12.1.2函数的表示法 列表法、解析法-课件(共31张PPT)-数学沪科版（2024）八年级上册
文档属性
| 名称 | 12.1.2函数的表示法 列表法、解析法-课件(共31张PPT)-数学沪科版（2024）八年级上册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-05 05:32:24 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第12章 函数与一次函数
12.1.2函数的表示法 列表法、解析法
1
2
3
学会求函数自变量的取值范围；
理解函数自变量与函数值的对应关系，会求指定条件下的函数值；
会求具体问题中的函数表达式.
12.1.2 函数的表示法 列表法、解析法 教学课件
一、教学基本信息
- 学科：初中数学
- 学段：八年级上册
- 课时：1课时（45分钟）
- 核心素养目标：
数学抽象：通过具体情境理解函数列表法、解析法的本质，抽象出两种表示法的特征。
- 数学运算：能根据函数解析式求函数值，根据列表信息分析变量关系，提升运算能力。
- 数学建模：能根据实际问题选择合适的表示法描述函数关系，初步掌握函数建模的基本方法。
- 直观想象：通过列表与解析式的转化，建立变量关系的直观认知，增强数形结合意识。
教学重难点：
重点：掌握函数的列表法和解析法，能根据解析式求函数值，根据实际问题列函数解析式。
难点：理解函数解析式中自变量的取值范围，根据实际问题的意义确定自变量取值范围。
教学准备：多媒体课件、表格模板、实际问题情境卡片。
二、教学过程设计
（一）复习回顾，衔接新知（3分钟）
1. 旧知提问：
“上节课我们认识了函数，谁能说说函数的核心特征是什么？”（引导学生回答：两个变量，对于自变量的每一个确定值，函数值有且只有一个与之对应）“我们还提到函数有三种表示方法，分别是什么？”（表格法、图像法、解析式法）
2. 引出课题：
“在这三种表示方法中，列表法和解析法是我们解决数学问题常用的工具，今天我们就重点学习这两种表示法及其应用。”板书课题：12.1.2 函数的表示法 列表法、解析法。
（二）探究新知：认识列表法（10分钟）
活动1：情境感知列表法
1. 实例呈现：
某水果店售卖苹果，单价为8元/千克，购买不同重量的苹果，总费用不同。请同学们完成下表，填写购买重量与总费用的关系：购买重量x（kg）12345...总费用y（元）816243240...
2. 概念提炼：
提问：“这个表格清晰地呈现了哪两个变量的关系？当x=3时，y的值是多少？这种用表格形式表示自变量与函数值对应关系的方法，就是函数的列表法。”引导学生总结列表法的特点：直观、清晰，能直接找到自变量对应的函数值，但只能表示有限个自变量的取值及对应函数值。
活动2：列表法的应用
小练习：已知函数y=2x-1，用列表法表示当x取-2、-1、0、1、2时的函数值。
1. 学生独立完成，教师巡视指导，选取典型答案展示。
2. 展示规范表格：
x-2-1012y=2x-1-5-3-113
（三）探究新知：认识解析法（18分钟）
活动1：从实例抽象解析法
1. 回顾旧例：
回到苹果购买的实例，购买重量为x kg，总费用为y元，单价8元/千克，我们能写出y与x的关系式吗？（学生回答：y=8x）再如，上节课汽车匀速行驶的实例，路程s与时间t的关系式是s=60t，这些关系式都是用数学式子表示函数关系的。
2. 概念给出：
像这样用含有自变量的数学式子表示函数与自变量之间关系的方法，叫做函数的解析法，这种数学式子叫做函数的解析式。
活动2：解析法的核心——自变量的取值范围
1. 问题探究：
提问1：在苹果购买的实例中，x可以取-1吗？可以取10000吗？为什么？（引导学生思考：x表示购买重量，不能为负数，也不能过大超出实际购买能力，故x>0且为合理正数）提问2：函数y=√(x-2)中，x可以取1吗？为什么？（x-2≥0，故x≥2，因为二次根式的被开方数是非负数）提问3：函数y=1/(x-1)中，x可以取1吗？为什么？（x-1≠0，故x≠1，因为分母不能为0）
