第27章相似（含答案）华东师大版九年级下册数学
文档属性
| 名称 | 第27章相似（含答案）华东师大版九年级下册数学 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 135.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-03 00:00:00 | ||
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文档简介
人教版九年级下 第27章 相似 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列各组中的四条线段是成比例线段的是（ ）
A．4cm、2cm、1cm、3cm B．2cm、3cm、4cm、5cm
C．25cm、35cm、45cm、55cm D．1cm、2cm、20cm、40cm
2．已知两个三角形相似，它们的对应高之比为4：9，则它们的周长比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．16：81 D．9：4
3．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB=6，则A′B′的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
4．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，DE∥AB，若，CD=6，则AC的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．如图，在正方形ABCD中，点E为边BC延长线上一点，连接AE，交DB，DC分别于M，N两点．若AM=NE=2，则MN的长度为（ ）
A． B．1 C． D．
7．如图，点D、E、F在△ABC的边上，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知a∥b,b∥c,AB：BC=2：3，若DF=15，则EF的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
9．如图，在△ABC中，M为AC边的中点，E为AB上一点，且AE：AB=1：4，连接EM并延长交BC的延长线于点D，若BD=6cm,则CD的长度等于（ ）
A． B． C．2cm D．
10．如图，在 ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF=1，EC=3，则GF的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
11．由光的反射定律可知入射角等于反射角，小鲁同学利用镜子测量广告牌AG的高度．如图，小鲁站在点D处不动，当将镜子移动至E1处，他恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1=2m；当将镜子移动至E2处，他恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2=3.4m.经测得，小鲁的眼睛离地面距离CD=1.7m,BD=10m,则这个广告牌AG的高度为（ ）
A．3.4m B．3.5m C．3.6m D．3.7m
12．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：①∠AED+∠EAC+∠EDB=90°，②AP=FP，③AE=AO，④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，⑤CE EF=EQ DE．其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二．填空题（共5小题）
13．如图，在△ABC中，DE∥AB，若，CE=9，则BE的长为 ______．
14．如图，D是△ABC的边BC上一点，E是AD的中点，EM∥AB，EN∥AC．如果BC=6，那么MN的长度为 ______．
15．如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，且BE=2AE，连接ED，点F为ED的中点，连接AF、BF、FC，若∠BFC=90°，BF=5，则AF的长为 ______．
16．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔或像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体AB的高为12cm,实像CD的高度为4cm,则小孔O的高度OE为 ______cm.
17．如图，△ABC是等边三角形，矩形DEFG的顶点D在BC边上，且BD=3CD=3，DE=AB=2DG，连接AG、AE、AF，若将矩形DEFG绕点D旋转一周，当AG+AF最小时，则AE=______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，连接AC，点E，F分别在边AD，CD上，连接BE，BF，分别交AC于点M，N，若CF=2．
（1）求证：FC2=FN FB；
（2）若∠EBF=45°，求AE的长．
19．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4．
接下来进行如下作图操作：在边BC上取一点D，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．
（1）求证：△EFG∽△AEG；
（2）当时，求AF的长．
20．如图，AD是Rt△ABC中∠BAC的平分线，∠BCA=90°，EF是AD的垂直平分线，交AD于点M，EF、BC的延长线交于点N．求证：
（1）△AME∽△NMD；
（2）ND2=NC NB．
21．如图，在正方形ABCD中，AB，BC的中点分别为E，F，连接DE，AF交于点G，连接CG，CH平分∠DCG交DE于H．
（1）探索AF与DE的关系；
（2）求证：点H为DG中点；
（3）求的值．
