13.1.2 三角形中边的关系-课件(共25张PPT)-数学沪科版（2024）八年级上册
文档属性
| 名称 | 13.1.2 三角形中边的关系-课件(共25张PPT)-数学沪科版（2024）八年级上册 |
|
|
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 9.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-05 05:44:51 | ||
图片预览
文档简介
(共25张PPT)
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第13章 三角形中的边角关系、命题证明
13.1.2 三角形中边的关系
1
2
3
探索并掌握三角形内角和定理；
会用三角形内角和进行角度的计算；
能运用三角形的内角和定理及其推论判断角和边的关系，解决简单的实际问题.
一、教学基本信息
授课对象：七年级学生（已掌握三角形的定义、顶点、边、角等基本概念，具备简单动手操作能力）
核心目标：1. 掌握等腰三角形、等边三角形的边关系特征，能运用边关系解决特殊三角形的边长计算问题；2. 理解三角形稳定性的本质，明确其与边关系的关联及生活应用；3. 通过分类讨论与实践操作，提升几何推理和应用能力。
教学重难点：重点为等腰（等边）三角形的边关系及应用、三角形稳定性的理解；难点为等腰三角形中已知两边求第三边的分类讨论问题。
教学准备：PPT课件、等腰三角形纸片、等边三角形模型、硬纸条（4组，每组3根等长或不等长）、图钉、探究记录表。
二、教学过程设计（45分钟）
环节一：情境导入，衔接旧知（5分钟）
1. 复习回顾：提问“上节课我们学习了三角形三边的基本关系，谁能说说具体内容？”（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），并快速判断：3cm、3cm、5cm的三条线段能否组成三角形？（能，3+3>5）
2. 特殊情境设问：PPT展示生活中的等腰三角形物体（如屋顶、红领巾）和等边三角形物体（如交通警示标志、魔方表面），提问“这些三角形的边有什么特殊之处？它们的边关系除了满足基本关系外，还有哪些独特特征？”
3. 引出课题：通过学生对“两边相等”“三边相等”的观察，引出本节课主题——三角形中边的关系（特殊三角形与稳定性），明确将探究特殊三角形的边规律及三角形的重要性质。
1. 生活情境提问：PPT展示校园场景图——从教学楼A到图书馆C有两条路：①直接走AC小路；②经过操场B走A→B→C的水泥路。提问：“同学们平时会选哪条路？为什么？”引导学生说出“AC更近，因为两点之间线段最短”。
2. 几何关联：教师在图中标记△ABC，指出“AC是三角形的一条边，AB+BC是另外两条边的和”，追问：“结合刚才的生活经验，三角形的三条边之间可能存在什么关系？”
3. 引出课题：通过学生的猜想，引出本节课主题——三角形中边的关系，明确本节课将通过动手操作验证猜想，探究其中的规律。
设计意图：以旧知复习铺垫基础，结合生活中特殊三角形实例，激发学生对“边的特殊关系”的探究兴趣，自然衔接本节课核心内容。
环节二：探究新知一——特殊三角形的边关系（15分钟）
本环节分“等腰三角形—等边三角形—分类讨论应用”三步，聚焦特殊三角形的边规律。
本环节分“小组操作—数据整理—规律提炼”三步，让学生在实践中感知三边关系。
1. 等腰三角形的边关系：“两腰相等”的延伸
活动1：请学生拿出等腰三角形纸片，标注顶点A（顶角顶点）、B、C，其中AB=AC（腰），BC为底边。完成以下探究并填写表格：
探究内容
具体结论（结合三边基本关系）
边的核心特征
两腰长度相等（AB=AC）
底边与腰的关系
底边BC的取值范围：AC-AB < BC < AB+AC，因AB=AC，故0 < BC < 2AB（底边大于0，小于两腰之和）
