5.6 函数y=Asin（ωx φ）(同步练习.含解析）2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

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5.6函数y＝Asin（ωx+φ）
一．选择题（共6小题）
1．将函数g（x）＝2cos2（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数f（x）．若函数f（x）在区间[0，m]上恰有2个零点，则实数m的取值范围是（　　）
A．[，） B．[，）
C．[，） D．[，）
2．将函数f（x）＝cosx的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则（　　）
A．g（x）是偶函数 B．g（x）＝f′（x）
C．g′（x）是奇函数 D．g′（x）＝f（x）
3．已知函数f（x）＝sinωx+acosωx（x∈R，ω＞0）的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列命题正确的个数为（　　）
①；
②函数为奇函数；
③若函数f（x）在区间（0，m]上至少有4个零点，则；
④f（x）在区间上单调递增．
A．4 B．3 C．2 D．1
4．将函数y＝2sinx图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到f（x）的图象，下列说法正确的是（　　）
A．直线是函数f（x）的图象的一条对称轴
B．点是函数f（x）图象的对称中心
C．函数f（x）在上单调递减
D．函数f（x）在上的值域是[﹣1，2]
5．将函数图象上的点向右平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y＝2cos2x的图象上，则（　　）
A．t＝1，s的最小值为
B．的最小值为
C．t＝1，s的最小值为
D．的最小值为
6．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△ABC是等腰直角三角形，其中A，B两点为图象与x轴的交点，C为图象的最高点，且|OB|＝3|OA|，则f（0）+f（1）+f（2）+ +f（2024）＝（　　）
A． B． C． D．0
二．多选题（共3小题）
（多选）7．函数的部分图象如图所示，则（　　）
A．
B．f（x）的图象关于直线对称
C．若方程在（0，m）上有且只有6个根，则
D．f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）＝3cos2x
（多选）8．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图，则（　　）
A．ω＝2
B．为奇函数
C．f（x）在上单调递增
D．当f（x）在（0，m）上恰有3个零点时，m的取值范围是
（多选）9．对于函数（ω＞0），下列说法正确的是（　　）
A．当ω＝2时，函数f（x）在上有且只有一个零点
B．若函数f（x）在单调递增，则ω的取值范围为
C．若函数f（x）在x＝x1时取最小值，在x＝x2时取最大值，且，则
D．将函数f（x）图象向左平移个单位得到g（x）的图象，若g（x）为偶函数，则ω的最小值为2
三．填空题（共4小题）
10．若函数的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数g（x）的图象，若g（x）在[0，π]上恰有3个零点，则m的取值范围为　 　 ．
11．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若g（x）在区间上的最大值为1，则θ＝ 　 　 ．
12．已知函数f（x）＝cos（2x+φ）（φ＞0），将曲线y＝f（x）向左平移2φ个单位长度后，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为 　 　 ．
13．设函数．
①给出一个ω的值，使得f（x）的图像向右平移后得到的函数g（x）的图像关于原点对称，ω＝　 　 ；
②若f（x）在区间（0，π）上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ），其中，该函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为．
（1）求函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的周期及表达式；
（2）将函数y＝f（x）的图象上各点横坐标缩小为原来的纵坐标不变，再将图象向左平移个单位得到y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）﹣k在上恰有一个零点，求实数k的取值范围．
15．函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（1）求ω的值及函数f（x）的值域；
（2）若，且，求f（x0+1）的值；
（3）将函数y＝f（x）的图象上各点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，再将所得图象各点的横坐标变为原来的ω倍，纵坐标不变，最后将所得图象向右平移个单位，得到y＝g（x）的图象，若关于x的方程2[g（x）]2﹣4ag（x）+1﹣a＝0在区间[0，π]上有两个不同解，求实数a的取值范围．
5.6函数y＝Asin（ωx+φ）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．将函数g（x）＝2cos2（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数f（x）．若函数f（x）在区间[0，m]上恰有2个零点，则实数m的取值范围是（　　）
A．[，） B．[，）
C．[，） D．[，）
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式得到g（x）＝2cos2（x）＝cos（2x）+1，进而求得f（x），再根据余弦函数的性质即可求解结论．
【解答】解：函数g（x）＝2cos2（x）＝cos（2x）+1，向右平移个单位长度，得到函数f（x），
故f（x）＝cos[2（x）]+1＝cos（2x）+1，
令f（x）＝0，可得cos（2x）＝﹣1，故2x（2k+1）π，