2. 规律总结：
自变量的取值范围需满足两个原则：数学意义：避免出现分母为0、二次根式被开方数为负数等无意义的情况；
3. 实际意义：结合实际问题，自变量的取值要符合现实情境（如长度、重量、人数等不能为负数）。
4. 即时练习：
求下列函数中自变量x的取值范围：y=3x+5（答案：全体实数）；
5. y=x -2x+1（答案：全体实数）；
6. y=√(3x-6)（答案：x≥2）；
7. y=2/(x+3)（答案：x≠-3）；
8. 一个长方形的长为x cm，宽为5 cm，面积为y cm ，求y与x的解析式及x的取值范围（答案：y=5x，x>0）。
活动3：解析法的应用——求函数值与列解析式
1. 类型1：根据解析式求函数值例1：已知函数y=2x -3x+1，求：当x=2时的函数值；
2. 当x=-1时的函数值。
师生共解：（1）当x=2时，y=2×2 -3×2+1=8-6+1=3；（2）当x=-1时，y=2×(-1) -3×(-1)+1=2+3+1=6。
强调：代入时注意符号，计算要准确。
类型2：根据实际问题列函数解析式例2：某手机套餐规定：每月基本月租费30元，包含100分钟免费通话时长，超过100分钟后，每分钟按0.2元收费。设每月通话时长为x分钟，每月话费为y元，求y与x的函数解析式。小组讨论：分两种情况分析——x≤100和x>100；
师生共析：
当x≤100时，话费仅为月租费，故y=30；当x>100时，话费=月租费+超出部分费用，超出时长为(x-100)分钟，超出费用为0.2(x-100)元，故y=30+0.2(x-100)=0.2x+10。综上，解析式为：y=30（x≤100且x为非负整数）；y=0.2x+10（x>100且x为非负整数）。
（四）对比分析：列表法与解析法的优劣（5分钟）
表示方法
优点
缺点
适用场景
列表法
直观、便捷，可直接读取对应值
只能表示有限个自变量的取值，无法反映整体变化规律
自变量取值较少或需快速查询对应值时（如工资表、价目表）
解析法
能反映变量间的整体关系，可计算任意符合条件的自变量对应的函数值
不够直观，需要通过计算才能得到函数值
需要分析函数整体变化规律、进行精确计算时（如数学推理、物理公式）
小结：两种表示法各有优势，实际应用中需根据需求选择合适的方法，有时还会结合使用。
（五）课堂小结：梳理知识，深化理解（3分钟）
1. 学生总结：请2名学生分别说说列表法和解析法的定义、特点及应用注意事项。
2. 教师梳理：
1. 两种表示法：列表法（直观有限）、解析法（全面精确）；2. 核心要点：解析法中自变量的取值范围（数学意义+实际意义）；3. 能力要求：会列解析式、求取值范围、算函数值，能选择合适方法表示函数。
（六）布置作业：分层设计，学以致用（6分钟）
基础作业（必做）
1. 用列表法表示函数y=-x+2当x取-1、0、1、2、3时的函数值。
2. 求下列函数自变量x的取值范围：
y=5x-3；
3. y=√(2x+4)；
4. y=3/(x-5)。
已知函数y=3x -2，求当x=3和x=-2时的函数值。
一个正方形的边长为x，面积为y，写出y与x的函数解析式，并求x=4时的函数值。
拓展作业（选做）
1. 某书店售卖一本畅销书，原价20元，购买5本及以上可享受9折优惠，购买10本及以上可享受8折优惠。设购买数量为x本，付款金额为y元，写出y与x的函数解析式（x为正整数）。
2. 收集生活中一个用列表法或解析法表示函数关系的实例（如水电费计费、购物优惠等），记录下来并分析其自变量取值范围和函数特点。
三、板书设计
12.1.2 函数的表示法 列表法、解析法
一、列表法
1. 定义：表格表示自变量与函数值的对应关系
2. 特点：直观、有限
二、解析法
1. 定义：数学式子（解析式）表示函数关系
2. 核心：自变量取值范围
（1）数学意义：分母≠0，被开方数≥0...
