5.4 三角函数的图象与性质(同步练习.含解析）2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

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5.4三角函数的图象与性质
一．选择题（共6小题）
1．把函数的图象向右平移a（a＞0）个单位长度，再向上平移b个单位长度后得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于点（2a，0）对称，则a+b的最小值为（　　）
A． B． C． D．
2．已知函数f（x）＝sin（4x﹣φ）（0＜φ＜π）图象的一条对称轴是直线，则φ的值为（　　）
A． B． C． D．
3．已知函数在（0，π）上递增，则ω的最大值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，），T为f（x）的最小正周期，且，若f（x）在区间（0，π）上恰有3个极值点，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在区间上单调递增，直线和为函数f（x）的两条对称轴，则（　　）
A． B． C． D．
6．设函数在区间（0，π）恰有三个极值点，两个零点，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若F（x）＝f（x）g（x）的图象关于点对称，则ω可取的值为（　　）
A．4 B．2 C．1 D．
（多选）8．已知函数，则（　　）
A．
B．f（x）的一个对称中心为
C．f（x）的最小值为﹣2
D．f（x）的单调递增区间为
（多选）9．已知函数f（x）＝2cosx﹣cos2x（x∈R），则（　　）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）的最小正周期是π
C．f（x）的值域是[﹣3，3]
D．f（x）在上单调递减
三．填空题（共4小题）
10．设0≤θ＜π，且y＝cos（x+θ）为奇函数，则θ＝　 　 ．
11．若函数在区间（0，2π）上恰有5个极值点，且在区间上单调，则ω的取值范围为　 　 ．
12．设A，B，C是函数f（x）＝cosωx（ω＞0）与函数的图象连续相邻的三个交点，若△ABC是钝角三角形，则ω的取值范围是 　 　 ．
13．平面直角坐标系中，将函数y＝f（x）的图象上满足x∈N*，y∈N*的点P（x，y），称为f（x）的“正格点”．若f（x）＝2cosmx，x∈R，m∈（0，1）的图象与函数g（x）＝3x﹣4，x∈R的图象存在“正格点”交点，则m＝ 　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数图象的一条对称轴为．
（1）求ω的最小值；
（2）当ω取最小值时，若，求sin2α的值．
15．已知f（x）＝2sinωxcosωx+2cos2ωx，ω＞0，
（1）若ω＝1，求函数的值域；
（2）已知，若函数y＝f（x）的最小正周期为π，且函数y＝f（x）在上恰有2个零点，求实数m的取值范围．
5.4三角函数的图象与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．把函数的图象向右平移a（a＞0）个单位长度，再向上平移b个单位长度后得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于点（2a，0）对称，则a+b的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】利用正弦曲线的对称性求出f（x）图象的对称中心为（kπ，﹣1），k∈Z，然后根据g（x）的图象关于点（2a，0）对称，结合函数图象的平移变换建立关系式，进而求得a+b的最小值．
【解答】解：根据，
令3xkπ（k∈Z），解得xkπ（k∈Z），
所以f（x）图象的对称中心为（kπ，﹣1），k∈Z，
根据题意，将g（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度，
再向下平移b个单位长度，可得函数f（x）的图象，
因为g（x）的图象关于点（2a，0）对称，
所以f（x）的图象关于点（a，﹣b）对称，可知﹣b＝﹣1，即b＝1，
结合a＞0，取k＝0，可得a的最小值为，所以a+b的最小值为1．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角三角函数图象的平移变换、正弦函数的图象与性质等知识，属于基础题．
2．已知函数f（x）＝sin（4x﹣φ）（0＜φ＜π）图象的一条对称轴是直线，则φ的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】根据正弦函数的图象的对称性，结合题意建立关于ω的方程，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：若f（x）＝sin（4x﹣φ）图象的一条对称轴是直线，
则x时，f（x）取得最大值或最小值，
可得4φkπ（k∈Z），即φkπ（k∈Z），
结合0＜φ＜π，取k＝0，可得φ．
故选：D．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质，属于基础题．
3．已知函数在（0，π）上递增，则ω的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】求出x∈（0，π）时，的取值范围，然后运用正弦函数的单调性建立关于ω的不等式，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：根据题意，当0＜x＜π时，，
若f（x）在（0，π）上递增，
则根据正弦函数的单调性，可得，
由，解得，可知ω的最大值为．
故选：D．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质、不等式的解法等知识，属于基础题．
4．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，），T为f（x）的最小正周期，且，若f（x）在区间（0，π）上恰有3个极值点，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意可得为f（x）图象的一条对称轴，由此求出φ值，然后根据的取值范围，结合正弦曲线的性质可得，解之即可得出ω的取值范围．
