第三章 函数的概念与性质(单元测试.含解析）2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

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第三章 函数的概念与性质
一．选择题（共6小题）
1．已知函数f（x）为定义在区间[3﹣a，5]上的奇函数，则a＝（　　）
A．﹣2 B．3 C．8 D．无法确定
2．下列函数中是减函数的为（　　）
A．f（x）＝x B．f（x）＝x2
C．f（x）＝2x D．
3．设f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5﹣2x，则f（）＝（　　）
A． B． C． D．
4．函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．函数的定义域是（　　）
A．（2，3] B．（﹣∞，2）∪（2，3）
C．（﹣∞，2）∪（2，3] D．（﹣∞，3]
6．已知定义域为R的函数f（x）， x1，x2∈R，x1＜x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，则（　　）
A．f（3）＜f（π）＜f（2） B．f（π）＜f（3）＜f（2）
C．f（2）＜f（π）＜f（3） D．f（π）＜f（2）＜f（3）
二．多选题（共4小题）
（多选）7．下列各组中两个函数是同一函数的是（　　）
A．f（x）＝x2+2x﹣1，g（t）＝t2+2t﹣1
B．，g（x）＝x+1
C．，
D．f（x）＝|x﹣3|+1，
（多选）8．如图是函数y＝f（x），x∈[﹣4，3]的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）在[﹣4，﹣1]∪[1，3]上单调递减
B．f（x）在[﹣1，1]上单调递增
C．f（x）在[﹣1，3]上有最大值3，有最小值﹣2
D．f（x）在区间（﹣4，1）上的最大值为3，最小值为﹣2
（多选）9．下列函数f（x）与g（x）表示的不是同一函数的是（　　）
A．f（x）＝x0与g（x）＝1
B．f（x）＝x与
C．与
D．与g（x）＝x+3
（多选）10．函数y＝ax（a＞0且a≠1），当﹣2≤x≤2时，值域为，则a的值可能是（　　）
A． B． C． D．2
三．填空题（共3小题）
11．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，16），则满足的x的取值范围是　 　 ．
12．若函数f（x）＝ax2+bx+b是偶函数，且其定义域为[a﹣1，2a]，则a+b＝　 　 ．
13．已知函数，若f（x）在R上单调递减，则实数a的取值范围是　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数f（x）在R上是偶函数，且当x≥0时，．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）求f（x）在[﹣4，4]上的值域；
（3）作出y＝|f（x）|在[﹣4，4]上的图象．
15．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）＝x2f（y）+y2f（x），且x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（2）＝2，求f（4）的值．
（3）若当x＞1时，有f（x）＜0恒成立，证明在（0，+∞）上单调递减．
第三章 函数的概念与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知函数f（x）为定义在区间[3﹣a，5]上的奇函数，则a＝（　　）
A．﹣2 B．3 C．8 D．无法确定
【考点】奇函数偶函数的性质．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质求解即可．
【解答】解：函数f（x）为定义在区间[3﹣a，5]上的奇函数，
奇函数的定义域关于原点对称，
∴3﹣a+5＝0，∴a＝8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了奇函数定义的应用，属于基础题．
2．下列函数中是减函数的为（　　）
A．f（x）＝x B．f（x）＝x2
C．f（x）＝2x D．
【考点】函数的单调性．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】D
【分析】利用解析式直接确定单调性即可判断得解．
【解答】解：对于A，函数f（x）＝x在R上是增函数，错误；
对于B，函数f（x）＝x2在定义域R上不单调，错误；
对于C，函数f（x）＝2x在R上增函数，错误；
对于D，函数是定义域（0，+∞）上的减函数，正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数单调性的判断，属于基础题．
3．设f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5﹣2x，则f（）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】奇函数偶函数的性质．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性与周期性，化归转化，即可求解．
【解答】解：根据题意可得f（）＝f（）＝f（2）＝f（）＝5﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性，属基础题．
4．函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【答案】A
