5.1 任意角和弧度制(同步练习.含解析）2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

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5.1任意角和弧度制
一．选择题（共6小题）
1．在扇形OAB中，已知扇形所在圆的半径为2，，则扇形OAB的面积为（　　）
A． B． C．π D．
2．若α是第二象限角，且，则（　　）
A． B． C． D．
3．半径为3cm，圆心角为210°的扇形的弧长为（　　）
A．630cm B． C． D．
4．已知α、β均为第二象限角，则“sinα＞sinβ”是“cosα＞cosβ”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为（　　）
A．4 B．4π C．12 D．12π
6．已知圆心角为72°的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列结论中正确的有（　　）
A．直线倾斜角的范围是
B．若两条相交直线所成的角为α，其方向向量的夹角为θ，则α＝θ或α＝π﹣θ
C．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为﹣1
D．每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应
（多选）8．下列说法正确的是（　　）
A．240°π
B．1弧度的角比1°的角大
C．用弧度制量角时，角的大小与圆的半径有关
D．扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，则扇形的圆心角的弧度数为4
（多选）9．下列说法正确的是（　　）
A．若α终边上一点的坐标为（3k，4k）（k≠0），则
B．若角α为锐角，则α是第一象限角
C．若，且0＜α＜π，则
D．若圆心角为60°的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为
三．填空题（共3小题）
10．已知半径为2的扇形面积为2，则该扇形圆心角的弧度为 　 　 ．
11．已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为 　 　 ．
12．弧长为4π的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为 　 　 ．
四．解答题（共3小题）
13．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l．
（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；
（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大；
（3）若α，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
14．如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．图2是会徽的几何图形，设的长度是l，的长度是l′，几何图形ABCD的面积为S，扇形BOC的面积为S′，已知，∠BOC＝α.
（1）求；
（2）若几何图形ABCD的周长为4，则当α为多少时，S最大？
15．如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角，A是半径OP上的动点，矩形ABCD内接于扇形OPQ，且OA＝OD．
（1）若∠BOP＝α，求线段AB的长；
（2）求矩形ABCD面积的最大值．
5.1任意角和弧度制
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．在扇形OAB中，已知扇形所在圆的半径为2，，则扇形OAB的面积为（　　）
A． B． C．π D．
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；对应思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】B
【分析】应用扇形面积公式求扇形OAB的面积．
【解答】解：因为扇形所在圆的半径为2，，
所以扇形的面积．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．
2．若α是第二象限角，且，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】象限角、轴线角；同角正弦、余弦的商为正切．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的关系求出sinα，结合诱导公式得到结果．
【解答】解：∵α是第二象限角，
∴sinα＞0，cosα＜0．
∵tanα，
则sinαcosα，
又sin2α+cos2α＝1，
∴，
∴．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同角基本关系及诱导公式的应用，属于基础题．
3．半径为3cm，圆心角为210°的扇形的弧长为（　　）
A．630cm B． C． D．
【考点】弧长公式．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】先将角度化为弧度，然后利用弧长公式求解即可．
【解答】解：圆心角210°化为弧度为，则弧长为．
故选：D．
【点评】本题主要考查弧长公式，属于基础题．
4．已知α、β均为第二象限角，则“sinα＞sinβ”是“cosα＞cosβ”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】象限角、轴线角．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．
【答案】C
【分析】直接利用同角三角函数关系式的变换以及充分性和必要性的应用求出结果．
【解答】解：由于α、β均为第二象限角，当sinα＞sinβ＞0，整理得sin2α＞sin2β，根据同角三角函数的关系式，所以1﹣cos2α＞1﹣cos2β，
由于cosα＜0，cosβ＜0，故cosα＞cosβ，即充分性成立，
当cosα＞cosβ，且α、β均为第二象限角，所以0＞cosα＞cosβ，故cos2α＜cos2β，
所以1﹣sin2α＜1﹣sin2β，即sin2α＞sin2β，
由于α、β均为第二象限角，所以sinα＞sinβ＞0，故必要性成立，
故“sinα＞sinβ”是“cosα＞cosβ”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：同角三角函数的关系式的变换，充分性和必要性的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
5．已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为（　　）
A．4 B．4π C．12 D．12π
【考点】弧长公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】C
【分析】先由扇形的面积公式可得半径，进而由弧长公式可得答案．
【解答】解：设该扇形的弧长为l，圆心角为α，半径为r，
因为扇形的圆心角α为3rad，面积S为24，
由，可得，解得r＝4，
故l＝rα＝12，
则该扇形的弧长为12．
故选：C．
【点评】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，属于基础题．
6．已知圆心角为72°的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；对应思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】B
【分析】根据弧度和角度的换算得到，然后利用弧长公式和扇形面积公式计算．
【解答】解：由题意，扇形的圆心角，
设扇形的半径为r，
由扇形的弧长，
所以r＝2，
所以该扇形的面积为．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．下列结论中正确的有（　　）
A．直线倾斜角的范围是
B．若两条相交直线所成的角为α，其方向向量的夹角为θ，则α＝θ或α＝π﹣θ
C．若两条直线相互垂直，则其斜率之积为﹣1
D．每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应
【考点】弧度制；直线的倾斜角；直线的斜率．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学抽象．
【答案】BD
【分析】根据直线的倾斜角、直线的夹角、方向向量的夹角、直线垂直等知识确定正确答案．
【解答】解：直线倾斜角的取值范围是[0，π），A错误．
B选项，根据直线的夹角和方向向量的夹角的知识可知，α＝θ或α＝π﹣θ，B正确．
C选项，两条直线相互垂直，可能一条斜率为0，另一条斜率不存在，C错误．