（2）实际意义：符合现实情境
3. 应用：求函数值、列解析式
三、两种方法对比
列表法：直观→有限；解析法：精确→全面
四、例1：y=2x -3x+1，x=2时y=3；x=-1时y=6
例2：手机话费解析式：y=30(x≤100)；y=0.2x+10(x>100)
四、教学反思（课后填写）
- 学生对自变量取值范围的“实际意义”把握是否准确？是否需要增加更多实际问题的辨析？
- 在列分段函数解析式（如手机话费问题）时，学生是否能清晰区分不同区间的取值？
- 两种表示法的对比环节是否有效？学生是否能根据实际需求选择合适的表示法？
下列问题中的变量 y 是不是 x 的函数？
(1) y = 2x
(2) y + 2x=3
(3) y = (x≥0)
(4) y = x2
(5) y2 = x
(6) y =|x|
(7) |y| = x
(8) y =±x +5
(9) y = x2 + 3z
t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h/m 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 …
上节课我们研究了三个问题，它们都反映了两个变量间的函数关系，回头看一下：
问题1：用热气球探测高空气象
问题2：汽车刹车问题
问题3：用电负荷曲线
表示函数关系有哪些方法？
列表法
解析法
图象法
t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h/m 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 …
问题1：用热气球探测高空气象
通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫作列表法.
想一想：列表法表示函数关系有什么优点与不足呢？
优点：能够具体反映自变量的值与函数值的对应关系.
不足：只能列出部分自变量的值与对应的函数值，难以反映函数变化的全貌。
练一练
1.一个小球在一个斜坡上由静止开始向下运动，通过仪器观察，得到小球滚动的距离 s (米)与时间 t (秒)的数据如下表：
t 1 2 3 4 …
s 2 8 18 32 …
请写出s与t的函数表达式．
解：因为t＝1时，s＝2；
t＝2时，s＝8＝2×4＝2×22；
t＝3时，s＝18＝2×9＝2×32；
所以s与t的函数表达式为s＝2t 2.
t＝4时，s＝32＝2×16＝2×42，
问题2：汽车刹车问题
用数学式子表示函数关系的方法叫作解析法，其中的数学式子叫作函数表达式（或函数解析式）.
想一想：解析法表示函数关系有什么优点与不足呢？
优点：能够准确地反映函数与自变量间的数量关系.
不足：有些自变量与函数间的关系很难或不能用解析式表示；涉及到具体数量还要进行计算.
在用函数表达式表示函数时，自变量的取值必须使函数表达式有意义.
例1 求下列函数中自变量 x 的取值范围：
(1) y = 2x + 4 ；
(2) y = －2x2 ；
(4) y = .
分析:在(1)(2)中，x取任何实数时，2x+4与 2x2都有意义；
在(3) 中，当x =2时， 没有意义；
在(4) 中，当x＜0时，没有意义.
例1 求下列函数中自变量 x 的取值范围：
(1) y = 2x + 4 ；
(2) y = －2x2 ；
(4) y = .
解 （1）x为全体实数.
（2）x为全体实数.
（3）x ≠ 2.
（4）x ≥ 0.
归纳：
函数解析式中自变量的取值范围
(1)函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；
(2)函数关系式为分式形式：分母 ≠ 0；
(3)函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；
(4)函数关系式含0指数：底数≠0；
(5)当是实际问题时，自变量必须有实际意义；
(6)当表达式是复合形式时，则需列不等式组，使所有式子同时有意义．
练一练
2. 函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是（ ）
A. x ≠3 B. x ≥3 C. x＞3 D. x ≤3
3.函数y= 中，自变量 x 的取值范围是
______________.
B
x ≥－2且x ≠1
例2 当 x=3时，求下列函数的函数值：
(1) y = 2x + 4 ；
(2) y = －2x2 ；
(4) y = .
解 （1）当x=3时，y =2×3+4=10.
（2）当x=3时，y=－2×32=－18.
（3）当x=3时，
（4）当x=3时，
练一练
4.下列关系式中，当自变量 时，函数值
的是( )
A. y=3x+3
B. y=－3x+3
C. y=3x－3
D. y=－3x－3
B
例3 一个游泳池内有水 300 m3，现打开排水管以25 m3 /h 的速度排水.设排水时间为t h，游泳池内剩余水量为Q m3.
（1）写出 Q 与 t 之间的函数表达式；
（2）写出自变量 t 的取值范围；
解（1）函数表达式为Q=300－25t；即Q=－25t +300.
（2）游泳池中共有300m3水，排水速度为25m3/h，全部排完只需300÷25=12 (h)，故自变量 t 的取值范围是0≤ t ≤12.