【解答】解：根据题意，f（x）的最小正周期T，
因为，且，
所以x（），即x为f（x）图象的一条对称轴，
可得ωT+φφ＝kπ（k∈Z），解得（k∈Z），
结合，可得φ，所以f（x）＝2sin（ωx）．
当x∈（0，π）时，则∈，
若函数f（x）在区间（0，π）上恰有3个极值点，
则根据正弦函数的性质，可知π＜ωππ，
解得，故ω的取值范围是．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的周期性、正弦函数图象与性质等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．
5．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在区间上单调递增，直线和为函数f（x）的两条对称轴，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；正弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意，利用正弦函数的图象和性质，先求出函数的解析式，从而得出结论．
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在区间上单调递增，
ωx+φ∈（φ，φ），
直线和为函数f（x）的两条对称轴，
∴φ＝2kπ，φ＝2kπ，k∈Z，且．
解得ω＝2且φ．
可得f（x）＝sin（2x），
则sin（）＝sin．
故选：D．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
6．设函数在区间（0，π）恰有三个极值点，两个零点，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】三角函数的周期性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意，结合正弦函数的图象和性质即可求解．
【解答】解：由题意，当ω＜0时，不能满足在（0，π）上极值点比零点多，
当ω＞0时，∵x∈（0，π），∴ωx∈（，），
要使函数f（x）＝sin（）在区间（0，π）内恰有三个极值点，两个零点，
由y＝sinx的部分图象，如图，
则，解得，
即ω∈（，]．
故选：B．
【点评】本题考查正弦函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若F（x）＝f（x）g（x）的图象关于点对称，则ω可取的值为（　　）
A．4 B．2 C．1 D．
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据函数图象的平移变换，结合诱导公式算出g（x）＝cos（ωx），从而可得F（x）＝f（x）g（x）sin（2ωx），然后根据正弦曲线的对称性进行求解，即可得到本题的答案．
【解答】解：由题意得g（x）＝f（x）＝sin[ω（x）]＝sin（ωx）＝cos（ωx），
所以F（x）＝f（x）g（x）＝sin（ωx）cos（ωx）sin（2ωx），
若F（x）的图象关于点对称，
则F（）＝sin（）＝0，可得kπ（k∈Z），即ω（3k﹣1），k∈Z，
取k＝3，得ω＝4；取k＝1，得ω＝1；取k＝2，得ω，可知A、C、D三项正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查函数图象的平移变换、二倍角的三角函数公式、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．
（多选）8．已知函数，则（　　）
A．
B．f（x）的一个对称中心为
C．f（x）的最小值为﹣2
D．f（x）的单调递增区间为
【考点】正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质逐项分析判断．
【解答】解：A选项，，A选项正确；
B选项，，则不是f（x）图象的对称中心，B选项错误；
C选项，当时，f（x）取得最小值为﹣2，C选项正确；
D选项，由，得，
因此f（x）的单调递增区间为，D选项错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了正弦函数的图象性质，属于基础题．
（多选）9．已知函数f（x）＝2cosx﹣cos2x（x∈R），则（　　）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）的最小正周期是π
C．f（x）的值域是[﹣3，3]
D．f（x）在上单调递减
【考点】三角函数的周期性；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据偶函数的定义，结合余弦函数为偶函数判断出A项的正误；根据三角函数的诱导公式，结合周期的定义判断出B项的正误；将f（x）的解析式化为关于cosx的二次函数，求出函数的最大值，以及在上的单调性质，可对C、D两项作出判断，进而可得本题答案．
【解答】解：根据余弦函数是偶函数，可得f（﹣x）＝2cos（﹣x）﹣cos（﹣2x）＝2cosx﹣cos2x＝f（x），
所以f（x）是定义在R上的偶函数，可知A项正确；
根据f（x+π）＝2cos（x+π）﹣cos[2（x+π）]＝﹣2cosx﹣cos2x≠f（x），可知f（x）的周期不是π，故B项不正确；
f（x）＝2cosx﹣（2cos2x﹣1）＝﹣2cos2x+2cosx+1，
由二次函数的性质，可知cosx时，f（x）取得最大值，
所以f（x）的值域不是[﹣3，3]，故C项不正确；
当x∈时，cosx∈[﹣1，]，
f（x）＝﹣2cos2x+2cosx+1，
根据二次函数g（t）＝﹣2t2+2t+1在区间[﹣1，]为增函数，t＝cosx在上为减函数，
可知f（x）在上单调递减，所以D项正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查二倍角的三角函数公式、二次函数的最值求法、复合函数的单调性与值域等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
10．设0≤θ＜π，且y＝cos（x+θ）为奇函数，则θ＝　　 ．
【考点】余弦函数的对称性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】．
