26.2二次函数的图象与性质 同步练习（含答案）华东师大版九年级下册数学
文档属性
| 名称 | 26.2二次函数的图象与性质 同步练习（含答案）华东师大版九年级下册数学 |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 87.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-03 21:47:44 | ||
图片预览
文档简介
华东师大版九年级下 26.2 二次函数的图象与性质 同步练习
一．选择题（共10小题）
1．抛物线y=-（x+2）2-3的顶点坐标是（ ）
A．（-2，-3） B．（2，-3） C．（2，3 ） D．（-2，3）
2．抛物线y=x2-2mx+3的对称轴为直线x=2，则m的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
3．将抛物线y=x2向右平移3个单位，那么平移后抛物线的表达式是（ ）
A．y=x2+3 B．y=x2-3 C．y=（x+3）2 D．y=（x-3）2
4．已知二次函数的图象上有三个点，B（2，y2），，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
5．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y=与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）
A．abc＞0 B．函数的最大值为a-b+c
C．当x=-3或1时，y=0 D．4a-2b+c＜0
7．已知二次函数y=（x+k）2-k2+3（a≠0），当-1≤x≤3时，y有最小值为3，则实数k的值为（ ）
A．0 B．或0 C．或0 D．或0或
8．某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了图中的表格．由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是（ ）
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -1 0 -3 -4 -3 …
A．-3 B．-4 C．0 D．-1
9．对于一个函数，当自变量x取a时，其函数值y等于2a,我们称a为这个函数的二倍数．若二次函数y=x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（ ）
A．c＜ B．0＜c＜ C．-1＜c＜ D．-1＜c＜0
10．如图，已知点A（10，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=13时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）
A．5 B． C．8 D．12
二．填空题（共5小题）
11．抛物线y=（x-2）2-1的对称轴是直线 ______．
12．点P（t,n）在以直线x=1为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上，则t-n的最大值等于 ______．
13．抛物线y=（x-1）2+2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是 ______．
14．如图，已知抛物线y=-x2+4x-2和线段MN，点M和点N的坐标分别为（0，4），（5，4），将抛物线向上平移k（k＞0）个单位长度后与线段MN仅有一个交点，则k的取值范围是 ______．
15．如图，抛物线y=-x2+6x+c交y轴正半轴于点A，过点A作AC∥x轴交抛物线于另一点C，点B在x轴上，点D在抛物线上，当四边形ABCD是菱形时，则c的值为 ______．
三．解答题（共5小题）
16．在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设该抛物线的对称轴为直线x=t.
（1）若x1=3时，y1=c,求t的值；
（2）若对于-1≤x1≤0，x2≥2，都有y1＜y2，已知点（2，m），（1，n）在该抛物线上，比较c,m,n的大小，并说明理由．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）当M，N的坐标分别为（1，4），（3，4）时，抛物线的对称轴为 ______；
（2）若抛物线的对称轴为直线x=2，当x1，x2为何值时，y1=y2=c；
（3）设抛物线的对称轴为直线x=t,若对于x1+x2＜2，都有y1＞y2，求t的取值范围．
18．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，OA=OC=2OB=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为线段AC上方抛物线上的一个动点，求四边形BCPA面积的最大值．
19．直线y=2x-6经过抛物线y=x2-2mx-3的顶点D，其中m＞-1．
（1）求m的值；
（2）点A，B为抛物线上不同的两点，AM⊥y轴于点M，BN⊥y轴于点N，AM=BN；
①若直线AB、直线y=2x-6和抛物线y=x2-2mx-3交于同一点，求直线AB的解析式；
②抛物线与y轴交于点C，直线AC的解析式为y1=k1x+b1，直线BC的解析式为y2=k2x+b2，且k1 k2=-3，求△ABC的面积．
20．如图，已知抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，-1），P是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，直线CP交x轴于点A．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如果点P的横坐标为m,试用m的代数式表示线段BC的长；
（3）如果△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P坐标．
华东师大版九年级下26.2二次函数的图象与性质同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、A 2、B 3、D 4、D 5、B 6、D 7、A 8、D 9、B 10、D
二．填空题（共5小题）
11、x=2； 12、； 13、（3，5）； 14、6＜k≤11或k=2； 15、9；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）由题意得9a+3b+c=c,则b=-3a,
∵抛物线的对称轴为直线x=t,
∴，
则；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x=t,
∴，则b=-2at,
由题意得，
则
=
=a（x2+x1）（x2-x1）-2at（x2-x1）
=a（x2-x1）（x2+x1-2t），
∵y1＜y2，
∴a（x2-x1）（x2+x1-2t）＞0，
∵-1＜x1＜0，x2＞2，
∴x2-x1＞0，x2+x1≥1，
∵a＞0，
∴x2+x1-2t＞0，
则1＞2t,解得t＜，
∵（2，m），（1，n），（0，c）
∴c＜n＜m.
