13.1.1 三角形中边的关系-课件(共33张PPT)-数学沪科版（2024）八年级上册
文档属性
| 名称 | 13.1.1 三角形中边的关系-课件(共33张PPT)-数学沪科版（2024）八年级上册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 12.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-05 05:44:24 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第13章 三角形中的边角关系、命题证明
13.1.1 三角形中边的关系
学习目标
1
2
3
了解三角形及相关概念，能正确识别和表示三角形；
会根据边是否相等对三角形进行分类；
掌握三角形三边关系，会判定已知三条线段能否构成三角形，会求三角形第三边的取值范围.
13.1.1 三角形中边的关系 教学课件
一、教学基本信息
授课对象：七年级学生（已掌握三角形的定义、顶点、边、角等基本概念，具备简单动手操作能力）
核心目标：1. 理解三角形三边关系定理，明确“任意两边之和大于第三边”“任意两边之差小于第三边”的本质；2. 能运用三边关系定理判断三条线段能否组成三角形，解决简单的边长计算问题；3. 通过动手操作、合作探究，培养几何直观与逻辑推理能力。
教学重难点：重点为三角形三边关系定理的探究与应用；难点为理解“任意”二字的含义及定理的灵活运用。
教学准备：PPT课件、长度为3cm、4cm、5cm、6cm、10cm的细木棒（每组一套）、直尺、量角器、探究记录表。
二、教学过程设计（45分钟）
环节一：情境导入，激发思考（5分钟）
1. 生活情境提问：PPT展示校园场景图——从教学楼A到图书馆C有两条路：①直接走AC小路；②经过操场B走A→B→C的水泥路。提问：“同学们平时会选哪条路？为什么？”引导学生说出“AC更近，因为两点之间线段最短”。
2. 几何关联：教师在图中标记△ABC，指出“AC是三角形的一条边，AB+BC是另外两条边的和”，追问：“结合刚才的生活经验，三角形的三条边之间可能存在什么关系？”
3. 引出课题：通过学生的猜想，引出本节课主题——三角形中边的关系，明确本节课将通过动手操作验证猜想，探究其中的规律。
设计意图：从学生熟悉的生活场景切入，利用“两点之间线段最短”的已有认知，自然引发对三角形三边关系的猜想，激发探究兴趣。
环节二：动手探究，验证猜想（18分钟）
本环节分“小组操作—数据整理—规律提炼”三步，让学生在实践中感知三边关系。
1. 第一步：小组合作，动手拼三角形
明确任务：每组发放5根不同长度的细木棒（3cm、4cm、5cm、6cm、10cm），从中任意选取3根，尝试拼成一个三角形，记录“能拼成”和“不能拼成”的情况，填写探究记录表。
选取的木棒长度（cm）
能否拼成三角形
任意两边之和与第三边的大小关系（如a+b与c，a+c与b，b+c与a）
3、4、5
？
？
3、4、6
？
？
3、4、10
？
？
4、5、10
？
？
5、6、10
？
？
教师巡视指导：提醒学生“选取3根木棒后，将较短的两根一端对齐，看能否与第三根首尾相接”，强调“任意两边之和”需逐一验证。
2. 第二步：数据整理，分享发现
各小组展示探究结果，教师在PPT上汇总：
- 能拼成三角形的组合：3、4、5；3、4、6；5、6、10——对应的三边关系：任意两边之和大于第三边（如3+4>5，3+5>4，4+5>3；3+4>6，3+6>4，4+6>3等）。
- 不能拼成三角形的组合：3、4、10；4、5、10——对应的三边关系：存在两边之和小于或等于第三边（如3+4<10，4+5<10）。
重点质疑：针对“3、4、6”组合，提问“3+6>4和4+6>3很明显，3+4=7>6也成立，所以能拼成；而3、4、10中3+4=7<10，拼的时候两根短木棒接起来都够不到第三根的两端，所以拼不成”。
3. 第三步：规律提炼，形成定理
1. 核心定理：师生共同总结——三角形任意两边的和大于第三边。强调“任意”的含义：不是“某两边之和”，而是“每一组两边之和”都要大于第三边，缺一不可。
