12.3.2一次函数与二元一次方程组-课件(共26张PPT)-数学沪科版（2024）八年级上册
文档属性
| 名称 | 12.3.2一次函数与二元一次方程组-课件(共26张PPT)-数学沪科版（2024）八年级上册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-05 05:42:44 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第12章 函数与一次函数
12.3.2一次函数与二元一次方程组
1
2
3
知道一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法解二元一次方程组；
会根据二元一次方程的系数判断二元一次方程组解的情况；
学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法.
12.3.2 一次函数与二元一次方程组 教学课件
一、教学基本信息
授课对象：高一学生（已掌握一次函数与二元一次方程的关联、二元一次方程组解法及一次函数图像绘制）
核心目标：1. 理解二元一次方程组的解与两个一次函数图像交点坐标的对应关系；2. 能利用一次函数图像求解二元一次方程组，掌握“数形结合”的解题方法；3. 结合图像理解方程组解的三种情况，培养分类讨论思想。
教学重难点：重点为二元一次方程组的解与函数图像交点的关联及应用；难点为理解方程组“无解”“无数组解”的几何意义。
教学准备：PPT课件、几何画板、学生自备直角坐标系绘图工具。
二、教学过程设计（45分钟）
环节一：复习铺垫，衔接新知（5分钟）
1. 旧知回顾：
提问：二元一次方程2x + y = 5对应的一次函数解析式是什么？（y = -2x + 5）该方程的解与函数图像上的点有什么关系？（方程的解是函数图像上点的坐标，反之亦然）
2. 求解二元一次方程组：$\begin{cases}2x + y = 5 \\ x - y = 1\end{cases}$（学生用代入法或加减法求解，得$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$）
3. 悬念导入：教师板书两个方程对应的一次函数——y = -2x + 5和y = x - 1，提问：“这两个函数的图像有什么位置关系？它们的交点坐标和刚才方程组的解有联系吗？能不能通过画函数图像直接求出方程组的解？”引出本节课主题——一次函数与二元一次方程组。
设计意图：通过复习上节课核心关联与方程组代数解法，搭建知识桥梁，以“图像与解的关联”激发探究欲，自然衔接新知。
环节二：探究新知，揭示核心关联（18分钟）
本环节以具体方程组为载体，从“代数解与图像交点—一般规律—解的三种情况”三层递进，突破难点。
1. 第一层：具体探究——“方程组的解与函数图像交点坐标”
1. 画图分析：让学生在直角坐标系中画出一次函数y = -2x + 5和y = x - 1的图像（教师用几何画板同步演示标准图像），标注两条直线的交点坐标。
2. 对比发现：引导学生观察：“两条直线的交点坐标是什么？（(2,1)）这个坐标与刚才方程组$\begin{cases}2x + y = 5 \\ x - y = 1\end{cases}$的解$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$有什么关系？”（完全一致）
3. 逻辑验证：提问：“为什么交点坐标就是方程组的解？”引导学生思考：交点在第一条直线上，其坐标满足第一个方程；同时在第二条直线上，满足第二个方程，因此是方程组的公共解，即方程组的解。
2. 第二层：规律总结——“二元一次方程组与一次函数的核心关联”
结合上述探究，师生共同总结：
- 二元一次方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$，可转化为两个一次函数$y = k_1x + b_1$和$y = k_2x + b_2$（$b_1、b_2$不为0时）；
- 方程组的解，就是这两个一次函数图像交点的坐标；
- 反之，两个一次函数图像交点的坐标，就是对应的二元一次方程组的解。
