第23章旋转易错精选题（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册人教版

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第23章旋转易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．下列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若点的坐标为，则它关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，为斜边的中点，以点为中心，把逆时针旋转，使点落在点处，得到Rt，点旋转后的对应点分别为与交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点，的坐标分别为，．将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点是正方形的边上一动点，连结，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连结，若，则面积的最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
7．如图，中，，，，将绕点A逆时针旋转得，交于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，．将绕点B旋转得到，分别取的中点P、Q，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，…，若点，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为
11．某数学小组同学利用计算机中的画图软件，把图1中的基本图形旋转一定角度若干次后，得到图2的图案，该数学小组同学设定的旋转角为 ．
12．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ， ．
13．如图，将面积为12的正方形和面积为16的正方形分别绕原点顺时针旋转，使，落在数轴上，点，在数轴上对应的数字分别为，，则 ．
14．如图所示，在中，，，，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，的长为 ．
15．如图，在等腰中,，E是三角形内一点，连接，将线段绕点O逆时针旋转得到，连接．若，则的度数为 ．
16．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为 ．
三、解答题
17．如图，为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，（点的对应点为）．延长交，于点，连接．
(1)试判断与之间的数量关系，并说明理由．
(2)若，，求线段的长．
18．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，．
(1)将平移后，点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标为（_______，________）；
(2)请画出与关于原点成中心对称的．
19．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转，得到，点，旋转后的对应点分别为，，连接，分别交，于点，．若，求的长．
20．如图①，在与中，，．
(1)与的数量关系是：________．
(2)把图①中的绕点旋转一定的角度，得到如图②所示的图形．
①求证：．
②若延长交于点，则与的数量关系是什么？并说明理由．
21．如图1，在边长为4的正方形中，连接，点在上，且，将点绕点逆时针旋转至点，旋转角的度数为，连接，与相交于点，连接，交于点，当点旋转到与点重合时旋转停止．
(1)如图2，当时．
①求证：；
②点在线段的什么位置？请说明理由；
(2)在旋转的过程中，是否存在为等腰三角形的情况？如果存在，请直接写出的长；如果不存在，请说明理由．
22．综合与探究
问题情境：数学活动课上，老师让同学们对一个直角三角形和一个等腰三角形进行探究，如图1，中，，，，中，，
观察感知：
（1）如图1，将与的顶点重合，的直角边与等腰的边重合，与交于点，求线段的长；
探索发现：
（2）在图1的基础上，保持不动，将绕点按顺时针方向旋转一定的角度
①如图2，当点落在边上时，连接，判断四边形的形状并说明理由；
②请问当旋转角（）为多少度时，，在备用图中画出图形，直接写出的长度．
《第23章旋转易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A D C B B D C D C
1．A
【分析】先明确“轴对称图形”“中心对称图形”的定义，再对每个选项分别验证“是否是轴对称图形”“是否是中心对称图形”两个条件，从而确定符合要求的选项．本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，解题中用到的方法是“定义验证法”，即对照两个图形的定义逐一排查选项．解题关键是准确理解两个图形的核心特征：轴对称图形需找到“对称轴”，中心对称图形需确认“旋转后与自身重合”．易错点是混淆两个图形的定义，误将“轴对称”等同于“中心对称”，或遗漏其中一个条件的验证．
【详解】选项A沿多条直线对折后能重合（是轴对称图形），绕中心旋转后与自身重合（是中心对称图形），符合题意．
选项B绕中心旋转后无法与自身重合（不是中心对称图形），不符合题意．
选项C绕中心旋转后无法与自身重合（不是中心对称图形），不符合题意．
选项D绕中心旋转后无法与自身重合（不是中心对称图形），不符合题意．
故选A．
2．D
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标变化．根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标均互为相反数．
【详解】解：∵点的坐标为，关于原点对称，
∴它关于原点对称的点的坐标为．
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了图形旋转的性质，三角形内角和的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决本题的关键是利用求解出的度数．