2. 推论推导：基于定理推导“任意两边之差小于第三边”。以△ABC为例，由AB+BC>AC，两边同时减去BC，得AB>AC-BC，即AC-BC3. 简化判断技巧：引导学生发现“只需验证较短两边的和是否大于最长边”，因为较短两边的和若大于最长边，其余两组两边之和必然大于第三边（如3、4、5中，3+4>5成立，则3+5>4、4+5>3一定成立），简化判断步骤。
设计意图：通过“动手操作—数据验证—逻辑推导”的过程，让学生从直观感知到理性认知，逐步理解三边关系定理的本质，突破“任意”二字的理解难点。
环节三：技能应用，巩固提升（15分钟）
本环节分“基础应用—变式拓展”，强化定理的灵活运用。
1. 基础应用：判断与计算（8分钟）
例题1：下列长度的三条线段，能否组成三角形？为什么？
- ① 5cm、6cm、11cm（学生判断：5+6=11，不满足“大于”，不能组成）；
- ② 4cm、5cm、6cm（4+5>6，能组成）；
- ③ 3cm、7cm、5cm（3+5>7，能组成）。
例题2：已知一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，第三边长为x cm，求x的取值范围。
- 教师引导：根据三边关系定理，“两边之差<第三边<两边之和”，即7-3- 强调：第三边的取值范围是“大于两边之差，小于两边之和”，不包含等号（因为等于时不能组成三角形）。
2. 变式拓展：实际应用与最值（7分钟）
例题3：一根长15cm的木棒，要截成三段围成一个三角形，截成的三段长度均为整数，有几种截法？
1. 分析：设三段长度为a≤b≤c，满足a+b+c=15且a+b>c。由a+b>c和a+b+c=15，得c<15/2=7.5，故c最大为7；又c≥15/3=5（因为c是最长边，至少不小于周长的1/3），所以c=5、6、7。
2. 列举：
c=5时，a+b=10，a≤b≤5，得a=5，b=5（5、5、5）；
3. c=6时，a+b=9，a≤b≤6，得a=3、b=6（3、6、6），a=4、b=5（4、5、6）；
4. c=7时，a+b=8，a≤b≤7，得a=1、b=7（1、7、7），a=2、b=6（2、6、7），a=3、b=5（3、5、7），a=4、b=4（4、4、7）。
设计意图：基础题巩固定理的基本应用，变式题提升学生的逻辑推理与分类讨论能力，结合实际问题让学生体会定理的应用价值。
环节四：总结升华，拓展延伸（7分钟）
1. 知识梳理：引导学生用思维导图总结：
核心定理：三角形任意两边之和大于第三边；推论：任意两边之差小于第三边；
2. 关键技巧：判断能否组成三角形——验证较短两边之和>最长边；求第三边范围——两边之差<第三边<两边之和；
3. 思想方法：动手操作、分类讨论、数形结合。
4. 拓展思考：提问“为什么三角形的框架比四边形的框架更稳定？这与三角形的边有关系吗？”为后续学习三角形的稳定性铺垫。
5. 课后任务：
必做：教材对应习题，完成“判断能否组成三角形”和“求第三边取值范围”的题目；
6. 选做：找一找生活中利用“三角形三边关系”的实例，记录下来并和同学分享。
三、板书设计
13.1.1 三角形中边的关系
一、核心定理
1. 三边关系：任意两边之和大于第三边
例：△ABC中，AB+BC>AC，AB+AC>BC，BC+AC>AB
2. 推论：任意两边之差小于第三边
例：AC-BC二、关键技巧
1. 判断能否组成三角形：验证较短两边之和>最长边
（无需验证所有组合，简化步骤）
2. 第三边取值范围：两边之差 < 第三边 < 两边之和
三、应用示例
1. 已知两边3cm、7cm，第三边x：42. 15cm木棒截成三段（整数）：7种截法
四、思想方法：动手探究、分类讨论
四、教学反思（课后填写）
1. 学生在动手操作中是否能准确记录数据？对“任意”二字的理解是否到位？
2. 求第三边取值范围时，学生是否容易忽略“不包含等号”？需要加强哪些提醒？
3. 变式拓展题中，学生的分类讨论能力如何？是否能有序列举所有情况？
情境导入
你能从下列图形中找出一些三角形吗？
中国传统建筑
现代建筑
埃及金字塔
知识点1
三角形的有关概念
问题1：请根据小学认识的三角形，判断下列图形是三角形吗？
A
B
C
A B C D
C
A
B
D
B
A
C
由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形.
