5.7 三角函数的应用(同步练习.含解析）2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

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5.7三角函数的应用
一．选择题（共6小题）
1．已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．集合，则A∩B＝（　　）
A． B．[﹣1，1] C．[1，+∞） D．（1，+∞）
3．已知函数在上存在最值，且在上单调，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．设集合，则集合A的元素个数为（　　）
A．1011 B．1012 C．1013 D．1014
5．函数在区间（t∈R）上的最大值与最小值之差的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各种冰上项目，如抽索，大滑梯，摩天轮等．如图所示，某地摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面高度为hm，下列说法正确的是（　　）
A．摩天轮的轮盘直径为60m
B．h关于t的函数解析式为
C．h关于t的函数解析式为
D．在游客乘坐一周的过程中，游客有16min时间距地面高度超过38m
二．多选题（共3小题）
（多选）7．定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在△ABC中，BC＝1，BC边上的高等于tanA，以△ABC的各边为直径向△ABC外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为W，其“直径”为d，则（　　）
A．AB2+AC2＝3
B．△ABC面积的最大值为
C．当时，
D．d的最大值为
（多选）8．中国古代的记里鼓车通过多重齿轮的设计，将小齿轮走过的距离与大齿轮对应，从而达到记录里程的目的．如图1所示，可以理解为将一个立轮的转动转化为三个平轮的转动．忽略齿轮对半径的影响，简化后如图2，记初始时，在小平轮上，与中平轮的切点为点A，大平轮上最高点为点B，大、中、小平轮和立轮的半径分别为4，3，2，1．随着转动，以下说法正确的是（　　）
A．小平轮转2圈，大平轮转1圈
B．AB两点距离最大为18
C．AB两点距离最小为10
D．若立轮与小平轮相互咬合，忽略齿轮对半径的影响，则小平轮与立轮上的点的最大距离为
（多选）9．如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（　　）
A．点P第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点P距离水面1米
C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为h＝4sin（t）+2
三．填空题（共4小题）
10．已知函数y＝f（x）的表达式是f（x）＝cos2x+asinx，若对于任意x∈R都满足，则实数a的取值范围是 　 　 ．
11．已知圆M：（x﹣r）2+y2＝4r2（r＞0），在函数的图象中，仅有一个最高点与一个最低点在圆M内或在圆M上，则r的取值范围为　 　 ．
12．设函数f（x）＝sinx，若对于任意，都存在β∈[0，m]，使得f（α）+f（β）＝0，则m的最小值为 　 　 ．
13．写出函数f（x）＝3﹣5cosx取得最大值时的x的取值集合：　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．如图，有一块边长为50m的正方形球场ABCD，其中阴影部分ATN是一个半径为30m的扇形，由于天气原因，这个扇形内有积水，无法在上面踢球，但是球场的其余部分可以正常使用．一群热爱足球的正在准备“霸王杯”比赛的高一同学相在可以正常使用的球场上截取一块矩形场地PQCR进行训练，其中R，Q两点分别在边CD，BC上，点P落在弧TN上（包括T，N两点）．设∠TAP＝θ，矩形PQCR的面积为Sm2．
（1）求S关于θ的函数表达式；
（2）求S的最大值，并求此时θ的值．
15．设函数，．
（Ⅰ）求函数f（x）的对称中心；
（Ⅱ）若函数g（x）在区间[0，m]上有最小值﹣1，求实数m的最小值．
5.7三角函数的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】三角函数的最值．
【专题】函数思想；分析法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】A
【分析】根据正弦型函数的单调性，结合数形结合思想进行求解即可．
【解答】解：因为ω＞0，所以当时，
则有，
因为f（x）在区间内有最大值，但无最小值，
结合函数图象，得，
解得，
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
2．集合，则A∩B＝（　　）
A． B．[﹣1，1] C．[1，+∞） D．（1，+∞）
【考点】三角函数的最值；求集合的交集；正弦函数的定义域和值域．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；集合；运算求解．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义，解不等式得到集合A包含的元素，根据正弦函数的值域化简集合B，然后利用交集定义算出答案．