即时应用：给出一次函数y = 3x - 4和y = -x的图像交点为(1,-1)，直接写出对应的方程组的解（$\begin{cases}x=1 \\ y=-1\end{cases}$），强化关联认知。
3. 第三层：分类讨论——“方程组解的三种情况与函数图像的位置关系”
用几何画板展示三组一次函数图像，引导学生观察图像位置关系，结合方程组解的情况，总结分类规律：
函数图像位置关系
对应方程组的解
一次函数系数特征（$y=k_1x+b_1$，$y=k_2x+b_2$）
示例
相交（有一个交点）
有唯一一组解
$k_1 \neq k_2$
$\begin{cases}y=-2x+5 \\ y=x-1\end{cases}$（交点(2,1)）
平行（无交点）
无解
$k_1 = k_2$且$b_1 \neq b_2$
$\begin{cases}y=2x+3 \\ y=2x-1\end{cases}$（图像平行，无交点）
重合（有无数个交点）
有无数组解
$k_1 = k_2$且$b_1 = b_2$
$\begin{cases}y=3x-2 \\ 2y=6x-4\end{cases}$（图像重合，无数交点）
重点强调：判断方程组解的情况，可通过转化为一次函数后，比较k和b的值——k不同则有唯一解，k相同看b，b不同则无解，b相同则无数解。
设计意图：从具体到一般，再到分类讨论，层层深入，帮助学生既掌握“有解”的核心关联，又理解“无解”“无数解”的几何本质，突破教学难点。
环节三：技能应用，巩固提升（15分钟）
本环节分“基础应用—综合拓展”两级，强化“以形助数”和“以数解形”的双向能力。
1. 基础应用：图像法解方程组及解的情况判断（8分钟）
例题1：完成下列问题：
- 用图像法解方程组$\begin{cases}x + y = 3 \\ 2x - y = 6\end{cases}$：
步骤1：将方程组转化为一次函数：$y = -x + 3$和$y = 2x - 6$；
- 步骤2：画出两个函数的图像（学生动手画，教师展示标准图）；
- 步骤3：找出交点坐标(3,0)，得方程组的解为$\begin{cases}x=3 \\ y=0\end{cases}$；
- 步骤4：用代数方法验证（代入方程组，左右两边相等，解正确）。
判断下列方程组解的情况，无需求解：
$\begin{cases}y=5x-2 \\ y=5x+1\end{cases}$（$k_1=k_2=5$，$b_1=-2\neq b_2=1$，无解）；
$\begin{cases}3x + y = 4 \\ 6x + 2y = 8\end{cases}$（转化为$y=-3x+4$和$y=-3x+4$，$k、b$均相等，无数组解）。
2. 综合拓展：结合实际问题的图像应用（7分钟）
例题2：甲、乙两家快递公司承接同城快递业务，收费标准如下：甲公司：快递费y （元）与快递重量x（kg）的函数关系为y =2x + 3；乙公司：快递费y （元）与快递重量x（kg）的函数关系为y =3x + 1。
1. 画出两个函数的大致图像（重点标注交点）；
2. 结合图像说明，当快递重量为多少时，两家公司收费相同？收费多少？（找交点坐标，解得$\begin{cases}x=2 \\ y=7\end{cases}$，即2kg时收费相同，均7元）；
3. 若快递重量为1kg，选哪家公司更划算？3kg呢？（1kg时y =5元，y =4元，选乙；3kg时y =9元，y =10元，选甲）
设计意图：基础题强化图像法解方程组的步骤及解的情况判断，综合题将知识与实际决策结合，让学生体会“图像找交点—分析实际意义”的应用价值。
环节四：总结升华，拓展延伸（7分钟）
1. 知识梳理：引导学生用流程图总结核心内容：
二元一次方程组 $\stackrel{转化}{\leftrightarrows}$ 两个一次函数 $\stackrel{对应}{\leftrightarrows}$ 函数图像位置关系（相交/平行/重合） $\stackrel{确定}{\leftrightarrows}$ 方程组的解（唯一/无解/无数）
2. 思想提炼：强调本节课核心思想——数形结合（用图像直观呈现方程组的解，用代数计算验证图像结果）和分类讨论（根据k、b的值分类判断解的情况）。