例3 一个游泳池内有水 300 m3，现打开排水管以25 m3 /h 的速度排水.设排水时间为t h，游泳池内剩余水量为Q m3.
（3）开始排水5 h 后，游泳池中还有多少水？
（4）当游泳池中还剩 150 m3 水时，已经排水多久？
（3）将t =5代入函数表达式，得Q=－25×5+300=175.答：开始排水5h后，游泳池中还有水175m3.
（4）当Q=150时，由150=－25t + 300，得t =6. 答：当游泳池中还剩水150m3时，已经排水 6h.
5.水箱内原有水200升，7点30分打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经 t 分钟时，水箱内存水 y 升.
（1）求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）7:55时，水箱内还有多少水？
（3）几点几分水箱内的水恰好放完？
练一练
解（1）y =200－2t（0≤ t ≤100）；
（2）y =200－2t =200－50=150(升)；
（3）当y =0时， 200－2t =0，解得：t =100分钟=1小时40分钟，7:30+1小时40分钟=9点10分.
随堂练习
【教材P28 练习 T1】
1.写出下列函数中自变量 x 的取值范围：
解 （1）x为全体实数.
（2）x ≠4.
（3）x ≥ 0.
（4）x为全体实数.
2. 当x =9和x =10时，求下列函数的函数值：
【教材P28 练习 T2】
解 （1）当x=9时， ；当x=10时，
（2）当x=9时，y =－3；当x=10时，
【教材P28 练习 T3】
3.一列动车以300km/h的速度匀速行驶. 设该动车的行驶时间为t h，路程为 s km.
（1）写出 s 与 t 之间的函数表达式；
（2）该动车行驶 1.5h 后，行驶的路程为多少？
（3）当该动车行驶 120km 时，用时多少？
解 (1) s = 300 t.
(2) 将 t=1.5 代入函数表达式，得s = 300×1.5=450.
答：行驶的路程为450km.
【教材P28 练习 T3】
3.一列动车以300km/h的速度匀速行驶. 设该动车的行驶时间为t h，路程为 s km.
（1）写出 s 与 t 之间的函数表达式；
（2）该动车行驶 1.5h 后，行驶的路程为多少？
（3）当该动车行驶 120km 时，用时多少？
(3) 当 s=120 时，由120 = 300t，得t =0.4.
答：用时0.4h.
知识点1 列表法
1. 某学习小组做了一个实验：从 高的楼
顶随手放下一个苹果，测得有关数据如下：
下落时间 1 2 3 4
下落高度 5 20 45 80
则下列说法错误的是 ( )
B
A. 苹果每秒下落的高度越来越大
B. 苹果每秒下落的高度不变
C. 苹果下落的速度越来越快
D. 可以推测，苹果落到地面的时间不超过
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2. 科学家就蟋蟀每分钟鸣叫的次数与室
外温度的数量关系做了如下记录：
蟋蟀每分钟鸣叫的次数 温度/
144 76
152 78
160 80
168 82
176 84
如果这种数量关系不变，那么当室外温度为 时，蟋蟀每
分钟鸣叫的次数是 ( )
D
A. 178 B. 184 C. 192 D. 200
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3.已知华氏温度与摄氏温度 之间的关系如表：
摄氏温度 … 0 10 20 30 …
华氏温度 … 14 32 50 68 86 …
则与 之间的关系式为_____________.若某行星上的平均温
度大约为,则此温度换算成华氏温度约为_____ .
返回
知识点2 解析法
4. 一个正方形的边长为,它的边长减少 后，得到的
新正方形的周长为,则与 之间的函数表达式是( )
C
A. B.
C. D. 以上都不对
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5. 激光测距仪 发出的激光束以
的速度射向目标，后测距仪收到 反射回
的激光束，则到的距离与时间 的关系式为( )
A
A. B.
C. D.
返回
知识点3 自变量的取值范围
6. ［2025合肥寿春中学月考］函数中，自变量
的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
返回
7.在函数中，自变量 的取值范围是_________
_____.
且
返回
知识点4 函数值
8. 下列关系式中，当自变量 时，函
数值 的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
9. 铁的密度为，铁块的质量
（单位：）与它的体积（单位： ）之间的函数关系式
为.当时，____ .