周长与边的关系
周长=2×腰长+底边长
明确任务：每组发放5根不同长度的细木棒（3cm、4cm、5cm、6cm、10cm），从中任意选取3根，尝试拼成一个三角形，记录“能拼成”和“不能拼成”的情况，填写探究记录表。
选取的木棒长度（cm）
能否拼成三角形
任意两边之和与第三边的大小关系（如a+b与c，a+c与b，b+c与a）
3、4、5
？
？
3、4、6
？
？
3、4、10
？
？
4、5、10
？
？
5、6、10
？
？
教师引导验证：用3cm、3cm、4cm的木棒拼等腰三角形，测量并确认底边4cm满足“0<4<6（2×3）”，符合三边关系；若用3cm、3cm、6cm的木棒，因6=2×3，无法拼成三角形，强化“底边小于两腰之和”的重要性。
2. 等边三角形的边关系：“三边相等”的特性
活动2：观察等边三角形模型，小组讨论其边关系，完成填空：
- 等边三角形三边长度______（相等），即AB=BC=AC；
- 结合三边基本关系，任意两边之和______第三边（等于2倍边长，大于第三边），任意两边之差______第三边（等于0，小于第三边）；
- 周长=______（3×边长）。
即时练习：一个等边三角形的边长为5cm，其周长是多少？若周长为24cm，边长是多少？（学生快速计算，答案：15cm；8cm）
3. 分类讨论应用：等腰三角形的边长计算
例题1：已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm，求其周长。
1. 分类分析：等腰三角形两腰相等，需分两种情况讨论：
2. 情况一：腰长为4cm，底边长为7cm。验证三边关系：4+4>7（8>7），4+7>4，满足条件。周长=4+4+7=15cm；
3. 情况二：腰长为7cm，底边长为4cm。验证三边关系：7+7>4（14>4），7+4>7，满足条件。周长=7+7+4=18cm；
4. 结论：该等腰三角形的周长为15cm或18cm。
易错提醒：若已知两边为3cm和6cm，需排除“腰长3cm”的情况——3+3=6，不满足三边关系，故只能是腰长6cm，底边长3cm，周长=15cm。
2. 第二步：数据整理，分享发现
各小组展示探究结果，教师在PPT上汇总：
- 能拼成三角形的组合：3、4、5；3、4、6；5、6、10——对应的三边关系：任意两边之和大于第三边（如3+4>5，3+5>4，4+5>3；3+4>6，3+6>4，4+6>3等）。
- 不能拼成三角形的组合：3、4、10；4、5、10——对应的三边关系：存在两边之和小于或等于第三边（如3+4<10，4+5<10）。
重点质疑：针对“3、4、6”组合，提问“3+6>4和4+6>3很明显，3+4=7>6也成立，所以能拼成；而3、4、10中3+4=7<10，拼的时候两根短木棒接起来都够不到第三根的两端，所以拼不成”。
3. 第三步：规律提炼，形成定理
1. 核心定理：师生共同总结——三角形任意两边的和大于第三边。强调“任意”的含义：不是“某两边之和”，而是“每一组两边之和”都要大于第三边，缺一不可。
2. 推论推导：基于定理推导“任意两边之差小于第三边”。以△ABC为例，由AB+BC>AC，两边同时减去BC，得AB>AC-BC，即AC-BC3. 简化判断技巧：引导学生发现“只需验证较短两边的和是否大于最长边”，因为较短两边的和若大于最长边，其余两组两边之和必然大于第三边（如3、4、5中，3+4>5成立，则3+5>4、4+5>3一定成立），简化判断步骤。
设计意图：从等腰到等边，由一般特殊到特殊，符合认知规律；通过分类讨论解决等腰三角形边长问题，突破易错点，强化“先验证三边关系再计算”的逻辑。
环节三：探究新知二——三角形的稳定性（12分钟）
本环节分“动手体验—本质分析—生活应用”三步，理解稳定性与边关系的关联。