22．如图，△ABC中，DE∥BC，G是AE上一点，连接BG交DE于F，作GH∥AB交DE于点H．
（1）如图1，与△GHE相似的三角形是______（直接写出答案）；
（2）如图1，若AD=3BD，BF=FG，求的值；
（3）如图2，连接CH并延长交AB于P点，交BG于Q，连接PF，则一定有PF∥CE，请说明理由．
人教版九年级下第27章相似单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、D 2、B 3、B 4、C 5、D 6、C 7、C 8、C 9、C 10、C 11、B 12、B
二．填空题（共5小题）
13、6； 14、3； 15、； 16、3； 17、；
三．解答题（共5小题）
18、（1）证明：∵BC=AD=4，AB=8，CF=2，
∴，
∴，
∵∠ABC=∠BCF=90°，
∴△ABC∽△BCF，
∴∠BAC=∠CBF，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DCA=∠CBF，
∵∠CFN=∠BFC，
∴△FCN∽△FBC，
∴，
∴FC2=FN FB；
（2）解：在Rt△CBF中，根据勾股定理得，
∵AB∥CD，
∴△CFN∽△ABN，
∴，
∴，
由（1）得∠CBF=∠BAC，
∵∠CAB+∠BCA=90°，
∴∠BCA+∠CBF=90°，
∴∠CNB=90°，
∵∠EBF=45°，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴MC=CN+MN=，
∵BC∥AB，
∴△BMC∽△EMA，
∴，
∴，
∴．
19、（1）证明：∵点E是以点D为圆心，BD为半径的圆上，
∴ED=BD，
∴∠B=∠BED，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵EF⊥AB，
∴∠A+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠B=∠BED，
∴∠EFG=∠AEG，
又∵∠EGF=∠AGE，
∴△EFG∽△AEG；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，
∴tanA==，
在Rt△AEF中，∠AEF=90°，tanA==，
∵△EFG∽△AEG，
∴===，
∴EG=2FG，
∴AG=2EG=4FG，
∴AF=AG-FG=3FG，
∵FG=，
∴AF=．
20、证明：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴∠END+∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠END，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠BAD=∠END，
又∵∠AME=∠NMD=90°，
∴△AME∽△NMD；
（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AN=DN，∠ANE=∠END，
∵∠BAD=∠END，
∴∠CAD=∠BAD=∠ANE=∠END，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACN=90°，
∴∠ANE+∠END+∠NAC=90°，
∴∠CAD+∠BAD+∠NAC=90°，
∴∠NAE=90°，
∵∠ANC=∠BNA，∠NAB=∠NCA=90°，
∴△NAC∽△NBA，
∴=，
∴NA2=NB NC，
∵NA=ND，
∴ND2=NB NC．
21、（1）解：在正方形ABCD中，
∵AD=AB=BC，∠DAE=∠ABF=90°，E、F分别为边AB、BC 的中点，
∴AE=AB，BF=BC，
∴AE=BF，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴AF=DE，∠ADE=∠BAF，
∵∠DAG+∠BAF=90°，
∴∠DAG+∠ADE=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AF⊥DE，
∴AF=DE，AF⊥DE；
（2）证明：方法一：如图，延长AF交DC延长线于M，
∵F为BC中点，
∴CF=FB，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴DM∥AB，AB=CD，
∴∠M=∠FAB，
∵F为BC中点，
∴CF=FB，
在△ABF与△MCF中，
，
∴△ABF≌△MCF（AAS），
∴AB=CM，
∴CD=CM，
又∵∠DGM=90°，
∴CG=DM，
∴CG=CD，
∵CH平分∠DCG，
∴H为DG中点；
方法二：如图，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=AB，∠DCF=∠ABF=90°，DC∥AB，
∵F为CB中点，
∴CF=FB，
∴△DCF≌△ABF（SAS），
∴∠DFC=∠AFB，
由（1）已证△DAE≌△ABF，
∴∠AFB=∠DEA，
又∵DC∥AB，
∴∠CDE=∠DEA，
∴∠CDE=∠CFD，
又∵由（1）已证AF⊥DE，
∴∠DGF=90°，
∴∠DGF+∠DCF=90°+90°=180°，
∴D、G、F、C四点共圆，
∴∠DGC=∠CFD，
∴∠DGC=∠CDE，
∴DC=CG，
∵CH平分∠DCG，
∴H为DG中点；
（3）解：设正方形ABCD的边长为2a,则由（1）和（2）可得：AD=AB=2a,AE=BF=CF=a,
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴AF==a,
在△DGA与△DAE中，
∵∠DGA=∠DAE=90°，∠ADG=∠EDA，
∴△DGA∽△DAE，
∴==，即==，
∴DG=a,AG=a,
∴GF=AF-AG=a-a=a,
∴==．
22、（1）解：如图1中，
∵GH∥AD，
∴△GHE∽△ADE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△GHE∽△ADE∽△ABC，
故答案为△ADE，△ABC．
（2）解：∵GH∥BD，