79
返回
课堂小结
表示函数关系的方法
确定自变量的取值范围的方法
函数
列表法
图象法
解析法
自变量的值与函数值
谢谢观看！
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第12章 函数与一次函数
12.1.2函数的表示法 列表法、解析法
1
2
3
学会求函数自变量的取值范围；
理解函数自变量与函数值的对应关系，会求指定条件下的函数值；
会求具体问题中的函数表达式.
12.1.2 函数的表示法 列表法、解析法 教学课件
一、教学基本信息
- 学科：初中数学
- 学段：八年级上册
- 课时：1课时（45分钟）
- 核心素养目标：
数学抽象：通过具体情境理解函数列表法、解析法的本质，抽象出两种表示法的特征。
- 数学运算：能根据函数解析式求函数值，根据列表信息分析变量关系，提升运算能力。
- 数学建模：能根据实际问题选择合适的表示法描述函数关系，初步掌握函数建模的基本方法。
- 直观想象：通过列表与解析式的转化，建立变量关系的直观认知，增强数形结合意识。
教学重难点：
重点：掌握函数的列表法和解析法，能根据解析式求函数值，根据实际问题列函数解析式。
难点：理解函数解析式中自变量的取值范围，根据实际问题的意义确定自变量取值范围。
教学准备：多媒体课件、表格模板、实际问题情境卡片。
二、教学过程设计
（一）复习回顾，衔接新知（3分钟）
1. 旧知提问：
“上节课我们认识了函数，谁能说说函数的核心特征是什么？”（引导学生回答：两个变量，对于自变量的每一个确定值，函数值有且只有一个与之对应）“我们还提到函数有三种表示方法，分别是什么？”（表格法、图像法、解析式法）
2. 引出课题：
“在这三种表示方法中，列表法和解析法是我们解决数学问题常用的工具，今天我们就重点学习这两种表示法及其应用。”板书课题：12.1.2 函数的表示法 列表法、解析法。
（二）探究新知：认识列表法（10分钟）
活动1：情境感知列表法
1. 实例呈现：
某水果店售卖苹果，单价为8元/千克，购买不同重量的苹果，总费用不同。请同学们完成下表，填写购买重量与总费用的关系：购买重量x（kg）12345...总费用y（元）816243240...
2. 概念提炼：
提问：“这个表格清晰地呈现了哪两个变量的关系？当x=3时，y的值是多少？这种用表格形式表示自变量与函数值对应关系的方法，就是函数的列表法。”引导学生总结列表法的特点：直观、清晰，能直接找到自变量对应的函数值，但只能表示有限个自变量的取值及对应函数值。
活动2：列表法的应用
小练习：已知函数y=2x-1，用列表法表示当x取-2、-1、0、1、2时的函数值。
1. 学生独立完成，教师巡视指导，选取典型答案展示。
2. 展示规范表格：
x-2-1012y=2x-1-5-3-113
（三）探究新知：认识解析法（18分钟）
活动1：从实例抽象解析法
1. 回顾旧例：
回到苹果购买的实例，购买重量为x kg，总费用为y元，单价8元/千克，我们能写出y与x的关系式吗？（学生回答：y=8x）再如，上节课汽车匀速行驶的实例，路程s与时间t的关系式是s=60t，这些关系式都是用数学式子表示函数关系的。
2. 概念给出：
像这样用含有自变量的数学式子表示函数与自变量之间关系的方法，叫做函数的解析法，这种数学式子叫做函数的解析式。
活动2：解析法的核心——自变量的取值范围
1. 问题探究：
提问1：在苹果购买的实例中，x可以取-1吗？可以取10000吗？为什么？（引导学生思考：x表示购买重量，不能为负数，也不能过大超出实际购买能力，故x>0且为合理正数）提问2：函数y=√(x-2)中，x可以取1吗？为什么？（x-2≥0，故x≥2，因为二次根式的被开方数是非负数）提问3：函数y=1/(x-1)中，x可以取1吗？为什么？（x-1≠0，故x≠1，因为分母不能为0）