【解答】解：由题意得A＝{x|1﹣x2≥0}＝{x|﹣1≤x≤1}，即A＝[﹣1，1]．
根据﹣1≤sinx≤1，可得2sinx+1∈[﹣1，3]，所以B＝{y|y＝2sinx+1}＝[﹣1，3]，
因此A B，可得A∩B＝A＝[﹣1，1]．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的定义域求法、正弦函数的值域、交集的运算法则等知识，属于基础题．
3．已知函数在上存在最值，且在上单调，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】三角函数的最值；正弦函数的单调性．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】C
【分析】利用整体法，结合三角函数图像性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析．
【解答】解：当时，因为ω＞0，则，
因为函数f（x）在上存在最值，则，解得ω＞2，
当时，，
因为函数f（x）在上单调，
则，
所以其中k∈Z，解得，
所以，解得，
又因为ω＞0，则k∈{0，1，2}．
当k＝0时，；
当k＝1时，；
当k＝2时，．
又因为ω＞2，因此ω的取值范围是．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的最值，正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
4．设集合，则集合A的元素个数为（　　）
A．1011 B．1012 C．1013 D．1014
【考点】三角函数应用；集合的确定性、互异性、无序性；运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；集合；运算求解．
【答案】C
【分析】依题意由表达式中角的特征可知当0＜k≤1012，k∈Z时，的取值各不相同，当k≥2025时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为1013．
【解答】解：因为
，
当0＜k≤506，k∈Z时，，此时；
又因为1013为奇数，k∈Z，且中的任意两组角都不关于对称，
所以的取值各不相同，因此当0＜k≤506，k∈Z时，集合A中x的取值会随着k的增大而增大，
当507≤k≤1012，k∈Z时，此时；
又因为1013为奇数，k∈Z，且中的任意两组角都不关于对称，
所以的取值各不相同，因此当507≤k≤1012，k∈Z时，集合A中x的取值会随着k的增大而增大，
综上可得当0＜k≤1012，k∈Z时，集合A中x的取值会随着k的增大而增大，
所以当k＝1012时，集合A中有1012个元素；
当k＝1013时，易知：
，
即k＝1013时x的取值与k＝1012时的取值相同，
根据集合元素的互异性可知，k＝1013时并没有增加集合中的元素个数，
当1014≤k≤2024，k∈Z时，则1≤k﹣1013≤1011，，
即，
所以
，
所以当1014≤k≤2024，k∈Z时集合A中x的取值会随着k的增大而减少，且均为正数，
当k＝2025时，易知：
＝0，
可得当k≥2025，k∈Z时，集合A中的元素个数只增加了一个0，
所以可得集合A的元素个数为1013个．
故选：C．
【点评】本题考查了诱导公式以及集合元素的互异性，考查了转化思想，属于难题．
5．函数在区间（t∈R）上的最大值与最小值之差的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】三角函数的最值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】设f（x）在区间上的最大值与最小值之差为m，根据正弦函数的图象与性质，确定出m达到最大值、最小值时相对应的t值，进而求出m的最大值与最小值，可得所求答案．
【解答】解：根据正弦曲线的性质，可知：
当点（t，f（t））与点（t，f（t））关于点（t，0）对称时，
函数f（x）在区间上的最大值与最小值之差达到最大值，
此时f（t）＝2sin（3t）＝0．
不妨设f（x）在区间上单调增，可得3t2kπ，k∈Z，解得tkπ，k∈Z．
f（x）的最大值为f（t）＝2sin（3t）＝2sin（2kπ）＝2sin，
最小值为f（t）＝2sin（3t）＝2sin（2kπ）＝2sin（），
所以f（x）在区间上的最大值、最小值之差的最大值为．
若f（x）在区间上不单调，且f（t）＝f（t）时，
则f（x）在区间上的最大值与最小值之差达到最小值．
此时f（t）达到最大或最小值，不妨设f（t）为最大值2，即2sin（3t）＝2，
则3t2kπ，k∈Z，解得tkπ，k∈Z．
此时f（x）的最小值为f（t）＝f（t）＝2sin（3t）＝2sin（2kπ），
所以f（x）在区间上的最大值与最小值之差的最小值为2．
综上所述，f（x）在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是[2，]．
故选：D．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质、函数的单调性与最值等知识，考查了计算能力、概念的理解能力，属于中档题．
