5.2 三角函数的概念(同步练习.含解析）2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

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5.2三角函数的概念
一．选择题（共6小题）
1．已知，则（　　）
A． B．3 C． D．﹣3
2．若α∈（0，π），且sinα﹣cosα＝sinαcosα，则sinα﹣cosα＝（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，若角α的终边位于直线，则tanα＝（　　）
A．﹣1 B． C． D．
4．若象限角θ满足sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|＝﹣1，则θ是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
5．已知角α的终边经过点，则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
6．在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹 布劳威尔（L．E．J．Brouwer），简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f（x），存在一个点x0，使得f（x0）＝x0，那么我们称x0为该函数的“不动点”．若函数f（x）＝x2﹣5x+9的“不动点”为m，角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过M（m，﹣4），则sinα＝（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．在直角坐标系xOy中，已知⊙O是以O为圆心的单位圆，点A的坐标为（1，0），角θ的始边为射线OA，终边OB交圆O于点B，过点B作直线OA的垂线，垂足为C．若将点C到直线OB的距离表示为θ的函数h（θ），则（　　）
A．
B．h（θ）的最小正周期为
C．是h（θ）的一个单调减区间
D．的最大值为
（多选）8．若角α的终边经过点P（t，﹣2t）（t＜0），则下列结论正确的是（　　）
A．α是钝角
B．α是第二象限角
C．tanα＝﹣2
D．点（cosα，sinα）在第四象限
（多选）9．若，则角α的终边经过的点的坐标可以为（　　）
A．（12，5） B．（5，12） C．（﹣12，5） D．（﹣5，12）
三．填空题（共3小题）
10．若角α的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点P（﹣3，4），则cos2α＝　 　 ．
11．在平面直角坐标系xOy中，若角θ的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的单位圆交于点，则的值为　 　 ．
12．若，且，则sinx﹣cosx的值为 　 　 ．
四．解答题（共3小题）
13．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，令∠AOC＝α，若角β的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．
（1）求cos（π﹣β）；
（2）设|BC|＝1，求的值．
14．（1）已知全集U＝R，集合A＝{x|a+1≤x≤2a+1}，B＝{x|﹣2≤x≤5}．若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
（2）已知，，求sinx﹣cosx．
15．（1）已知tanα是关于x的方程2x2+x﹣1＝0的一个实根，且α是第一象限角，求3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α的值；
（2）已知，且α∈（0，π），求的值．
5.2三角函数的概念
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知，则（　　）
A． B．3 C． D．﹣3
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】根据条件，利用“齐次式”，即可求解．
【解答】解：由已知，原式．
故选：D．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
2．若α∈（0，π），且sinα﹣cosα＝sinαcosα，则sinα﹣cosα＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】A
【分析】将已知条件两侧平方整理得（sinαcosα+1）2＝2，结合sinαcosα+1＞0求出sinαcosα，即可得．
【解答】解：由题设（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝sin2αcos2α，
所以sin2αcos2α+2sinαcosα+1＝2，即（sinαcosα+1）2＝2，
而sinαcosα+1＞0，
所以sinαcosα，
即．
故选：A．
【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
3．在平面直角坐标系中，若角α的终边位于直线，则tanα＝（　　）
A．﹣1 B． C． D．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】对应思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维．
【答案】C
【分析】由斜率和倾斜角的关系即可求解．
【解答】解：设直线倾斜角为θ，
因为角α的终边位于直线，，
所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数定义，属于基础题．
4．若象限角θ满足sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|＝﹣1，则θ是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【考点】三角函数值的符号．
【专题】对应思想；定义法；三角函数的求值．
【答案】C
【分析】根据同角的三角函数关系得出sinθ＜0且cosθ＜0，由此判断θ是第几象限角．
【解答】解：象限角θ满足sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|＝﹣1，
∴﹣sin2θ﹣cos2θ＝﹣1，
∴，
∴θ是第三象限角．
故选：C．
【点评】本题考查了同角的三角函数关系应用与三角函数值符号的判断问题，是基础题．
5．已知角α的终边经过点，则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；对应思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】C
【分析】利用任意角的三角函数的定义即可求解．
【解答】解：因为角α的终边经过点，
则cosα．
故选：C．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
6．在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹 布劳威尔（L．E．J．Brouwer），简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f（x），存在一个点x0，使得f（x0）＝x0，那么我们称x0为该函数的“不动点”．若函数f（x）＝x2﹣5x+9的“不动点”为m，角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过M（m，﹣4），则sinα＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】函数思想；定义法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】A
【分析】利用“不动点”定义求出m，再利用三角函数定义求解即可．
【解答】解：由f（x）＝x，得x2﹣6x+9＝0，解得x＝3，所以点M（3，﹣4），
所以．
故选：A．
【点评】本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．在直角坐标系xOy中，已知⊙O是以O为圆心的单位圆，点A的坐标为（1，0），角θ的始边为射线OA，终边OB交圆O于点B，过点B作直线OA的垂线，垂足为C．若将点C到直线OB的距离表示为θ的函数h（θ），则（　　）
A．
B．h（θ）的最小正周期为
C．是h（θ）的一个单调减区间
D．的最大值为