1. 动手体验：感知稳定性
活动3：每组发放4组硬纸条和图钉，完成以下操作并记录：
操作内容
能否随意改变形状
结论
用3根不等长纸条钉成三角形
不能
三角形形状固定
用3根等长纸条钉成等边三角形
不能
等边三角形形状固定
用4根纸条钉成四边形
能
四边形形状易变
在四边形中加钉1根纸条（连接对角）
不能
分割成两个三角形后形状固定
环节三：技能应用，巩固提升（15分钟）
本环节分“基础应用—变式拓展”，强化定理的灵活运用。
1. 基础应用：判断与计算（8分钟）
例题1：下列长度的三条线段，能否组成三角形？为什么？
2. 本质分析：稳定性与边关系的关联
教师引导思考：“为什么三角形形状固定而四边形易变？”
- 核心原因：三角形的三边长度确定后，根据“三角形三边关系定理”，三角形的形状和大小就唯一确定（即“SSS”判定的本质）；
- 对比四边形：四边形的四边长度确定后，内角可以任意变化，因此形状不固定，若分割成三角形，利用三角形稳定性即可固定形状。
3. 生活应用：稳定性的实际价值
PPT展示生活实例，学生识别并说明三角形稳定性的应用：
- 建筑类：屋顶钢架、自行车车架、篮球架支架（用三角形结构固定，防止变形）；
- 工具类：三角尺、摄影架（利用稳定性保持平衡）；
- 生活类：衣架（等腰三角形结构，既符合人体工学又稳定）。
小组讨论：“生活中还有哪些地方利用了三角形的稳定性？如果要让一个不稳定的结构变稳定，你有什么办法？”（如在摇晃的书架上斜钉一根木条，形成三角形）
设计意图：通过动手操作让学生直观感知稳定性，结合边关系分析本质，再联系生活实例，实现“感知—理解—应用”的闭环，体现数学与生活的联系。
环节四：技能应用，巩固提升（8分钟）
本环节分“基础巩固—综合拓展”，强化特殊三角形边关系与稳定性的应用。
1. 基础巩固：特殊三角形计算
例题2：(1) 等腰三角形的顶角对应的底边为8cm，腰长为5cm，求其周长和底边与腰的差；(2) 等边三角形的周长为36cm，求其边长及任意两边的和。
学生独立完成，教师点评：(1) 周长=5+5+8=18cm，底边与腰的差=8-5=3cm；(2) 边长=36÷3=12cm，任意两边的和=24cm。
2. 综合拓展：边关系与稳定性结合
例题3：某工厂要制作一批等腰三角形钢架，已知钢架的两边长分别为10dm和15dm，现有长度为40dm的钢材，一根钢材最多能制作几个这样的钢架（不计损耗）？
1. 分类计算钢架周长：情况一（腰10dm，底15dm）周长=35dm；情况二（腰15dm，底10dm）周长=40dm；
2. 分析钢材利用：40dm钢材可做1个周长40dm的钢架，或1个周长35dm的钢架（剩余5dm不足）；
3. 结论：一根钢材最多能制作1个这样的钢架。
- 教师引导：根据三边关系定理，“两边之差<第三边<两边之和”，即7-3- 强调：第三边的取值范围是“大于两边之差，小于两边之和”，不包含等号（因为等于时不能组成三角形）。
2. 变式拓展：实际应用与最值（7分钟）
例题3：一根长15cm的木棒，要截成三段围成一个三角形，截成的三段长度均为整数，有几种截法？
1. 分析：设三段长度为a≤b≤c，满足a+b+c=15且a+b>c。由a+b>c和a+b+c=15，得c<15/2=7.5，故c最大为7；又c≥15/3=5（因为c是最长边，至少不小于周长的1/3），所以c=5、6、7。
2. 列举：
c=5时，a+b=10，a≤b≤5，得a=5，b=5（5、5、5）；
3. c=6时，a+b=9，a≤b≤6，得a=3、b=6（3、6、6），a=4、b=5（4、5、6）；
4. c=7时，a+b=8，a≤b≤7，得a=1、b=7（1、7、7），a=2、b=6（2、6、7），a=3、b=5（3、5、7），a=4、b=4（4、4、7）。
设计意图：基础题巩固定理的基本应用，变式题提升学生的逻辑推理与分类讨论能力，结合实际问题让学生体会定理的应用价值。