先根据图形旋转可得，，再由等边对等角可得，再由三角形内角和可得，由此可解．
【详解】解：∵为斜边的中点，
∴，
又∵以点为中心，把逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，．
故选：C ．
4．B
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，过A作轴于点B，过作轴于点C，得出，证明，故有，然后根据坐标特点即可求解．
【详解】解：如图，过A作轴于点B，过作轴于点C，则，
由旋转知，，
，
，
，
，
∵点的坐标为，
，
，
故选：B．
5．B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，动点坐标的规律探索，解题的关键是掌握动点的运动规律．
根据旋转得出动点的运动规律是周期性的，然后根据平行四边形的性质得出第一象限内点的坐标，然后求出第2025次后点坐标即可．
【详解】解：根据旋转可得，点的运动规律是周期性的，循环周期为4，
第2025次旋转，循环次数为，
∴此时，点位于第四象限，
∵四边形为平行四边形，且点，的坐标分别为，，
∴轴，，
∴，
∴当点位于第四象限时，坐标为，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的性质，旋转的性质等知识，过F作于G，并反向延长交于H，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，设，则，根据三角形的面积公式求出，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：过F作于G，并反向延长交于H，
∵正方形中，，
∴，，，
∴，
又，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵旋转，
∴，，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴当时，有最大值为，
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等角对等边，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质．先根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，再由旋转的性质得到，，，，进而证明，则，据此可得答案．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，，
∴，
由旋转的性质可得，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8．D
【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形中位线的性质、三角形三边关系及勾股定理，由点的位置确定最大值和最小值是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，再根据三角形中位线的性质求出，，可得当、F、三点共线时，取到最大值和最小值，然后结合三角形三边关系得出答案．
【详解】解：取的中点F，连接，
∵旋转，
∴，
根据勾股定理得：，
、分别是、的中点，
，，
当、F、三点共线时，取到最大值和最小值，
的最小值为，的最大值为，
再根据三角形的三边关系，可得取值范围是.
故选：D．
9．C
【分析】本题考查坐标与图形变换-旋转，解题的关键是根据题意找到坐标变化的规律．求出和的周长，观察旋转的规律可得答案．
【详解】解：，
，
的周长为，
由图可知，，
根据旋转的规律可得，，
当时，；
即；
故选：C．
10．
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，关于原点对称的点的横坐标和纵坐标均互为相反数．
根据关于原点对称的点的坐标特点作答即可．
【详解】解：点关于原点的对称点坐标为．
故答案为：．
11．/60度
【分析】本题考查了旋转的应用，找出图1中的基本图形旋转，旋转次后，得到图2的图案，即可求解．
【详解】解：将图1中的基本图形旋转，旋转次后，得到图2的图案，
该数学小组同学设定的旋转角为，
故答案为：．
12． 4
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征．熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
根据关于原点对称的点的坐标特征，点的横坐标与点的横坐标互为相反数，点的纵坐标与点的纵坐标互为相反数，列出方程并求解．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
解得，．
故答案为：，．
13．
【分析】本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键．
分别求出两个正方形的边长，从而得到a，b的值，代入计算即可．
【详解】解：∵正方形的面积为12，正方形的面积为16，
∴，，
即，，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点．首先根据旋转的性质得到，然后结合得到是等边三角形，进而得到，然后利用线段的和差求解即可．
【详解】解：∵将绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
15．/25度
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用旋转性质证明三角形全等，推导角的数量关系．
由旋转得、，结合等腰的、，证得；再由等腰的，计算
【详解】解：∵ 线段OE绕点逆时针旋转得到OF，
∴ ，．
∵ 是等腰直角三角形，，
∴ ，，
∴ ，即
在和中，
∴ ，
∴ ．
∵ 是等腰直角三角形，，
∴ ，
∴ ．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形．根据题意，点向上平移2个单位，得到点，再根据题意将点绕原点按逆时针方向旋转，得到，，据此求解即可．
【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点，交轴于点，
