4.5.1 函数的零点与方程的解(同步练习.含解析）2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

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4.5.1函数的零点与方程的解
一．选择题（共6小题）
1．设函数f（x）＝a（x+1）2，g（x）＝|x|+2ax+1，当x∈（﹣1，1）时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）恰有一个交点，则a＝（　　）
A．﹣1 B． C．1 D．2
2．已知函数y＝f（x）的图象是连续不间断的，且对应关系如下表：
x 1 1.5 1.75 1.875 2
y ﹣6 ﹣2.625 ﹣0.14 1.342 ﹣0.158
则f（x）在[1，2]上的零点个数（　　）
A．只有1个 B．至少有2个 C．至多有2个 D．只有2个
3．已知函数，若互不相等的实根x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1+x2+x3的范围是（　　）
A．（2，8） B．（﹣8，4） C．（﹣6，0） D．（﹣6，8）
4．已知x0是方程2x2e2x+lnx＝0的实根，则关于实数x0的判断正确的是（　　）
A．x0＞ln2 B．
C．2x0+lnx0＝0 D．
5．已知函数若函数y＝f（x）图象与直线y＝k有且仅有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞0 B．0＜k＜1 C．0＜k＜3 D．1＜k＜3
6．高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个．高斯函数y＝[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1，8]＝1，[﹣1.9]＝﹣2．若函数y＝x﹣[x]﹣1+logax（a＞0，a≠1）有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A．（3，4] B．（3，4） C．（4，5] D．[4，5）
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知函数令g（x）＝f（f（x）），则下列说法正确的是（　　）
A．g（﹣1）＝0
B．方程g（x）＝2有3个根
C．方程g（x）＝﹣2的所有根之和为﹣1
D．当x＜0时，f（x）≤g（x）
（多选）8．已知函数f（x）＝x3﹣|3x2﹣3|﹣m，则下列结论正确的有（　　）
A．f（x）只有1个极小值点
B．y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线斜率为9
C．当f（x）有3个零点时，m的取值范围为（﹣3，1）
D．当f（x）只有1个零点时，m的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
（多选）9．已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足 x∈[1，+∞），2f（x）＝f（2x），且当x∈[1，2）时，f（x）＝﹣x2+3x﹣2，则下列结论正确的是（　　）
A．f（4）＝0
B．f（x）在[6，8]上单调递增
C．若方程f（x）﹣a＝0的实数根从小到大依次记为x1，x2，x3， ，且x1+x2＝12，则实数a的取值范围为
D．若方程bf（x）﹣2＝0在[3，16]上恰有4个实数根，则实数b的取值范围为（2，4）
三．填空题（共3小题）
10．定义，记f（x）＝min{|x|﹣1，x2﹣ax+2a﹣3}，若f（x）至少有3个零点，则实数a的取值范围为　 　 ．
11．若函数f（x）＝x2﹣x+a有两个零点，则实数a的取值范围是　 　 ．
12．设a∈R，已知关于x的方程（x+1）2（x+a）2＝a2+3存在四个实数根且（x1+1）（x2+1）（x3+1）（x4+1）＝6（a+1），则x1+x2+x3+x4＝　 　 ．
四．解答题（共3小题）
13．已知函数f（x）＝x2﹣（m+1）x+m+1．
（1）若关于x的方程f（x）＝0一根大于0，一根小于0，求实数m的取值范围；
（2）若关于x的方程f（x）＝0有两个大于﹣1的不等实根，求实数m的取值范围．
14．给定函数f（x）＝x+1，g（x）＝|x﹣2|，x∈R．
（1）在图一的直角坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象；
（2） x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的最大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}．在图二中画出函数M（x）的图象并写出M（x）的解析式；