3. 拓展思考：提问“若有三个一次函数，它们的图像交点与三元一次方程组的解有什么关系？”激发学生后续探究兴趣。
4. 课后任务：
必做：教材对应习题，完成“代数解法”与“图像解法”的对比；
5. 选做：调查本地两家超市同种牛奶的定价（如A超市：箱价60元，单盒3元；B超市：箱价55元，单盒3.5元），设购买数量为x，费用为y，建立函数模型，用图像法分析购买多少时选哪家更划算。
三、板书设计
12.3.2 一次函数与二元一次方程组
一、核心关联
方程组的解 两个一次函数图像的交点坐标
例：$\begin{cases}2x+y=5 \\ x-y=1\end{cases}$ $\begin{cases}y=-2x+5 \\ y=x-1\end{cases}$ 交点(2,1)
二、解的三种情况（$y=k_1x+b_1$，$y=k_2x+b_2$）
1. 相交（$k_1≠k_2$）→ 唯一解
2. 平行（$k_1=k_2$，$b_1≠b_2$）→ 无解
3. 重合（$k_1=k_2$，$b_1=b_2$）→ 无数组解
三、图像法解方程组步骤
1. 转化：方程组→两个一次函数
2. 画图：在同一坐标系画图像
3. 找点：确定交点坐标
4. 验证：代数方法检验解的正确性
四、思想方法：数形结合、分类讨论
四、教学反思（课后填写）
1. 学生对“平行→无解”“重合→无数解”的理解是否到位？是否能通过k、b快速判断解的情况？
2. 图像法解方程组时，学生画图的准确性是否影响解的判断？如何指导学生规范画图？
3. 综合应用环节，学生是否能从实际问题中提炼函数模型？需要加强哪些引导？
上节课我们学习了一次函数与二元一次方程间的对应关系，那么，我们是否可以利用一次函数图象来解二元一次方程组呢？
例1 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出直线 l1：y=－x+1与 l2：y = 2x + 6 ；
(2) 如果直线 l1 与 l2 交于点 P，写出点 P 的坐标；
解：(1) 图象如图所示.
(2) 由图可知，直线 l1 与 l2 交于点 P，点 P 的坐标为(-2，2).
(3) 说明点 P 的坐标是否为下面方程组的解.
(3) 方程 x + 2y = 2 可以转化成一次函数y=－x+1的形式，因此，直线 l1： y=－x+1上任意一点的坐标都是方程 x + 2y = 2 的解.
同理，直线 l2 上任意一点的坐标都是方程 2x - y = -6 的解，所以直线 l1 与 l2的交点 P 的坐标是方程 x + 2y = 2 与2x - y = -6 的公共解，也就是说，点 P 的坐标是二元一次
方程组 的解.
归纳：
二元一次方程组的图象解法
二元一次方程
组的解
两个一次函数所在直线的交点坐标
对应
解方程组本质上是当两个函数的值相等时，求函数的自变量和对应的函数值．
数
形
例2 利用图象解法解方程组：
解：对于方程①，有
x ... 0 2 ...
y ... -2 3 ...
过点 A(0，-2)和 B(2，3)画出方程①所对应的直线 l: y = -x-2.
同样地，点A(0，-2)和B(2，3)也在方程②所对应的直线上．
所以方程①和方程②所对应的直线都是经过A 和B 两点的直线 l，
如图，就是说，这两条直线重合.
显然，直线 l上每一个点的坐标都是方程组的解，所以方程组有无穷多组解.
你能归纳出用图象法解二元一次方程组的一般步骤吗？
(1)变函数：把方程组化为一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2；
(2)画图象：建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象；
(3)找交点：由图象确定两直线交点的坐标；
(4)写结论：依据点的坐标写出方程组的解.
思考：
练一练
1 .若二元一次方程组 的解为 ，则函数
y = 5 - x 与 y = -2x + 8 的图象的交点坐标为 .
（3，2）
2.一次函数 y = 5 - x 与 y = -2x + 8 图象的交点为(3，2)则方程组 的解为________.