【分析】直接利用特殊点的位置判断选项即可．
【解答】解：函数，
f（1）0，所以（1，f（1））在第一象限，排除CD．
f（﹣1）0，（﹣1，f（﹣1））在第三象限，排除B．
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象的变换，图象的判断，利用特殊点判断方便快速解答．
5．函数的定义域是（　　）
A．（2，3] B．（﹣∞，2）∪（2，3）
C．（﹣∞，2）∪（2，3] D．（﹣∞，3]
【考点】简单函数的定义域．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】中，列出不等式组，求解即可．
【解答】解：函数，
∵，解得x≤3且x≠2，
∴f（x）的定义域是（﹣∞，2）∪（2，3]．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
6．已知定义域为R的函数f（x）， x1，x2∈R，x1＜x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，则（　　）
A．f（3）＜f（π）＜f（2） B．f（π）＜f（3）＜f（2）
C．f（2）＜f（π）＜f（3） D．f（π）＜f（2）＜f（3）
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；函数的单调性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】分析可知f（x）是R上的减函数，结合单调性比较函数值的大小．
【解答】解：根据题意，定义域为R的函数f（x）满足，对于 x1，x2∈R，x1＜x2，则x1﹣x2＜0，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0成立，
由于x1﹣x2＜0，必有f（x1）＞f（x2），
故f（x）是R上的减函数，且π＞3＞2，
所以f（π）＜f（3）＜f（2）．
故选：B．
【点评】本题考查函数单调性的性质和应用，注意函数单调性的判断方法，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）7．下列各组中两个函数是同一函数的是（　　）
A．f（x）＝x2+2x﹣1，g（t）＝t2+2t﹣1
B．，g（x）＝x+1
C．，
D．f（x）＝|x﹣3|+1，
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AD
【分析】判断两函数是否为同一函数，只需要判断两者的定义域与对应法则是否相同即可．
【解答】解：对于A，f（x）与g（t）只是表示自变量的字母不同，是同一函数；
对于B，f（x）需满足x≠1，g（x）中x可以等于1，所以不是同一函数；
对于C，f（x）的定义域为[0，+∞），g（x）的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞），所以不是同一函数；
对于D，，显然f（x）＝g（x），所以是同一函数．
故选：AD．
【点评】本题考查同一函数的定义相关知识，属于基础题．
（多选）8．如图是函数y＝f（x），x∈[﹣4，3]的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）在[﹣4，﹣1]∪[1，3]上单调递减
B．f（x）在[﹣1，1]上单调递增
C．f（x）在[﹣1，3]上有最大值3，有最小值﹣2
D．f（x）在区间（﹣4，1）上的最大值为3，最小值为﹣2
【考点】函数的单调性；函数的最值．
【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】BCD
【分析】结合函数图象检验各选项即可求解．
【解答】解：结合函数图象可知，f（x）在[﹣4，﹣1]和[1，3]上单调递减，[﹣1，1]上单调递增，A错误，B正确；
结合函数图象可知，f（x）在[﹣1，3]上有最大值3，有最小值﹣2，C正确；
f（x）在区间（﹣4，1）上的最大值为3，最小值为﹣2，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了函数单调性及最值的求解，属于基础题．
（多选）9．下列函数f（x）与g（x）表示的不是同一函数的是（　　）
A．f（x）＝x0与g（x）＝1
B．f（x）＝x与
C．与
D．与g（x）＝x+3
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】判断每个选项的两函数的定义域和对应关系是否都相同，都相同的为同一函数，否则不是．
【解答】解：A．f（x）的定义域为：{x|x≠0}，g（x）＝1的定义域为R，不是同一函数；
B．f（x）＝x的定义域为R，g（x）的定义域为R，且对应关系相同，是同一函数；
C．f（x）的定义域为[0，+∞），g（x）的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞），定义域不同，不是同一函数；
D．f（x）的定义域是{x|x≠3}，g（x）的定义域是R，定义域不同，不是同一函数．
故选：ACD．
【点评】本题考查了函数的定义，是基础题．
（多选）10．函数y＝ax（a＞0且a≠1），当﹣2≤x≤2时，值域为，则a的值可能是（　　）
A． B． C． D．2
【考点】由值域求解函数或参数．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】BC
【分析】分类讨论y＝ax（a＞0且a≠1）是增函数还是减函数，将对应值代入计算即可．
【解答】解：当0＜a＜1时，函数y＝ax单调递减，
