5.5 三角恒等变换(同步练习.含解析）2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

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5.5三角恒等变换
一．选择题（共6小题）
1．已知tanxtany＝2，，则cos（x﹣y）等于（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
2．已知，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知函数，则（　　）
A．若函数f（x）相邻两条对称轴的距离为，则ω＝2
B．当ω＝1，时，f（x）的值域为
C．当ω＝1时，是f（x）的对称中心
D．若f（x）在内有且仅有两个零点，则5＜ω≤8
4．函数，其中ω＞0，其最小正周期为π，则下列说法中错误的个数是（　　）
①ω＝1
②函数f（x）图象关于点对称
③函数f（x）图象向右移φ（φ＞0）个单位后，图象关于y轴对称，则φ的最小值为
④若，则函数f（x）的最大值为
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知，，，则（　　）
A． B． C．﹣1 D．﹣2
6．已知，，则cos（2α+2β）＝（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知点P（2，1）位于角α的终边上，则（　　）
A．α是锐角
B．
C．
D．f（x）＝2sin（x+α）﹣cos（x﹣α）是奇函数
（多选）8．已知函数相邻对称轴间的距离为，则下列说法正确的是（　　）
A．ω＝2
B．
C．当时，f（x）的取值范围是
D．若函数f（x）在[0，a]上有3个零点，则a的取值范围是
（多选）9．声音也包含着正弦函数．我们平时听到的声音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f，3f，4f等，这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易听出来．例如，某一个复合音的函数为，关于f（x），下列说法正确的是（　　）
A．2π是函数f（x）的一个周期
B．f（x）关于点（π，0）中心对称
C．f（x）在区间上为增函数
D．函数的值域为
三．填空题（共4小题）
10．已知函数，存在φ∈（0，π），使得f（sinφ）＝f（cosφ），则φ的值是 　 　 ．
11．已知α，β为锐角，且，则cos2α＝　 　 ．
12．已知，，则　 　 ．
13．已知tan（α﹣β）＝1，sinβ，则sin2α＝　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．已知（sinx，2sinx），（2cosx，sinx），函数f（x） ．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f（），求sin（2α）．
15．已知函数f（x）＝sin2x+cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）现将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若，求函数g（x）的值域．
5.5三角恒等变换
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知tanxtany＝2，，则cos（x﹣y）等于（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】A
【分析】应用两角和的余弦公式和同角三角函数关系切化弦计算化简，再由两角差的余弦公式计算求解．
【解答】解：由tanxtany2得sinxsiny＝2cosxcosy，
由，得，
所以，，
所以cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了和差角公式，同角基本关系的应用，属于基础题．
2．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的恒等变换及化简求值；同角三角函数间的基本关系．
【专题】三角函数的求值．
【答案】A
【分析】由于，利用两角和的余弦公式可得．由于，可得，化为．进而得到sinx，cosx，再利用倍角公式、三角函数基本关系式即可得出．
【解答】解：∵，∴，化为，①
又，∴，∴，化为，②
联立①②解得，sinx，sin2x．
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了两角和的余弦公式可、倍角公式、三角函数基本关系式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
3．已知函数，则（　　）
A．若函数f（x）相邻两条对称轴的距离为，则ω＝2
B．当ω＝1，时，f（x）的值域为
C．当ω＝1时，是f（x）的对称中心
D．若f（x）在内有且仅有两个零点，则5＜ω≤8
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式可得，根据周期公式以及函数图象可判断A错误，结合正弦函数图象性质可得B正确，将代入检验可得C错误，根据整体代换法以及正弦函数图象性质，结合零点个数限定出不等式，解得5≤ω＜8，可得D错误．
【解答】解：易知，
对于A，若函数f（x）相邻两条对称轴的距离为，即可得，则ω＝1，A错误；
对于B，当ω＝1时，，
当时，，
又，
所以f（x）的值域为，即B正确；
对于C，当ω＝1时，，将代入检验可得，
显然不是f（x）的对称中心，即C错误；
对于D，若，可得，
若f（x）在内有且仅有两个零点，可得，解得5≤ω＜8，因此D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
4．函数，其中ω＞0，其最小正周期为π，则下列说法中错误的个数是（　　）
①ω＝1
②函数f（x）图象关于点对称
③函数f（x）图象向右移φ（φ＞0）个单位后，图象关于y轴对称，则φ的最小值为
④若，则函数f（x）的最大值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】A
