第24章圆易错精选题（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册人教版

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第24章圆易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．经过三点确定一个圆
C．优弧一定比劣弧长
D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等
2．如图，在⊙中，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，、、、四点在直径为的上，，，若在取一点，在取一点，使得，则点落在（ ）
A． B． C． D．
4．如图，往半径为的圆柱形容器内注入一些水以后，若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的弦，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（ ）
A．4 B．5 C． D．
7．如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（　　）
A． B． C． D．无法确定
8．我国“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，某款手机后置摄像头模组如图所示.其中大圆的半径为，中间小圆的半径为，4个半径为的高清圆形镜头分布在两圆之间.请用含的代数式表示图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是半圆的直径，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，直线交半圆于点，连接，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．将一个正五边形绕其中心至少旋转 °就能和本身重合．
11．如图，点A、B、C、D、E在上，且为40°，则的度数为 ．
12．三角形两边长是6和8，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为 ．
13．已知是的两条平行弦，，，的半径为，则弦与的距离为 ．
14．已知是的直径，弦 于点， 若，，则的长为 ．
15．如图，四边形内接于，连接，其中，，若点在上，连接，，则的度数为 ．
16．如图，以为圆心，6为半径的交x轴于点A、B，交y轴于点C、D，连接并延长交于点E，连接交x轴于点F，则的面积 ．
三、解答题
17．如图，在中，．
(1)尺规作图：作，使得经过点C，并且与边都相切；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，则的半径为 ．
18．如图，是的两条弦，与相交于点，．
(1)求证：；
(2)连接，作直线，求证：．
19．如图，是的弦，点D是的中点，连接并反向延长交于点C．若，求的半径．
20．如图，以的边为直径作，点A在圆上，作，交的延长线于点D．E在上，，垂足为H，连接交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
21．综合与实践：用一块三角板（）和一把刻度尺测量如图1所示的圆口水杯的杯口直径，小南和小通分别给出了测量方法及示意图．
小南的测量方法：
如图2，将三角板按照如图所示的方式摆放在杯口上，三角板的直角顶点靠在杯口上，直角的两边，与杯口的交点分别为，利用刻度尺测得的长为．
小通的测量方法：
如图3，将刻度尺有刻度的一边与杯口相切，切点为，将三角板直角边落在刻度尺有刻度的一边上，另一条直角边与杯口相切，切点为，利用刻度尺测得的长即可算出杯口直径．
(1)根据小南的测量方法可知，该水杯的杯口直径为 ，理由是 ；
(2)若小南和小通的操作和测得数据都是正确的，请确定图3中的长，并说明理由．
22．如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，设P为横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值；
(3)点P是直线一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，为半径作，当与坐标轴相切时，请直接写出点P的坐标．
《第24章圆易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D B B C C D B B D
1．D
【分析】本题考查圆的基本概念，包括等弧、确定圆的条件、优弧与劣弧的比较以及圆心角与弦的关系．需根据初中数学知识逐一判断选项的正误．
【详解】解：∵等弧需在同圆或等圆中定义，长度相等的弧不一定重合，故A错误；
三点共线时不能确定圆，故B错误；
优弧与劣弧长度比较需在同圆中成立，否则不一定，故C错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，这是圆心角定理，故D正确．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理．首先连接，根据垂径定理可知，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出的度数．
【详解】解：如下图所示，连接，
，
，
，
．
故选：B．
3．B
【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，
先根据弧、弦、圆心角的关系求出，再根据圆周角定理得，然后根据，进而得出答案．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴
∴，
∴．
∵，
∴所对的圆心角，
可知，
∴点Q落在上．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理．过圆心O作交于点D，交于点C，连接，先利用垂径定理求出，进而在中利用勾股定理求出，再求出的长即可解答．
【详解】解：如图所示，过圆心O作交于点D，交于点C，连接，
，
，
在中，，
，
，
水的最大深度为．
故选：C．
5．C
【分析】本题主要考查了圆的定义，等边三角形的性质和判定，
根据圆的定义可得，再说明是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得出答案．
【详解】解：在中，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故选：C．
6．D
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置，然后利用勾股定理计算即可．
【详解】解：∵的外心为O，
．
，
，
、是方格纸格线的交点，
、的位置如图所示，
．
故选：D．
7．B
【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意正确作出辅助线．
如图，取弧的中点E，连接，证明，再利用三角形的三边关系解决问题．
【详解】解：如图，取弧的中点E，连接，
，，
，
，
，
．
故选：B．
8．B
【分析】本题主要考查了根据图形列代数式，正确列出代数式是解题的关键．阴影部分的面积等于最大圆面积减去五个小圆的面积，据此列式求解即可．
【详解】解：由题意得，阴影面积为：
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图与性质，等边三角形的判定，圆周角定理，三角形内角和定理．熟练掌握垂直平分线的尺规作图与性质，等边三角形的判定，圆周角定理，三角形内角和定理是解题的关键．
由尺规作图可知垂直平分，故，结合，证明是等边三角形，得出，已知是半圆的直径，根据圆周角定理得出，最后结合三角形内角和定理即可求出．
【详解】解：连接，
由作图可知直线是的垂直平分线，
，
，
，
是等边三角形，
，
又是半圆的直径，
，
，
故选D．
10．
【分析】此题考查了正多边形的性质，正五边形是旋转对称图形，其最小旋转角度等于中心角的度数．
正五边形的中心角为 ，故绕其中心至少旋转 就能和本身重合．
【详解】解：正五边形的中心角为 ，故绕其中心至少旋转就能和本身重合．
故答案为：