（3）若方程M（x）﹣a＝0有两个不同的实根，求实数a的取值范围．
15．已知函数f（x）＝2+log3x，g（x）＝3x．
（1）若F（x）＝f（g（x）） g（f（﹣x）），求函数F（x）在区间上的值域；
（2）若，求的值；
（3）令G（x）＝（f（x）﹣2）2+（4﹣k）（f（x）﹣1），已知函数G（x）在区间[1，9]上有零点，求实数k的取值范围．
4.5.1函数的零点与方程的解
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．设函数f（x）＝a（x+1）2，g（x）＝|x|+2ax+1，当x∈（﹣1，1）时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）恰有一个交点，则a＝（　　）
A．﹣1 B． C．1 D．2
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；方程思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】由题意可得a，即直线y＝a与函数h（x） 在（﹣1，1）上只有一个交点，利用转化思想、对勾函数及偶函数的性质，作出h（x）的图象，结合图象求解即可．
【解答】解：令f（x）＝g（x），
则有a（x+1）2＝|x|+2ax+1，
即a[（x+1）2﹣2x]＝|x|+1，
所以a（x2+1）＝|x|+1，
即a，
由题意可知直线y＝a与函数h（x） 在（﹣1，1）上只有一个交点，
易知h（x）为偶函数，
当0≤x＜1时，h（x），
令t＝x+1∈[1，2），
则h（x）＝φ（t），
由对勾函数的性质可知y＝t2在（1，）上单调递减，在（，2）上单调递增，
所以φ（t）在[1，）上单调递增，在（，2）上单调递减，
又φ（1）＝1，φ（），
即h（x）在[0，1）上单调递增，在（1，1）上单调递减，
且h（0）＝1，h（1），
又因为h（x）为偶函数，‘
作出y＝h（x）在（﹣1，1）上的图象，如图所示：
由此可得只有a＝1时，才能满足题意．
故选：C．
【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想及数形结合思想，考查了对勾函数的性质，属于中档题．
2．已知函数y＝f（x）的图象是连续不间断的，且对应关系如下表：
x 1 1.5 1.75 1.875 2
y ﹣6 ﹣2.625 ﹣0.14 1.342 ﹣0.158
则f（x）在[1，2]上的零点个数（　　）
A．只有1个 B．至少有2个 C．至多有2个 D．只有2个
【考点】判定函数零点的存在性．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意，运用零点存在性定理进行求解，即可得到本题的答案．
【解答】解：函数y＝f（x）的图象是连续不间断的，且f（1.75）f（1.875）＜0，
根据零点存在性定理，可知f（x）在区间（1.75，1.875）上存在至少一个零点，
根据f（1.875）f（2）＜0，可知f（x）在区间（1.875，2）上存在至少一个零点，
综上所述，函数f（x）在区间[1，2]上至少存在2个零点．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的零点存在性定理及其应用，属于基础题．
3．已知函数，若互不相等的实根x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1+x2+x3的范围是（　　）
A．（2，8） B．（﹣8，4） C．（﹣6，0） D．（﹣6，8）
【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】先画出函数f（x）的大致图象，由图象可知x2+x3＝8，﹣6＜x1＜0，进而求出x1+x2+x3的取值范围．
【解答】解：画出函数f（x）的大致图象，如图所示：
不妨设x1＜x2＜x3，则x2和x3关于直线x＝4对称，
∴x2+x3＝8，
令2x+4＝﹣8，得x＝﹣6，
∴﹣6＜x1＜0，
∴x1+x2+x3的取值范围为：﹣6+8＜x1+x2+x3＜0+8，即x1+x2+x3∈（2，8），
故选：A．
【点评】本题考查了函数的零点，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．
4．已知x0是方程2x2e2x+lnx＝0的实根，则关于实数x0的判断正确的是（　　）
A．x0＞ln2 B．
C．2x0+lnx0＝0 D．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】设g（x）＝2x2e2x+lnx，由g（x）＝0，可得出，可得出x∈（0，1），构造新函数f（x）＝xex，x＞0，得到f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，结合，可判断C，D；再令h（x）＝2x+lnx，x∈（0，1），结合零点的存在定理，可判断A、B．