D选项，每条直线有且只有一个倾斜角与之相对应，D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了直线的倾斜角，直线垂直的斜率关系的应用，属于基础题．
（多选）8．下列说法正确的是（　　）
A．240°π
B．1弧度的角比1°的角大
C．用弧度制量角时，角的大小与圆的半径有关
D．扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，则扇形的圆心角的弧度数为4
【考点】弧长公式；弧度制．
【专题】对应思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】AB
【分析】利用角度制与弧度制的定义以及它们之间的关系对ABC选项逐一分析判断即可求解，由已知先求出圆心角，然后结合弧长公式即可判断D．
【解答】解：对于A，240°＝240rad，故A正确；
对于B，根据弧度制与角度制的互化，可得1rad1°，故选项B正确；
对于C，用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径是无关的，故选项C错误；
对于D，由题意得，
解得r＝1或r＝2，
当r＝1时，l＝4，α＝4，
当r＝2时，l＝2，α＝2，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了弧长公式，角的概念的理解，主要考查了角度制与弧度制的理解，属于基础题．
（多选）9．下列说法正确的是（　　）
A．若α终边上一点的坐标为（3k，4k）（k≠0），则
B．若角α为锐角，则α是第一象限角
C．若，且0＜α＜π，则
D．若圆心角为60°的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为
【考点】象限角、轴线角；弧长公式；扇形面积公式．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据三角函数的定义判断出A项的正误；根据锐角与第一象限角的关系判断出B项的正误；根据同角三角函数的关系加以计算，可判断出C项的正误；利用弧长公式及扇形面积公式进行求解，可判断出D项的正误．
【解答】解：对于A，设P（3k，4k）（k≠0），则|OP|＝r＝5|k|，
由三角函数的定义，可得cosα，所以A选项错误；
对于B，若角α为锐角，则α∈（0，），可知角α是第一象限角，故B选项正确；
对于C，若，则，
结合0＜α＜π，解得，所以，可知C选项正确；
对于D，圆心角为60°的扇形的弧长l＝2，则扇形的半径r，
可得该扇形的面积为Slr，故D选项错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查三角函数的定义、同角三角函数的基本关系、扇形的面积公式与弧长公式等知识，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．已知半径为2的扇形面积为2，则该扇形圆心角的弧度为 　1　 ．
【考点】扇形面积公式．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】1．
【分析】根据扇形面积公式直接求解即可．
【解答】解：设扇形圆心角的弧度为α，
半径为2的扇形面积为2，
则扇形面积，解得α＝1，即该扇形圆心角的弧度为1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
11．已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为 　12　 ．
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】12．
【分析】由扇形的圆心角与面积求得半径，再利用弧长公式即可求弧长．
【解答】解：设该扇形的弧长为l，圆心角为α，半径为r，
由题意，
又扇形的圆心角α为3rad，面积S为24，
可得，
所以r＝4，
可得l＝αr＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了扇形的面积公式以及弧长公式的应用，属于基础题．
12．弧长为4π的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为 　24π　 ．
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据弧长公式求出半径，然后根据扇形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：设扇形的半径为R，
∵4πR，
∴R＝12，
∴扇形的面积24π．
故答案为：24π．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，弧长公式的应用，基本知识的考查．
四．解答题（共3小题）
13．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l．
（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；
（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大；
（3）若α，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；直线与圆．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用弧长公式即可计算得解．
（2）由已知得l+2R＝20，可求S＝﹣（R﹣5）2+25，利用二次函数的图象即可得解．
（3）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积．
【解答】解：（1）l＝10（cm）．
（2）由已知得：l+2R＝20，
所以SlR（20﹣2R）R＝﹣（R﹣5）2+25．
所以R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2rad．
（3）设弓形面积为S弓，由题知lcm，
S弓＝S扇﹣S△222×sin （cm2）．
【点评】本题主要考查了弧长公式，二次函数的图象和性质，扇形面积，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．
14．如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．图2是会徽的几何图形，设的长度是l，的长度是l′，几何图形ABCD的面积为S，扇形BOC的面积为S′，已知，∠BOC＝α.
（1）求；
（2）若几何图形ABCD的周长为4，则当α为多少时，S最大？
【考点】扇形面积公式；运用基本不等式解决实际问题．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（1）3；
（2）．
【分析】（1）通过弧长比可以得到OA与OB的比，再利用扇形面积公式即可求解；
（2）由题意得2OB+3l′＝4，，然后利用基本不等式求最值即得．
【解答】解：（1）由∠BOC＝α，则l＝α OA，l′＝α OB，
所以，即OA＝2OB，l＝2l′，
．
（2）由（1）知，AB＝CD＝OB，
几何图形ABCD的周长为AB+l+l′+CD＝2OB+3l′＝4，
，当且仅当，即时，S最大值为1．
【点评】本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
15．如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角，A是半径OP上的动点，矩形ABCD内接于扇形OPQ，且OA＝OD．
（1）若∠BOP＝α，求线段AB的长；
（2）求矩形ABCD面积的最大值．
【考点】扇形面积公式；弧长公式．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；解三角形；逻辑思维；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用三角函数的关系的应用求出AB的长；
（2）利用矩形的面积和三角函数关系式的变换的和正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：（1）∵且OA＝OD，
∴△AOD为等边三角形，
∴，
又四边形ABCD为矩形，，
∴
在扇形OPQ中，半径OP＝1．
过B作OP的垂线，垂足为N，
∴BN＝OBsinα＝sinα，
在△ABN中
（2）矩形ABCD面积S＝|AB∥AD|，设∠BOP＝α，
由（1）可知|AB|＝2sinα，|BN|，
∴，
，
，
∵，
∴，
∴当，
即时，矩形ABCD面积取最大值，
最大值为．
【点评】本题考查的知识要点：解三角形知识的应用，矩形的面积公式的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
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