11．160
【分析】本题主要考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构造内接四边形是解题的关键．
连接，先求得，根据圆内接四边形的性质得出，即可求得．
【详解】解：如图，连接，
∵为，
∴，
∵点B、C、D、E在上，
∴四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：160．
12．5
【分析】本题考查求三角形外接圆的半径，先解一元二次方程，根据三角形三边关系确定第三边的长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，最后利用直角三角形的斜边为其外接圆的直径，进行求解即可．
【详解】解：，
因式分解得 ，
解得 ，．
当第三边为 2 时，，不满足三角形两边之和大于第三边，故舍去；
当第三边为 10 时，满足 ，，，且 ，，
所以三角形为直角三角形，斜边为 10，
因此外接圆半径为斜边的一半，即．
故答案为：5．
13．
2或14
【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理的综合应用，解题的关键是考虑两条平行弦相对于圆心的位置关系（同侧或异侧），避免漏解．
过圆心作平行弦中一条弦的垂线，由平行性质可知该垂线垂直于另一条弦；利用垂径定理求出两条弦的一半长度；结合勾股定理分别计算圆心到两条弦的距离；最后分同侧和异侧两种情况计算两弦的距离．
【详解】解：过作于，交CD于，
∵ ，
∴ ，
由垂径定理得，，
在中，，
在中，，
当AB与CD在圆心同侧时，距离为（图1），
当AB与CD在圆心异侧时，距离为（图2），

故答案为：或14．
14．1或9/或
【分析】本题考查勾股定理和垂径定理的应用，根据题意做出图形是本题的解题关键，注意分类讨论．结合垂径定理和勾股定理，在中，求得的长，则或，据此即可求解．
【详解】解：如图，连接，
的直径，
，
于点，
，
在中，，
，
如图：
同理，可求得，
此时，
故的长是或，
故答案为：或．
15．/130度
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可求得，根据等边对等角可得，求得，根据圆内接四边形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形为的内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，圆周角定理，垂径定理等知识点，连接，根据圆的基本概念求出点坐标，勾股定理求出的长，垂径定理得到的长，圆周角定理得到，勾股定理求出的长，进而求出点坐标，待定系数法求出直线的解析式，进而求出点坐标，求出的长，三角形的面积公式求出的面积即可．
【详解】解：连接，如图：
∵以为圆心，6为半径的交x轴于点A、B，交y轴于点C、D，
∴，，
，，
∵，
∴，
是直径，
，，
，
，
设的解析式为：，
，
，，
∴，
∴当时，，
，
，
故答案为：
17．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了切线的判定、勾股定理、角平分线的作图和性质等知识，准确作图是关键．
（1）作角平分线交于点，过点作于点D，根据角平分线的性质得到，以点为圆心，为半径画圆，即为所求；
（2）设的半径为，根据求出，证明，根据等积法进行解答即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：设的半径为，
∵在中，．，，
∴，
∵，．角平分线交于点，
∴，
∴
,
∴，
解得
即的半径为．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（）利用弧、弦、圆心角的关系得出，即得，即可求证；
（）由得，即得，即得到，得到，进而由得到都在的垂直平分线上，即可求证；
本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，垂直平分线的判定等，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴都在的垂直平分线上，
∴．
19．10
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接，由垂径定理得，设的半径为r，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解∶连接，如图所示∶
∵点D是的中点，，
∴，
设的半径为r，则，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得∶，
即，
解得∶，
即的半径为10．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，垂径定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是：
（1）根据等边对等角并结合已知可得出，根据等式性质得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据切线的判定即可得证；
（2）根据三角形外角的性质求出，根据垂径定理得出，根据圆周角定理得出，则，证明是等边三角形，得出，进而求出，根据含的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，最后根据阴影部分的面积等于的面积减去扇形的面积求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵为直径作，
∴，
∴，即，
又是的直径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
21．(1)，90度的圆周角所对的弦是直径；
(2)，理由见解析．
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，正方形的判定和性质．
（1）根据90度的圆周角所对的弦是直径作答即可；
（2）连接、，由（1）可知，根据切线的性质得到，可证四边形是正方形，即可得到．
【详解】（1）解：∵的长为，
∴该水杯的杯口直径为，理由是90度的圆周角所对的弦是直径．
故答案为：，90度的圆周角所对的弦是直径；
（2）解：如图，连接、，
∵杯口直径为，
∴，
∵将刻度尺有刻度的一边与杯口相切，切点为，将三角板直角边落在刻度尺有刻度的一边上，另一条直角边与杯口相切，切点为，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴．
22．(1)
(2)当时，S有最大，最大为值为
(3)点P的坐标为或或或
【分析】本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程，切线的性质．
（1）根据抛物线的对称性求出，得到，，代入抛物线，即可求出抛物线的解析式；
（2）由轴得到点Q的横坐标为t，设直线的解析式为，求出直线的解析式为，得到点，进而得到解析式，根据二次函数的性质作答即可；
（3）由（2）可知直线的解析式为，设，则，得到，分与x轴相切、与y轴相切两种情况，解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点，对称轴为直线，
∴点A和点B关于抛物线对称轴对称，
∴，
解得，
∴，，
将，代入抛物线，
可得，解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：如图2，
∵轴，点P的横坐标为t，
∴点Q的横坐标为t，点，
对于抛物线，
令，则有，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为．
∴点，
∴，
∴当时，PQ最大，
∴；
（3）解：由（2）可知直线的解析式为，
∵点P是直线一动点，
∴可设，
又∵轴，点Q在抛物线上，
∴，
∴，
当与x轴相切时，，
则或，
解得，或，，
当时，点P、Q重合，不合题意，
当时，可有，即
当时，可有，即；
当与y轴相切时，，
则或，
解得，或，，
当时，点P、Q重合，不合题意，
当时，可有，即，
当时，可有，即；
综上所述，与x轴相切时，点P的坐标为或或或．
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