用三根火柴拼成的图形，其中符合三角形概念的是：
①位置关系：不在同一直线上；
②联接方式：首尾依次相接.
三角形应满足以下两个条件：
问题2：三角形由哪些要素组成？
组成三角形的线段叫作三角形的边.
边
边
边
顶点
角
角
角
顶点
顶点
B
A
C
线段 AB，BC，CA 是三角形的边.
相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点.
点 A，B，C 是三角形的顶点.
相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角.
∠A，∠B，∠C 叫作三角形的内角(角).
问题3：如何用符号表示三角形？
B
A
C
记作:
△ABC
读作:
三角形ABC
在 △ABC 中，
①AB边所对的角是：
②∠A所对的边是：
三角形的对边与对角：
∠C
BC
③三角形的边有时用它所对角的相应小写字母表示.
a
b
c
字母没有先后顺序.
找一找
(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？
5个，它们分别是△ABE，△BEC，△ECD，△ABC，△BCD.
(2)以 AB 为边的三角形有哪些？
△ABE、△ABC.
(3)以 E 为顶点的三角形有哪些？
△ABE 、△BEC、 △ECD.
A
B
C
D
E
找一找
A
B
C
D
E
(4)以∠D 为角的三角形有哪些？
(5)说出△BCD 的三个角和三个顶点所对的边.
△ ECD、△BCD.
△BCD 的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.
顶点 B 所对应的边为 DC，顶点 C 所对应的边为 BD，顶点 D 所对应的边为 BC.
问题4：如何按照边的大小关系对三角形进行分类呢？说一说你的想法，并与同学交流
知识点2
三角形按边长关系分类
三条边互不相等的三角形叫作不等边三角形.
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.
三条都边相等的三角形叫作等变三角形(正三角形).
等腰三角形
腰
腰
顶角
底角
底边
底边＝腰
等边三角形
思考：等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？
等边三角形是特殊的等腰三角形.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
三角形按边长关系，可分为：
不等边三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
等腰三角形
三角形
不等边三角形
等腰三角形
等边
三角形
等腰
三角形
知识点3
三角形的三边关系
在一个三角形中，任意两边之和与第三边的大小关系如何？你判断的根据是什么？
任意画一个△ABC，蚂蚁从A到B的路线有哪些？
C
A
B
路线1：沿A→C→B路线走
路线2：沿线段AB走
哪条路线短？为什么？
路线 2 较短；两点之间线段最短.
由此可得：
AC+BC >AB；
AB+BC >AC；
AB+AC >BC.
三角形的三边关系：
C
A
B
AC+BC >AB；
AB+BC >AC；
AB+AC >BC.
三角形中任意两边的和大于第三边.
想一想：由不等式的变形，三角形的两边之差与第三边有何关系？
AC >AB BC
BC >AB AC
AB >BC AC
三角形中任意两边的差小于第三边.
下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？
（1）3 cm、8 cm、4 cm；
（2）5 cm、6 cm、11 cm；
（3）5 cm、6 cm、10 cm.
练一练
不能，因为 3 cm + 4 cm < 8 cm．
不能，因为 5 cm + 6 cm = 11 cm．
能，因为 5 cm + 6 cm > 10 cm.
有没有更简便的判断方法？
只要满足较短的两条线段之和大于最长线段，便可构成三角形；否则不能组成三角形.