2. 规律总结：
自变量的取值范围需满足两个原则：数学意义：避免出现分母为0、二次根式被开方数为负数等无意义的情况；
3. 实际意义：结合实际问题，自变量的取值要符合现实情境（如长度、重量、人数等不能为负数）。
4. 即时练习：
求下列函数中自变量x的取值范围：y=3x+5（答案：全体实数）；
5. y=x -2x+1（答案：全体实数）；
6. y=√(3x-6)（答案：x≥2）；
7. y=2/(x+3)（答案：x≠-3）；
8. 一个长方形的长为x cm，宽为5 cm，面积为y cm ，求y与x的解析式及x的取值范围（答案：y=5x，x>0）。
活动3：解析法的应用——求函数值与列解析式
1. 类型1：根据解析式求函数值例1：已知函数y=2x -3x+1，求：当x=2时的函数值；
2. 当x=-1时的函数值。
师生共解：（1）当x=2时，y=2×2 -3×2+1=8-6+1=3；（2）当x=-1时，y=2×(-1) -3×(-1)+1=2+3+1=6。
强调：代入时注意符号，计算要准确。
类型2：根据实际问题列函数解析式例2：某手机套餐规定：每月基本月租费30元，包含100分钟免费通话时长，超过100分钟后，每分钟按0.2元收费。设每月通话时长为x分钟，每月话费为y元，求y与x的函数解析式。小组讨论：分两种情况分析——x≤100和x>100；
师生共析：
当x≤100时，话费仅为月租费，故y=30；当x>100时，话费=月租费+超出部分费用，超出时长为(x-100)分钟，超出费用为0.2(x-100)元，故y=30+0.2(x-100)=0.2x+10。综上，解析式为：y=30（x≤100且x为非负整数）；y=0.2x+10（x>100且x为非负整数）。
（四）对比分析：列表法与解析法的优劣（5分钟）
表示方法
优点
缺点
适用场景
列表法
直观、便捷，可直接读取对应值
只能表示有限个自变量的取值，无法反映整体变化规律
自变量取值较少或需快速查询对应值时（如工资表、价目表）
解析法
能反映变量间的整体关系，可计算任意符合条件的自变量对应的函数值
不够直观，需要通过计算才能得到函数值
需要分析函数整体变化规律、进行精确计算时（如数学推理、物理公式）
小结：两种表示法各有优势，实际应用中需根据需求选择合适的方法，有时还会结合使用。
（五）课堂小结：梳理知识，深化理解（3分钟）
1. 学生总结：请2名学生分别说说列表法和解析法的定义、特点及应用注意事项。
2. 教师梳理：
1. 两种表示法：列表法（直观有限）、解析法（全面精确）；2. 核心要点：解析法中自变量的取值范围（数学意义+实际意义）；3. 能力要求：会列解析式、求取值范围、算函数值，能选择合适方法表示函数。
（六）布置作业：分层设计，学以致用（6分钟）
基础作业（必做）
1. 用列表法表示函数y=-x+2当x取-1、0、1、2、3时的函数值。
2. 求下列函数自变量x的取值范围：
y=5x-3；
3. y=√(2x+4)；
4. y=3/(x-5)。
已知函数y=3x -2，求当x=3和x=-2时的函数值。
一个正方形的边长为x，面积为y，写出y与x的函数解析式，并求x=4时的函数值。
拓展作业（选做）
1. 某书店售卖一本畅销书，原价20元，购买5本及以上可享受9折优惠，购买10本及以上可享受8折优惠。设购买数量为x本，付款金额为y元，写出y与x的函数解析式（x为正整数）。
2. 收集生活中一个用列表法或解析法表示函数关系的实例（如水电费计费、购物优惠等），记录下来并分析其自变量取值范围和函数特点。
三、板书设计
12.1.2 函数的表示法 列表法、解析法
一、列表法
1. 定义：表格表示自变量与函数值的对应关系
2. 特点：直观、有限
二、解析法
1. 定义：数学式子（解析式）表示函数关系
2. 核心：自变量取值范围
（1）数学意义：分母≠0，被开方数≥0...