例3 利用图象解法解方程组：
解：方程 3x + 2y = -2 对应直线 l1：y = -x - 1.
方程 6x + 4y = 4 对应直线 l2： y = -x + 1
作出直线 l1 和直线 l1 ，如图，两条直线平行，故方程组无解.
(1)相交(有一个交点) 二元一次方程组有 唯一解 ；
(2)平行(无交点) 二元一次方程组 无解 ；
(3)重合(有无数个交点) 二元一次方程组有 无数个解.
归纳：
二元一次方程组的解三种情况
唯一解
无解
无穷组解
当把二元一次方程组化为 (其中a1，a2，
b1，b2，c1，c2为常数)的形式后，比较每个例题里两个方程中x的系数之比、y的系数之比以及常数项之比，你发现了怎样的规律？
思考：
（1）当 时，方程组有一组解；
a1
a2
≠
b1
b2
（2）当 时，方程组有无穷多组解；
a1
a2
=
b1
b2
c1
c2
=
发现
（3）当 时，方程组无解.
a1
a2
=
b1
b2
c1
c2
≠
练一练
3 .已知关于x，y的方程组 ，当k______时，方程组有且只有一组解；当k______时，方程组有无数组解.
≠6
=6
当 a1 : a2 ≠ b1 : b2 时 ，有唯一解
3 : k ≠ 7 : 14
当 a1 : a2 = b1 : b2 = c1 : c2 时 ，有无穷多组解
3 : k = 7 : 14 = 14 : 28
随堂练习
1.既不解方程组也不画图，你能判断下列方程组的解的情况吗？
【教材P52 练习 T1】
3x+5y=8
2x-3y=7
（1）
（2）
（3）
（4）
y=2x-3
4x-2y=6
3x-4y=5
6x-8y=12
2x+3y=5
y=x
一组解
无穷组解
无解
一组解
2.已知直线 y=-x+4 与 y=x+2 的图象如图，则方程组 的解为（ ）
y=-x+4
y=x+2
A.
B.
C.
D.
x=3
y=1
x=1
y=3
x=0
y=4
x=4
y=0
B
3. 如果关于x，y的方程组 无解，那么一次函数y=(-k+1)x -3的图象不经过第_____象限.
y=-x+1，
y=(2k+1)x -3
二
知识点1 一次函数与二元一次方程组的关系
1. ［2025合肥三十八中学期中］已知直线 与直
线相交于点，则方程组
的解为( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. ［2025蚌埠蚌山区期中］一次函数 与
的图象如图所示，下列结论错误的是( )
A
A. 当时，
B. 当时，
C. 关于，的方程组
的解为
D.
【点拨】A.观察题图知，当 时，直线
在直线 的上方，
则 ，故选项A错误；B.观察题图知，
当时， ，故选项B正确；C.
关于，的方程组 的解是一
次函数与 图象的交点坐标，由题图
知，两直线交于点 ，
则方程组的解为 故选
项C正确；D.由题图知，两直线与 轴的交
点在轴的上方，即， ，所以
，故选项D正确；故选A.
返回
3.若方程组无解，则函数 的图
象不经过第____象限.
一
【点拨】因为方程组 无解，所以
,解得.则一次函数 的图象经过
第二、三、四象限，不经过第一象限.
返回
知识点2 利用一次函数判断二元一次方程组解的情况
4. 若直线与直线 有唯一交点，则
二元一次方程组 的解的情况是( )
B
A. 无解 B. 有唯一解
C. 有两组解 D. 有无数组解
返回
5.已知关于,的方程组当 _____时，方程组
有且只有一组解；当 _____时，方程组有无数组解.