环节五：总结升华，拓展延伸（5分钟）
1. 知识梳理：引导学生用思维导图总结：
2. 特殊三角形边关系：等腰（两腰相等，底边<2腰长）、等边（三边相等）；
3. 等腰三角形计算：分类讨论腰与底，先验证三边关系；
4. 三角形稳定性：本质是三边确定形状唯一，应用广泛。
5. 拓展思考：“等腰三角形中，若已知周长和一边长，如何求另外两边长？”（如周长20cm，一边长6cm，分“6cm是腰”和“6cm是底”两种情况）
6. 课后任务：
7. 必做：教材对应习题，完成等腰三角形边长计算及稳定性应用题目；
8. 选做：观察家里的三角形结构物品，记录其边的特征及稳定性作用，尝试用硬纸条制作一个稳定的三角形支架。
1. 知识梳理：引导学生用思维导图总结：
核心定理：三角形任意两边之和大于第三边；推论：任意两边之差小于第三边；
2. 关键技巧：判断能否组成三角形——验证较短两边之和>最长边；求第三边范围——两边之差<第三边<两边之和；
3. 思想方法：动手操作、分类讨论、数形结合。
4. 拓展思考：提问“为什么三角形的框架比四边形的框架更稳定？这与三角形的边有关系吗？”为后续学习三角形的稳定性铺垫。
5. 课后任务：
必做：教材对应习题，完成“判断能否组成三角形”和“求第三边取值范围”的题目；
6. 选做：找一找生活中利用“三角形三边关系”的实例，记录下来并和同学分享。
三、板书设计
13.1.2 三角形中边的关系（特殊三角形与稳定性）
一、特殊三角形的边关系
1. 等腰三角形：
核心：两腰相等（AB=AC）
底边范围：0 < 底边BC < 2×腰长
周长=2×腰长+底边长
2. 等边三角形：
核心：三边相等（AB=BC=AC）
周长=3×边长
二、等腰三角形计算：分类讨论
例：两边4cm、7cm→①腰4cm（周长15cm）②腰7cm（周长18cm）
关键：先验证三边关系，排除无效情况
三、三角形的稳定性
1. 本质：三边确定，形状大小唯一（与边关系直接相关）
2. 应用：屋顶钢架、自行车车架等
3. 技巧：不稳定结构→分割成三角形可固定
四、思想方法：分类讨论、实践探究
四、教学反思（课后填写）
1. 学生在等腰三角形分类讨论中，是否能主动先验证三边关系，排除不符合的情况？
2. 学生对三角形稳定性本质的理解是否到位，能否准确说出其与边关系的关联？
3. 综合应用中，学生能否将特殊三角形边关系与实际问题结合，形成完整的解题思路？
一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.
【提示：本页有音频，单击三角形播放对应音频】
我是钝角三角形，我有一个钝角，我的内角和最大！
我是直角三角形，
我的形状最大，
我的内角和肯
定最大！
我是锐角三角形，我的形状最小，我的内角和也最小！
知识点1
三角形的内角和
问题1：在一个三角形中，三个内角之间有什么关系？
①测量
47°
73°
60°
60°+47°+73°=180°
几何画板度量三角形内角和
A
B
C
③剪拼
②折叠
B
C
A
A
B
C
探究：任意剪出一个三角形，折一折，再将它的内角撕下来拼合在一起.
折叠方法探究三角形内角和
剪拼方法探究三角形内角和
C
A
B
则有：∠A+∠B+∠C = 180°.
已知：△ABC.
应用格式：
归纳：
三角形的内角和等于 180°.
本结论将在13.2节中给出严格证明.
三角形中，任意一个内角都小于180°.
锐角
直角
钝角
例2 如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为D. ∠ABD=54°，∠DBC=18°. 求∠A和∠C的度数.
解析：可以从以下三个方面考虑，
①所求的角在哪个三角形内；
②所在三角形内其它两个角的度数；
③根据“三角形的内角和等于180°”进行求解计算.