∴，，
∴，，
∴，
根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转，
∴，
作轴于点，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
17．(1)，理由见解析
(2)的长为
【分析】（1）先根据旋转的性质得到，，，然后判断四边形为正方形，从而得到；
（2）过点作于点，于点，则，利用四边形为正方形得到，，设，则，，在中，利用勾股定理得到，解方程得到，，根据旋转的性质得到，接着利用等面积法求出，则根据勾股定理可计算出，由四边形为矩形得到，，然后利用勾股定理可计算出的长．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，
将绕点按顺时针方向旋转，得到，
，，，
，
四边形为矩形，
而，
四边形为正方形，
；
（2）如图，过点作于点，于点，则，
四边形为正方形，
，，
设，则，，
在中，，
即，
解得（负值已舍去），
，，
绕点按顺时针方向旋转，得到，
，
，
，
在中，，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
即的长为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形和正方形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．
18．(1)2，5
(2)见解析
【分析】本题主要考查了作图—中心对称变换、平移变换，坐标的平移，熟练掌握平移变换、中心对称变换的特征是解题的关键．
（1）根据坐标平移的规则：上加下减，左减右加，即可得到答案；
（2）利用关于原点成中心对称的点的特征得到的坐标，连线即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点的对应点的坐标是，
∴横坐标减去了2，纵坐标加上了6，
∴向左平移2个单位长度，又向上平移了6个单位长度，
∴点的对应点的坐标为，
故答案为：2，5；
（2）解：如图所示，即为所求：
19．
【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
连接，根据旋转的性质证得是等边三角形，进而证得为的垂直平分线，根据勾股定理分别求得和的长度，进而求得的长度即可．
【详解】解：连接，
，
绕点顺时针旋转，得到
、
是等边三角形
为的垂直平分线
、
答：的长为．
20．(1)
(2)①见解析；②，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、旋转性质，注意三角形证全等的几种方法要熟练掌握．
（1）根据线段的和差定义即可解决问题；
（2）①只要证明，即可解决问题；
②利用全等三角形的性质及三角形的内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，即，
故答案为：；
（2）①证明：由旋转的性质，得，
∴，即
.
∵，，
∴，
∴；
②解：.理由：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．(1)①见解析；②在中点的位置，见解析
(2)存在，的长为或
【分析】（1）①先证明为等边三角形，再根据为的中点，可得；②由先求出，，过点作于点，证明四边形是矩形，再证明问题得解；
（2）根据为等腰三角形，分情况讨论：第一种情况：当时，可得，这与相矛盾，故此种情况不存在；第二种情况：当时，过F点作于Q点，如图，在中，，再在中，；第三种情况：当时，过F点作于T点，过B点作于S点，如图，根据等腰三角形的性质可得，再在中，，利用，可得，进而在中，，即，再在中利用勾股定理即可作答．
【详解】（1）①证明：∵绕点逆时针旋转得到，
∴，
∵，即，
∴为等边三角形，
∵为的中点，
∴；
②由（1）知，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
如图，过点作于点，
则，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴
∴，
∴在中点的位置；
（2）存在．的长为或．
根据为等腰三角形，分情况讨论：
第一种情况：当时，
∵，，
∴，
∴，这与相矛盾，故此种情况不存在；
第二种情况：当时，过F点作于Q点，如图，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴在中，，
∴在中，；
第三种情况：当时，过F点作于T点，过B点作于S点，如图，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
综上：的长为或．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握等腰三角形的性质，注重分类讨论的思想是解答本题的关键．
22．（1）
（2）①四边形是菱形，理由见解析；②，图见解析，
【分析】（1）根据等腰三角形的性质先求得，从而得到，即，在中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，求得，即可解答；
（2）①由，，得到是等边三角形，从而得到，，结合，得到是等边三角形，即可通过四条边相等的四边形为菱形证得结论；
②由，，，可知当点D旋转到与点B重叠时，此时，此时，据此画出图形，然后利用30度直角三角形的性质，求得，接着利用等腰三角形的性质和勾股定理求得等腰底边上的高，从而得到，最后利用勾股定理即可求得．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，即，
∴，
解得，
∴；
（2）①四边形是菱形，理由如下：
∵，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
②∵，，，
∴当点D旋转到与点B重叠时，此时，
如图所示即为所求，过点C作于点G，
此时，
∵中，，，，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，30度直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握以上性质是解题的关键．
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