【分析】根据奇函数的性质求解．
【解答】解：由题意f（x）＝cos（x+θ）为奇函数，且定义域为R，
则f（0）＝cosθ＝0，则，
又0≤θ＜π，则，
当时，是奇函数，
故．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的奇偶性，是基础题．
11．若函数在区间（0，2π）上恰有5个极值点，且在区间上单调，则ω的取值范围为　　 ．
【考点】正弦函数的图象；正弦函数的单调性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】．
【分析】由x∈（0，2π）求出，结合极值点个数求出ω的范围，再由求出的范围，算出左端点的范围，结合正弦函数的单调性得到不等式组，解得即可．
【解答】解：由x∈（0，2π），所以，
又函数f（x）在区间（0，2π）上恰有5个极值点，
所以，解得，
由，则，
又f（x）在区间上单调，
由，所以，
所以或，
解得．
综上，ω的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
12．设A，B，C是函数f（x）＝cosωx（ω＞0）与函数的图象连续相邻的三个交点，若△ABC是钝角三角形，则ω的取值范围是 　（0，）　 ．
【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．
【专题】计算题；函数思想；数形结合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（0，）．
【分析】先化简变换得到，在同一坐标系中作出两个函数图像，设D为AC的中点，由，，然后根据△ABC为钝角三角形，只须，由求解．
【解答】解：由题意得，，作出两个函数图像，如图：
A，B，C为连续三交点，（不妨设B在x轴下方），D为AC的中点，
由对称性，则△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，，
由，整理得，
解得，则，
即，
所以，
因为△ABC为钝角三角形，
则，
所以，
解得，则ω的取值范围是（0，）．
故答案为：（0，）．
【点评】本题考查了三角函数的图象和性质的应用，考查了函数思想和数形结合思想的应用，解题的关键是根据△ABC为钝角三角形可得，利用而得解，属于中档题．
13．平面直角坐标系中，将函数y＝f（x）的图象上满足x∈N*，y∈N*的点P（x，y），称为f（x）的“正格点”．若f（x）＝2cosmx，x∈R，m∈（0，1）的图象与函数g（x）＝3x﹣4，x∈R的图象存在“正格点”交点，则m＝ 　　 ．
【考点】余弦函数的图象；指数函数图象特征与底数的关系．
【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题根据正格点的定义，三角函数的值域和指数函数的值域进行求解．
【解答】解：因为f（x）＝2cosmx，x∈R，m∈（0，1）的图象与函数g（x）＝3x﹣4，x∈R的图象存在“正格点”交点，
所以2cosmx＝3x﹣4＝k（k为正整数）有正整数解，
因为f（x）＝2cosmx值域内的正整数只有1和2，
当k＝1时，由3x﹣4＝1，解得x＝4，则x＝4为方程2cosmx＝3x﹣4的正整数解，
所以2cos4m＝1，cos4m，因为m∈（0，1），所以4m∈（0，4），则4m，m；
当k＝2时，由3x﹣4＝2，解得x＝4+log32，不为正整数，故舍去；
综上，m．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数和指数函数的值域，函数图象交点转化为方程的根的思想，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数图象的一条对称轴为．
（1）求ω的最小值；
（2）当ω取最小值时，若，求sin2α的值．
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；求二倍角的三角函数值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）ωmin＝1；
（2）．
【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简得，然后根据正弦曲线的对称性列式求出ω的表达式，进而求出ω的最小值；
（2）由（1）可得，由算出，然后根据诱导公式、二倍角的余弦公式求出sin2α的值．
【解答】解：（1）由题意得f（x）
sin2ωx（2cos2ωx﹣1），
根据f（x）图象的一条对称轴为，
可得，所以．
结合ω＞0，可得实数ω的最小值为1；
（2）由（1）得ω＝1，，
所以．
可得sin2α＝﹣cos（2α）＝2sin2（α）﹣1．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦函数的图象与性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
15．已知f（x）＝2sinωxcosωx+2cos2ωx，ω＞0，
（1）若ω＝1，求函数的值域；
（2）已知，若函数y＝f（x）的最小正周期为π，且函数y＝f（x）在上恰有2个零点，求实数m的取值范围．
【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的图象与性质．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式和辅助角公式可得，结合，可求值域；
（2）化简得，利用周期求得ω，求得函数的零点为，或，可求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）＝2sinωxcosωx+2cos2ωx，ω＞0，
若ω＝1，则，
因为，所以，所以，
所以，
所以函数的值域；
（2）f（x）＝2sinωxcosωx+2cos2ωx，ω＞0，
又因为函数y＝f（x）的最小正周期为π，
所以，解得ω＝1，
所以．
令，
所以，
所以，或，
解得，或，
当k＝0时，有零点，，
当k＝1时，有零点，，
因为函数y＝f（x）在上恰有2个零点，所以，
所以实数m的取值范围为．
【点评】本题考查三角函数性质的应用，属于中档题．
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