6．随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各种冰上项目，如抽索，大滑梯，摩天轮等．如图所示，某地摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面高度为hm，下列说法正确的是（　　）
A．摩天轮的轮盘直径为60m
B．h关于t的函数解析式为
C．h关于t的函数解析式为
D．在游客乘坐一周的过程中，游客有16min时间距地面高度超过38m
【考点】三角函数应用．
【专题】应用题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】根据摩天轮离地最高距离和最低距离的差值，求出直径判断A；依题意，分别求出A，ω，φ，B可得解析式，判断B，C；根据题意，令h＞38，求出t的取值范围，判断D．
【解答】解：对于A，因为摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，
所以摩天轮的轮盘直径为128﹣8＝120m，故A错误；
对于B，设h＝Asin（ωt+φ）+B，（ω＞0，|φ|），
则，
令t＝0时，则sinφ＝﹣1，φ，
又，解得，
所以h＝60sin（t）+68＝﹣60cost+68，t∈[0，24]，故B，C错误；
对于D．，t∈[0，24]，
当距地面高度超过38m时，即，即，
即，
解得4+24k＜t＜20+24k，k∈Z，
又因为t∈[0，24]，
所以4＜t＜20，
所以游客有16min时间距地面高度超过38m，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了根据部分三角函数图象确定三角函数解析式，考查了三角函数的应用，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在△ABC中，BC＝1，BC边上的高等于tanA，以△ABC的各边为直径向△ABC外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为W，其“直径”为d，则（　　）
A．AB2+AC2＝3
B．△ABC面积的最大值为
C．当时，
D．d的最大值为
【考点】三角函数应用；解三角形．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由三角形等面积法及余弦定理可判断A，再由基本不等式得出cosA范围即可得出面积最大值判断B，再由题目条件得出三角形为等腰直角三角形，即可求出d最大值判断C，由C中结论及基本不等式判断D．
【解答】解：设角A，B，C所对的边长为a，b，c，则a＝1，
又BC边上的高等于tanA，
由三角形的面积公式可得，
所以，
又由余弦定理cosA，所以b2+c2﹣a2＝2，
可得b2+c2＝3，故A正确；
由，
又，当且仅当时取等，
所以，可得，当且仅当时取等，
所以，当且仅当时取等，B正确；
设AB，AC边上的中点分别为E，F，在上取一点M，在上取一点N，
由两点间线段最短可得，当且仅当M，N，E，F四点共线时取等，
所以，
又，
所以，解得，
所以c＝a＝1，，
所以，故C错误；
由前可知，，当且仅当时取等，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了三角形面积公式，余弦定理以及基本不等式等知识在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想，属于中档题．
（多选）8．中国古代的记里鼓车通过多重齿轮的设计，将小齿轮走过的距离与大齿轮对应，从而达到记录里程的目的．如图1所示，可以理解为将一个立轮的转动转化为三个平轮的转动．忽略齿轮对半径的影响，简化后如图2，记初始时，在小平轮上，与中平轮的切点为点A，大平轮上最高点为点B，大、中、小平轮和立轮的半径分别为4，3，2，1．随着转动，以下说法正确的是（　　）
A．小平轮转2圈，大平轮转1圈
B．AB两点距离最大为18
C．AB两点距离最小为10
D．若立轮与小平轮相互咬合，忽略齿轮对半径的影响，则小平轮与立轮上的点的最大距离为
【考点】三角函数应用．
【专题】应用题；数形结合；数形结合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用每个轮转过的弧长是相等，可判断A；利用建立平面直角坐标系，借助转过角度为变量，可表示两个动点的坐标，从而用两点间距离来求最小值和最大值，即可判断BC；利用勾股定理可判断D．
【解答】解：对于A，单位时间内，三个平轮的弧长满足l小＝l中＝l大，
而大、中、小平轮和立轮的半径分别为4，3，2，1，
因为小平轮转2圈，大平轮转1圈的弧长分别为l小＝2×2π×1＝4π，l大＝2π×2＝4π，
满足l小＝l大，
所以小平轮转2圈，大平轮正好转1圈，故A正确；
建立如图所示平面直角坐标系，
利用半径是2倍关系，则转过的角度是一半的关系，
可设A（2cos2θ，2sin2θ），则，
即B（12﹣4sinθ，4cosθ），
可得AB2＝（12﹣4sinθ﹣2cos2θ）2+（4cosθ﹣2sin2θ）2
＝[12﹣（4sinθ+2cos2θ）]2+（4cosθ﹣2sin2θ）2
＝144+（4sinθ+2cos2θ）2﹣24（4sinθ+2cos2θ）+16cos2θ+4sin22θ﹣16cosθsin2θ