∴∠FGH∠DBF，
∵BF=FG，∠DFB=∠GFH，
∴△BFD≌△GFH（ASA），
∴BD=GH，
∵GH∥AD，
∴===，
∴=．
（3）证明：如图2中，
∵GH∥BD，
∴=，
∵GH∥PA，
∴=，
∵DH∥BC，
∴=，
∴=，
∴=，
∴=，
∴PF∥AG，即PF∥AC．
一．选择题（共12小题）
1．下列各组中的四条线段是成比例线段的是（ ）
A．4cm、2cm、1cm、3cm B．2cm、3cm、4cm、5cm
C．25cm、35cm、45cm、55cm D．1cm、2cm、20cm、40cm
2．已知两个三角形相似，它们的对应高之比为4：9，则它们的周长比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．16：81 D．9：4
3．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB=6，则A′B′的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
4．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，DE∥AB，若，CD=6，则AC的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．如图，在正方形ABCD中，点E为边BC延长线上一点，连接AE，交DB，DC分别于M，N两点．若AM=NE=2，则MN的长度为（ ）
A． B．1 C． D．
7．如图，点D、E、F在△ABC的边上，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知a∥b,b∥c,AB：BC=2：3，若DF=15，则EF的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
9．如图，在△ABC中，M为AC边的中点，E为AB上一点，且AE：AB=1：4，连接EM并延长交BC的延长线于点D，若BD=6cm,则CD的长度等于（ ）
A． B． C．2cm D．
10．如图，在 ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF=1，EC=3，则GF的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
11．由光的反射定律可知入射角等于反射角，小鲁同学利用镜子测量广告牌AG的高度．如图，小鲁站在点D处不动，当将镜子移动至E1处，他恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1=2m；当将镜子移动至E2处，他恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2=3.4m.经测得，小鲁的眼睛离地面距离CD=1.7m,BD=10m,则这个广告牌AG的高度为（ ）
A．3.4m B．3.5m C．3.6m D．3.7m
12．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：①∠AED+∠EAC+∠EDB=90°，②AP=FP，③AE=AO，④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，⑤CE EF=EQ DE．其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二．填空题（共5小题）
13．如图，在△ABC中，DE∥AB，若，CE=9，则BE的长为 ______．
14．如图，D是△ABC的边BC上一点，E是AD的中点，EM∥AB，EN∥AC．如果BC=6，那么MN的长度为 ______．
15．如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，且BE=2AE，连接ED，点F为ED的中点，连接AF、BF、FC，若∠BFC=90°，BF=5，则AF的长为 ______．
16．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔或像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体AB的高为12cm,实像CD的高度为4cm,则小孔O的高度OE为 ______cm.
17．如图，△ABC是等边三角形，矩形DEFG的顶点D在BC边上，且BD=3CD=3，DE=AB=2DG，连接AG、AE、AF，若将矩形DEFG绕点D旋转一周，当AG+AF最小时，则AE=______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，连接AC，点E，F分别在边AD，CD上，连接BE，BF，分别交AC于点M，N，若CF=2．
（1）求证：FC2=FN FB；
（2）若∠EBF=45°，求AE的长．
19．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4．
接下来进行如下作图操作：在边BC上取一点D，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．
（1）求证：△EFG∽△AEG；
（2）当时，求AF的长．
20．如图，AD是Rt△ABC中∠BAC的平分线，∠BCA=90°，EF是AD的垂直平分线，交AD于点M，EF、BC的延长线交于点N．求证：
（1）△AME∽△NMD；
（2）ND2=NC NB．
21．如图，在正方形ABCD中，AB，BC的中点分别为E，F，连接DE，AF交于点G，连接CG，CH平分∠DCG交DE于H．
（1）探索AF与DE的关系；
（2）求证：点H为DG中点；
（3）求的值．
22．如图，△ABC中，DE∥BC，G是AE上一点，连接BG交DE于F，作GH∥AB交DE于点H．
（1）如图1，与△GHE相似的三角形是______（直接写出答案）；
（2）如图1，若AD=3BD，BF=FG，求的值；
（3）如图2，连接CH并延长交AB于P点，交BG于Q，连接PF，则一定有PF∥CE，请说明理由．
