湖南省长沙市望城区长郡斑马湖中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题
1．（2025高三上·望城期中）集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025高三上·望城期中）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025高三上·望城期中）已知 ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三上·望城期中）已知.若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高三上·望城期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
6．（2025高三上·望城期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高三上·望城期中）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2025高三上·望城期中）已知函数及其导函数的定义域为，是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高三上·望城期中）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．命题“，使得”的否定是“，都有”
B．当时，的最小值是5
C．已知集合，若，则m的值为
D．“”是“”的必要不充分条件
10．（2025高三上·望城期中）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A．
B．是图象的一个对称中心
C．当时，取得最大值
D．函数在区间上单调递增
11．（2025高三上·望城期中）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．在区间内的值域为
B．函数的图象为中心对称图形
C．过点且与图象相切的直线共有三条
D．有三个零点
12．（2025高三上·望城期中）曲线C：在处的切线方程为 ．
13．（2025高三上·望城期中）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是 .
14．（2025高三上·望城期中）已知实数，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为 .
15．（2025高三上·望城期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
16．（2025高三上·望城期中）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 ，的等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）证明：
17．（2025高三上·望城期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，点在棱上，.
（1）证明：；
（2）当时，求点到直线的距离.
18．（2025高三上·望城期中）已知函数，，.
（1）求的单调区间；
（2）若当时，与的单调性相同，求实数的取值范围；
（3）若当时，有最小值，证明：.
19．（2025高三上·望城期中）如图双曲线的左右顶点分别为且，已知双曲线的离心率为2．
（1）求双曲线的方程．
（2）直线与双曲线交于两点且以线段为直径的圆恰好经过点．
①证明：直线过轴上一定点，请求出点的坐标；
②若都在双曲线的右支，求的面积的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，
所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.
故答案为：B．
【分析】通过复数的乘方、除法运算化简复数，得到其代数形式（），再根据复平面内点的坐标判断所在象限.
3．【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：，即a故答案为：C
【分析】根据对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.
4．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，且，
则，可得，
所以.
故答案为：A.
【分析】核心是利用向量垂直的性质（ 数量积为）求出，再结合向量夹角公式计算两向量的夹角余弦值。
5．【答案】C
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理可得，
则、，则.
故答案为：C.
【分析】用正弦定理（三角形中边与对角正弦的比值相等，即，为外接圆半径），将边、转化为角的正弦形式，再代入式子化简求值.
6．【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：已知，两边平方可得，
即；
因为，所以，解得.
则.
故答案为：C.
【分析】将目标式子通分并利用同角三角函数关系化简，再通过已知条件平方，结合求出，最终代入化简后的式子求值.
7．【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：已知二次函数可化为顶点式：，
则由已知可得分段函数，
将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数，
作出函数的图象，如图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点；
当时，直线与函数的图象没有交点；
当时，直线与函数的图象有三个交点；
所以直线与函数的图象不可能有两个交点．
故答案为：C．
【分析】作出的图象，并将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，结合图象，分、、三种情况求解即可．
8．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，求导得，
，则，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得；
故在内单调递增，在内单调递减，
又是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线，
由，可得，即，
则，故有，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：B.
【分析】构造函数，利用导数和已知条件分析其单调性，结合偶函数的性质，将原不等式转化为的不等式，再解对数不等式得到解集.
9．【答案】A,B,C
【知识点】元素与集合的关系；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式
10．【答案】B,D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：A：将函数的图象向右平移个单位长度得到函数.判断错误；
B：，则是图象的一个对称中心.判断正确；
C：，当时，取得最小值.判断错误；
D：由，可得，则函数在区间上单调递增.判断正确.
故答案为：BD
【分析】通过三角函数图象平移规则（“右减左加”）得到的解析式，再逐一分析选项.
11．【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性；导数的几何意义；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：求导得：，
递增 递减 递增
由上可知在区间内的值域为，故A错误；
由，根据定义域为，
则，
所以有，则函数的图象关于点对称，故B正确；
设函数在点处的切线方程为：，
由切线经过点，则，
整理得：，
令，
则，
可得以下函数关系：
递增 递减 递增
通过上表可判断：的零点只有个，
即方程的解只有个，
所以满足函数在点处的切线方程仅有条满足题意，故C错误；
函数的关系如下表：
递增 递减 递增
根据上表结合三次函数图象可知：有个零点，故D正确；
故答案为：BD
【分析】通过导数分析单调性与极值、中心对称的定义、切线方程的构造逐一判断选项.