【解答】解：设g（x）＝2x2e2x+lnx，其中x＞0，
对任意的x∈（0，+∞）恒成立，
则函数g（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，
因为x0是方程2x2e2x+lnx＝0的实根，
即x0是y＝g（x）在（0，+∞）上的唯一零点，
由2x2e2x+lnx＝0，可得，
由x＞0，可得2xe2x＞0，
所以，，故，
从而得出0＜x＜1，
令f（x）＝xex，x＞0，
可得f′（x）＝ex+xex＝（x+1）ex＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，
可得f（2x）＝2xe2x，，
因为实数x0是方程2x2e2x+lnx＝0的实根，
则，
即，
其中x0∈（0，1），
所以，
即2x0+lnx0＝0，所以C正确，D不正确；
令h（x）＝2x+lnx，x∈（0，1），
可得，
所以h（x）在（0，1）上为单调递增函数，
因为，，
即，
由零点存在定理可得，故B错误；
又由，且，
所以x0＜ln2，故A错误．
故选：C．
【点评】本题考查了转化思想、同构思想，考查了导数的综合运用及函数的零点，属于中档题．
5．已知函数若函数y＝f（x）图象与直线y＝k有且仅有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞0 B．0＜k＜1 C．0＜k＜3 D．1＜k＜3
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】画出函数y＝f（x）的图象，结合图象求解即可．
【解答】解：将y＝2x的图象向下平移1个单位得到y＝2x﹣1，
再将y＝2x﹣1的图象的x轴下方的图象以x轴为对称轴翻转至x轴上方可得到y＝|2x﹣1|，
将的图象向右平移1个单位得到，
所以的图象，如图所示：
因为函数y＝f（x）图象与直线y＝k有且仅有三个不同的交点，
由图可知，当0＜k＜1时，满足题意．
故选：B．
【点评】本题考查了函数与方程思想、数形给思想，属于基础题．
6．高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个．高斯函数y＝[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1，8]＝1，[﹣1.9]＝﹣2．若函数y＝x﹣[x]﹣1+logax（a＞0，a≠1）有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A．（3，4] B．（3，4） C．（4，5] D．[4，5）
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解；新定义类．
【答案】D
【分析】根据高斯函数的定义分区间讨论结合对数函数的图象判定即可．
【解答】解：易知函数y＝x﹣[x]﹣1+logax的零点即logax＝[x]+1﹣x的交点的横坐标，
对于函数，n∈N*，
显然y＝[x]+1﹣x＞0，
所以要符合题意需a＞1，如下图所示，：
四个交点应在区间（1，5），
即，解得a∈[4，5）．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的零点、高斯函数的定义及性质，考查了转化思想及数形合思想，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知函数令g（x）＝f（f（x）），则下列说法正确的是（　　）
A．g（﹣1）＝0
B．方程g（x）＝2有3个根
C．方程g（x）＝﹣2的所有根之和为﹣1
D．当x＜0时，f（x）≤g（x）
【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用．
【专题】函数思想；方程思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由题意知f（﹣1）＝0，可得g（﹣1）＝0从而判断A；
令f（x）＝u，因为方程f（u）＝2没有实根，即g（x）＝2没有实根，从而判断B；
令u＝f（x），则方程g（x）＝﹣2，即f（u）＝﹣2，通过化简与计算即可判断C；
当x＜0时，g（x）＝f（x+1），则将函数f（x）在（﹣∞，1）的图象向左平移1个单位长度可得函数g（x）的图象，即可判断D．
【解答】解：对于A，由题意知f（﹣1）＝﹣1+1＝0，
则g（﹣1）＝f（f（﹣1））＝f（0）＝0，故A正确；
对于B，令f（x）＝u，
则求g（x）＝f（f（x））＝2的根，
即求f（u）＝2的根，
当u＜0时，则有u+1＝2，无解；
当u≥0时，﹣u2+2u＝2，即u2﹣2u+2＝0，
因为Δ＝﹣4＜0，
所以方程u2﹣2u+2＝0无解，
综上，方程f（u）＝2没有实根，
所以g（x）＝2没有实根，故B错误；