17、解：（1）∵M，N的坐标分别为（1，4），（3，4），
∴抛物线的对称轴为=2，
故答案为：2；
（2）由题意y1=y2=c∴x1=0，
∵对称轴为直线x=2，
∴M，N关于x=2对称，
∴x2=4，
∴x1=0，x2=4时，y1=y2=c.
（3）∵y1＞y2，
∴+bx1+c＞+bx2+c,
∴a（-）＞-b（x1-x2），
∴x1+x2=-≥2t,
当x1+x2＜2，时，都有x1+x2＜2t,
∴t≥1，
∴满足条件的值为：t≥1．
18、解：（1）∵OA=OC=2OB=2，
∴A（2，0），B（-1，0），C（0，2），
将点A（2，0），B（-1，0），C（0，2），分别代入y=ax2+bx+c中，
可得
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2；
（2）∵S四边形BCPA=S△BCA+S△ACP，
，
∴S△A C P最大时，S四边形BCPA最大，
过C作CD//AB交AP于点D
设P（t,yt），
设yA P=k x+b（k≠0），将P，A代入得
，解得：
∴
∵CD∥AB
∴yD=yC=2
∵D在上，
∴，
即
∵S△ACP=S△PCD+S△ACD，，
易知y1+y2=yt，
∴，
∴，
∴t=1时，
∴四边形BCPA面积的最大值为4．
19、解：（1）y=x2-2mx-3=x2-2mx+m2-m2-3=（x-m）2-m2-3，
∴顶点D（m,-m2-3），
∵直线y=2x-6经过抛物线y=x2-2mx-3的顶点D，
∴-m2-3=2m-6，
解得：m=1或m=-3（不符合题意，舍去）；
（2）①由（1）得m=1，
∴抛物线为y=x2-2x-3，
∵直线AB、直线y=2x-6和抛物线y=x2-2mx-3交于同一点，
∴，
解得：，，
∴令交点为D（1，-4），T（3，0），
∴xA=-xB，令xA＞0，xB＜0，
当点A与点D重合时，
xA=1，xB=-1，
∴yA=-4，yB=0，
此时，A（1，-4），B（-1，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b,
代入得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y=-2x-2；
当点A与点T重合时，
xA=3，xB=-3，
∴yA=0，yB=12，
此时，A（3，0），B（-3，12），
同理得：直线AB的解析式为y=-2x+6；
综上得：直线AB的解析式为：y=-2x-2或y=-2x+6；
②抛物线y=x2-2mx-3，
当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3），
∵直线AC的解析式为y1=k1x+b1，直线BC的解析式为y2=k2x+b2，
当y=y1时，，
∴xA=2+k1，
同理：xB=2+k2，
∴xA+xB=2+k2+2+k1=0，
∴k2+k1=-4，
∵k1 k2=-3，
∴k1（-4-k1）=-3，
解得：，
∴，，
∵xA＞0，xB＜0，
∴，，
∴，，
∴，
∵AM=BN，AM平行于BN，
∴△AMP≌△BNP，
设直线AB的解析式为：y=mx+n,
代入得：，解得：，
∴y=-2x+4，
当x=0时，y=4，
∴PC=4-（-3）=7，
∴．
20、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，-1），
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y=x2-2x；
（2）∵点P的横坐标为m,
∴点P的纵坐标为：m2-2m,
令BC与x轴交点为M，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N，
∵P是抛物线上位于第一象限内的一点，
∴PN=m2-2m,ON=m,OM=1，
由=，得=，
∴BM=m-2，
∵点C的坐标为（1，-1），
∴BC=m-2+1=m-1；
（3）令P（t,t2-2t），
∵△ABP的面积等于△ABC的面积，
∴AC=AP，
过点P作PQ⊥BC交BC于点Q，
∴CM=MQ=1，
可得t2-2t=1，
解得：t=1+（t=1-舍去），
∴P的坐标为（1+，1）．
一．选择题（共10小题）
1．抛物线y=-（x+2）2-3的顶点坐标是（ ）
A．（-2，-3） B．（2，-3） C．（2，3 ） D．（-2，3）
2．抛物线y=x2-2mx+3的对称轴为直线x=2，则m的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
3．将抛物线y=x2向右平移3个单位，那么平移后抛物线的表达式是（ ）
A．y=x2+3 B．y=x2-3 C．y=（x+3）2 D．y=（x-3）2
4．已知二次函数的图象上有三个点，B（2，y2），，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
5．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y=与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）
A．abc＞0 B．函数的最大值为a-b+c
C．当x=-3或1时，y=0 D．4a-2b+c＜0
7．已知二次函数y=（x+k）2-k2+3（a≠0），当-1≤x≤3时，y有最小值为3，则实数k的值为（ ）
A．0 B．或0 C．或0 D．或0或
