标为或，分别代入抛物线解析式求解横坐标．
【详解】解：设点的坐标为，由题意得，即或，
当时，代入，得，解得，，
此时点为或，
当时，代入，得，解得，，
此时点为．
综上所述：点的坐标为、或，
故答案为：或或．
12． 5
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，解题的关键是熟练运用分类讨论的思想求解．
先求二次函数与y轴交点A的坐标，顶点坐标，以及点A关于对称轴的对称点坐标，再根据二次函数的性质，分情况讨论．
【详解】解：（1）由二次函数，当时，，故点A坐标为，
将二次函数化为顶点式：，
∴顶点为，开口向下，
当时，，
此时最大值为，最小值为，；
∵顶点为，
∴对称轴为直线，
∴点关于对称轴对称的点为，
当时，，如图：
此时最大值为，最小值为，；
当时，此时最大值为7，最小值为，，如图：
则，即，且
解得或（舍），
∴当时，函数图象取之间的部分时函数最大值与最小值之差等于，
故答案为：
（2）由（1）分析可得若函数图象取之间的部分时函数最大值与最小值之差始终等于，则的取值范围是，
故答案为：，
13．
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，由抛物线的图象及与坐标轴的交点及开口方向可判断①②③；由时，得，可判断④；结合抛物线的对称轴可得抛物线与轴的另一个交点为，可判断⑤，从而可得答案．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，与轴的交点在负半轴，
∴，，故结论①②正确；
∵二次函数的图象与轴有两个交点，
∴方程有两个不相等的根，
∴，故结论③正确；
由时，，故结论④不正确；
∵抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∴当时，的取值范围是，故结论⑤正确；
综上所述，即正确的结论有个．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．设二次函数的解析式为，再将点代入可得的值，然后将代入二次函数的解析式，由此即可得．
【详解】解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，
设二次函数的解析式为，
将点代入得：，
解得，
则二次函数的解析式为，
将代入得：，
即，
所以大棚与墙的交点到原点的距离为，
故答案为：．
15．8
【分析】本题考查二次函数的综合应用，根据题意，将阴影部分的面积转化为平行四边形的面积进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线与的形状相同，顶点分别为和，
∴，，与轴平行，
∴图中阴影部分的面积可以转化为底为2，高为4的平行四边形的面积，
∴图中阴影部分的面积为；
故答案为：8．
16．4
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、解一元二次方程．核心素养表现为抽象能力、运算能力和推理能力．
将抛物线化为顶点式得到的中点为，即，再代入抛物线即可求解．
【详解】解：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵与轴交于，两点，
∴关于对称轴对称，
∴的中点为，
∵时，为的中点，
∴，
∵在的图象上，
，
解得或（舍）．
故答案为：4．
17．
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合，求一次函数与二次函数的交点坐标，求函数图象与轴的交点坐标，三角形面积的计算，通过解方程和方程组求交点坐标是解题的关键．设点的坐标为，先用待定系数法求出直线的解析式，然后根据列方程即可求出点的坐标．
【详解】解：为第四象限内抛物线上的一点，
设点的坐标为，
将代入，得，
解得，，
，
把代入抛物线，得，
，
设直线的解析式为，
把点的坐标代入，得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
设直线与轴交于点，
点的坐标为，
，
，即，
解得，（舍去），
点的坐标为，
18．(1)
(2)当销售单价为90元时，每月获得的利润最大，最大利润是10500元
【分析】本题考查销量与售价的一次函数关系，销售利润与售价二次函数关系式，利用抛物线解决获取最大利润的售价范围问题，掌握销售单价每提高1元，则每月少销售5件的关系，利润=每件利润×销量是解题关键．
（1）每件商品的售价提高部分为x-80,每月销量减少部分件，每月的销售量为即可；
（2）利用每件利润×销售件数可列出利润解析式，由销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于50%，列不等式组，求出售价范围，求出抛物线对称轴为直线，，由<0，抛物线开口向下，函数图象在对称轴的左侧，随的增大而增大，取最大值时，取得最大值，．
【详解】（1）解：每件商品的售价提高部分为x-80,每月销量减少部分件，
每月的销售量为=400-，
∴与的函数关系式为；
（2）由题意，得，
∵销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于50%，
∴，解得：，
∵，∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线，，
∴此时函数图象在对称轴的左侧，随的增大而增大，
∴时，取得最大值，；
答：当销售单价为90元时，每月获得的利润最大，最大利润是10500元．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题．
（1）根据抛物线的轴对称性质可知：抛物线的对称轴为：，由抛物线对称轴公式即可求出值，
（2）设抛物线与轴交点横坐标为、，由此可知，根据进行求解即可．
【详解】（1）解：由已知得，抛物线的对称轴为：，
即，解得，．
．
（2）令，得，
．
二次函数图象在轴上截得的线段长是，
，，
．
代入得，
解得：，
与轴交于正半轴，
可知，当时，，
解得．
所以不符合题意，应舍去．
20．(1)
(2)23米
【分析】本题考查列二次函数关系式、一元一次不等式组的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键．
（1）先用x表示出矩形养殖场的长为米，然后利用矩形面积公式求得函数关系式；
（2）由列方程求解即可．
【详解】（1）解：设养殖场的宽为x米，则养殖场的长为米，
根据题意，养殖场的面积，
∵墙长45米，宽长，
∴，
解得，
∴y与x的函数关系式为；
（2）解：当时，由得，
解得，（舍去），
答：养殖场的宽为23米．
21．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（）根据对称性求出点的坐标，即可求出的长；
（）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出函数的最大值及最小值即可求解；
（）分别过作直线的垂线，垂足为，可证，得到，，即得，又可得，即得到，可得，即可求证；
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，对称轴为直线，
∴,
∴，
即线段的长为；
（2）解：由题意得，，
解得，
∴抛物线，
∵，
∴当时，取最大值，，
又∵当时，，
∴当时，的取值范围为；
（3）证明：如图，分别过作直线的垂线，垂足为，
则，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
即为定值．
22．(1)
(2)
(3)个
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法，能根据题意建立恰当的直角坐标系，利用二次函数求解是解题的关键．
（1）由题意得顶点为，，可设抛物线对应的函数解析式，将代入计算，即可求解；
（2）设，由正方形的性质得，解方程，即可求解；
（3）建立以为坐标原点的平面直角坐标系，待定系数法求出抛物线对应的函数解析式，由需要将灌溉管上的洒水器悬于距地面的高度得将抛物线向下平移个单位长度得，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
顶点为，，
可设抛物线对应的函数解析式，
，
解得，
故抛物线对应的函数解析式；
（2）解：设，
，
四边形是正方形，
，
，
解得，（舍去），
，
，
故这样的一组“支撑架”的总长度是；
（3）解：建立以为坐标原点的平面直角坐标系，如图,
，
可设抛物线对应的函数解析式，
，
解得，
故抛物线对应的函数解析式，
需要将灌溉管上的洒水器悬于距地面的高度，
将抛物线向下平移个单位长度，
，
当时，，
解得：，，
此时最大喷洒直径为：，
，
使大棚内蔬菜均被完全喷洒到，
此时一组灌溉管上至少要安装洒水器个．
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