12．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题知，，，
，，
由导数的几何意义知，曲线在处即在点处的切线斜率为，
切线方程为，整理得.
故答案为：.
【分析】求切点，求导得斜率，用点斜式写方程
13．【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间
14．【答案】
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：依题意，，
则，即，
由，得
，当且仅当，即时取等号，
同理当时，取得最小值；
当时，取得最小值，
因此，解得，
所以当时，取得最小值.
故答案为：
【分析】利用是三个数的最大值，得到不小于这三个数的和；再对每个数用“1的代换”结合基本不等式求最小值，进而得到的最小值.
15．【答案】（1）解：由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
（2）解：因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）求得 ，得到，结合正弦定理，即可求解.
（2）利用余弦定理求得的值，结合面积公式，即可求解.
16．【答案】（1）因为 是公差为 的等差数列，而 ，
所以 ①
时， ②
①-②有： .
所以 ，
以上式子相乘，得
经检验， 时， ，符合.
所以 .
（2）由（1）知
所以
所以 = =
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ．
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得 ，由利用Sn与an的关系，得 ，再利用累积法，可得an；
（2）由（1）得 ，利用裂项相消求和求得 ，再解不等式即可.
17．【答案】（1）证明： 由，为的中点，得，
又平面平面，平面平面，
平面，因此平面，
又平面，所以.
（2）解：取的中点，由为正三角形，得，过作与交于点，
则，直线两两垂直，以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图，则，，
因此，，
所以点到直线的距离为.
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】(1) 利用面面垂直的性质定理（面面垂直→线面垂直），结合线面垂直的性质证明线线垂直；
(2) 建立空间直角坐标系，用向量法求点到直线的距离（距离公式：，是与的夹角）.
（1）由，为的中点，得，
又平面平面，平面平面，平面，
因此平面，又平面，
所以.
（2）取的中点，由为正三角形，得，
过作与交于点，则，直线两两垂直，
以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
因此，，
所以点到直线的距离为.
18．【答案】（1）解： 函数的定义域，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为
（2）解： 由题意及（1）得在上单调递增，则在时恒成立，
令，，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，且对，恒成立，则，
所以实数的取值范围是.
（3）证明： 由（2）知，，，
令，，求导得，
则函数在上单调递增，而又，，
于是存在唯一的，使得，
即，即，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
令，则在上恒成立，
函数在上单调递减，，即，
因此，所以
【知识点】函数的最大（小）值；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1) 求导后根据导数符号分区间判断的单调性；
(2) 由的单调性确定的单调性，转化为不等式恒成立问题，通过构造函数求最值得的范围；
(3) 求的导数，分析其单调性找到最小值点，构造函数求最小值的取值范围.
（1）函数的定义域，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由题意及（1）得在上单调递增，则在时恒成立，
令，，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
且对，恒成立，则，
所以实数的取值范围是.
（3）由（2）知，，，
令，，求导得，
则函数在上单调递增，而又，，
于是存在唯一的，使得，即，即，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
令，则在上恒成立，
函数在上单调递减，，即，
因此，所以.
19．【答案】（1）解：双曲线的左右顶点分别为且，
，，，，，
双曲线：．
（2）解：①证明：直线与双曲线交于两点且以线段为直径的圆恰好经过双曲线左顶点，
，，
设直线的方程为，，
联立双曲线得，()，
，
，，
，，解得或，
若，则直线过，与题意矛盾舍去，故，
直线过．
②，，，
由①知，直线：，联立双曲线方程得()，
，
都在双曲线的右支上，，，
，
，
令，则，代入得，
令，，解得，，
求导得，在时恒成立，在单调递增，
在时取最小值，，的最小值为9．
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 利用双曲线的顶点距离和离心率，结合求方程；
(2)① 设直线方程，联立双曲线后利用（向量数量积为0）求定点；
② 结合在右支的条件，用韦达定理表示面积，构造函数求最小值.
（1）双曲线的左右顶点分别为且，
，，
，，
，
双曲线：．
（2）①证明：直线与双曲线交于两点且以线段为直径的圆恰好经过双曲线左顶点，
，，
设直线的方程为，，
联立双曲线得，()，
，
，，
，，解得或，若，则直线过，与题意矛盾舍去，故，
直线过．
②，，
，
由①知，直线：，
联立双曲线方程得()，
，
都在双曲线的右支上，，，
，
，
令，则，代入得
，
令，，解得，
，
求导得，在时恒成立，
在单调递增，在时取最小值，，
的最小值为9．
1 / 1湖南省长沙市望城区长郡斑马湖中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题
1．（2025高三上·望城期中）集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
2．（2025高三上·望城期中）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，
所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.