8．某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了图中的表格．由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是（ ）
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -1 0 -3 -4 -3 …
A．-3 B．-4 C．0 D．-1
9．对于一个函数，当自变量x取a时，其函数值y等于2a,我们称a为这个函数的二倍数．若二次函数y=x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（ ）
A．c＜ B．0＜c＜ C．-1＜c＜ D．-1＜c＜0
10．如图，已知点A（10，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=13时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）
A．5 B． C．8 D．12
二．填空题（共5小题）
11．抛物线y=（x-2）2-1的对称轴是直线 ______．
12．点P（t,n）在以直线x=1为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上，则t-n的最大值等于 ______．
13．抛物线y=（x-1）2+2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是 ______．
14．如图，已知抛物线y=-x2+4x-2和线段MN，点M和点N的坐标分别为（0，4），（5，4），将抛物线向上平移k（k＞0）个单位长度后与线段MN仅有一个交点，则k的取值范围是 ______．
15．如图，抛物线y=-x2+6x+c交y轴正半轴于点A，过点A作AC∥x轴交抛物线于另一点C，点B在x轴上，点D在抛物线上，当四边形ABCD是菱形时，则c的值为 ______．
三．解答题（共5小题）
16．在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设该抛物线的对称轴为直线x=t.
（1）若x1=3时，y1=c,求t的值；
（2）若对于-1≤x1≤0，x2≥2，都有y1＜y2，已知点（2，m），（1，n）在该抛物线上，比较c,m,n的大小，并说明理由．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）当M，N的坐标分别为（1，4），（3，4）时，抛物线的对称轴为 ______；
（2）若抛物线的对称轴为直线x=2，当x1，x2为何值时，y1=y2=c；
（3）设抛物线的对称轴为直线x=t,若对于x1+x2＜2，都有y1＞y2，求t的取值范围．
18．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，OA=OC=2OB=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为线段AC上方抛物线上的一个动点，求四边形BCPA面积的最大值．
19．直线y=2x-6经过抛物线y=x2-2mx-3的顶点D，其中m＞-1．
（1）求m的值；
（2）点A，B为抛物线上不同的两点，AM⊥y轴于点M，BN⊥y轴于点N，AM=BN；
①若直线AB、直线y=2x-6和抛物线y=x2-2mx-3交于同一点，求直线AB的解析式；
②抛物线与y轴交于点C，直线AC的解析式为y1=k1x+b1，直线BC的解析式为y2=k2x+b2，且k1 k2=-3，求△ABC的面积．
20．如图，已知抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，-1），P是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，直线CP交x轴于点A．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如果点P的横坐标为m,试用m的代数式表示线段BC的长；
（3）如果△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P坐标．
华东师大版九年级下26.2二次函数的图象与性质同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、A 2、B 3、D 4、D 5、B 6、D 7、A 8、D 9、B 10、D
二．填空题（共5小题）
11、x=2； 12、； 13、（3，5）； 14、6＜k≤11或k=2； 15、9；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）由题意得9a+3b+c=c,则b=-3a,
∵抛物线的对称轴为直线x=t,
∴，
则；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x=t,
∴，则b=-2at,
由题意得，
则
=
=a（x2+x1）（x2-x1）-2at（x2-x1）
=a（x2-x1）（x2+x1-2t），
∵y1＜y2，
∴a（x2-x1）（x2+x1-2t）＞0，
∵-1＜x1＜0，x2＞2，
∴x2-x1＞0，x2+x1≥1，
∵a＞0，
∴x2+x1-2t＞0，
则1＞2t,解得t＜，
∵（2，m），（1，n），（0，c）
∴c＜n＜m.