例2 如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为D. ∠ABD=54°，∠DBC=18°. 求∠A和∠C的度数.
解：因为 BD⊥AC，
所以 ∠ADB =∠CDB = 90°.
在△ABC 中，
∠A +∠ABD +∠ADB = 180°.
又因为∠ABD = 54°，∠ADB = 90°，
所以∠A = 180°－∠ABD－∠ADB
= 180°－54°－90° = 36°.
同理，得∠C = 180°－∠DBC－∠CDB
= 180°－18°－90° = 72°.
(三角形的内角和等于180°)
在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的 3 倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C 的度数.
解：设∠B = x°，则∠A = (3x)°，
∠C = (x＋15)°， 从而有
3x＋x＋(x＋15)＝180.
解得 x＝33.
所以 3x＝99， x＋15＝48.
故∠A， ∠B， ∠C 的度数分别为 99°，33°，48°.
练一练
几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.
问题2：三角形按照角的大小分类，怎样分？
知识点2
三角形按角的大小分类
锐角
三角形
三个角都是锐角的三角形.
钝角
三角形
有一个角是钝角的三角形.
直角
三角形
有一个角是直角的三角形.
直角边
直角边
斜边
Rt△ABC
斜三角形
三角形按角的大小，可分为：
锐角三角形
直角三角形
三角形
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
如图.
(1)图中以AC为边的直角三角形有____个；
(2)BC是△ABC的______边，是△BCD的____边.
练一练
2
直角
斜
随堂练习
【教材P68 练习 T1】
1. 在△ABC中，
(1)若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠C= ；
(2)若∠A=105°，∠B–∠C=15°，则∠C= .
30°
75°
【教材P68 练习 T2】
2.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是点D.
(1)写出图中所有直角三角形，并指出它们的斜边；
(2)写出图中所有相等的锐角.
D
B
A
C
解：(1) Rt△ACB，
Rt△CDB，
Rt△ADC，
AB是斜边；
CB是斜边；
AC是斜边.
(2) ∠ACB=∠ADC=∠CDB，
∠CAB=∠DCB，∠ACD=∠B.
【教材P68 练习 T3】
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是点D，∠B=70°，∠BAC=46°.求∠CAD的度数.
B
A
C
D
解：在△ABC中，
∠B=70°，∠BAC=46°，
所以∠C=180°–70°– 46°=64°.
在Rt△ADC，
∠C=64°，∠ADC=90°，
所以∠CAD=180°– 64°– 90°=26°.
【教材P68 练习 T4】
4.三角形的三个内角中，最多只有一个直角或钝角，为什么？
如果有两个直角或钝角，则三角形的内角和大于180°，不符合三角形的内角和为180°，所以在一个三角形中，最多只可能有一个直角或钝角。
知识点1 三角形的内角和等于180°
（第1题）
1. ［2024德阳］如图是某机械加工厂加工的
一种零件的示意图，其中 ，
, ，则 等于( )
B
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. 如图，在 中，
， ，将其折叠使点
落在边上的点处，折痕为 ，则
( )
D
A. B. C. D.
返回
3.一副三角板按如图所示放置，点在上，点在 上，
若 ,则 ______.
（第3题）
【点拨】如图，由题意得 ,
, .因为 ,
所以
.
所以 .
所以 .
所以 .
返回
4.如图，点，分别在的边，上，且 ，
点在线段的延长线上，若 ， ，
则 ____.
（第4题）
返回
5.在中，，设的度数为 ， 的度
数为 .
（1）求关于的函数表达式（不需要写 的取值范围）；
【解】因为在中，,的度数为 ，所
以的度数为 .又因为的度数为 ，所以
.所以 .
（2）若是锐角三角形，请确定 的取值范围.
因为 是锐角三角形，
所以解得 .
所以的取值范围为 .