对于C，令u＝f（x），
则方程g（x）＝﹣2，即f（u）＝﹣2，
得u+1＝﹣2，u＜0，解得u1＝﹣3，
﹣u2+2u＝﹣2，u≥0，解得，
由方程f（x）＝u1，得x+1＝﹣3（x＜0）或﹣x2+2x＝﹣3（x≥0），
解得x＝﹣4或x＝3，
易知方程f（x）＝u2没有实数根，
所以方程g（x）＝﹣2的所有根之和为﹣4+3＝﹣1，故C正确；
对于D，当x＜0时，g（x）＝f（x+1），
则将函数f（x）在（﹣∞，1）的图象向左平移1个单位长度可得函数g（x）的图象，
当x＜0时，函数g（x）的图象不在f（x）的图象的下方，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想及数形结合思想，考查了图象的平移，属于中档题．
（多选）8．已知函数f（x）＝x3﹣|3x2﹣3|﹣m，则下列结论正确的有（　　）
A．f（x）只有1个极小值点
B．y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线斜率为9
C．当f（x）有3个零点时，m的取值范围为（﹣3，1）
D．当f（x）只有1个零点时，m的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
【考点】由函数零点所在区间求解函数或参数．
【专题】分类讨论；函数思想；方程思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】BCD
【分析】讨论x的取值范围，通过求导分析函数的单调区间，可判断A，B；
把函数零点问题转化为g（x）＝x3﹣|3x2﹣3|的图象与直线y＝m的交点个数问题，作出函数图象，数形结合可判断C，D．
【解答】解：由3x2﹣3≥0，得x≥1或x≤﹣1；
由3x2﹣3＜0，得﹣1＜x＜1，
当x≥1或x≤﹣1时，
f（x）＝x3﹣3x2+3﹣m，
则f'（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），
所以当x＞2或x≤﹣1时，f′（x）＞0，
当1≤x＜2时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1]，（2，+∞）上单调递增，在[1，2）上单调递减；
当﹣1＜x＜1时，f（x）＝x3+3x2﹣3﹣m，
则f'（x）＝3x2+6x＝3x（x+2），
所以当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，f'（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减．
综上得，f（x）在x＝0，x＝2处取得极小值，
故f（x）有2个极小值点，故A错误；
因为f'（3）＝3×32﹣6×3＝9，
所以曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线斜率为9，故B正确；
由f（x）＝0，得x3﹣|3x2﹣3|＝m，
函数f（x）的零点个数问题转化为函数g（x）＝x3﹣|3x2﹣3|的图象与直线y＝m的交点个数问题，
根据函数f（x）单调性分析，作出函数g（x）＝x3﹣|3x2﹣3|的图象，如图所示，
由图1可得，当函数g（x）＝x3﹣|3x2﹣3|的图象与直线y＝m有3个交点时，m的取值范围为（﹣3，1），故C正确；
由图2可得，当函数g（x）＝x3﹣|3x2﹣3|的图象与直线y＝m有1个交点时，m的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想及数形结合，考查了导数的综合运用及分类讨论思想，属于中档题．
（多选）9．已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足 x∈[1，+∞），2f（x）＝f（2x），且当x∈[1，2）时，f（x）＝﹣x2+3x﹣2，则下列结论正确的是（　　）
A．f（4）＝0
B．f（x）在[6，8]上单调递增
C．若方程f（x）﹣a＝0的实数根从小到大依次记为x1，x2，x3， ，且x1+x2＝12，则实数a的取值范围为
D．若方程bf（x）﹣2＝0在[3，16]上恰有4个实数根，则实数b的取值范围为（2，4）
【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的单调性．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】ACD
【分析】对于A，根据2f（x）＝f（2x）推导即可；
对于B，令，再结合已知区域的函数关系式即可求解；
对于C，画出函数y＝f（x）的图像，结合图像判断y＝a与y＝f（x）交点的位置，即可求出实数a的取值范围；
对于D，结合图像判断与y＝f（x）交点的位置，即可求出实数b的取值范围．
【解答】解：对于选项A，由于 x∈[1，+∞），2f（x）＝f（2x），因此f（4）＝2f（2）＝4f（1），