17、解：（1）∵M，N的坐标分别为（1，4），（3，4），
∴抛物线的对称轴为=2，
故答案为：2；
（2）由题意y1=y2=c∴x1=0，
∵对称轴为直线x=2，
∴M，N关于x=2对称，
∴x2=4，
∴x1=0，x2=4时，y1=y2=c.
（3）∵y1＞y2，
∴+bx1+c＞+bx2+c,
∴a（-）＞-b（x1-x2），
∴x1+x2=-≥2t,
当x1+x2＜2，时，都有x1+x2＜2t,
∴t≥1，
∴满足条件的值为：t≥1．
18、解：（1）∵OA=OC=2OB=2，
∴A（2，0），B（-1，0），C（0，2），
将点A（2，0），B（-1，0），C（0，2），分别代入y=ax2+bx+c中，
可得
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2；
（2）∵S四边形BCPA=S△BCA+S△ACP，
，
∴S△A C P最大时，S四边形BCPA最大，
过C作CD//AB交AP于点D
设P（t,yt），
设yA P=k x+b（k≠0），将P，A代入得
，解得：
∴
∵CD∥AB
∴yD=yC=2
∵D在上，
∴，
即
∵S△ACP=S△PCD+S△ACD，，
易知y1+y2=yt，
∴，
∴，
∴t=1时，
∴四边形BCPA面积的最大值为4．
19、解：（1）y=x2-2mx-3=x2-2mx+m2-m2-3=（x-m）2-m2-3，
∴顶点D（m,-m2-3），
∵直线y=2x-6经过抛物线y=x2-2mx-3的顶点D，
∴-m2-3=2m-6，
解得：m=1或m=-3（不符合题意，舍去）；
（2）①由（1）得m=1，
∴抛物线为y=x2-2x-3，
∵直线AB、直线y=2x-6和抛物线y=x2-2mx-3交于同一点，
∴，
解得：，，
∴令交点为D（1，-4），T（3，0），
∴xA=-xB，令xA＞0，xB＜0，
当点A与点D重合时，
xA=1，xB=-1，
∴yA=-4，yB=0，
此时，A（1，-4），B（-1，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b,
代入得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y=-2x-2；
当点A与点T重合时，
xA=3，xB=-3，
∴yA=0，yB=12，
此时，A（3，0），B（-3，12），
同理得：直线AB的解析式为y=-2x+6；
综上得：直线AB的解析式为：y=-2x-2或y=-2x+6；
②抛物线y=x2-2mx-3，
当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3），
∵直线AC的解析式为y1=k1x+b1，直线BC的解析式为y2=k2x+b2，
当y=y1时，，
∴xA=2+k1，
同理：xB=2+k2，
∴xA+xB=2+k2+2+k1=0，
∴k2+k1=-4，
∵k1 k2=-3，
∴k1（-4-k1）=-3，
解得：，
∴，，
∵xA＞0，xB＜0，
∴，，
∴，，
∴，
∵AM=BN，AM平行于BN，
∴△AMP≌△BNP，
设直线AB的解析式为：y=mx+n,
代入得：，解得：，
∴y=-2x+4，
当x=0时，y=4，
∴PC=4-（-3）=7，
∴．
20、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，-1），
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y=x2-2x；
（2）∵点P的横坐标为m,
∴点P的纵坐标为：m2-2m,
令BC与x轴交点为M，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N，
∵P是抛物线上位于第一象限内的一点，
∴PN=m2-2m,ON=m,OM=1，
由=，得=，
∴BM=m-2，
∵点C的坐标为（1，-1），
∴BC=m-2+1=m-1；
（3）令P（t,t2-2t），
∵△ABP的面积等于△ABC的面积，
∴AC=AP，
过点P作PQ⊥BC交BC于点Q，
∴CM=MQ=1，
可得t2-2t=1，
解得：t=1+（t=1-舍去），
∴P的坐标为（1+，1）．