因为0≤x≤m，可得2x2m，
由函数f（x）在区间[0，m]上恰有2个零点，可得3π≤2m5π，解得m．
故选：D．
【点评】本题主要考查二倍角公式以及余弦函数的性质应用，考查计算能力，属于中档题．
2．将函数f（x）＝cosx的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则（　　）
A．g（x）是偶函数 B．g（x）＝f′（x）
C．g′（x）是奇函数 D．g′（x）＝f（x）
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】结合函数图象的平移变换求出g（x），然后结合基本初等函数的求导及三角函数的奇偶性检验各选项即可求解．
【解答】解：将函数f（x）＝cosx的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）＝cos（x）＝﹣sinx，
则g（x）＝﹣sinx为奇函数，A错误；
f′（x）＝﹣sinx＝g（x），B正确；
g′（x）＝﹣cosx为偶函数，C错误；
g′（x）＝﹣cosx≠f（x），D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角函数的性质及基本初等函数的求导，属于基础题．
3．已知函数f（x）＝sinωx+acosωx（x∈R，ω＞0）的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列命题正确的个数为（　　）
①；
②函数为奇函数；
③若函数f（x）在区间（0，m]上至少有4个零点，则；
④f（x）在区间上单调递增．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据函数的最大值及f（0）＞0求出a，由求出ω的取值，再根据周期确定ω的值，即可得到函数解析式，即可判断①，根据图象变换结合奇偶性判断②；根据题意以为整体，结合正弦函数性质分析判断③④．
【解答】解：因为，，，
因为函数的最大值为2，
由题意可知：，且a＞0，解得，
则，
又因为，即，
结合图象可知，解得ω＝2+8k，k∈Z，
因为，解得0＜ω＜4，
所以k＝0，ω＝2，可知，故①正确；
所以，
对于②：为奇函数，故②正确；
对于③：因为x∈（0，m]，则，
由题意可得：，解得，故③正确；
对于④：因为，则，此时f（x）在区间上不单调，故④错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分函数性质求解函数解析式，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
4．将函数y＝2sinx图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到f（x）的图象，下列说法正确的是（　　）
A．直线是函数f（x）的图象的一条对称轴
B．点是函数f（x）图象的对称中心
C．函数f（x）在上单调递减
D．函数f（x）在上的值域是[﹣1，2]
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象；正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】根据函数图象的平移、伸缩变换公式，求得，然后根据正弦函数的性质依次判断各选项，即可得到本题的答案．
【解答】解：将y＝2sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
可得到函数y＝2sin2x的图象，再将所得图象向左平移个单位，
可得的图象，
当x时，，
所以直线不是f（x）图象的一条对称轴，故A项不正确；
当x时，，
所以点不是函数f（x）图象的对称中心，故B项不正确；
当时，，
存在x，使f（x）＝2sin2，函数取得最大值，
所以函数f（x）在区间上不可能是减函数，故C项不正确；
当时，，
根据正弦函数的性质，可得，
所以，
即f（x）在上的值域是[﹣1，2]，故D项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数的图象变换、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．
5．将函数图象上的点向右平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y＝2cos2x的图象上，则（　　）
A．t＝1，s的最小值为
B．的最小值为
C．t＝1，s的最小值为
D．的最小值为
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】由题意可得，由，求解即可．
【解答】解：由条件得t＝2sin，
又时，，k是整数，且s最小，
则．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于基础题．
6．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△ABC是等腰直角三角形，其中A，B两点为图象与x轴的交点，C为图象的最高点，且|OB|＝3|OA|，则f（0）+f（1）+f（2）+ +f（2024）＝（　　）
A． B． C． D．0
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】A
【分析】由已知结合等腰三角形性质先求出A，B，C的坐标，代入可求f（x），然后结合正弦函数的周期性即可求解．
【解答】解：过C作CD⊥轴于D，则|CD|＝1，
因为△ABC是等腰直角三角形，所以|AB|＝2，
故T＝4，ω，
因为|OB|＝3|OA|，
所以|OB|＝3|OA|，
所以A（，0），B（，0），C（，1），
所以，k∈Z，
因为0＜φ＜π，
所以φ，f（x）＝sin（），
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）0，
故f（0）+f（1）+f（2）+ +f（2024）＝506[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（0）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数性质在y＝Asin（ωx+φ）解析式求解中的应用，还考查了函数的周期性在函数求值中的应用，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．函数的部分图象如图所示，则（　　）