（2）实际意义：符合现实情境
3. 应用：求函数值、列解析式
三、两种方法对比
列表法：直观→有限；解析法：精确→全面
四、例1：y=2x -3x+1，x=2时y=3；x=-1时y=6
例2：手机话费解析式：y=30(x≤100)；y=0.2x+10(x>100)
四、教学反思（课后填写）
- 学生对自变量取值范围的“实际意义”把握是否准确？是否需要增加更多实际问题的辨析？
- 在列分段函数解析式（如手机话费问题）时，学生是否能清晰区分不同区间的取值？
- 两种表示法的对比环节是否有效？学生是否能根据实际需求选择合适的表示法？
下列问题中的变量 y 是不是 x 的函数？
(1) y = 2x
(2) y + 2x=3
(3) y = (x≥0)
(4) y = x2
(5) y2 = x
(6) y =|x|
(7) |y| = x
(8) y =±x +5
(9) y = x2 + 3z
t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h/m 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 …
上节课我们研究了三个问题，它们都反映了两个变量间的函数关系，回头看一下：
问题1：用热气球探测高空气象
问题2：汽车刹车问题
问题3：用电负荷曲线
表示函数关系有哪些方法？
列表法
解析法
图象法
t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h/m 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 …
问题1：用热气球探测高空气象
通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫作列表法.
想一想：列表法表示函数关系有什么优点与不足呢？
优点：能够具体反映自变量的值与函数值的对应关系.
不足：只能列出部分自变量的值与对应的函数值，难以反映函数变化的全貌。
练一练
1.一个小球在一个斜坡上由静止开始向下运动，通过仪器观察，得到小球滚动的距离 s (米)与时间 t (秒)的数据如下表：
t 1 2 3 4 …
s 2 8 18 32 …
请写出s与t的函数表达式．
解：因为t＝1时，s＝2；
t＝2时，s＝8＝2×4＝2×22；
t＝3时，s＝18＝2×9＝2×32；
所以s与t的函数表达式为s＝2t 2.
t＝4时，s＝32＝2×16＝2×42，
问题2：汽车刹车问题
用数学式子表示函数关系的方法叫作解析法，其中的数学式子叫作函数表达式（或函数解析式）.
想一想：解析法表示函数关系有什么优点与不足呢？
优点：能够准确地反映函数与自变量间的数量关系.
不足：有些自变量与函数间的关系很难或不能用解析式表示；涉及到具体数量还要进行计算.
在用函数表达式表示函数时，自变量的取值必须使函数表达式有意义.
例1 求下列函数中自变量 x 的取值范围：
(1) y = 2x + 4 ；
(2) y = －2x2 ；
(4) y = .
分析:在(1)(2)中，x取任何实数时，2x+4与 2x2都有意义；
在(3) 中，当x =2时， 没有意义；
在(4) 中，当x＜0时，没有意义.
例1 求下列函数中自变量 x 的取值范围：
(1) y = 2x + 4 ；
(2) y = －2x2 ；
(4) y = .
解 （1）x为全体实数.
（2）x为全体实数.
（3）x ≠ 2.
（4）x ≥ 0.
归纳：
函数解析式中自变量的取值范围
(1)函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；
(2)函数关系式为分式形式：分母 ≠ 0；
(3)函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；
(4)函数关系式含0指数：底数≠0；
(5)当是实际问题时，自变量必须有实际意义；
(6)当表达式是复合形式时，则需列不等式组，使所有式子同时有意义．
练一练
2. 函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是（ ）
A. x ≠3 B. x ≥3 C. x＞3 D. x ≤3
3.函数y= 中，自变量 x 的取值范围是
______________.
B
x ≥－2且x ≠1
例2 当 x=3时，求下列函数的函数值：
(1) y = 2x + 4 ；
(2) y = －2x2 ；
(4) y = .
解 （1）当x=3时，y =2×3+4=10.
（2）当x=3时，y=－2×32=－18.
（3）当x=3时，
（4）当x=3时，
练一练
4.下列关系式中，当自变量 时，函数值
的是( )
A. y=3x+3
B. y=－3x+3
C. y=3x－3
D. y=－3x－3
B
例3 一个游泳池内有水 300 m3，现打开排水管以25 m3 /h 的速度排水.设排水时间为t h，游泳池内剩余水量为Q m3.
（1）写出 Q 与 t 之间的函数表达式；
（2）写出自变量 t 的取值范围；
解（1）函数表达式为Q=300－25t；即Q=－25t +300.
（2）游泳池中共有300m3水，排水速度为25m3/h，全部排完只需300÷25=12 (h)，故自变量 t 的取值范围是0≤ t ≤12.
例3 一个游泳池内有水 300 m3，现打开排水管以25 m3 /h 的速度排水.设排水时间为t h，游泳池内剩余水量为Q m3.