返回
三角形中角的关系
三角形的内角和等于180°
三角形按角的大小分类
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
谢谢观看！
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第13章 三角形中的边角关系、命题证明
13.1.2 三角形中边的关系
1
2
3
探索并掌握三角形内角和定理；
会用三角形内角和进行角度的计算；
能运用三角形的内角和定理及其推论判断角和边的关系，解决简单的实际问题.
一、教学基本信息
授课对象：七年级学生（已掌握三角形的定义、顶点、边、角等基本概念，具备简单动手操作能力）
核心目标：1. 掌握等腰三角形、等边三角形的边关系特征，能运用边关系解决特殊三角形的边长计算问题；2. 理解三角形稳定性的本质，明确其与边关系的关联及生活应用；3. 通过分类讨论与实践操作，提升几何推理和应用能力。
教学重难点：重点为等腰（等边）三角形的边关系及应用、三角形稳定性的理解；难点为等腰三角形中已知两边求第三边的分类讨论问题。
教学准备：PPT课件、等腰三角形纸片、等边三角形模型、硬纸条（4组，每组3根等长或不等长）、图钉、探究记录表。
二、教学过程设计（45分钟）
环节一：情境导入，衔接旧知（5分钟）
1. 复习回顾：提问“上节课我们学习了三角形三边的基本关系，谁能说说具体内容？”（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），并快速判断：3cm、3cm、5cm的三条线段能否组成三角形？（能，3+3>5）
2. 特殊情境设问：PPT展示生活中的等腰三角形物体（如屋顶、红领巾）和等边三角形物体（如交通警示标志、魔方表面），提问“这些三角形的边有什么特殊之处？它们的边关系除了满足基本关系外，还有哪些独特特征？”
3. 引出课题：通过学生对“两边相等”“三边相等”的观察，引出本节课主题——三角形中边的关系（特殊三角形与稳定性），明确将探究特殊三角形的边规律及三角形的重要性质。
1. 生活情境提问：PPT展示校园场景图——从教学楼A到图书馆C有两条路：①直接走AC小路；②经过操场B走A→B→C的水泥路。提问：“同学们平时会选哪条路？为什么？”引导学生说出“AC更近，因为两点之间线段最短”。
2. 几何关联：教师在图中标记△ABC，指出“AC是三角形的一条边，AB+BC是另外两条边的和”，追问：“结合刚才的生活经验，三角形的三条边之间可能存在什么关系？”
3. 引出课题：通过学生的猜想，引出本节课主题——三角形中边的关系，明确本节课将通过动手操作验证猜想，探究其中的规律。
设计意图：以旧知复习铺垫基础，结合生活中特殊三角形实例，激发学生对“边的特殊关系”的探究兴趣，自然衔接本节课核心内容。
环节二：探究新知一——特殊三角形的边关系（15分钟）
本环节分“等腰三角形—等边三角形—分类讨论应用”三步，聚焦特殊三角形的边规律。
本环节分“小组操作—数据整理—规律提炼”三步，让学生在实践中感知三边关系。
1. 等腰三角形的边关系：“两腰相等”的延伸
活动1：请学生拿出等腰三角形纸片，标注顶点A（顶角顶点）、B、C，其中AB=AC（腰），BC为底边。完成以下探究并填写表格：
探究内容
具体结论（结合三边基本关系）
边的核心特征
两腰长度相等（AB=AC）
底边与腰的关系
底边BC的取值范围：AC-AB < BC < AB+AC，因AB=AC，故0 < BC < 2AB（底边大于0，小于两腰之和）
周长与边的关系
周长=2×腰长+底边长
明确任务：每组发放5根不同长度的细木棒（3cm、4cm、5cm、6cm、10cm），从中任意选取3根，尝试拼成一个三角形，记录“能拼成”和“不能拼成”的情况，填写探究记录表。
选取的木棒长度（cm）
能否拼成三角形
任意两边之和与第三边的大小关系（如a+b与c，a+c与b，b+c与a）
3、4、5
？
？
3、4、6