例1 等腰三角形的周长为18cm.
(1) 如果腰长是底边长的 2 倍，求各边长；
解：(1) 设等腰三角形底边长为 x cm，则腰长为 2x cm.
根据题意，得 x + 2x + 2x = 18.
解方程，得 x = 3.6.
所以该三角形三边长分别为 3.6 cm、7.2 cm、7.2 cm.
(2) ①若等腰三角形的底边长为 4 cm，设腰长为 y cm.
根据题意，得 2y + 4 = 18.
解方程，得 y = 7.
②若等腰三角形的腰长为 4 cm，设底边长为 z cm.
根据题意，得 2×4 + z = 18.
解方程，得 z = 10.
由于 4 + 4＜10，可知以 4 cm为腰长不能构成周长为 18 cm 的等腰三角形.
所以该三角形的另两边长都是 7 cm.
例1 等腰三角形的周长为18cm.
(2) 如果一边长为 4 cm，求另两边长.
分类讨论
是底还是腰？
随堂练习
1.如图，D是△ABC中BC边上一点，连接AD，图中有_____个三角形，它们分别是_______________________.
【教材P66 练习 T1】
3
△ABD，△ADC，△ABC
【教材P66 练习 T2】
2.判断：用下列长度的三条线段能否组成一个三角形。
4cm，7 cm，2 cm；
(2) 3cm，2cm，1 cm；
(3) 10 cm，4 cm，6 cm；
(4) 5 cm，6 cm，15 cm.
不能，因为 2 cm + 4 cm < 7 cm．
不能，因为 2 cm + 1 cm = 3 cm．
不能，因为 4 cm + 6 cm = 10 cm．
不能，因为 5 cm + 6 cm < 15 cm．
【教材P66 练习 T3】
3.以长4cm的线段为底边构造一个等腰三角形，这个三角形的腰长应满足什么条件？
由三角形的三边关系可得：
腰长+腰长＞底边长.
即腰长＞2cm.
1.如图，以 为边的三角形有____________________.
,,
（第1题）
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（第2题）
2.如图所示，在中，点， 分别在
，上，连接，且交于点 .
（1）图中的三角形有____________________
_______________________________________
________；
，，
，，，，，
（2）以 为内角的三角形有_______________；
（3） 的对边为_________；
（4）以线段 为边的三角形有_______________.
，
，
，
返回
知识点2 三角形的分类（找边）
3. 如图表示的是三角形的分类，下列说法正确的是( )
D
A. 表示等腰三角形，表示等边三角形， 表示三
边均不相等的三角形
B. 表示等边三角形，表示等腰三角形， 表示三
边均不相等的三角形
C. 表示三边均不相等的三角形， 表示等腰三角
形， 表示等边三角形
D. 表示三边均不相等的三角形， 表示等边三角
形， 表示等腰三角形
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4. 若一个三角形的三边长之比是 ，周长是10，则此三
角形按边分是( )
A
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 三边都不相等的三角形 D. 以上都不对
返回
知识点3 三角形的三边关系
5. ［2025安庆期中联考］若一个三角形的三边长分别为2， ，
7，化简 的结果是( )
B
A. B. C. D.
【点拨】因为一个三角形的三边长分别为2， ，7，所以
，所以
.故选B.
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6. 某中学八年级（2）班学生杨冲家和李
锐家到学校的直线距离分别是和 ，那么杨冲、李锐
两家的直线距离不可能是( )
A
A. B. C. D.
返回
7. 若 的两边长是方程组
的解，第三边长为整数，则符合条件的三角形
有___个.
3
返回
8.［2025六安多校期中测评］已知 的三边长均为整
数， 的周长为偶数.
（1）若，，求 的长；
【解】因为由三角形的三边关系知，
，即 ，所以
.
又因为的周长为偶数，而， 为奇数，
所以为偶数，且为正整数，故或 .
（2）若，求 的最大值.
【解】因为，的周长为偶数，所以 为
奇数.
又因为，所以 的最大值为13.