人教版九年级下第27章相似单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、D 2、B 3、B 4、C 5、D 6、C 7、C 8、C 9、C 10、C 11、B 12、B
二．填空题（共5小题）
13、6； 14、3； 15、； 16、3； 17、；
三．解答题（共5小题）
18、（1）证明：∵BC=AD=4，AB=8，CF=2，
∴，
∴，
∵∠ABC=∠BCF=90°，
∴△ABC∽△BCF，
∴∠BAC=∠CBF，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DCA=∠CBF，
∵∠CFN=∠BFC，
∴△FCN∽△FBC，
∴，
∴FC2=FN FB；
（2）解：在Rt△CBF中，根据勾股定理得，
∵AB∥CD，
∴△CFN∽△ABN，
∴，
∴，
由（1）得∠CBF=∠BAC，
∵∠CAB+∠BCA=90°，
∴∠BCA+∠CBF=90°，
∴∠CNB=90°，
∵∠EBF=45°，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴MC=CN+MN=，
∵BC∥AB，
∴△BMC∽△EMA，
∴，
∴，
∴．
19、（1）证明：∵点E是以点D为圆心，BD为半径的圆上，
∴ED=BD，
∴∠B=∠BED，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵EF⊥AB，
∴∠A+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠B=∠BED，
∴∠EFG=∠AEG，
又∵∠EGF=∠AGE，
∴△EFG∽△AEG；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，
∴tanA==，
在Rt△AEF中，∠AEF=90°，tanA==，
∵△EFG∽△AEG，
∴===，
∴EG=2FG，
∴AG=2EG=4FG，
∴AF=AG-FG=3FG，
∵FG=，
∴AF=．
20、证明：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴∠END+∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠END，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠BAD=∠END，
又∵∠AME=∠NMD=90°，
∴△AME∽△NMD；
（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AN=DN，∠ANE=∠END，
∵∠BAD=∠END，
∴∠CAD=∠BAD=∠ANE=∠END，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACN=90°，
∴∠ANE+∠END+∠NAC=90°，
∴∠CAD+∠BAD+∠NAC=90°，
∴∠NAE=90°，
∵∠ANC=∠BNA，∠NAB=∠NCA=90°，
∴△NAC∽△NBA，
∴=，
∴NA2=NB NC，
∵NA=ND，
∴ND2=NB NC．
21、（1）解：在正方形ABCD中，
∵AD=AB=BC，∠DAE=∠ABF=90°，E、F分别为边AB、BC 的中点，
∴AE=AB，BF=BC，
∴AE=BF，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴AF=DE，∠ADE=∠BAF，
∵∠DAG+∠BAF=90°，
∴∠DAG+∠ADE=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AF⊥DE，
∴AF=DE，AF⊥DE；
（2）证明：方法一：如图，延长AF交DC延长线于M，
∵F为BC中点，
∴CF=FB，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴DM∥AB，AB=CD，
∴∠M=∠FAB，
∵F为BC中点，
∴CF=FB，
在△ABF与△MCF中，
，
∴△ABF≌△MCF（AAS），
∴AB=CM，
∴CD=CM，
又∵∠DGM=90°，
∴CG=DM，
∴CG=CD，
∵CH平分∠DCG，
∴H为DG中点；
方法二：如图，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=AB，∠DCF=∠ABF=90°，DC∥AB，
∵F为CB中点，
∴CF=FB，
∴△DCF≌△ABF（SAS），
∴∠DFC=∠AFB，
由（1）已证△DAE≌△ABF，
∴∠AFB=∠DEA，
又∵DC∥AB，
∴∠CDE=∠DEA，
∴∠CDE=∠CFD，
又∵由（1）已证AF⊥DE，
∴∠DGF=90°，
∴∠DGF+∠DCF=90°+90°=180°，
∴D、G、F、C四点共圆，
∴∠DGC=∠CFD，
∴∠DGC=∠CDE，
∴DC=CG，
∵CH平分∠DCG，
∴H为DG中点；
（3）解：设正方形ABCD的边长为2a,则由（1）和（2）可得：AD=AB=2a,AE=BF=CF=a,
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴AF==a,
在△DGA与△DAE中，
∵∠DGA=∠DAE=90°，∠ADG=∠EDA，
∴△DGA∽△DAE，
∴==，即==，
∴DG=a,AG=a,
∴GF=AF-AG=a-a=a,
∴==．
22、（1）解：如图1中，
∵GH∥AD，
∴△GHE∽△ADE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△GHE∽△ADE∽△ABC，
故答案为△ADE，△ABC．
（2）解：∵GH∥BD，
∴∠FGH∠DBF，
∵BF=FG，∠DFB=∠GFH，
∴△BFD≌△GFH（ASA），
∴BD=GH，
∵GH∥AD，
∴===，
∴=．
（3）证明：如图2中，
∵GH∥BD，
∴=，
∵GH∥PA，
∴=，
∵DH∥BC，
∴=，
∴=，
∴=，
∴=，
∴PF∥AG，即PF∥AC．