4.1.2 无理数指数幂及其运算性质(同步练习.含解析）2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

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4.1.2无理数指数幂及其运算性质
一．选择题（共6小题）
1．化简：（　　）
A． B． C． D．
2．下列命题中正确的个数为（　　）
①②a∈R，则（a2﹣a﹣1）0＝1，③，④
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若5m＝2，5n＝3，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．某放射性物质在衰减过程中，其质量y与年数t满足关系式（m0为初始质量，m0＞0，k为常数，e≈2.718）．已知该放射物质经过4年，其质量变为初始质量的，若再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的（　　）
A． B． C． D．
5．某放射性物质在衰变过程中，其质量m（单位：克）与年数t满足关系式（m0为初始质量，k为常数，e≈2.718）．已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（　　）
A． B． C． D．
6．若多项式p（x）满足p（2）＝2，p（﹣1）＝﹣7，则p（x）被x2﹣x﹣2除所得的余式为（　　）
A．3x+4 B．3x﹣4 C．﹣3x+4 D．﹣3x﹣4
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列各式化简正确的是（　　）
A．
B．lg3+lg7＝1
C．
D．
（多选）8．下列表达式正确的是（　　）
A． B．
C．log23 log32＝1 D．lg2（lg2+lg5）+lg5＝1
（多选）9．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
三．填空题（共3小题）
10．　 　 ．
11．　 　 ．
12．已知关于x，y的方程组解集中只有一个元素，则实数k＝　 　 ．
四．解答题（共3小题）
13．计算：
（1）；
（2）．
14．（1）求值：；
（2）化简：；
（3）已知，求的值．
15．（1）计算；
（2）若，求x2+x﹣2的值．
4.1.2无理数指数幂及其运算性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．化简：（　　）
A． B． C． D．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】把根式化为分数指数幂，求解即可．
【解答】解：原式 ．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数指数幂的计算，是基础题．
2．下列命题中正确的个数为（　　）
①②a∈R，则（a2﹣a﹣1）0＝1，③，④
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】由指数幂的运算和根式与分数指数幂的转换，结合特殊值逐项判断即可．
【解答】解：对于①，取n＝3，a＝﹣1，则，故①错误，
对于②，当时，a2﹣a﹣1＝0，此时（a2﹣a﹣1）0无意义，故②错误；
对于③，取x＝y＝1，则，故③错误；
对于④，0，0，故④错误．
则正确命题的个数为0个．
故选：A．
【点评】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础题．
3．若5m＝2，5n＝3，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】结合指数幂的运算性质即可求解．
【解答】解：若5m＝2，5n＝3，则．
故选：B．
【点评】本题主要考查了指数幂的运算，属于基础题．
4．某放射性物质在衰减过程中，其质量y与年数t满足关系式（m0为初始质量，m0＞0，k为常数，e≈2.718）．已知该放射物质经过4年，其质量变为初始质量的，若再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的（　　）
A． B． C． D．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用指数运算法则列式计算得解．
【解答】解：由已知当t＝4，时，，所以，
再经过8年，即t＝12时，，
所以再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的．
故选：C．
【点评】本题考查指数运算，属于基础题．
5．某放射性物质在衰变过程中，其质量m（单位：克）与年数t满足关系式（m0为初始质量，k为常数，e≈2.718）．已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（　　）
A． B． C． D．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】依题意，t＝3时，e﹣3k，求出t＝9时，ekt的值．
【解答】解：经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，
∴t＝3时，e﹣3k，
∴再经过6年，t＝9，
m＝m0e﹣9k＝（）3m0m0，
∴再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的．
故选：D．
【点评】本题考查完指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．若多项式p（x）满足p（2）＝2，p（﹣1）＝﹣7，则p（x）被x2﹣x﹣2除所得的余式为（　　）
A．3x+4 B．3x﹣4 C．﹣3x+4 D．﹣3x﹣4
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据余式定理可设余式为R（x）＝ax+b．题目给出p（2）＝2和p（﹣1）＝﹣7这两个条件可以转化为余式R（x）在x＝2和x＝﹣1处的值，从而建立方程组求解a和b即可．
【解答】解：由题意多项式p（x）满足p（2）＝2，p（﹣1）＝﹣7，
结合余式定理可得余式R（x）＝ax+b需要满足：
，
代入R（x）得，