返回
易错点 忽视组成三角形的不同情况而漏解
9.若，则以, 为边长的等腰三角形的
周长为________.
11或13
课堂小结
三角形
定义及其基本要素
顶点、角、边
按边分类
三边关系
原理
两点之间线段最短
内容
两边之和大于第三边
两边之差小于第三边
不等边三角形
等腰三角(包括等边三角形)
谢谢观看！
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第13章 三角形中的边角关系、命题证明
13.1.1 三角形中边的关系
学习目标
1
2
3
了解三角形及相关概念，能正确识别和表示三角形；
会根据边是否相等对三角形进行分类；
掌握三角形三边关系，会判定已知三条线段能否构成三角形，会求三角形第三边的取值范围.
13.1.1 三角形中边的关系 教学课件
一、教学基本信息
授课对象：七年级学生（已掌握三角形的定义、顶点、边、角等基本概念，具备简单动手操作能力）
核心目标：1. 理解三角形三边关系定理，明确“任意两边之和大于第三边”“任意两边之差小于第三边”的本质；2. 能运用三边关系定理判断三条线段能否组成三角形，解决简单的边长计算问题；3. 通过动手操作、合作探究，培养几何直观与逻辑推理能力。
教学重难点：重点为三角形三边关系定理的探究与应用；难点为理解“任意”二字的含义及定理的灵活运用。
教学准备：PPT课件、长度为3cm、4cm、5cm、6cm、10cm的细木棒（每组一套）、直尺、量角器、探究记录表。
二、教学过程设计（45分钟）
环节一：情境导入，激发思考（5分钟）
1. 生活情境提问：PPT展示校园场景图——从教学楼A到图书馆C有两条路：①直接走AC小路；②经过操场B走A→B→C的水泥路。提问：“同学们平时会选哪条路？为什么？”引导学生说出“AC更近，因为两点之间线段最短”。
2. 几何关联：教师在图中标记△ABC，指出“AC是三角形的一条边，AB+BC是另外两条边的和”，追问：“结合刚才的生活经验，三角形的三条边之间可能存在什么关系？”
3. 引出课题：通过学生的猜想，引出本节课主题——三角形中边的关系，明确本节课将通过动手操作验证猜想，探究其中的规律。
设计意图：从学生熟悉的生活场景切入，利用“两点之间线段最短”的已有认知，自然引发对三角形三边关系的猜想，激发探究兴趣。
环节二：动手探究，验证猜想（18分钟）
本环节分“小组操作—数据整理—规律提炼”三步，让学生在实践中感知三边关系。
1. 第一步：小组合作，动手拼三角形
明确任务：每组发放5根不同长度的细木棒（3cm、4cm、5cm、6cm、10cm），从中任意选取3根，尝试拼成一个三角形，记录“能拼成”和“不能拼成”的情况，填写探究记录表。
选取的木棒长度（cm）
能否拼成三角形
任意两边之和与第三边的大小关系（如a+b与c，a+c与b，b+c与a）
3、4、5
？
？
3、4、6
？
？
3、4、10
？
？
4、5、10
？
？
5、6、10
？
？
教师巡视指导：提醒学生“选取3根木棒后，将较短的两根一端对齐，看能否与第三根首尾相接”，强调“任意两边之和”需逐一验证。
2. 第二步：数据整理，分享发现
各小组展示探究结果，教师在PPT上汇总：
- 能拼成三角形的组合：3、4、5；3、4、6；5、6、10——对应的三边关系：任意两边之和大于第三边（如3+4>5，3+5>4，4+5>3；3+4>6，3+6>4，4+6>3等）。
- 不能拼成三角形的组合：3、4、10；4、5、10——对应的三边关系：存在两边之和小于或等于第三边（如3+4<10，4+5<10）。
重点质疑：针对“3、4、6”组合，提问“3+6>4和4+6>3很明显，3+4=7>6也成立，所以能拼成；而3、4、10中3+4=7<10，拼的时候两根短木棒接起来都够不到第三根的两端，所以拼不成”。
3. 第三步：规律提炼，形成定理
1. 核心定理：师生共同总结——三角形任意两边的和大于第三边。强调“任意”的含义：不是“某两边之和”，而是“每一组两边之和”都要大于第三边，缺一不可。