返回
课堂小结
二元一次方程组的解与两直线l1：a1x＋b1y＝c1与l2：a2x＋b2y＝c2位置关系的联系(其中6 个常数均不为零)：
从“数”看 从“形”看
≠ 方程组有唯一解 l1与l2相交
＝ ≠ 方程组无解 l1与l2平行
＝＝ 方程组有无数个解 l1与l2重合
谢谢观看！
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第12章 函数与一次函数
12.3.2一次函数与二元一次方程组
1
2
3
知道一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法解二元一次方程组；
会根据二元一次方程的系数判断二元一次方程组解的情况；
学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法.
12.3.2 一次函数与二元一次方程组 教学课件
一、教学基本信息
授课对象：高一学生（已掌握一次函数与二元一次方程的关联、二元一次方程组解法及一次函数图像绘制）
核心目标：1. 理解二元一次方程组的解与两个一次函数图像交点坐标的对应关系；2. 能利用一次函数图像求解二元一次方程组，掌握“数形结合”的解题方法；3. 结合图像理解方程组解的三种情况，培养分类讨论思想。
教学重难点：重点为二元一次方程组的解与函数图像交点的关联及应用；难点为理解方程组“无解”“无数组解”的几何意义。
教学准备：PPT课件、几何画板、学生自备直角坐标系绘图工具。
二、教学过程设计（45分钟）
环节一：复习铺垫，衔接新知（5分钟）
1. 旧知回顾：
提问：二元一次方程2x + y = 5对应的一次函数解析式是什么？（y = -2x + 5）该方程的解与函数图像上的点有什么关系？（方程的解是函数图像上点的坐标，反之亦然）
2. 求解二元一次方程组：$\begin{cases}2x + y = 5 \\ x - y = 1\end{cases}$（学生用代入法或加减法求解，得$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$）
3. 悬念导入：教师板书两个方程对应的一次函数——y = -2x + 5和y = x - 1，提问：“这两个函数的图像有什么位置关系？它们的交点坐标和刚才方程组的解有联系吗？能不能通过画函数图像直接求出方程组的解？”引出本节课主题——一次函数与二元一次方程组。
设计意图：通过复习上节课核心关联与方程组代数解法，搭建知识桥梁，以“图像与解的关联”激发探究欲，自然衔接新知。
环节二：探究新知，揭示核心关联（18分钟）
本环节以具体方程组为载体，从“代数解与图像交点—一般规律—解的三种情况”三层递进，突破难点。
1. 第一层：具体探究——“方程组的解与函数图像交点坐标”
1. 画图分析：让学生在直角坐标系中画出一次函数y = -2x + 5和y = x - 1的图像（教师用几何画板同步演示标准图像），标注两条直线的交点坐标。
2. 对比发现：引导学生观察：“两条直线的交点坐标是什么？（(2,1)）这个坐标与刚才方程组$\begin{cases}2x + y = 5 \\ x - y = 1\end{cases}$的解$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$有什么关系？”（完全一致）
3. 逻辑验证：提问：“为什么交点坐标就是方程组的解？”引导学生思考：交点在第一条直线上，其坐标满足第一个方程；同时在第二条直线上，满足第二个方程，因此是方程组的公共解，即方程组的解。
2. 第二层：规律总结——“二元一次方程组与一次函数的核心关联”
结合上述探究，师生共同总结：
- 二元一次方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$，可转化为两个一次函数$y = k_1x + b_1$和$y = k_2x + b_2$（$b_1、b_2$不为0时）；
- 方程组的解，就是这两个一次函数图像交点的坐标；
- 反之，两个一次函数图像交点的坐标，就是对应的二元一次方程组的解。
