12.2.2一次函数的图象与性质-课件(共25张PPT)-数学沪科版（2024）八年级上册

(共25张PPT)
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第12章 函数与一次函数
12.2.2一次函数的图象与性质
1
2
3
理解一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=kx
(k≠0)的关系；
掌握一次函数y=kx+b(k≠0)的平移规律；
会用两点画一次函数的图象，知道一次函数y=kx+b中系数b的几何意义.
12.2.2 一次函数的图象与性质 教学课件
一、教学基本信息
- 学科：初中数学
- 学段：八年级上册
- 课时：1课时（45分钟）
- 核心素养目标：
数学抽象：通过正比例函数延伸抽象出一次函数的概念，明确其解析式与正比例函数的关联。
- 直观想象：通过绘制一次函数图象，感知其与正比例函数图象的平移关系，归纳形态与性质，深化数形结合思想。
- 数学推理：从特殊一次函数的图象特征，归纳一般一次函数的性质，培养从特殊到一般的推理能力。
- 数学运算：能根据一次函数解析式求函数值、确定解析式，运用性质解决函数增减性、图象位置等问题。
教学重难点：
重点：理解一次函数的概念，掌握其图象画法与“平行于正比例函数图象的直线”特征，归纳并应用k、b的符号对图象与性质的影响。
难点：理解一次函数图象与正比例函数图象的平移关系（“上加下减b”），掌握k、b的符号共同决定函数图象位置的规律。
教学准备：多媒体课件、方格纸、直尺、铅笔、不同k、b值的一次函数图象对比模板。
二、教学过程设计
（一）复习衔接，引入新知（5分钟）
1. 旧知回顾：
提问1：“什么是正比例函数？其解析式和图象特征分别是什么？”（引导学生回答：y=kx（k≠0），图象是过原点的直线）提问2：“正比例函数y=2x和y=-2x的图象分别经过哪些象限？y随x的变化规律是什么？”（强化k的符号对性质的影响）
2. 情境拓展：
课件展示2个生活情境，引导学生列函数关系式：情境1：某书店售卖笔记本，每个进价3元，售价y（元）与进价的利润x（元）的关系是？（学生回答：y=x+3）
3. 情境2：一辆汽车油箱内有20升油，每行驶1千米耗油0.1升，油箱剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）的关系是？（学生回答：y=-0.1x+20）
4. 概念引入：
提问：“这两个关系式与正比例函数有什么不同？它们的共同特征是什么？”引导学生发现：都含有自变量的一次项和常数项，形式为“y=kx+b”。给出定义：一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）就是正比例函数，因此正比例函数是特殊的一次函数。引出课题：12.2.2 一次函数的图象与性质。
（二）探究新知：绘制图象，感知平移关系（15分钟）
活动1：绘制一组关联一次函数的图象
任务：在同一张方格纸上画出一次函数y=2x、y=2x+3、y=2x-2的图象，对比它们的形态与位置关系。
1. 列表取值：选取x=-2、-1、0、1、2，计算对应y值，完成表格：
x-2-1012y=2x-4-2024y=2x+3-11357y=2x-2-6-4-202
2. 描点连线：
学生独立描点，教师强调：描点时注意坐标对应准确，连线用直尺画直线。观察结果：三条图象都是直线，且相互平行（因为k值相同，都是2）。
活动2：探究b值对图象位置的影响（平移规律）
1. 对比分析：
提问1：“y=2x+3的图象与y=2x的图象相比，位置有什么变化？”（引导学生发现：y=2x的图象向上平移3个单位，得到y=2x+3的图象）提问2：“y=2x-2的图象与y=2x的图象相比，位置有什么变化？”（学生回答：y=2x的图象向下平移2个单位，得到y=2x-2的图象）
2. 规律总结：
一次函数y=kx+b的图象可以由正比例函数y=kx的图象平移得到：当b>0时，向上平移b个单位；当b<0时，向下平移|b|个单位。简记为“上加下减b”。