2. 推论推导：基于定理推导“任意两边之差小于第三边”。以△ABC为例，由AB+BC>AC，两边同时减去BC，得AB>AC-BC，即AC-BC
设计意图：通过“动手操作—数据验证—逻辑推导”的过程，让学生从直观感知到理性认知，逐步理解三边关系定理的本质，突破“任意”二字的理解难点。
环节三：技能应用，巩固提升（15分钟）
本环节分“基础应用—变式拓展”，强化定理的灵活运用。
1. 基础应用：判断与计算（8分钟）
例题1：下列长度的三条线段，能否组成三角形？为什么？
- ① 5cm、6cm、11cm（学生判断：5+6=11，不满足“大于”，不能组成）；
- ② 4cm、5cm、6cm（4+5>6，能组成）；
- ③ 3cm、7cm、5cm（3+5>7，能组成）。
例题2：已知一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，第三边长为x cm，求x的取值范围。
- 教师引导：根据三边关系定理，“两边之差<第三边<两边之和”，即7-3
2. 变式拓展：实际应用与最值（7分钟）
例题3：一根长15cm的木棒，要截成三段围成一个三角形，截成的三段长度均为整数，有几种截法？
1. 分析：设三段长度为a≤b≤c，满足a+b+c=15且a+b>c。由a+b>c和a+b+c=15，得c<15/2=7.5，故c最大为7；又c≥15/3=5（因为c是最长边，至少不小于周长的1/3），所以c=5、6、7。
2. 列举：
c=5时，a+b=10，a≤b≤5，得a=5，b=5（5、5、5）；
3. c=6时，a+b=9，a≤b≤6，得a=3、b=6（3、6、6），a=4、b=5（4、5、6）；
4. c=7时，a+b=8，a≤b≤7，得a=1、b=7（1、7、7），a=2、b=6（2、6、7），a=3、b=5（3、5、7），a=4、b=4（4、4、7）。
设计意图：基础题巩固定理的基本应用，变式题提升学生的逻辑推理与分类讨论能力，结合实际问题让学生体会定理的应用价值。
环节四：总结升华，拓展延伸（7分钟）
1. 知识梳理：引导学生用思维导图总结：
核心定理：三角形任意两边之和大于第三边；推论：任意两边之差小于第三边；
2. 关键技巧：判断能否组成三角形——验证较短两边之和>最长边；求第三边范围——两边之差<第三边<两边之和；
3. 思想方法：动手操作、分类讨论、数形结合。
4. 拓展思考：提问“为什么三角形的框架比四边形的框架更稳定？这与三角形的边有关系吗？”为后续学习三角形的稳定性铺垫。
5. 课后任务：
必做：教材对应习题，完成“判断能否组成三角形”和“求第三边取值范围”的题目；
6. 选做：找一找生活中利用“三角形三边关系”的实例，记录下来并和同学分享。
三、板书设计
13.1.1 三角形中边的关系
一、核心定理
1. 三边关系：任意两边之和大于第三边
例：△ABC中，AB+BC>AC，AB+AC>BC，BC+AC>AB
2. 推论：任意两边之差小于第三边
例：AC-BC
1. 判断能否组成三角形：验证较短两边之和>最长边
（无需验证所有组合，简化步骤）
2. 第三边取值范围：两边之差 < 第三边 < 两边之和
三、应用示例
1. 已知两边3cm、7cm，第三边x：4
四、思想方法：动手探究、分类讨论
四、教学反思（课后填写）
1. 学生在动手操作中是否能准确记录数据？对“任意”二字的理解是否到位？
2. 求第三边取值范围时，学生是否容易忽略“不包含等号”？需要加强哪些提醒？
3. 变式拓展题中，学生的分类讨论能力如何？是否能有序列举所有情况？
情境导入
你能从下列图形中找出一些三角形吗？
中国传统建筑
现代建筑
埃及金字塔
知识点1
三角形的有关概念
问题1：请根据小学认识的三角形，判断下列图形是三角形吗？
A
B
C
A B C D
C
A
B
D
B
A
C
由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形.