即时应用：给出一次函数y = 3x - 4和y = -x的图像交点为(1,-1)，直接写出对应的方程组的解（$\begin{cases}x=1 \\ y=-1\end{cases}$），强化关联认知。
3. 第三层：分类讨论——“方程组解的三种情况与函数图像的位置关系”
用几何画板展示三组一次函数图像，引导学生观察图像位置关系，结合方程组解的情况，总结分类规律：
函数图像位置关系
对应方程组的解
一次函数系数特征（$y=k_1x+b_1$，$y=k_2x+b_2$）
示例
相交（有一个交点）
有唯一一组解
$k_1 \neq k_2$
$\begin{cases}y=-2x+5 \\ y=x-1\end{cases}$（交点(2,1)）
平行（无交点）
无解
$k_1 = k_2$且$b_1 \neq b_2$
$\begin{cases}y=2x+3 \\ y=2x-1\end{cases}$（图像平行，无交点）
重合（有无数个交点）
有无数组解
$k_1 = k_2$且$b_1 = b_2$
$\begin{cases}y=3x-2 \\ 2y=6x-4\end{cases}$（图像重合，无数交点）
重点强调：判断方程组解的情况，可通过转化为一次函数后，比较k和b的值——k不同则有唯一解，k相同看b，b不同则无解，b相同则无数解。
设计意图：从具体到一般，再到分类讨论，层层深入，帮助学生既掌握“有解”的核心关联，又理解“无解”“无数解”的几何本质，突破教学难点。
环节三：技能应用，巩固提升（15分钟）
本环节分“基础应用—综合拓展”两级，强化“以形助数”和“以数解形”的双向能力。
1. 基础应用：图像法解方程组及解的情况判断（8分钟）
例题1：完成下列问题：
- 用图像法解方程组$\begin{cases}x + y = 3 \\ 2x - y = 6\end{cases}$：
步骤1：将方程组转化为一次函数：$y = -x + 3$和$y = 2x - 6$；
- 步骤2：画出两个函数的图像（学生动手画，教师展示标准图）；
- 步骤3：找出交点坐标(3,0)，得方程组的解为$\begin{cases}x=3 \\ y=0\end{cases}$；
- 步骤4：用代数方法验证（代入方程组，左右两边相等，解正确）。
判断下列方程组解的情况，无需求解：
$\begin{cases}y=5x-2 \\ y=5x+1\end{cases}$（$k_1=k_2=5$，$b_1=-2\neq b_2=1$，无解）；
$\begin{cases}3x + y = 4 \\ 6x + 2y = 8\end{cases}$（转化为$y=-3x+4$和$y=-3x+4$，$k、b$均相等，无数组解）。
2. 综合拓展：结合实际问题的图像应用（7分钟）
例题2：甲、乙两家快递公司承接同城快递业务，收费标准如下：甲公司：快递费y （元）与快递重量x（kg）的函数关系为y =2x + 3；乙公司：快递费y （元）与快递重量x（kg）的函数关系为y =3x + 1。
1. 画出两个函数的大致图像（重点标注交点）；
2. 结合图像说明，当快递重量为多少时，两家公司收费相同？收费多少？（找交点坐标，解得$\begin{cases}x=2 \\ y=7\end{cases}$，即2kg时收费相同，均7元）；
3. 若快递重量为1kg，选哪家公司更划算？3kg呢？（1kg时y =5元，y =4元，选乙；3kg时y =9元，y =10元，选甲）
设计意图：基础题强化图像法解方程组的步骤及解的情况判断，综合题将知识与实际决策结合，让学生体会“图像找交点—分析实际意义”的应用价值。
环节四：总结升华，拓展延伸（7分钟）
1. 知识梳理：引导学生用流程图总结核心内容：
二元一次方程组 $\stackrel{转化}{\leftrightarrows}$ 两个一次函数 $\stackrel{对应}{\leftrightarrows}$ 函数图像位置关系（相交/平行/重合） $\stackrel{确定}{\leftrightarrows}$ 方程组的解（唯一/无解/无数）
2. 思想提炼：强调本节课核心思想——数形结合（用图像直观呈现方程组的解，用代数计算验证图像结果）和分类讨论（根据k、b的值分类判断解的情况）。