3. 图象画法简化：
由于一次函数图象是直线，且与y=kx平行，因此画法有两种：① 列表描点法（选两个点，如与x轴、y轴的交点）；② 平移法（先画y=kx的图象，再按b值平移）。示范：画y=-x+1的图象，可先画y=-x的图象，再向上平移1个单位；或找两点(0,1)（与y轴交点）和(1,0)（与x轴交点），连线即可。
（三）探究新知：分析k、b符号，归纳性质（12分钟）
活动1：探究k值对一次函数性质的影响
课件展示4组一次函数图象：
- 第一组（k>0）：y=x+2、y=2x-1；
- 第二组（k<0）：y=-x+3、y=-0.5x-2。
1. 增减性分析：
引导学生观察：k>0时，无论b值如何，y都随x的增大而增大（如y=x+2中，x从-2到2，y从0到4；y=2x-1中，x从-2到2，y从-5到3）；
2. k<0时，无论b值如何，y都随x的增大而减小（如y=-x+3中，x从-2到2，y从5到1；y=-0.5x-2中，x从-2到2，y从-1到-3）。
3. 结论：一次函数的增减性由k的符号决定，与b无关——k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小。
活动2：探究k、b符号对图象所在象限的影响
分组讨论：结合以下4种情况的一次函数图象，总结k、b的符号与图象所在象限的关系：
k的符号
b的符号
示例函数
图象所在象限
k>0
b>0
y=2x+3
第一、二、三象限
k>0
b<0
y=2x-2
第一、三、四象限
k<0
b>0
y=-x+1
第一、二、四象限
k<0
b<0
y=-x-2
第二、三、四象限
小结：图象所在象限由k和b共同决定，可通过“与坐标轴的交点”辅助判断——与y轴交点为(0,b)，与x轴交点为(-b/k, 0)，根据交点位置确定象限。
活动3：总结一次函数的性质
一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的性质：
1. 图象特征：是一条直线，与正比例函数y=kx的图象平行，可由其平移得到（上加下减b）；
2. 与坐标轴交点：与y轴交于(0,b)，与x轴交于(-b/k, 0)；
3. 增减性：k>0时，y随x的增大而增大；k<0时，y随x的增大而减小（由k决定，与b无关）；
4. 象限分布：由k、b共同决定（见上表规律）；
5. 陡峭程度：|k|越大，图象越靠近y轴（与正比例函数一致）。
（四）应用新知：典例解析，巩固提升（8分钟）
类型1：确定一次函数解析式
例1：已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点(1,3)和(0,-2)，求该函数的解析式。
1. 师生共解：
步骤1：图象过(0,-2)，即与y轴交点为(0,b)，故b=-2；步骤2：将(1,3)和b=-2代入解析式，得3=k×1-2，解得k=5；步骤3：综上，函数解析式为y=5x-2。
2. 方法总结：确定一次函数解析式需两个独立条件，代入求解k、b即可（“两点定一线”）。
类型2：利用性质分析图象与增减性
例2：已知一次函数y=(2m-3)x+m+1，回答下列问题：
1. 若函数图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围；
2. 若y随x的增大而增大，且图象与y轴交于正半轴，求m的取值范围。
学生独立解答后，教师点评：
- （1）由“过一、二、四象限”得：k<0且b>0→2m-3<0且m+1>0→-1- （2）由“y随x增大而增大”得k>0，“与y轴交于正半轴”得b>0→2m-3>0且m+1>0→m>3/2。
类型3：一次函数的实际应用
例3：某快递公司规定：寄件重量不超过1千克时，运费为10元；超过1千克的部分，每千克运费为6元（不足1千克按1千克计算）。设寄件重量为x千克（x≥0），运费为y元，写出y与x的函数解析式，并说明当寄件重量为3.5千克时的运费。
解：分情况讨论：① 当0≤x≤1时，y=10；② 当x>1时，y=10+6(x-1)=6x+4。当x=3.5时，y=6×3.5+4=25（元）。答：运费为25元。