故答案为：B．
【分析】通过复数的乘方、除法运算化简复数，得到其代数形式（），再根据复平面内点的坐标判断所在象限.
3．（2025高三上·望城期中）已知 ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：，即a故答案为：C
【分析】根据对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.
4．（2025高三上·望城期中）已知.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，且，
则，可得，
所以.
故答案为：A.
【分析】核心是利用向量垂直的性质（ 数量积为）求出，再结合向量夹角公式计算两向量的夹角余弦值。
5．（2025高三上·望城期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理可得，
则、，则.
故答案为：C.
【分析】用正弦定理（三角形中边与对角正弦的比值相等，即，为外接圆半径），将边、转化为角的正弦形式，再代入式子化简求值.
6．（2025高三上·望城期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：已知，两边平方可得，
即；
因为，所以，解得.
则.
故答案为：C.
【分析】将目标式子通分并利用同角三角函数关系化简，再通过已知条件平方，结合求出，最终代入化简后的式子求值.
7．（2025高三上·望城期中）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：已知二次函数可化为顶点式：，
则由已知可得分段函数，
将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数，
作出函数的图象，如图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点；
当时，直线与函数的图象没有交点；
当时，直线与函数的图象有三个交点；
所以直线与函数的图象不可能有两个交点．
故答案为：C．
【分析】作出的图象，并将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，结合图象，分、、三种情况求解即可．
8．（2025高三上·望城期中）已知函数及其导函数的定义域为，是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，求导得，
，则，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得；
故在内单调递增，在内单调递减，
又是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线，
由，可得，即，
则，故有，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：B.
【分析】构造函数，利用导数和已知条件分析其单调性，结合偶函数的性质，将原不等式转化为的不等式，再解对数不等式得到解集.
9．（2025高三上·望城期中）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．命题“，使得”的否定是“，都有”
B．当时，的最小值是5
C．已知集合，若，则m的值为
D．“”是“”的必要不充分条件
【答案】A,B,C
【知识点】元素与集合的关系；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式
10．（2025高三上·望城期中）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A．
B．是图象的一个对称中心
C．当时，取得最大值
D．函数在区间上单调递增
【答案】B,D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：A：将函数的图象向右平移个单位长度得到函数.判断错误；
B：，则是图象的一个对称中心.判断正确；
C：，当时，取得最小值.判断错误；
D：由，可得，则函数在区间上单调递增.判断正确.
故答案为：BD
【分析】通过三角函数图象平移规则（“右减左加”）得到的解析式，再逐一分析选项.
11．（2025高三上·望城期中）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．在区间内的值域为
B．函数的图象为中心对称图形
C．过点且与图象相切的直线共有三条
D．有三个零点
【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性；导数的几何意义；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：求导得：，
递增 递减 递增
由上可知在区间内的值域为，故A错误；
由，根据定义域为，
则，
所以有，则函数的图象关于点对称，故B正确；
设函数在点处的切线方程为：，
由切线经过点，则，
整理得：，
令，
则，
可得以下函数关系：
递增 递减 递增
通过上表可判断：的零点只有个，
即方程的解只有个，
所以满足函数在点处的切线方程仅有条满足题意，故C错误；
函数的关系如下表：
递增 递减 递增
根据上表结合三次函数图象可知：有个零点，故D正确；
故答案为：BD
【分析】通过导数分析单调性与极值、中心对称的定义、切线方程的构造逐一判断选项.
12．（2025高三上·望城期中）曲线C：在处的切线方程为 ．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题知，，，
，，
由导数的几何意义知，曲线在处即在点处的切线斜率为，
切线方程为，整理得.
故答案为：.
【分析】求切点，求导得斜率，用点斜式写方程
13．（2025高三上·望城期中）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间
14．（2025高三上·望城期中）已知实数，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：依题意，，
则，即，
由，得
，当且仅当，即时取等号，
同理当时，取得最小值；
当时，取得最小值，
因此，解得，
所以当时，取得最小值.
故答案为：
【分析】利用是三个数的最大值，得到不小于这三个数的和；再对每个数用“1的代换”结合基本不等式求最小值，进而得到的最小值.
15．（2025高三上·望城期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）解：由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
（2）解：因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）求得 ，得到，结合正弦定理，即可求解.