当x∈[1，2）时，函数f（x）＝﹣x2+3x﹣2，那么f（1）＝﹣1+3×1﹣2＝0，
所以f（4）＝0，因此选项A正确；
对于选项B，根据A知，f（2）＝0，因此当x∈[1，2]时，函数f（x）＝﹣x2+3x﹣2，
因此由x∈[6，8]，那么，故，
其开口向下，且对称轴为x＝6，因此函数f（x）在[6，8]上单调递减，因此选项B错误；
对于选项C，f（x）﹣a＝0的实数根可看作y＝f（x）与y＝a图象交点的横坐标，
根据题可作出y＝f（x）的图象如图所示，
若x1+x2＝12，那么x1，x2是y＝a与y＝f（x）在对称轴为x＝6对应区间上交点的横坐标，
因为，f（6）＝2f（3）＝1，所以，因此选项C正确；
对于选项D，同C分析，若bf（x）﹣2＝0在[3，16]上有4个实数根，
那么函数y＝f（x）与的图象有4个交点，由图知，则b的取值范围为（2，4），因此选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查函数零点与方程根的问题，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
10．定义，记f（x）＝min{|x|﹣1，x2﹣ax+2a﹣3}，若f（x）至少有3个零点，则实数a的取值范围为　[6，+∞）　 ．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】分类讨论；函数思想；方程思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】[6，+∞）．
【分析】令g（x）＝x2﹣ax+2a﹣3，先由题意得到a≤2或a≥6，再结合g（﹣1）和g（1）的符号分类讨论得到结果．
【解答】解：函数y＝|x|﹣1的图象与x轴有2个交点（﹣1，0）和（1，0），
所以函数g（x）＝x2﹣ax+2a﹣3的图象和x轴至少有一个交点，
从而Δ＝a2﹣8a+12≥0，
解得a≤2或a≥6；
函数g（x）的图象的对称轴为直线，开口向上，
设方程g（x）＝0的两根分别为x1，x2（x1≤x2），
当a时，g（﹣1）＝3a﹣2＜0，g（1）＝a﹣2＜0，
所以﹣1和1不是函数f（x）的零点，
此时函数f（x）只有2个零点，不符合题意；
当a＜2时，
g（﹣1）＝3a﹣2≥0，g（1）＝a﹣2＜0，
则1不是函数f（x）的零点，
函数f（x）只有2个零点，不符合题意；
当a＝2时，g（﹣1）＞0，g（1）＝0，
则函数f（x）只有2个零点，不符合题意；
当a≥6时，函数g（x）图象的对称轴方程满足且g（1）＞0，
所以1＜x1≤x2，函数f（x）至少有3个零点，符合题意．
综上，实数a的取值范围是[6，+∞）．
故答案为：[6，+∞）．
【点评】本题考查了函数的零点、转化思想及分类讨论思想，考查了方程思想及数形结合思想，属于中档题．
11．若函数f（x）＝x2﹣x+a有两个零点，则实数a的取值范围是　　 ．
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（﹣∞，）．
【分析】由题意知一元二次方程x2﹣x+a＝0有两个不相等的实数根，利用根的判别式建立a的不等式，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：若f（x）＝x2﹣x+a有两个零点，则方程f（x）＝0有两个根，
所以关于x的方程x2﹣x+a＝0有两个不相等的实数根，
可得Δ＝1﹣4a＞0，解得a，实数a的取值范围是（﹣∞，）．
故答案为：（﹣∞，）．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根、一元二次方程根的判别式及其应用，属于基础题．
12．设a∈R，已知关于x的方程（x+1）2（x+a）2＝a2+3存在四个实数根且（x1+1）（x2+1）（x3+1）（x4+1）＝6（a+1），则x1+x2+x3+x4＝　4　 ．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】4．
【分析】记ti＝xi+1，将问题转化为已知关于t的方程t2（t﹣1+a）2＝a2+3，且t1t2t3t4＝6（a+1），求t1+t2+t3+t4﹣4的值．然后利用韦达定理求解可得．
【解答】解：记ti＝xi+1，
则问题转化为：已知关于t的方程t2（t﹣1+a）2＝a2+3，且t1t2t3t4＝6（a+1），求t1+t2+t3+t4﹣4的值．
由t2（t﹣1+a）2＝a2+3，
得，
或，
不妨设前者的两根为t1，t2，后者的两根为t3，t4，
则由韦达定理得，t3t4，
所以t1t2t3t4（）＝6（a+1），
即a2+6a+9＝0，
解得a＝﹣3，
所以t1+t2+t3+t4﹣4＝﹣2（a﹣1）﹣4＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想及韦达定理的应用，属于中档题．
四．解答题（共3小题）