3. 拓展思考：提问“若有三个一次函数，它们的图像交点与三元一次方程组的解有什么关系？”激发学生后续探究兴趣。
4. 课后任务：
必做：教材对应习题，完成“代数解法”与“图像解法”的对比；
5. 选做：调查本地两家超市同种牛奶的定价（如A超市：箱价60元，单盒3元；B超市：箱价55元，单盒3.5元），设购买数量为x，费用为y，建立函数模型，用图像法分析购买多少时选哪家更划算。
三、板书设计
12.3.2 一次函数与二元一次方程组
一、核心关联
方程组的解 两个一次函数图像的交点坐标
例：$\begin{cases}2x+y=5 \\ x-y=1\end{cases}$ $\begin{cases}y=-2x+5 \\ y=x-1\end{cases}$ 交点(2,1)
二、解的三种情况（$y=k_1x+b_1$，$y=k_2x+b_2$）
1. 相交（$k_1≠k_2$）→ 唯一解
2. 平行（$k_1=k_2$，$b_1≠b_2$）→ 无解
3. 重合（$k_1=k_2$，$b_1=b_2$）→ 无数组解
三、图像法解方程组步骤
1. 转化：方程组→两个一次函数
2. 画图：在同一坐标系画图像
3. 找点：确定交点坐标
4. 验证：代数方法检验解的正确性
四、思想方法：数形结合、分类讨论
四、教学反思（课后填写）
1. 学生对“平行→无解”“重合→无数解”的理解是否到位？是否能通过k、b快速判断解的情况？
2. 图像法解方程组时，学生画图的准确性是否影响解的判断？如何指导学生规范画图？
3. 综合应用环节，学生是否能从实际问题中提炼函数模型？需要加强哪些引导？
上节课我们学习了一次函数与二元一次方程间的对应关系，那么，我们是否可以利用一次函数图象来解二元一次方程组呢？
例1 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出直线 l1：y=－x+1与 l2：y = 2x + 6 ；
(2) 如果直线 l1 与 l2 交于点 P，写出点 P 的坐标；
解：(1) 图象如图所示.
(2) 由图可知，直线 l1 与 l2 交于点 P，点 P 的坐标为(-2，2).
(3) 说明点 P 的坐标是否为下面方程组的解.
(3) 方程 x + 2y = 2 可以转化成一次函数y=－x+1的形式，因此，直线 l1： y=－x+1上任意一点的坐标都是方程 x + 2y = 2 的解.
同理，直线 l2 上任意一点的坐标都是方程 2x - y = -6 的解，所以直线 l1 与 l2的交点 P 的坐标是方程 x + 2y = 2 与2x - y = -6 的公共解，也就是说，点 P 的坐标是二元一次
方程组 的解.
归纳：
二元一次方程组的图象解法
二元一次方程
组的解
两个一次函数所在直线的交点坐标
对应
解方程组本质上是当两个函数的值相等时，求函数的自变量和对应的函数值．
数
形
例2 利用图象解法解方程组：
解：对于方程①，有
x ... 0 2 ...
y ... -2 3 ...
过点 A(0，-2)和 B(2，3)画出方程①所对应的直线 l: y = -x-2.
同样地，点A(0，-2)和B(2，3)也在方程②所对应的直线上．
所以方程①和方程②所对应的直线都是经过A 和B 两点的直线 l，
如图，就是说，这两条直线重合.
显然，直线 l上每一个点的坐标都是方程组的解，所以方程组有无穷多组解.
你能归纳出用图象法解二元一次方程组的一般步骤吗？
(1)变函数：把方程组化为一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2；
(2)画图象：建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象；
(3)找交点：由图象确定两直线交点的坐标；
(4)写结论：依据点的坐标写出方程组的解.
思考：
练一练
1 .若二元一次方程组 的解为 ，则函数
y = 5 - x 与 y = -2x + 8 的图象的交点坐标为 .
（3，2）
2.一次函数 y = 5 - x 与 y = -2x + 8 图象的交点为(3，2)则方程组 的解为________.
例3 利用图象解法解方程组：
解：方程 3x + 2y = -2 对应直线 l1：y = -x - 1.
