2010年中考第二轮复习专题五几何证明与综合应用

§6.几何证明与综合应用
例1．【06海南中考】如图1，四边形ABCD是正方形，G是
BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，
CF∥AE交DG于F.
（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；
（2）求证：AE=FC+EF.
解：(1) ΔAED≌ΔDFC.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AD=DC，∠ADC=90 .
又∵ AE⊥DG，CF∥AE，
∴ ∠AED=∠DFC=90 ,
∴ ∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90 ，
∴ ∠EAD=∠FDC.
∴ ΔAED≌ΔDFC （AAS）.
(2) ∵ ΔAED≌ΔDFC，
∴ AE=DF，ED=FC.
∵ DF=DE+EF，
∴ AE=FC+EF.
例2．【07海南中考】如图2，在正方形中，点在边上，射线交于点，交的延长线于点.
（1）求证：≌；
（2）过点作，交于点，求证：；
（3）设，，试问是否存在的值，使为等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴DA=DC，∠1=∠2=45，DE=DE
∴≌
（2）∵≌
∴∠3=∠4
∵CH⊥CE，∴∠4+∠5=90
又∵∠6+∠5=90，∴∠4=∠6=∠3
∵AD∥BG，∴∠G=∠3
∴∠G=∠6 ∴CH=GH
又∵∠G+∠5=∠G+∠7=90
∴∠5=∠7， ∴CH=FH ∴FH=GH
（3）解：存在符合条件的x值 此时
∵∠ECG>90，要使△ECG为等腰三角形，必须 CE=CG，∴∠G =∠8
又∵∠G =∠4，∴∠8 =∠4 ∴∠9 = 2∠4 = 2∠3
∴∠9 +∠3 = 2∠3+∠3 = ∴∠3 =
∴
例3．【08海南中考】如图3，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；
（2）设AP=x, △PBE的面积为y.
① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.
（1）证法一：
① ∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°.
∵ PC=PC，∴ △PBC≌△PDC （SAS）.
∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC.
又∵ PB= PE ，∴ PE=PD.
② （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，
∵ PB=PE，∴ ∠PBE=∠PEB，
∴ ∠PEB=∠PDC，∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，
∴ ∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，∴ PE⊥PD.
（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD.
（iii）当点E在BC的延长线上时，如图.
∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，∴ ∠DPE=∠DCE=90°，
∴ PE⊥PD.
综合（i）（ii）（iii）, PE⊥PD. ………（7分）
（2）① 过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE.
∵ AP=x，AC=，
∴ PC=- x，PF=FC=.
BF=FE=1-FC=1-()=.
∴ S△PBE=BF·PF=( HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ).
即 (0＜x＜).
② .）
∵ ＜0，
∴ 当时，y最大值.
例4．【09海南中考】如图4-1,在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°, △ABD是等边三角形，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F.
（1）求证：① △AEF≌△BEC；② 四边形BCFD是平行四边形；
（2）如图4-2，将四边形ACBD折叠,使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值.
证明：（1）① 在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°, ∴ ∠ABC=60°.
在等边△ABD中，∠BAD=60°, ∴ ∠BAD=∠ABC=60° .
∵ E为AB的中点，∴ AE=BE.
又∵ ∠AEF=∠BEC ,∴ △AEF≌△BEC .
② 在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点
∴ CE=AB,BE=AB， ∴ ∠BCE=∠EBC=60° .
又∵ △AEF≌△BEC, ∴ ∠AFE=∠BCE=60° .
又∵ ∠D=60°, ∴ ∠AFE=∠D=60° . ∴ FC∥BD
又∵ ∠BAD=∠ABC=60°，∴ AD∥BC，即FD∥BC
∴ 四边形BCFD是平行四边形.
（2）∵∠BAD=60°，∠CAB=30° ∴∠CAH=90°
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，设BC =a
∴ AB=2BC=2a，∴ AD=AB=2a.
设AH = x ，则 HC=HD=AD-AH=2a-x.