【分析】化简函数解析式，根据正弦型函数的周期公式可求ω判断①，验证是否为函数f（x）的对称中心判断②，结合函数图象平移变换结论判断③，结合不等式性质及正弦函数性质判断④．
【解答】解：已知数，
又ω＞0，
又f（x）的最小正周期为π，
即，
所以ω＝1，
①正确；
所以，
因为，
所以函数f（x）图象关于点对称，
②正确；
将函数图象向右移φ（φ＞0）个单位后可得函数的图象，
因为的图象关于y轴对称，
所以，
又φ＞0，
所以φ的最小值为，
③正确；
若，
则，
所以，
故，
所以函数f（x）的最大值为，
④错误．
故选：A．
【点评】本题考查了正弦型函数的周期，重点考查了函数图象平移变换及不等式的性质，属中档题．
5．已知，，，则（　　）
A． B． C．﹣1 D．﹣2
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】将转化为，整体代入求解．
【解答】解：因为，，，
所以sin（α﹣β）＞0，
故sin（α﹣β），且，
故，
故．
故选：D．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数，属基础题．
6．已知，，则cos（2α+2β）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的三角函数；求二倍角的三角函数值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换求解即可．
【解答】解：根据题意可知，，
，所以cosαcosβ＝2sinαsinβ，
所以，
所以cos（2α+2β）＝2cos2（α+β）﹣1＝2（cosβcosα﹣sinβsinα）2﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了三角恒等变换，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知点P（2，1）位于角α的终边上，则（　　）
A．α是锐角
B．
C．
D．f（x）＝2sin（x+α）﹣cos（x﹣α）是奇函数
【考点】求两角和与差的三角函数值；任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据象限角的定义判断出A项的正误；根据三角函数的定义求出tanα，可判断出B项的正误；根据两角和的正弦公式判断出C项的正误；将函数f（x）表达式进行化简，结合正弦函数为奇函数判断出D项的正误，进而可得本题答案．
【解答】解：根据点P在第一象限，可知α为第一象限角，但α不一定是锐角，所以A项不正确；
根据三角函数的定义，可得tanα，可知B项正确；
|OP|＝r，
由三角函数的定义，可得sinα，cosα，
所以sin（α）＝sinαcoscosαsin，可知C项不正确；
根据f（x）＝2sin（x+α）﹣cos（x﹣α）
＝2（sinxcosα+cosxsinα）﹣（cosxcosα+sinxsinα）＝（2cosα﹣sinα） sinx+（2sinα﹣cosα） cosx
＝（2） sinx+（2） cosxsinx，
结合正弦函数是奇函数，可知f（x）为奇函数，所以D项正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、正弦函数的性质等知识，属于中档题．
（多选）8．已知函数相邻对称轴间的距离为，则下列说法正确的是（　　）
A．ω＝2
B．
C．当时，f（x）的取值范围是
D．若函数f（x）在[0，a]上有3个零点，则a的取值范围是
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用三角函数恒等变换的应用可求f（x）sin（ωx），利用正弦函数的周期性可求ω，即可判断A；
利用正弦函数的性质即可判断B；
由题意可求2x∈[，]，利用正弦函数的性质即可判断C；
由题意可求得2x∈[，2a]，利用正弦函数的性质即可判断D．
【解答】解：由题意，可得f（x）sinωxcosωx+cosωx（sinωxcosωx）sin（ωx），
因为ω＞0，
可得函数f（x）的最小正周期T＝2，解得ω＝2，故A正确；
所以f（x）sin（2x），
由于f（）sinf（x）max，故B正确；
当时，2x∈[，]，可得sin（2x）∈[，1]，
可得f（x）sin（2x）∈[，]，故C错误；
当x∈[0，a]时，可得2x∈[，2a]，
若函数f（x）在[0，a]上有3个零点，则3π≤2a4π，解得a，
则a的取值范围是，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
（多选）9．声音也包含着正弦函数．我们平时听到的声音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f，3f，4f等，这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易听出来．例如，某一个复合音的函数为，关于f（x），下列说法正确的是（　　）
A．2π是函数f（x）的一个周期
B．f（x）关于点（π，0）中心对称
C．f（x）在区间上为增函数
D．函数的值域为
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦函数的单调性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据三角函数的周期性判断出A项的正误；根据诱导公式证出f（2π﹣x）+f（x）＝0，结合函数图象的对称性判断出B项的正误；通过举反例加以说明，判断出C项的正误；根据三角恒等变换公式化简得（cosx）2，结合二次函数的性质求出值域，可得D项的正误．
【解答】解：对于A，因为y＝sinx的周期为2π，ysin2x的周期为π，ysin3x的周期为，
所以是周期函数，且2π是它的一个周期，故A项正确；
对于B，f（2π﹣x）＝sin（2π﹣x）sin（4π﹣2x）sin（6π﹣3x）＝﹣sinxsin2xsin3x，
所以f（2π﹣x）+f（x）＝0，可得f（x）的图象关于点（π，0）对称，故B项正确；
对于C，f（）＝sinsinsin，f（）＝sinsinsinπ．
因为f（）＞f（），所以f（x）在区间上不可能是增函数，故C项不正确；
对于D，sin3x＝sin（x+2x）＝sinxcos2x+cosxsin2x
＝sinx（1﹣2sin2x）+2sinx（1﹣sin2x）＝3sinx﹣4sin3x，