（五）课堂小结：梳理知识，构建体系（3分钟）
1. 学生回顾：请学生对比正比例函数与一次函数的联系与区别，总结一次函数的核心性质。
2. 教师梳理：
1. 概念关联：正比例函数是b=0的一次函数；2. 图象核心：平行于y=kx的直线，平移规律“上加下减b”；3. 性质关键：k决定增减性与陡峭程度，k和b共同决定象限分布；4. 思想方法：数形结合、分类讨论（实际应用中）。
（六）布置作业：分层设计，学以致用（4分钟）
基础作业（必做）
1. 下列函数中，是一次函数的有______（填序号）：
①y=-3x+2 ②y=5x -1 ③y=1/x+3 ④y=2x ⑤y=7-4x
2. 已知一次函数y=kx+b的图象经过(2,5)和(-1,-1)，求解析式并判断图象经过的象限。
3. 已知一次函数y=(k-2)x+1，若y随x的增大而减小，求k的取值范围；若图象经过原点，求k的值。
拓展作业（选做）
1. 已知一次函数y=kx+b的图象与直线y=-2x平行，且经过点(1,-3)，求该函数解析式，并求其与x轴、y轴交点坐标。
2. 某商店销售某种商品，每件成本为10元，售价为x元时，每天可卖出(20-x)件，设每天利润为y元，写出y与x的函数解析式（利润=售价-成本），并根据函数性质说明售价定为多少时利润最大（x为整数）。
三、板书设计
12.2.2 一次函数的图象与性质
一、定义：y=kx+b（k、b为常数，k≠0）
关联：b=0时→正比例函数（特殊一次函数）
二、图象：平行于y=kx的直线
1. 平移：y=kx → y=kx+b（上加下减b）
2. 画法：两点法（与x、y轴交点）
三、性质（k是核心，b辅助）
1. 增减性：k>0→y随x增大而增大；k<0→减小
2. 象限：k>0,b>0→一、二、三；k>0,b<0→一、三、四
k<0,b>0→一、二、四；k<0,b<0→二、三、四
四、应用：定解析式（两点求k、b）、用性质解题
例：过(1,3)和(0,-2)→y=5x-2
四、教学反思（课后填写）
- 学生对“一次函数与正比例函数的平移关系”是否真正理解？是否能通过b值准确判断平移方向与距离？
- 在分析k、b符号与象限的关系时，学生是否能结合“与坐标轴的交点”进行推理，而非机械记忆？
- 对于分段一次函数的实际应用，学生是否能准确划分自变量的取值范围？
上节课我们学习了正比例函数的图象与性质：
解析式y=kx(k≠0) k>0 k<0
图象
性质
x
o
y
1
k
x
o
y
1
k
y 随x 的增大而增大
y 随x 的增大而减小
思考：当b≠0时，它的图象又是什么？
推进新课
例2 在同一直角坐标系中，画一次函数y = 2x和y = 2x+3的图象，并比较两个图象.
解 列表：
x … 2 1 0 1 2 …
y=2x … …
y=2x+3 … …
4
2
0
2
4
1
1
3
5
7
观察表格中函数у=2x和y=2x+3的同一个x值所对应的y值的变化特点，反映在图象上有什么变化？
x … 2 1 0 1 2 …
y=2x … …
y=2x+3 … …
4
2
0
2
4
1
1
3
5
7
对于自变量x的同一个值，一次函数y=2x+3的函数值比函数y=2x函数值总大3.
图象
也就是说：对于相同的横坐标，一次函数y=2x+3的图象上点的纵坐标要比正比例函数y=2x图象上点的纵坐标大3.
x … 2 1 0 1 2 …
y=2x … …
y=2x+3 … …
4
2
0
2
4
1
1
3
5
7
O
x
y
1
2
3
4
5
6
-3
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
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-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
y 2x
y 2x+3
如图，描点，并画出图象.
它们的图象有什么关系？
向上平移
3个单位
重合
一次函数y=2x+3的图象是平行于直线y=2x的一条直线.