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】对应思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ACD
【分析】利用点到直线的距离公式及二倍角正弦公式得，代入求得，判断A；结合诱导公式利用周期定义判断B；利用正弦 函数性质判断C；利用基本不等式求解最值即可判断D．
【解答】解：单位圆上B（cosθ，sinθ），C为B到x轴的垂足，故C（cosθ，0），
直线OB的直线方程为y＝tanθx，即tanθx﹣y＝0，
则点C到直线OB的距离．
对于A，，正确；
对于B，因为，所以不是h（θ）的周期，错误；
对于C，，所以，所以，
因为y＝sinx在单调递增，所以在单调递减，正确；
对于D，
，
当且仅当|sin2θ|＝|cos2θ|时等号成立，正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查正弦（型）函数的最小正周期、的值域和最值、二倍角的正弦公式等，属于中档题．
（多选）8．若角α的终边经过点P（t，﹣2t）（t＜0），则下列结论正确的是（　　）
A．α是钝角
B．α是第二象限角
C．tanα＝﹣2
D．点（cosα，sinα）在第四象限
【考点】任意角的三角函数的定义；三角函数值的符号．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据P点的坐标、象限角、三角函数的定义等知识确定正确答案．
【解答】解：由点P（t，﹣2t）（t＜0）在第二象限，可得α是第二象限角，但不一定是钝角，B正确，A错误；
，C正确；
由sinα＞0，cosα＜0，则点（cosα，sinα）在第二象限，D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查象限角、三角函数的定义，属于基础题．
（多选）9．若，则角α的终边经过的点的坐标可以为（　　）
A．（12，5） B．（5，12） C．（﹣12，5） D．（﹣5，12）
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】BD
【分析】由任意角正弦的定义逐个判断即可．
【解答】解：对于A，当x＝12，y＝5时，r＝13，sinα，A不符合题意；
对于B，当x＝5，y＝12时，r＝13，，B符合题意；
对于C，当x＝﹣12，y＝5时，r＝13，，C不符合题意；
对于D，当x＝﹣5，y＝12时，r＝13，，D符合题意．
故选：BD．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．若角α的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点P（﹣3，4），则cos2α＝　　 ．
【考点】任意角的三角函数的定义；二倍角的三角函数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】利用三角函数定义，二倍角公式即可求值．
【解答】解：因为角α的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，
它的终边过点P（﹣3，4），∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查任意角三角函数定义，二倍角公式，属于基础题．
11．在平面直角坐标系xOy中，若角θ的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的单位圆交于点，则的值为　　 ．
【考点】任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】根据三角函数的定义求出sinθ，cosθ，结合二倍角的三角函数公式求出cos2θ，进而根据诱导公式求出的值．
【解答】解：由题意得|OP|＝r＝1，sinθ，cosθ，
所以cos2θ＝cos2θ﹣sin2θ，可得sin（2θ）＝﹣cos2θ．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角函数的定义、二倍角的三角函数公式与诱导公式等知识，属于基础题．
12．若，且，则sinx﹣cosx的值为 　　 ．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】转化思想；综合法．
【答案】．
【分析】将两边平方，运用同角三角函数的平方关系，化简得2sinxcosx，由此算出（sinx﹣cosx）2，结合，算出sinx﹣cosx的值，可得答案．
【解答】解：若，则sinx＜cosx，可得sinx﹣cosx＜0，
由，可得（sinx+cosx）2，
即sin2x+cos2x+2sinxcosx，
所以1+2sinxcosx，可得2sinxcosx1，
所以（sinx﹣cosx）2＝sin2x+cos2x﹣2sinxcosx＝1﹣2sinxcosx，
可得sinx﹣cosx（正值舍去）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，令∠AOC＝α，若角β的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．
（1）求cos（π﹣β）；
（2）设|BC|＝1，求的值．
【考点】任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用三角函数的定义即可求解；
（2）利用降幂公式以及辅助角公式化简原式可得：．结合△OBC为等边三角形求解即可．
【解答】解：（1）由题知，
所以由三角函数的定义得：，，
所以．
（2）由题意可得|OB|＝|OC|＝|BC|＝1，所以△OBC为等边三角形，
所以
sin∠AOB＝sin（2π﹣β）＝﹣sinβ，
由（1）得，，
所以．
【点评】本题考查三角函数的定义应用，三角恒等变换知识的应用，属于中档题．
14．（1）已知全集U＝R，集合A＝{x|a+1≤x≤2a+1}，B＝{x|﹣2≤x≤5}．若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
（2）已知，，求sinx﹣cosx．
【考点】同角正弦、余弦的平方和为1；充分不必要条件的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（1）[0，2]；
（2）．
【分析】（1）依题意可得集合A是集合B的真子集，即可得到不等式组，解得即可；
（2）由同角的三角函数关系结合角的范围计算即可．
【解答】解：（1）由题意，集合B＝{x|﹣2≤x≤5}，
而A＝{x|a+1≤x≤2a+1}必为非空集合，
因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，
则集合A是集合B的真子集，
所以（等号不同时成立），解得0≤a≤2，
所以实数a的取值范围为[0，2]；
（2）由，两边平方得（sinx+cosx）2，
可得，
可得，
又，可得sinx＜0，cosx＞0，
所以．
【点评】本题考查了充分不必要条件的应用，考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
15．（1）已知tanα是关于x的方程2x2+x﹣1＝0的一个实根，且α是第一象限角，求3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α的值；
（2）已知，且α∈（0，π），求的值．
【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的恒等变换及化简求值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）解方程2x2+x﹣1＝0，求出tanα，利用同角三角函数关系式能求出结果．
（2）由，且α∈（0，π），得2sinαcosα，从而cos﹣sinα，再由，能求出结果．
【解答】解：（1）解方程2x2+x﹣1＝0，得x1＝﹣1，x2，
∵tanα是关于x的方程2x2+x﹣1＝0的一个实根，且α是第一象限角，
∴tanα，
∴3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α
．
（2）∵，且α∈（0，π），
∴（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα，
∴2sinαcosα，
∵α∈（0，π），∴α∈（，π），
∴cos﹣sinα，
∴．
【点评】本题考查同角三角函数关系式、诱导公式、韦达 定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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