A．
B．f（x）的图象关于直线对称
C．若方程在（0，m）上有且只有6个根，则
D．f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）＝3cos2x
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据正弦函数的图象与性质求得f（x）的解析式，可判断出A项的正误；运用正弦曲线的对称性判断出B项的正误；根据2x的取值范围，结合正弦函数的图象与性质求出实数m满足的不等式，解之即可判断C项的正误，根据函数图象的平移变换对D项作出判断，进而可得本题答案．
【解答】解：由题意得函数的最大值为A＝3，，
即，结合、点位于函数单调递增的图象上，可得，
因为x时，f（x）＝0，且x位于f（x）的递减区间，
所以，可得，
由于f（x）的周期T满足，即，可得，
结合，取k＝0得ω＝2，故，所以A项正确；
根据，函数达到最小值，
可得是f（x）图象的一条对称轴，所以B项正确，
当x∈（0，m）时，，
令，可得，
要使在（0，m）上有且只有6个根，
则，解得，故C项正确，
将f（x）的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，所以D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的解析式求法、三角函数图象的平移变换、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．
（多选）8．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图，则（　　）
A．ω＝2
B．为奇函数
C．f（x）在上单调递增
D．当f（x）在（0，m）上恰有3个零点时，m的取值范围是
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．
【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象，求出ω，φ和A，得出f（x）的解析式，再判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，T＝2×（）＝π，ω2，选项A正确；
由f（）＝0，得2φ＝kπ，k∈Z，解得φkπ，k∈Z，由0＜φ＜π，得φ，
由f（0）＝1，得Asin1，解得A＝2，所以f（x）＝2sin（2x），
所以f（x）＝2sin[2（x）]＝2sin（2x）＝﹣2cos2x，是偶函数，选项B错误；
x∈（，）时，2x∈（，），f（x）＝2sin（2x）单调递增，选项C正确；
x∈（0，m）时，2x∈（，2m），f（x）恰有3个零点，则3π＜2m4π，
解得m，所以m的取值范围是（，]，选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，是中档题．
（多选）9．对于函数（ω＞0），下列说法正确的是（　　）
A．当ω＝2时，函数f（x）在上有且只有一个零点
B．若函数f（x）在单调递增，则ω的取值范围为
C．若函数f（x）在x＝x1时取最小值，在x＝x2时取最大值，且，则
D．将函数f（x）图象向左平移个单位得到g（x）的图象，若g（x）为偶函数，则ω的最小值为2
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象；正弦函数的单调性．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由正弦函数的单调性可得A、B正确；由正弦函数的周期和诱导公式可得C错误；由图象平移结合偶函数的性质可得D正确．
【解答】解：对于A，当ω＝2时，，
令f（x）＝0，则，
若，，可得（2x），，
由于（，）为正弦函数的递减区间，且此时，
所以有解，且只有一个零点，故A正确；
对于B，由于，
又由题意f（x）单调递增，
可得，解得，k∈Z，
又ω＞0，
所以，故B正确；
对于C，若函数f（x）在x＝x1时取最小值，在x＝x2时取最大值，且，
可得，可得T＝π，可得ω＝2，
可得，
令，
则，
故，
所以，故C错误；
对于D，将函数f（x）图象向左平移个单位得到g（x）的图象，可得，
若g（x）为偶函数，则，解得ω＝6k+2，k∈Z，
所以当k＝0时，ω的最小值为2，故D正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
10．若函数的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数g（x）的图象，若g（x）在[0，π]上恰有3个零点，则m的取值范围为　　 ．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】计算题；函数思想；数形结合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】．
【分析】先根据图象里f（x）的最值求出A，根据周期求出ω，根据最大值点或最小值点求出φ，从而确定f（x）的解析式，根据函数图象变换求出g（x）的解析式，最后结合图象及g（x）在[0，π]上恰有3个零点即可求出m的范围．
【解答】解：记f（x）的最小正周期为T，
由函数的部分图象可得，
解得ω＝2，
由于f（）＝2sin（2φ）＝2，可得，
可得，
又，
所以，
可得，
将f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的图象，
再将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，
当x∈[0，π]时，可得，
因为g（x）在[0，π]上恰有3个零点，如图：
则，解得，
故答案为：．
【点评】本题考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想和数形结合思想，属于中档题．
11．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若g（x）在区间上的最大值为1，则θ＝ 　　 ．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】．
【分析】先求出平移后g（x）的解析式，结合图形分析可知要使g（x）在区间上的最大值为1，则g（x）在区间上单调递增，即g（θ）＝1，求解即可．