方程 6x + 4y = 4 对应直线 l2： y = -x + 1
作出直线 l1 和直线 l1 ，如图，两条直线平行，故方程组无解.
(1)相交(有一个交点) 二元一次方程组有 唯一解 ；
(2)平行(无交点) 二元一次方程组 无解 ；
(3)重合(有无数个交点) 二元一次方程组有 无数个解.
归纳：
二元一次方程组的解三种情况
唯一解
无解
无穷组解
当把二元一次方程组化为 (其中a1，a2，
b1，b2，c1，c2为常数)的形式后，比较每个例题里两个方程中x的系数之比、y的系数之比以及常数项之比，你发现了怎样的规律？
思考：
（1）当 时，方程组有一组解；
a1
a2
≠
b1
b2
（2）当 时，方程组有无穷多组解；
a1
a2
=
b1
b2
c1
c2
=
发现
（3）当 时，方程组无解.
a1
a2
=
b1
b2
c1
c2
≠
练一练
3 .已知关于x，y的方程组 ，当k______时，方程组有且只有一组解；当k______时，方程组有无数组解.
≠6
=6
当 a1 : a2 ≠ b1 : b2 时 ，有唯一解
3 : k ≠ 7 : 14
当 a1 : a2 = b1 : b2 = c1 : c2 时 ，有无穷多组解
3 : k = 7 : 14 = 14 : 28
随堂练习
1.既不解方程组也不画图，你能判断下列方程组的解的情况吗？
【教材P52 练习 T1】
3x+5y=8
2x-3y=7
（1）
（2）
（3）
（4）
y=2x-3
4x-2y=6
3x-4y=5
6x-8y=12
2x+3y=5
y=x
一组解
无穷组解
无解
一组解
2.已知直线 y=-x+4 与 y=x+2 的图象如图，则方程组 的解为（ ）
y=-x+4
y=x+2
A.
B.
C.
D.
x=3
y=1
x=1
y=3
x=0
y=4
x=4
y=0
B
3. 如果关于x，y的方程组 无解，那么一次函数y=(-k+1)x -3的图象不经过第_____象限.
y=-x+1，
y=(2k+1)x -3
二
知识点1 一次函数与二元一次方程组的关系
1. ［2025合肥三十八中学期中］已知直线 与直
线相交于点，则方程组
的解为( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. ［2025蚌埠蚌山区期中］一次函数 与
的图象如图所示，下列结论错误的是( )
A
A. 当时，
B. 当时，
C. 关于，的方程组
的解为
D.
【点拨】A.观察题图知，当 时，直线
在直线 的上方，
则 ，故选项A错误；B.观察题图知，
当时， ，故选项B正确；C.
关于，的方程组 的解是一
次函数与 图象的交点坐标，由题图
知，两直线交于点 ，
则方程组的解为 故选
项C正确；D.由题图知，两直线与 轴的交
点在轴的上方，即， ，所以
，故选项D正确；故选A.
返回
3.若方程组无解，则函数 的图
象不经过第____象限.
一
【点拨】因为方程组 无解，所以
,解得.则一次函数 的图象经过
第二、三、四象限，不经过第一象限.
返回
知识点2 利用一次函数判断二元一次方程组解的情况
4. 若直线与直线 有唯一交点，则
二元一次方程组 的解的情况是( )
B
A. 无解 B. 有唯一解
C. 有两组解 D. 有无数组解
返回
5.已知关于,的方程组当 _____时，方程组
有且只有一组解；当 _____时，方程组有无数组解.
返回
课堂小结
二元一次方程组的解与两直线l1：a1x＋b1y＝c1与l2：a2x＋b2y＝c2位置关系的联系(其中6 个常数均不为零)：
从“数”看 从“形”看
≠ 方程组有唯一解 l1与l2相交
＝ ≠ 方程组无解 l1与l2平行
＝＝ 方程组有无数个解 l1与l2重合
谢谢观看！