13．已知函数f（x）＝x2﹣（m+1）x+m+1．
（1）若关于x的方程f（x）＝0一根大于0，一根小于0，求实数m的取值范围；
（2）若关于x的方程f（x）＝0有两个大于﹣1的不等实根，求实数m的取值范围．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）m∈（﹣∞，﹣1）；
（2）．
【分析】（1）由韦达定可得两根之积m+1＜0，求解即可；
（2）由Δ＞0及韦达定理求解即可．
【解答】解：（1）由韦达定可得两根之积m+1＜0，
解得m＜﹣1，
故m∈（﹣∞，﹣1）；
（2）设两根分别为x1，x2，
则有x1+x2＝m+1，x1x2＝m+1，且x1＞﹣1，x2＞﹣1，
由题意可得Δ＝（m+1）（m﹣3）＞0，
且x1+1+x2+1＝m+1+2＞0，（x1+1）（x2+1）＝（m+1）+m+1+1＞0，
解得m＜﹣1或m＞3，
故．
【点评】本题考查了函数与方程思想、韦达定理的应用，属于基础题．
14．给定函数f（x）＝x+1，g（x）＝|x﹣2|，x∈R．
（1）在图一的直角坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象；
（2） x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的最大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}．在图二中画出函数M（x）的图象并写出M（x）的解析式；
（3）若方程M（x）﹣a＝0有两个不同的实根，求实数a的取值范围．
【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【专题】作图题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）如图一；
（2）图象见图二，且M（x）；
（3）a的范围是（，+∞）．
【分析】（1）根据一次函数的图象画法结合对称变换作图即可；
（2）找到两图象的交点，再作图即可；
（3）据图判断即可．
【解答】解：（1）（如图一）一次函数y＝x+1的图象是一条直线，过点（0，1）和（﹣1，0），
而y＝|x﹣2|的图象，只需画出y＝x﹣2的图象，保留x轴上方部分，将x轴下方部分对称到x上方即可；
（2）联立，解得，y，即交点为（），
在图二中作出函数M（x）＝max{f（x），g（x）}的图象；
（3）方程M（x）﹣a＝0有两个不同的实根，即y＝a与y＝M（x）有两个交点，
显然当a即可，故所求a的范围是（，+∞）．
【点评】本题考查图象的画法及应用，属于中档题．
15．已知函数f（x）＝2+log3x，g（x）＝3x．
（1）若F（x）＝f（g（x）） g（f（﹣x）），求函数F（x）在区间上的值域；
（2）若，求的值；
（3）令G（x）＝（f（x）﹣2）2+（4﹣k）（f（x）﹣1），已知函数G（x）在区间[1，9]上有零点，求实数k的取值范围．
【考点】由函数零点所在区间求解函数或参数；复合函数的值域．
【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）[0，9]；
（2）1012；
（3）．
【分析】（1）求出F（x）的表达式，根据二次函数的性质即可求解；
（2）求出H（x）的表达式，再计算H（x）+H（1﹣x）的值，分析出规律后即可求解；
（3）求出G（x）的表达式，再令t＝log3x，将G（x）转化为常见的二次函数形式，最后结合分离变量及对勾函数的单调性即可求解．
【解答】解：（1）F（x）＝f（g（x）） g（f（﹣x））＝（2+log33x） （32+log3（﹣x））
＝（2+x） （﹣9x）
＝﹣9（x+1）2+9，
F（x）为二次函数，对称轴为x＝﹣1，开口向下，
当x∈[﹣2，﹣1）时，函数F（x）单调递增，
当时，函数F（x）单调递减；
又，F（﹣2）＝0，F（﹣1）＝9，
则函数F（x）的最大值为F（﹣1）＝9，函数F（x）的最小值为F（﹣2）＝0，
所以函数F（x）的值域为[0，9]；
（2），
则，
所以
，
所以，
故；
（3），
令t＝log3x，
当x∈[1，9]时，t∈[0，2]，
则函数G（x）等价于y＝p（t）＝t2+（4﹣k）t+4﹣k，
若函数G（x）在区间[1，9]上有零点，
则等价于y＝p（t）＝t2+（4﹣k）t+4﹣k在t∈[0，2]上有零点，
即p（t）＝t2+（4﹣k）t+4﹣k＝0在区间[0，2]上有解，
所以t2+4t+4﹣k（1+t）＝0在区间[0，2]上有解，
所以，
设m＝t+1，则m∈[1，3]，
则，
因为函数在区间[1，3]上单调递增，
且，
即当1≤m≤3时，，
所以，
所以实数k的取值范围是．
【点评】本题考查了指数函数、对数函数及对勾函数的性质，考查函数的零点及转化思想，属于中档题．
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