∴，解得，
当a＞1时，函数y＝ax单调递增，
∴，解得．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了指数函数单调性的应用，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
11．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，16），则满足的x的取值范围是　{x|或}　 ．
【考点】求幂函数的解析式．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】{x|或}．
【分析】先写出幂函数的表达式，再利用单调性即可求得．
【解答】解：幂函数y＝f（x）＝xα的图象过点（2，16），
所以f（2）＝2α＝16，故α＝4，则f（x）＝x4，
所以f（x）是偶函数，且在区间（0，+∞）上是增函数，
因为，
所以，即，
解得或，
故x的取值范围为{x|或}．
故答案为：{x|或}．
【点评】本题主要考查幂函数的应用，属于基础题．
12．若函数f（x）＝ax2+bx+b是偶函数，且其定义域为[a﹣1，2a]，则a+b＝　　 ．
【考点】函数的奇偶性．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据函数为偶函数，可得函数定义域关于原点对称可求解a，再根据偶函数的定义，可求解b，再求a+b即可．
【解答】解：因为f（x）＝ax2+bx+b是偶函数，且其定义域为[a﹣1，2a]，
所以a﹣1+2a＝0，即，
又因为f（﹣x）＝f（x），
所以a（﹣x）2+b（﹣x）+b＝ax2+bx+b，即﹣bx＝bx，b＝0，
所以a+b．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性定义的应用，属于基础题．
13．已知函数，若f（x）在R上单调递减，则实数a的取值范围是　　 ．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】根据分段函数在两段函数上分别单调递减及分界处函数值大小，列出不等式求解即可．
【解答】解：因为函数在R上单调递减，
所以，即，解得，
故实数a的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查由函数单调性求参数取值范围，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数f（x）在R上是偶函数，且当x≥0时，．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）求f（x）在[﹣4，4]上的值域；
（3）作出y＝|f（x）|在[﹣4，4]上的图象．
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；奇函数偶函数的性质．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）f（x）；
（2）[﹣1，1]；
（3）y＝|f（x）|在[﹣4，4]上的图象，如图所示：
【分析】（1）利用偶函数的定义求解；
（2）分别求出f（x）在[0，4]和[﹣4，0）上的最值，进而得到f（x）在[﹣4，4]上的值域；
（3）利用函数的图象变换规律求解．
【解答】解：（1）当x＜0时，则﹣x＞0，
所以f（﹣x），
又因为函数f（x）在R上是偶函数，
所以f（x）＝f（﹣x）1，
所以f（x）；
（2）当0≤x≤4时，f（x）1单调递增，
又因为f（0）＝﹣1，f（4）＝1，
所以﹣1≤f（x）≤1，
当﹣4≤x＜0时，f（x）单调递减，
又因为f（﹣4）＝1，f（0）＝﹣1，
所以﹣1＜f（x）≤1，
综上所述，当x∈[﹣4，4]时，f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，即函数的值域为[﹣1，1]；
（3）先画出y＝f（x）的图象，再把x轴下方的部分翻折到x轴上方，即可得到y＝|f（x）|的图象，
所以y＝|f（x）|在[﹣4，4]上的图象，如图所示：
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，考查了分段函数的图象和性质，属于基础题．
15．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）＝x2f（y）+y2f（x），且x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（2）＝2，求f（4）的值．
（3）若当x＞1时，有f（x）＜0恒成立，证明在（0，+∞）上单调递减．
【考点】定义法求解函数的单调性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）0；
（2）16；
（3）证明见解析．
【分析】（1）利用赋值法求f（1）即可；
（2）利用赋值法求f（4）即可；
（3）利用单调性的定义证明．
【解答】解：（1）令x＝y＝1有f（1）＝f（1）+f（1），有f（1）＝0．
（2）令x＝y＝2有f（4）＝f（2×2）＝22f（2）+22f（2）＝16．
（3）证明：f（xy）＝x2f（y）+y2f（x）有，即g（xy）＝g（x）+g（y），
设x1＞x2＞0，有，即，
而，有，故g（x1）＜g（x2），
在（0，+∞）上单调递减．
【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查赋值法的应用，函数单调性的证明，属于中档题．
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