解方程组得，所以R（x）＝3x﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了幂指数的运算，是中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列各式化简正确的是（　　）
A．
B．lg3+lg7＝1
C．
D．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值；对数运算求值．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】对于A，根据根式性质化简即可判断，对于B，根据对数运算公式化简lg3+lg7即可判断，对于C，根据分数指数幂的运算性质化简，，，即可判断，根据换底公式的推论及对数运算性质化简，，即可判断．
【解答】解：对于A，，A正确，
对于B，lg3+lg7＝lg21＞lg10＝1，B错误，
对于C，因为，，，，
所以，C正确，
对于D，因为log864＝2，
，
所以，D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了指数运算性质，属于基础题．
（多选）8．下列表达式正确的是（　　）
A． B．
C．log23 log32＝1 D．lg2（lg2+lg5）+lg5＝1
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值；对数的运算性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】由根式、有理数指数幂的运算判断A、B；由对数的运算性质判断C、D．
【解答】解：对于选项A，若a＜0时，，故A错误；
对于选项B，，故B正确；
对于选项C，，故C正确；
对于选项D，lg2（lg2+lg5）+lg5＝lg2lg10+lg5＝lg2+lg5＝lg10＝1，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
（多选）9．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】CD
【分析】根据指数幂的运算逐一判断可得选项．
【解答】解：对于A：当x≤0时，，故A错；
对于B：，故B错；
对于C：；故C正确，
对于D：，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查了指数运算性质，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．　102　 ．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】102．
【分析】根据有理数指数幂的运算法则，求解即可．
【解答】解：原式1
1001
＝102．
故答案为：102．
【点评】本题考查了有理数指数幂的运算，是基础题．
11．　256﹣i ．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】256﹣i．
【分析】直接利用复数的运算法则求解即可．
【解答】解：原式可化简为：i2019＝i3＝﹣i，（i）8＝（）8（1+i）8＝24×（2i）4＝28×i4＝256，
（）50i，
i，
将以上结果代入原式，得：﹣i+256﹣i+i＝256﹣i．
因此，原式的值为256﹣i．
故答案为：256﹣i．
【点评】本题考查了复数的运算，是中档题，
12．已知关于x，y的方程组解集中只有一个元素，则实数k＝　0或1　 ．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】0或1，
【分析】在方程组中消去y，得出k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，由题意知该方程只有一解，按照k＝0和k≠0分类讨论，利用判别式法求解即可．
【解答】解：联立可得，k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，
当k2＝0即k＝0时，方程为﹣4x+1＝0，解得，符合题意；
当k2≠0即k≠0时，关于x的一元二次方程k2x2+（2k﹣4）x+1＝0只有一解，
所以Δ＝（2k﹣4）2﹣4×k2＝﹣16k+16＝0，解得k＝1．
综上，k＝0或1．
故答案为：0或1．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．计算：
（1）；
（2）．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）﹣8；
（2）．
【分析】（1）根据根式的性质计算即可；
（2）根据指数幂的性质、运算法则直接求解即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣8+|2|﹣（2）＝﹣8+（2）﹣（2）＝﹣8．
（2）原式25．
【点评】本题考查了有理数指数幂的运算，是基础题．
14．（1）求值：；
（2）化简：；
（3）已知，求的值．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）a；
（3）．
【分析】（1）转化为指数式，利用指数幂的运算即可求解；
（2）将根式转化为分数指数幂，利用指数幂的运算即可求解；
（3）利用求x+x﹣1和x2+x﹣2，代入即可求解．
【解答】解：（1）原式；
（2）∵a＞1，
∴；
（3）由，得，
x2+x﹣2＝（x+x﹣1）2﹣2＝36﹣2＝34，
所以．
【点评】本题主要考查了指数运算性质的应用，属于中档题．
15．（1）计算；
（2）若，求x2+x﹣2的值．
【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】对应思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）；（2）x2+x﹣2＝34．
【分析】（1）利用指数、对数的运算法则计算可得出原式的值；
（2）对等式平方可得出x+x﹣1＝6，再对等式x+x﹣1＝6两边平方可得出x2+x﹣2的值．
【解答】解：（1）
lg4+1﹣lg25；
（2）由，得，得x+x﹣1＝6，
∴（x+x﹣1）2＝x2+x﹣2+2＝36，
故x2+x﹣2＝34．
【点评】本题考查有理指数幂的运算性质，考查运算求解能力，是基础题．
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