【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）＝2sin（3x），
当时，，
由于g（x）在区间上的最大值为1，则g（x）在区间上单调递增，即g（θ）＝1，
所以，解得：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦函数图象的变换及函数性质的应用，属于基础题．
12．已知函数f（x）＝cos（2x+φ）（φ＞0），将曲线y＝f（x）向左平移2φ个单位长度后，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为 　　 ．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】．
【分析】求出平移后图象对应解析式，然后结合奇偶性即可得解．
【解答】解：将曲线y＝f（x）向左平移2φ个单位长度后，得g（x）＝cos（2x+5φ），
因为g（x）的图象关于原点对称，所以，即，
因为φ＞0，所以当k＝0时，φ取得最小值．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，正弦函数图象的对称性，属于基础题．
13．设函数．
①给出一个ω的值，使得f（x）的图像向右平移后得到的函数g（x）的图像关于原点对称，ω＝　（答案不唯一）　 ；
②若f（x）在区间（0，π）上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是　　 ．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；由函数零点所在区间求解函数或参数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据变换法则得，则，取k＝0计算即可，确定，根据零点个数得到，解得答案．
【解答】解：根据题意可知，，
因为g（x）的图像关于原点对称，所以，即，
当k＝0时，；
若x∈（0，π），则，f（x）有且仅有两个零点，
则，解得，故ω的取值范围为．
故答案为：（答案不唯一）；．
【点评】本题考查了三角函数的图像变换，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ），其中，该函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为．
（1）求函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的周期及表达式；
（2）将函数y＝f（x）的图象上各点横坐标缩小为原来的纵坐标不变，再将图象向左平移个单位得到y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）﹣k在上恰有一个零点，求实数k的取值范围．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据题设描述函数的对称中心和对称轴确定函数的最小正周期，进而求出相关参数值，即可得解析式；
（2）根据函数图象平移得，再由正弦型函数的区间单调性及已知函数的区间零点个数，数形结合求出参数范围．
【解答】解：（1）由于函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为，
所以，故周期T＝2π，而，所以ω＝1，
又由函数一条对称轴为，所以有，
又，故，所以函数的表达式为；
（2）由题意，得，
因为，所以，且时，，
所以g（x）在上单调递增，在上单调递减，
且，
因为函数y＝g（x）﹣k在上恰有一个零点，
即y＝g（x）与y＝k的图象在上恰有一个交点，
画出图象如下：
由图可知，k的取值范围为．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
15．函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（1）求ω的值及函数f（x）的值域；
（2）若，且，求f（x0+1）的值；
（3）将函数y＝f（x）的图象上各点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，再将所得图象各点的横坐标变为原来的ω倍，纵坐标不变，最后将所得图象向右平移个单位，得到y＝g（x）的图象，若关于x的方程2[g（x）]2﹣4ag（x）+1﹣a＝0在区间[0，π]上有两个不同解，求实数a的取值范围．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】计算题；函数思想；数形结合法；三角函数的图象与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由周期公式可求ω，由正弦函数的性质可求值域．
（2）由已知及（1）可求sin （ ），结合范围x0∈（，），得 ∈（，），可求cos （ ），故f（x0+1）＝2sin （ ）＝2sin[（）]利用两角和的正弦函数公式即可求值．
（3）根据函数变换规律得到新的函数解析式为：g（x）＝sinx，x∈[0，π]，令t＝g（x），t∈[0，1]，则2t2﹣4at+1﹣a＝0．若要使得关于x的方程在[0，π]上有两个不同的根，则关于t 的方程在t∈[0，1）上只有唯一解，据此求得实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由于正三角形ABC的高为2，则BC＝4，
所以，函数，
所以，函数．
（2）因为（1）有，，
由，
所以．
故f（x0+1）
．
（3）由题可知g（x）＝sinx，x∈[0，π]，令t＝g（x），t∈[0，1]，
则2t2﹣4at+1﹣a＝0．
若要使得关于x的方程在[0，π]上有两个不同的根，则关于t 的方程在t∈[0，1）上只有唯一解，所以有以下几种情况
①f（0） f（1）＜0，
解得a＜1；
②Δ＝0，
解得a或a＝﹣1．
当时，，满足题意；
当a＝﹣1时，t＝﹣1，不符合题意，舍去a＝﹣1．
当t＝0时，解得a＝1，此时另一个根t＝2不在[0，1）上，所以a＝1符合题意．
综上所述a的取值范围是．
【点评】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的化简求值，正弦函数的图象与性质，属于基本知识的考查．
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