由此可见
能否通过左右平移直线y=2x得到直线y=2x+3？
O
x
y
1
2
3
4
5
6
-3
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
y 2x
y 2x+3
你们知道它们为什么会平行吗？
思考：
再在同一直角坐标系中画出y=2x－3的图象，看看会是什么情况？
y 2x－3
都是直线，互相平行
它们的解析式有什么共同特点？
思考：
函数自变量x前面的比例系数 k 相等.
O
x
y
1
2
3
4
5
6
-3
-5
-4
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-2
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1
2
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4
5
6
7
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
y 2x
y 2x+3
y 2x－3
解析式y=kx+b(k≠0)中的k决定这条直线的倾斜程度. 当两个函数的k值相同、b值不同时，它们的图象平行.
由此可见
归纳：
一般地，一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的图象是与直线y=kx平行或重合，因此我们把一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的图象叫作直线y=kx+b.
我们知道k决定直线的倾斜程度，那么b又代表什么呢？当x=0时，y的值是多少？
思考：
y=k×0+b=b
直线y=kx+b与y轴相交于点(0，b)，b叫作直线y=kx+b在y轴上的截距，简称截距.
截距可以是0或者负值吗？
思考：
截距可正可负，也可以是0.截距不同，图象与y轴的交点位置就不同.
O
x
y
1
2
3
4
5
6
-3
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
y 2x
y 2x+3
y 2x－3
指出这三条直线的截距.
截距是3
截距是0
截距是 3
例3 画出直线 y= x－2，并指出它的截距.
解 列表：
x … 0 3 …
y … 2 0 …
O
x
y
1
2
3
4
5
6
-3
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
y= x－2
如图，过两点(0，－2)，(3，0)画直线，即得直线у= x－2，它的截距是－2.
O
x
y
1
2
3
4
5
6
-3
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
y 2x
y 2x+3
y 2x－3
直线y=2x－3的图象也与y=2x的图象平行，是否也可以由直线y=2x平移得到呢？
思考：
向下平移
3个单位
重合
直线y=kx+b可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.
由此可见
练一练
在平面直角坐标系中，将正比例函数y=－2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数y=kx+b(k≠0) 的图象，
则该一次函数的表达式为( )
A. y=－2x+3 B. y=－2x+6
C. y=－2x－3 D. y=－2x－6
B
随堂练习
【教材P39 练习 T1】
1. 填空：
(1) 把直线y=x向上平移2个单位长度，所得直线是函数__________的图象；
(2)把函数у=－2x+3的图象向____平移3个单位长度，可以得到函数у=－2x的图象；
(3)若一次函数y=kx+2(k为常数)的图象与直线y=3x平行，则k=____.
y=x+2
下
3
【教材P40 练习 T2】
2.画出下列一次函数的图象：
(1) y=3x+1； (2) y=－3x－1；
(3) y=x+4； (4) y=－x－4.
知识点1 一次函数的图象
1. 下列各点在函数 图象上的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与 轴
的交点坐标为( )
D
A. B. C. D.
返回
3. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次
函数与
（其中，，，， 为常数）
的图象分别为直线， .下列结论正确的
是( )
A
A. B.
C. D.
返回
4.函数的图象经过点，则 ___.
1
返回
知识点2 一次函数图象的平移
5. 在平面直角坐标系中,将函数 的图象向上平移1个单
位长度,所得直线的函数表达式为( )
A
A. B.
C. D.
返回
6. 将直线 向上平移2个单位长度,相当于( )
B
A. 向左平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度
C. 向右平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度
返回
7. 在平面直角坐标系中，将正比例函数 的图象向右
平移3个单位长度得到一次函数 的图象，
则该一次函数的表达式为( )
B
A. B.
C. D.
返回
课堂小结
直线y=kx+b可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.
直线y=kx+b与y轴相交于点(0，b)，b叫作直线y=kx+b在y轴上的截距，简称截距.
谢谢观看！