2010年中考第二轮复习专题六函数与几何综合应用

§7.函数与几何综合应用
例1．【06海南中考】如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上.
（1）求的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.
解:(1) ∵ 点A(3,4)在直线y=x+m上，
∴ 4=3+m. ∴ m=1.
设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2
∵ 点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2的图象上，
∴ 4=a(3-1)2, ∴ a=1.
∴ 所求二次函数的关系式为y=(x-1)2.
即y=x2-2x+1.
(2) 设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE .
∴ PE=h=yP-yE =(x+1)-(x2-2x+1)=-x2+3x.
即h=-x2+3x (0＜x＜3).
(3) 存在.
解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC.
∵ 点D在直线y=x+1上,∴ 点D的坐标为(1,2),
∴ -x2+3x=2 .即x2-3x+2=0 .
解之，得 x1=2，x2=1 (不合题意，舍去)
∴ 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.
例2．【07海南中考】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点、和点.
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；
（3）有两动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长
度的速度沿折线 按→→的路线运动，点以每秒
个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动，当、
两点相遇时，它们都停止运动.设、同时从点出发秒时，
的面积为S .
①请问、两点在运动过程中，是否存在∥，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
③设是②中函数S的最大值，那么 = .
解：（1）令，则；令则.∴、
∵二次函数的图象过点，∴可设二次函数的关系式为
又∵该函数图象过点、
∴ 解之，得，
∴所求二次函数的关系式为
（2）∵=
∴顶点M的坐标为 过点M作MF轴于F
∴
=
∴四边形AOCM的面积为10
（3）①不存在DE∥OC
∵若DE∥OC，则点D、E应分别在线段OA、CA上，此时 1设点E的坐标为∴，∴ ∵DE∥OC，
∴ ∴ ∵>2，不满足1②根据题意得D、E两点相遇的时间为（秒）
现分情况讨论如下：ⅰ当0 <≤ 1时，；
ⅱ当1<≤2时，设点E的坐标为
∴，∴
∴
ⅲ当2 <<时，设点E的坐标为，类似ⅱ可得
设点D的坐标为
∴，∴
∴= ③
例3．【08海南中考】如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；
（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,
使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；
若不存在，请说明理由.
解（1）∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，∴ m=-2×(-2)-1=3.
∴ B(-2,3)∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，
∴ 点A的坐标为(4,0) .
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4).
将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ .
∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为，即.
（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5).
过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，
则BG⊥直线x=2，BG=4.
在Rt△BGC中，BC=.
∵ CE=5，∴ CB=CE=5.
②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，
则点H的坐标为H(0,-5).
又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，
∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.
∴ △DFB≌△DHE （SAS），∴ BD=DE.
即D是BE的中点.
（3） 存在.
由于PB=PE，∴ 点P在直线CD上，
∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.
将D(0,-1) C(2,0)代入，得. 解得 .
∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x-1.
∵ 动点P的坐标为(x，)，∴ x-1=.
解得 ，. ∴ ，.
∴ 符合条件的点P的坐标为(，)或(，).
例3．【09海南中考】如图2，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图2所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图3所示）.
① 当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
解:（1）因所求抛物线的顶点M的坐标为(2,4)，
故可设其关系式为
又抛物线经过O(0,0)，于是得，
解得 a=-1
∴ 所求函数关系式为，即.
（2）① 点P不在直线ME上.
根据抛物线的对称性可知E点的坐标为(4,0)，
又M的坐标为(2,4)，设直线ME的关系式为y=kx+b.
于是得 ，解得
所以直线ME的关系式为y=-2x+8. …
由已知条件易得，当t时，OA=AP，
∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.
∴ 当t时，点P不在直线ME上.
② S存在最大值. 理由如下：
∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， ∴ OA=AP=t.
∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) ∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) ,
∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t
（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴ S=DC·AD=×3×2=3. …………
（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形
∵ PN∥CD，AD⊥CD，
∴ S=(CD+PN)·AD=[3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3=
其中(0＜t＜3)，由a=-1，0＜＜3，此时. …
综上所述，当t时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积有最大值，
这个最大值为. …………
说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.
☆基础达标演练☆
一、解答题
1．（09黑龙江佳木斯）如图，抛物线经过两点，此抛物线的对称轴为直线，顶点为，且与直线交于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）连接，求证：；
2.（09四川达州）如图1，抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）.
(1)求a的值及直线AC的函数关系式；
(2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N.
①求线段PM长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由.
3．（09四川广安）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． 其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．
4．（09福建龙岩）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD．
（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；
（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q． 问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． ( http: / / www. / )
5．（09河南）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的三个顶点、、．抛物线过两点．
（1）直接写出点的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点从点出发，沿线段向终点运动，同时点从点出发，沿线段向终点运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒．过点作交于点．
①过点作于点，交抛物线于点．当为何值时，线段最长？
②连接．在点运动的过程中，判断有几个时刻使得是等腰三角形？
请直接写出相应的值．
6．（09湖南长沙）如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点．连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等．
（1）求实数的值；
（2）若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为秒时，连结，将沿翻折，点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标；
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为项点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
7．（09江西）如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为.
（1）直接写出、、三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；
①用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？
②设的面积为，求与的函数关系式.
8．（09辽宁本溪）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过，，三点，其顶点为，连接，点是线段上一个动点（不与重合），过点作轴的垂线，垂足为，连接．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；
（2）如果点的坐标为，的面积为，求与的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求出的最大值；
（3）在（2）的条件下，当取得最大值时，过点作的垂线，垂足为，连接，把 沿直线折叠，点的对应点为，请直接写出点坐标，并判断点是否在该抛物线上．
9．（09山东济南）已知：抛物线的对称轴为与轴交于 两点，与轴交于点其中、
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作交轴于点连接、．设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式．试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
10．（09浙江湖州）已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.
(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；
(2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；
(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.
G
Q
D
F
A
x
O
y
A
l
x
y
C
B
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B
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A
C
D
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x
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P
B
N
C
x
O
y
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☆海南中考典例精析☆
E
D
O
C
B
A
D
y
x
O
图1
P
C
A
B
E
x
y
x=2
G
F
H
y
x
E
D
O
C
B
A
图3
B
C
O
A
D
E
M
y
x
P
N
·
图2
B
C
O
(A)
D
E
M
y
x
y
x
B
D
O
A
E
C
D
A
B
C
F
E
H
O
y
x
1
2
3
3
1
D
y
C
B
A
P
2
E
x
O
A
C
x
y
B
O
第（2）题
x
y
B
C
O
D
A
M
N
N′
x
y
B
C
O
A
M
N
备用图
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