用三根火柴拼成的图形，其中符合三角形概念的是：
①位置关系：不在同一直线上；
②联接方式：首尾依次相接.
三角形应满足以下两个条件：
问题2：三角形由哪些要素组成？
组成三角形的线段叫作三角形的边.
边
边
边
顶点
角
角
角
顶点
顶点
B
A
C
线段 AB，BC，CA 是三角形的边.
相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点.
点 A，B，C 是三角形的顶点.
相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角.
∠A，∠B，∠C 叫作三角形的内角(角).
问题3：如何用符号表示三角形？
B
A
C
记作:
△ABC
读作:
三角形ABC
在 △ABC 中，
①AB边所对的角是：
②∠A所对的边是：
三角形的对边与对角：
∠C
BC
③三角形的边有时用它所对角的相应小写字母表示.
a
b
c
字母没有先后顺序.
找一找
(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？
5个，它们分别是△ABE，△BEC，△ECD，△ABC，△BCD.
(2)以 AB 为边的三角形有哪些？
△ABE、△ABC.
(3)以 E 为顶点的三角形有哪些？
△ABE 、△BEC、 △ECD.
A
B
C
D
E
找一找
A
B
C
D
E
(4)以∠D 为角的三角形有哪些？
(5)说出△BCD 的三个角和三个顶点所对的边.
△ ECD、△BCD.
△BCD 的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.
顶点 B 所对应的边为 DC，顶点 C 所对应的边为 BD，顶点 D 所对应的边为 BC.
问题4：如何按照边的大小关系对三角形进行分类呢？说一说你的想法，并与同学交流
知识点2
三角形按边长关系分类
三条边互不相等的三角形叫作不等边三角形.
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.
三条都边相等的三角形叫作等变三角形(正三角形).
等腰三角形
腰
腰
顶角
底角
底边
底边＝腰
等边三角形
思考：等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？
等边三角形是特殊的等腰三角形.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
三角形按边长关系，可分为：
不等边三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
等腰三角形
三角形
不等边三角形
等腰三角形
等边
三角形
等腰
三角形
知识点3
三角形的三边关系
在一个三角形中，任意两边之和与第三边的大小关系如何？你判断的根据是什么？
任意画一个△ABC，蚂蚁从A到B的路线有哪些？
C
A
B
路线1：沿A→C→B路线走
路线2：沿线段AB走
哪条路线短？为什么？
路线 2 较短；两点之间线段最短.
由此可得：
AC+BC >AB；
AB+BC >AC；
AB+AC >BC.
三角形的三边关系：
C
A
B
AC+BC >AB；
AB+BC >AC；
AB+AC >BC.
三角形中任意两边的和大于第三边.
想一想：由不等式的变形，三角形的两边之差与第三边有何关系？
AC >AB BC
BC >AB AC
AB >BC AC
三角形中任意两边的差小于第三边.
下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？
（1）3 cm、8 cm、4 cm；
（2）5 cm、6 cm、11 cm；
（3）5 cm、6 cm、10 cm.
练一练
不能，因为 3 cm + 4 cm < 8 cm．
不能，因为 5 cm + 6 cm = 11 cm．
能，因为 5 cm + 6 cm > 10 cm.
有没有更简便的判断方法？
只要满足较短的两条线段之和大于最长线段，便可构成三角形；否则不能组成三角形.
例1 等腰三角形的周长为18cm.
(1) 如果腰长是底边长的 2 倍，求各边长；
解：(1) 设等腰三角形底边长为 x cm，则腰长为 2x cm.
根据题意，得 x + 2x + 2x = 18.
解方程，得 x = 3.6.
所以该三角形三边长分别为 3.6 cm、7.2 cm、7.2 cm.