所以f（x）＝sinxsin2xsin3x＝sinx+sinxcosx（3sinx﹣4sin3x）sin3x+sinx（2+cosx），
可得sin2x+2+cosx（1﹣cos2x）+2+cosxcos2x+cosx（cosx）2，
由sinx≠0，可得cosx∈（﹣1，1），
所以当cosx时，取得最小值；当cosx→1时，的最大值小于3．
因此，函数的值域为，故D项正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质、二次函数的最值求法等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
10．已知函数，存在φ∈（0，π），使得f（sinφ）＝f（cosφ），则φ的值是 　或　 ．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】或．
【分析】由f（sinφ）＝f（cosφ），结合函数的表达式化简得到2（sinφ+cosφ）（sinφ﹣cosφ）（sinφ﹣cosφ），然后按sinφ﹣cosφ是否为0加以讨论，分别求出满足条件的角φ，即可得到本题的答案．
【解答】解：若f（sinφ）＝f（cosφ），则2sin2φsinφ+k＝2cos2φcosφ+k，
整理得，即2（sinφ+cosφ）（sinφ﹣cosφ）（sinφ﹣cosφ），
当sinφ﹣cosφ＝0时，sinφ＝cosφ，即tanφ＝1，结合φ∈（0，π），可知；
当sinφ﹣cosφ≠0时，，sinφ+cosφsin（φ），
所以sin（φ），结合φ∈（，），可得φ，解得φ．
综上所述，或．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、特殊角的三角函数值等知识，考查了计算能力、分类讨论的数学思想，属于中档题．
11．已知α，β为锐角，且，则cos2α＝　　 ．
【考点】求二倍角的三角函数值；求两角和与差的三角函数值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】根据已知条件，可求sin（α+β），tan（α+β），进而得到tanα，由弦化切可得cos2α．
【解答】解：因为α，β为锐角，所以α+β∈（0，π），
因为，
所以sin（α+β），tan（α+β）7，
所以tanα＝tan[（α+β）﹣β]2，
所以cos2α．
故答案为：．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数值以及二倍角三角函数值，属于中档题．
12．已知，，则　　 ．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】根据条件可求出cosα的值，然后根据两角和的正弦公式即可得解．
【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了正余弦的平方关系，两角和的正弦公式，是基础题．
13．已知tan（α﹣β）＝1，sinβ，则sin2α＝　　 ．
【考点】求二倍角的三角函数值；两角和与差的三角函数．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】先探索角α，β的关系，再结合诱导公式和二倍角公式求值．
【解答】解：由tan（α﹣β）＝1，得，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查二倍角的三角函数，特殊角的三角函数，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．已知（sinx，2sinx），（2cosx，sinx），函数f（x） ．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f（），求sin（2α）．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）[，]，k∈Z；
（2）．
【分析】（1）结合向量数量积的坐标表示及二倍角公式，辅助角公式进行化简可得f（x），然后结合正弦函数的单调性即可求解；
（2）代入已知条件可得sin（），然后结合诱导公式及二倍角公式即可求解．
【解答】解：（1）因为（sinx，2sinx），（2cosx，sinx），
f（x） 2sinxcosx+2sin2xsin2x﹣cos2x+1＝2sin（2x）+1，
令2kπ，k∈Z，
则x，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z；
（2）f（）2sin（）+1，则sin（），
sin（2α）＝sin（2）＝cos（2）＝1﹣2sin2（）＝1﹣2．
【点评】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，和差角公式，二倍角公式的应用，还考查了正弦函数单调性的应用，属于中档题．
15．已知函数f（x）＝sin2x+cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）现将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若，求函数g（x）的值域．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）最小正周期为π；递增区间是，k∈Z．
（2）．
【分析】（1）利用辅助角公式化简得，然后根据正弦函数的性质求解，可得答案；
（2）根据函数图象的平移变换求出g（x）的解析式，然后根据正弦函数的单调性与最值求出函数g（x）的值域．
【解答】解：（1）由题意得f（x）（sin2xcoscos2xsin）sin（2x），
可知f（x）的最小正周期，
令，k∈Z，
解得f（x）的递增区间是，k∈Z；
（2）将f（x）的图象向右平移个单位，可得y＝f（x）的图象，
所以，
当时，，
可得，则，
所以g（x）的值域是．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、三角函数图象的平移变换、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．
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