（2）利用余弦定理求得的值，结合面积公式，即可求解.
16．（2025高三上·望城期中）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 ，的等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）证明：
【答案】（1）因为 是公差为 的等差数列，而 ，
所以 ①
时， ②
①-②有： .
所以 ，
以上式子相乘，得
经检验， 时， ，符合.
所以 .
（2）由（1）知
所以
所以 = =
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ．
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得 ，由利用Sn与an的关系，得 ，再利用累积法，可得an；
（2）由（1）得 ，利用裂项相消求和求得 ，再解不等式即可.
17．（2025高三上·望城期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，点在棱上，.
（1）证明：；
（2）当时，求点到直线的距离.
【答案】（1）证明： 由，为的中点，得，
又平面平面，平面平面，
平面，因此平面，
又平面，所以.
（2）解：取的中点，由为正三角形，得，过作与交于点，
则，直线两两垂直，以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图，则，，
因此，，
所以点到直线的距离为.
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】(1) 利用面面垂直的性质定理（面面垂直→线面垂直），结合线面垂直的性质证明线线垂直；
(2) 建立空间直角坐标系，用向量法求点到直线的距离（距离公式：，是与的夹角）.
（1）由，为的中点，得，
又平面平面，平面平面，平面，
因此平面，又平面，
所以.
（2）取的中点，由为正三角形，得，
过作与交于点，则，直线两两垂直，
以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
因此，，
所以点到直线的距离为.
18．（2025高三上·望城期中）已知函数，，.
（1）求的单调区间；
（2）若当时，与的单调性相同，求实数的取值范围；
（3）若当时，有最小值，证明：.
【答案】（1）解： 函数的定义域，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为
（2）解： 由题意及（1）得在上单调递增，则在时恒成立，
令，，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，且对，恒成立，则，
所以实数的取值范围是.
（3）证明： 由（2）知，，，
令，，求导得，
则函数在上单调递增，而又，，
于是存在唯一的，使得，
即，即，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
令，则在上恒成立，
函数在上单调递减，，即，
因此，所以
【知识点】函数的最大（小）值；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1) 求导后根据导数符号分区间判断的单调性；
(2) 由的单调性确定的单调性，转化为不等式恒成立问题，通过构造函数求最值得的范围；
(3) 求的导数，分析其单调性找到最小值点，构造函数求最小值的取值范围.
（1）函数的定义域，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由题意及（1）得在上单调递增，则在时恒成立，
令，，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
且对，恒成立，则，
所以实数的取值范围是.
（3）由（2）知，，，
令，，求导得，
则函数在上单调递增，而又，，
于是存在唯一的，使得，即，即，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
令，则在上恒成立，
函数在上单调递减，，即，
因此，所以.
19．（2025高三上·望城期中）如图双曲线的左右顶点分别为且，已知双曲线的离心率为2．
（1）求双曲线的方程．
（2）直线与双曲线交于两点且以线段为直径的圆恰好经过点．
①证明：直线过轴上一定点，请求出点的坐标；
②若都在双曲线的右支，求的面积的最小值．
【答案】（1）解：双曲线的左右顶点分别为且，
，，，，，
双曲线：．
（2）解：①证明：直线与双曲线交于两点且以线段为直径的圆恰好经过双曲线左顶点，
，，
设直线的方程为，，
联立双曲线得，()，
，
，，
，，解得或，
若，则直线过，与题意矛盾舍去，故，
直线过．
②，，，
由①知，直线：，联立双曲线方程得()，
，
都在双曲线的右支上，，，
，
，
令，则，代入得，
令，，解得，，
求导得，在时恒成立，在单调递增，
在时取最小值，，的最小值为9．
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 利用双曲线的顶点距离和离心率，结合求方程；
(2)① 设直线方程，联立双曲线后利用（向量数量积为0）求定点；
② 结合在右支的条件，用韦达定理表示面积，构造函数求最小值.
（1）双曲线的左右顶点分别为且，
，，
，，
，
双曲线：．
（2）①证明：直线与双曲线交于两点且以线段为直径的圆恰好经过双曲线左顶点，
，，
设直线的方程为，，
联立双曲线得，()，
，
，，
，，解得或，若，则直线过，与题意矛盾舍去，故，
直线过．
②，，
，
由①知，直线：，
联立双曲线方程得()，
，
都在双曲线的右支上，，，
，
，
令，则，代入得
，
令，，解得，
，
求导得，在时恒成立，
在单调递增，在时取最小值，，
的最小值为9．
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