(2) ①若等腰三角形的底边长为 4 cm，设腰长为 y cm.
根据题意，得 2y + 4 = 18.
解方程，得 y = 7.
②若等腰三角形的腰长为 4 cm，设底边长为 z cm.
根据题意，得 2×4 + z = 18.
解方程，得 z = 10.
由于 4 + 4＜10，可知以 4 cm为腰长不能构成周长为 18 cm 的等腰三角形.
所以该三角形的另两边长都是 7 cm.
例1 等腰三角形的周长为18cm.
(2) 如果一边长为 4 cm，求另两边长.
分类讨论
是底还是腰？
随堂练习
1.如图，D是△ABC中BC边上一点，连接AD，图中有_____个三角形，它们分别是_______________________.
【教材P66 练习 T1】
3
△ABD，△ADC，△ABC
【教材P66 练习 T2】
2.判断：用下列长度的三条线段能否组成一个三角形。
4cm，7 cm，2 cm；
(2) 3cm，2cm，1 cm；
(3) 10 cm，4 cm，6 cm；
(4) 5 cm，6 cm，15 cm.
不能，因为 2 cm + 4 cm < 7 cm．
不能，因为 2 cm + 1 cm = 3 cm．
不能，因为 4 cm + 6 cm = 10 cm．
不能，因为 5 cm + 6 cm < 15 cm．
【教材P66 练习 T3】
3.以长4cm的线段为底边构造一个等腰三角形，这个三角形的腰长应满足什么条件？
由三角形的三边关系可得：
腰长+腰长＞底边长.
即腰长＞2cm.
1.如图，以 为边的三角形有____________________.
,,
（第1题）
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（第2题）
2.如图所示，在中，点， 分别在
，上，连接，且交于点 .
（1）图中的三角形有____________________
_______________________________________
________；
，，
，，，，，
（2）以 为内角的三角形有_______________；
（3） 的对边为_________；
（4）以线段 为边的三角形有_______________.
，
，
，
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知识点2 三角形的分类（找边）
3. 如图表示的是三角形的分类，下列说法正确的是( )
D
A. 表示等腰三角形，表示等边三角形， 表示三
边均不相等的三角形
B. 表示等边三角形，表示等腰三角形， 表示三
边均不相等的三角形
C. 表示三边均不相等的三角形， 表示等腰三角
形， 表示等边三角形
D. 表示三边均不相等的三角形， 表示等边三角
形， 表示等腰三角形
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4. 若一个三角形的三边长之比是 ，周长是10，则此三
角形按边分是( )
A
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 三边都不相等的三角形 D. 以上都不对
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知识点3 三角形的三边关系
5. ［2025安庆期中联考］若一个三角形的三边长分别为2， ，
7，化简 的结果是( )
B
A. B. C. D.
【点拨】因为一个三角形的三边长分别为2， ，7，所以
，所以
.故选B.
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6. 某中学八年级（2）班学生杨冲家和李
锐家到学校的直线距离分别是和 ，那么杨冲、李锐
两家的直线距离不可能是( )
A
A. B. C. D.
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7. 若 的两边长是方程组
的解，第三边长为整数，则符合条件的三角形
有___个.
3
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8.［2025六安多校期中测评］已知 的三边长均为整
数， 的周长为偶数.
（1）若，，求 的长；
【解】因为由三角形的三边关系知，
，即 ，所以
.
又因为的周长为偶数，而， 为奇数，
所以为偶数，且为正整数，故或 .
（2）若，求 的最大值.
【解】因为，的周长为偶数，所以 为
奇数.
又因为，所以 的最大值为13.
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易错点 忽视组成三角形的不同情况而漏解
9.若，则以, 为边长的等腰三角形的
周长为________.
11或13
课堂小结
三角形
定义及其基本要素
顶点、角、边
按边分类
三边关系
原理
两点之间线段最短
内容
两边之和大于第三边
两边之差小于第三边
不等边三角形
等腰三角(包括等边三角形)
谢谢观看！