（3）开始排水5 h 后，游泳池中还有多少水？
（4）当游泳池中还剩 150 m3 水时，已经排水多久？
（3）将t =5代入函数表达式，得Q=－25×5+300=175.答：开始排水5h后，游泳池中还有水175m3.
（4）当Q=150时，由150=－25t + 300，得t =6. 答：当游泳池中还剩水150m3时，已经排水 6h.
5.水箱内原有水200升，7点30分打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经 t 分钟时，水箱内存水 y 升.
（1）求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）7:55时，水箱内还有多少水？
（3）几点几分水箱内的水恰好放完？
练一练
解（1）y =200－2t（0≤ t ≤100）；
（2）y =200－2t =200－50=150(升)；
（3）当y =0时， 200－2t =0，解得：t =100分钟=1小时40分钟，7:30+1小时40分钟=9点10分.
随堂练习
【教材P28 练习 T1】
1.写出下列函数中自变量 x 的取值范围：
解 （1）x为全体实数.
（2）x ≠4.
（3）x ≥ 0.
（4）x为全体实数.
2. 当x =9和x =10时，求下列函数的函数值：
【教材P28 练习 T2】
解 （1）当x=9时， ；当x=10时，
（2）当x=9时，y =－3；当x=10时，
【教材P28 练习 T3】
3.一列动车以300km/h的速度匀速行驶. 设该动车的行驶时间为t h，路程为 s km.
（1）写出 s 与 t 之间的函数表达式；
（2）该动车行驶 1.5h 后，行驶的路程为多少？
（3）当该动车行驶 120km 时，用时多少？
解 (1) s = 300 t.
(2) 将 t=1.5 代入函数表达式，得s = 300×1.5=450.
答：行驶的路程为450km.
【教材P28 练习 T3】
3.一列动车以300km/h的速度匀速行驶. 设该动车的行驶时间为t h，路程为 s km.
（1）写出 s 与 t 之间的函数表达式；
（2）该动车行驶 1.5h 后，行驶的路程为多少？
（3）当该动车行驶 120km 时，用时多少？
(3) 当 s=120 时，由120 = 300t，得t =0.4.
答：用时0.4h.
知识点1 列表法
1. 某学习小组做了一个实验：从 高的楼
顶随手放下一个苹果，测得有关数据如下：
下落时间 1 2 3 4
下落高度 5 20 45 80
则下列说法错误的是 ( )
B
A. 苹果每秒下落的高度越来越大
B. 苹果每秒下落的高度不变
C. 苹果下落的速度越来越快
D. 可以推测，苹果落到地面的时间不超过
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2. 科学家就蟋蟀每分钟鸣叫的次数与室
外温度的数量关系做了如下记录：
蟋蟀每分钟鸣叫的次数 温度/
144 76
152 78
160 80
168 82
176 84
如果这种数量关系不变，那么当室外温度为 时，蟋蟀每
分钟鸣叫的次数是 ( )
D
A. 178 B. 184 C. 192 D. 200
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3.已知华氏温度与摄氏温度 之间的关系如表：
摄氏温度 … 0 10 20 30 …
华氏温度 … 14 32 50 68 86 …
则与 之间的关系式为_____________.若某行星上的平均温
度大约为,则此温度换算成华氏温度约为_____ .
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知识点2 解析法
4. 一个正方形的边长为,它的边长减少 后，得到的
新正方形的周长为,则与 之间的函数表达式是( )
C
A. B.
C. D. 以上都不对
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5. 激光测距仪 发出的激光束以
的速度射向目标，后测距仪收到 反射回
的激光束，则到的距离与时间 的关系式为( )
A
A. B.
C. D.
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知识点3 自变量的取值范围
6. ［2025合肥寿春中学月考］函数中，自变量
的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
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7.在函数中，自变量 的取值范围是_________
_____.
且
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知识点4 函数值
8. 下列关系式中，当自变量 时，函
数值 的是( )
B
A. B.
C. D.
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9. 铁的密度为，铁块的质量
（单位：）与它的体积（单位： ）之间的函数关系式
为.当时，____ .
79
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课堂小结
表示函数关系的方法
确定自变量的取值范围的方法
函数
列表法
图象法
解析法
自变量的值与函数值
谢谢观看！