＝144+16sin2θ+4cos22θ﹣96sinθ﹣48cos2θ+16sinθcos2θ+16cos2θ+4sin22θ﹣16cosθsin2θ
＝164﹣48×（1﹣2sin2θ）﹣112sinθ
＝116+96sin2θ﹣112sinθ，
令sinθ＝t∈[﹣1，1]，
可得AB2＝4（24t2﹣28t+29），t∈[﹣1，1]，
当时，AB取得最小值，
当t＝﹣1时，AB取得最大值为，
当t＝1时，AB取值为，不为最小值，故B正确，C错误；
对于D．立轮直径为2，小平轮直径为4，
所以最大值为，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换，三角函数的性质，二次函数的性质以及勾股定理的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
（多选）9．如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（　　）
A．点P第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点P距离水面1米
C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为h＝4sin（t）+2
【考点】三角函数应用；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由题意设出函数解析式h＝Asin（ωt+φ）+B，由最大值与最小值列式求得A与B的值，由周期求得ω，再由t＝0时，h＝0求解φ，得到函数解析式判断D；令h＝0求解t判断A；取t＝155秒求得h判断B；取t＝50秒求得h判断D．
【解答】解：设点P距离水面的高度为h（米）和t（秒）的函数解析式为h＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|），
由题意，hmax＝6，hmin＝﹣2，
∴，解得，
∵T60，∴ω，则h＝4sin（t+φ）+2．
当t＝0时，h＝0，∴4sinφ+2＝0，则sinφ，
又∵|φ|，∴φ．
h＝4sin（t）+2，故D正确；
令h＝4sin（t）+2＝6，∴sin（t）＝1，得t＝20秒，故A正确；
当t＝155秒时，h＝4sin（155）+2＝4sin5π+2＝2米，故B不正确；
当t＝50秒时，h＝4sin（50）+2＝4sin2＝﹣2，故C正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查三角函数模型的应用，考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查运算求解能力，是中档题．
三．填空题（共4小题）
10．已知函数y＝f（x）的表达式是f（x）＝cos2x+asinx，若对于任意x∈R都满足，则实数a的取值范围是 　[4，+∞）　 ．
【考点】三角函数的最值．
【专题】转化思想；换元法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】[4，+∞）
【分析】求出f（）的值，再换元，分类讨论求出f（x）的最大值，由题意可得a的范围．
【解答】解：f（x）＝cos2x+asinx＝﹣2sin2x+asinx+1，
设t＝sinx∈[﹣1，1]，f（）＝﹣1+a＝a﹣1，
则g（t）＝﹣2t2+at+1＝﹣2（t）2+1，开口向下，对称轴t，
（i）当∈[﹣1，1]，即a∈[﹣4，4]时，g（t）的最大值为1a﹣1，解得a＝4∈[﹣4，4]，
（ii）当1时，即a＞4时，g（t）在[﹣1，1]上单调递增，则g（t）max＝g（1）＝a﹣1，
由题意a﹣1≤a﹣1，显然恒成立，这时a的范围为（4，+∞）；
当1时，即a＜﹣4，g（t）在[﹣1，1]上单调递减，则g（t）max＝g（﹣1）＝﹣a﹣1，
由题意﹣a﹣1＜a﹣1，解得a＞0，此时与a＜﹣4相矛盾，
综上所述满足条件的a的范围为[4，+∞）．
故答案为：[4，+∞）．
【点评】本题考查换元法的应用及分类讨论的思想，属于基础题．
11．已知圆M：（x﹣r）2+y2＝4r2（r＞0），在函数的图象中，仅有一个最高点与一个最低点在圆M内或在圆M上，则r的取值范围为　{r|r}　 ．
【考点】三角函数应用；点与圆的位置关系；正弦函数的图象．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的图象与性质；直线与圆；运算求解．
【答案】{r|r}．
【分析】由正弦函数性质可得圆心（r，0）是函数f（x）的一个对称中心，结合对称性，根据函数f（x）在直线x＝r右边的第一个最值点在圆M内或在圆M上，第二个最值点在圆M外，列不等式组求解可得．
【解答】解：∵f（r）sinπ＝0，∴（r，0）是函数f（x）的一个对称中心，
圆M的圆心为（r，0），半径为2r，
由对称性知，要使f（x）的图象仅有一个最高点与一个最低点在圆M内或在圆M上，
只需满足直线x＝r右边的第一个最值点在圆M内或在圆M上，第二个最值点在圆M外，
由正弦函数的性质知，函数f（x）的周期为T＝2r，
∴函数f（x）在直线x＝r右边的第一个最值点为（，），第二个最值点为（，），
∴，结合r＞0，解得r，
∴r的取值范围是{r|r}．