在Rt△ABC中，AC2=(2a) 2-a2=3a2.
在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，即x2+3a2=(2a-x) 2.
解得 x=a，即AH=a.∴ HC=2a-x=2a-a=a
☆基础达标演练☆
三、解答题
1. 如图，在梯形中，两点在边上，且四边形是平行四边形．
（1）与有何等量关系？请说明理由；
（2）当时，求证:□ABCD是矩形．
2.（09湖北黄石市）如图，中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点．
（1）探究：线段与的数量关系并加以证明；
（2）当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；
（3）当点运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？
3.（09广西崇在）如图-1，在边长为5的正方形中，点、分别是、 边上的点，且，.
（1）求∶的值；
（2）延长交正方形外角平分线（如图-2），试判断的大小关系，并说明理由；
（3）在图-2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
4.（09山东德州）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45 ，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
5.（09河北）在图-1至图-3中，点B是线段AC的中 点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．
（1）如图-1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，
求证：FM = MH，FM⊥MH；
（2）将图14-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图-2，
求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图14-2中的CE缩短到图14-3的情况，
△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）
6．（09福建龙岩）福建龙岩（14分）在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N．
（1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN．
①求证：；
②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =，求点M到AD的距离及tan的值；
（2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．
试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．
7.（09福建南平）已知中，，、是边上的点，将绕点旋转，得到△，连结．
（1）如图1，当，时，求证：．
（2）如图2，当时，与有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．
（3）如图3，在（2）的结论下，当，与满足怎样的数量关系时，是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必说明理由）．
8.（09广东中山）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当 点在上运动时，保持和垂直，
（1）证明：；
（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；
（3）当点运动到什么位置时，求的值．
9.（09广西贺州）图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A=30o，∠E= 45o，∠EDF=∠ACB=90 o ，DE交AC于点G，GM⊥AB于M．
（1）如图①，当DF经过点C 时，作CN⊥AB于N，求证：AM=DN．
（2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．
10.（09江苏省）（1）观察与发现:
小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到（如图②）．小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（2）实践与运用
将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处，折痕为EG（如图 ④）； 再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中的大小．
11.（09江西）如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.
（1）求点到的距离；
（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.
①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；
②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.
12．（09湖北十堰）如图①，四边形ABCD是正方形， 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.
（1）求证：DE－BF = EF．
（2）当点G为BC边中点时， 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由．
（3）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．
A
图-2
G
G(N)
F
B
E
D
C(M)
H
A
图-1
F
P
B
E
F
C
D
A
O
E
M
B
C
D
N
F
F
A
D
E
C
B
30°
H
K
D
图③
E
C
A
B
F
图①
G
E
C
D
A
A
B
F
图②
G
E
C
D
A
B
F
C
B
A
图4-2
30°
F
E
D
C
B
A
图4-1
F
E
D
P
C
B
图3
E
D
P
C
B
A
A
图-2
E
B
N
M
G
C
D
A
图-1
☆海南中考典例精析☆
H
2
1
E
P
D
C
B
图2
A
F
B
图-3
E
D
C
H
A
M
N
F
B
E
D
C
H
图②
D
A
G
B
C
图①
C
G
B
F
E
D
A
（第25题）
M
N
P
C
F
B
E
D
A
图3
M
N
P
C
F
B
E
D
A
图2
图1
C
F
B
E
D
A
图5（备用）
C
F
B
E
D
A
图4（备用）
C
F
B
E
D
A
C
B
M
A
N
D
（图25-1）
C
M
B
N
A
D
（图25-2）
A
E
D
B
图1
C
A
C
E
D
B
图2
C
A
B
D
E
图3
N
D
A
CD
B
M
第22题图
M
E
F
C
B
N
D
A
G
45°
30°
①
45°
30°
B
E
F
C
N
D
M
A
G
H
②
A
C
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图①
A
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B
图②
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E
DD
C
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A
图③
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D
C
A
B
F
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A
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G
图④
图⑤
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