故答案为：{r|r}．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，也考查了圆的方程应用，是中档题．
12．设函数f（x）＝sinx，若对于任意，都存在β∈[0，m]，使得f（α）+f（β）＝0，则m的最小值为 　　 ．
【考点】三角函数的最值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】．
【分析】由已知可得f（α）∈[0，]，将已知转化为存在β∈[0，m]，使得f（β）＝﹣f（α）∈[，0]，再结合正弦函数的图象与性质即可得m的取值范围，从而可得m的最小值．
【解答】解：函数f（x）＝sinx，因为x，
所以f（x）＝sinx∈[0，]，即f（α）∈[0，]，
又因为存在β∈[0，m]，使得f（α）+f（β）＝0，
即存在β∈[0，m]，使得f（β）＝﹣f（α）∈[，0]，
由正弦函数的性质可得m，
所以m的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
13．写出函数f（x）＝3﹣5cosx取得最大值时的x的取值集合：　{x|x＝π+2kπ，（k∈Z）}　 ．
【考点】三角函数的最值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】{x|x＝π+2kπ，（k∈Z）}．
【分析】直接利用余弦型函数的性质求出结果．
【解答】解：由题可知 cosx＝﹣1时，函数有最大值，此时x的取值集合为 {x|x＝π+2kπ，（k∈Z）}．
故答案为：{x|x＝π+2kπ，（k∈Z）}．
【点评】本题考查的知识点：余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．如图，有一块边长为50m的正方形球场ABCD，其中阴影部分ATN是一个半径为30m的扇形，由于天气原因，这个扇形内有积水，无法在上面踢球，但是球场的其余部分可以正常使用．一群热爱足球的正在准备“霸王杯”比赛的高一同学相在可以正常使用的球场上截取一块矩形场地PQCR进行训练，其中R，Q两点分别在边CD，BC上，点P落在弧TN上（包括T，N两点）．设∠TAP＝θ，矩形PQCR的面积为Sm2．
（1）求S关于θ的函数表达式；
（2）求S的最大值，并求此时θ的值．
【考点】三角函数应用；根据实际问题选择函数类型．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（1）；
（2）Smax＝1000，此时θ＝0或．
【分析】（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，根据边角关系得出PR＝50﹣30sinθ，PQ＝50﹣30cosθ，再求即可；
（2）令t＝sinθ+cosθ，由正弦函数的性质得出的范围，再由二次函数的性质即可得解．
【解答】解：（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，
由四边形ABCD是正方形，四边形PQCR是矩形，可知PE⊥AB，PF⊥AD，
由∠TAP＝θ，AP＝30，AB＝50，可得EP＝30sinθ，FP＝30cosθ，
所以PR＝50﹣30sinθ，PQ＝50﹣30cosθ，
所以S＝PR PQ＝（50﹣30sinθ）（50﹣30cosθ）＝2500﹣1500（sinθ+cosθ）+900sinθcosθ，0；
（2）令t＝sinθ+cosθ，
则t2＝（sinθ+cosθ）2＝sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+2sinθcosθ，即，
而，
由，则，
即，即，
所以，
根据二次函数性质可得，当t＝1时，即，
解得θ＝0或，此时S取得最大值1000m2．
【点评】本题主要考查了三角恒等变换及三角函数性质，二次函数性质在实际问题中的应用，属于中档题．
15．设函数，．
（Ⅰ）求函数f（x）的对称中心；
（Ⅱ）若函数g（x）在区间[0，m]上有最小值﹣1，求实数m的最小值．
【考点】三角函数的最值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（Ⅰ）（k，0）,k∈Z；
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）由已知结合正弦函数的对称性即可求解；
（Ⅱ）先利用和差角公式，二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合余弦函数取得最值的条件即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）令xkπ，k∈Z，
则x，k∈Z，
故函数的对称中心为（k，0），k∈Z；
（Ⅱ）4sin（x）sin（x）＝﹣4cosx（sinxcosx）
＝﹣2sinxcosx+2cos2x
sin2x+cos2x+1
＝2cos（2x）+1，
若函数g（x）在区间[0，m]上有最小值﹣1，即cos（2x）在[0，m]上取得最小值﹣1，
令2xπ，可得x，
故m的最小值为．
【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
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