？
？
3、4、10
？
？
4、5、10
？
？
5、6、10
？
？
教师引导验证：用3cm、3cm、4cm的木棒拼等腰三角形，测量并确认底边4cm满足“0<4<6（2×3）”，符合三边关系；若用3cm、3cm、6cm的木棒，因6=2×3，无法拼成三角形，强化“底边小于两腰之和”的重要性。
2. 等边三角形的边关系：“三边相等”的特性
活动2：观察等边三角形模型，小组讨论其边关系，完成填空：
- 等边三角形三边长度______（相等），即AB=BC=AC；
- 结合三边基本关系，任意两边之和______第三边（等于2倍边长，大于第三边），任意两边之差______第三边（等于0，小于第三边）；
- 周长=______（3×边长）。
即时练习：一个等边三角形的边长为5cm，其周长是多少？若周长为24cm，边长是多少？（学生快速计算，答案：15cm；8cm）
3. 分类讨论应用：等腰三角形的边长计算
例题1：已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm，求其周长。
1. 分类分析：等腰三角形两腰相等，需分两种情况讨论：
2. 情况一：腰长为4cm，底边长为7cm。验证三边关系：4+4>7（8>7），4+7>4，满足条件。周长=4+4+7=15cm；
3. 情况二：腰长为7cm，底边长为4cm。验证三边关系：7+7>4（14>4），7+4>7，满足条件。周长=7+7+4=18cm；
4. 结论：该等腰三角形的周长为15cm或18cm。
易错提醒：若已知两边为3cm和6cm，需排除“腰长3cm”的情况——3+3=6，不满足三边关系，故只能是腰长6cm，底边长3cm，周长=15cm。
2. 第二步：数据整理，分享发现
各小组展示探究结果，教师在PPT上汇总：
- 能拼成三角形的组合：3、4、5；3、4、6；5、6、10——对应的三边关系：任意两边之和大于第三边（如3+4>5，3+5>4，4+5>3；3+4>6，3+6>4，4+6>3等）。
- 不能拼成三角形的组合：3、4、10；4、5、10——对应的三边关系：存在两边之和小于或等于第三边（如3+4<10，4+5<10）。
重点质疑：针对“3、4、6”组合，提问“3+6>4和4+6>3很明显，3+4=7>6也成立，所以能拼成；而3、4、10中3+4=7<10，拼的时候两根短木棒接起来都够不到第三根的两端，所以拼不成”。
3. 第三步：规律提炼，形成定理
1. 核心定理：师生共同总结——三角形任意两边的和大于第三边。强调“任意”的含义：不是“某两边之和”，而是“每一组两边之和”都要大于第三边，缺一不可。
2. 推论推导：基于定理推导“任意两边之差小于第三边”。以△ABC为例，由AB+BC>AC，两边同时减去BC，得AB>AC-BC，即AC-BC
设计意图：从等腰到等边，由一般特殊到特殊，符合认知规律；通过分类讨论解决等腰三角形边长问题，突破易错点，强化“先验证三边关系再计算”的逻辑。
环节三：探究新知二——三角形的稳定性（12分钟）
本环节分“动手体验—本质分析—生活应用”三步，理解稳定性与边关系的关联。
1. 动手体验：感知稳定性
活动3：每组发放4组硬纸条和图钉，完成以下操作并记录：
操作内容
能否随意改变形状
结论
用3根不等长纸条钉成三角形
不能
三角形形状固定
用3根等长纸条钉成等边三角形
不能
等边三角形形状固定
用4根纸条钉成四边形
能
四边形形状易变
在四边形中加钉1根纸条（连接对角）
不能
分割成两个三角形后形状固定
环节三：技能应用，巩固提升（15分钟）
本环节分“基础应用—变式拓展”，强化定理的灵活运用。
1. 基础应用：判断与计算（8分钟）
例题1：下列长度的三条线段，能否组成三角形？为什么？
2. 本质分析：稳定性与边关系的关联
教师引导思考：“为什么三角形形状固定而四边形易变？”
- 核心原因：三角形的三边长度确定后，根据“三角形三边关系定理”，三角形的形状和大小就唯一确定（即“SSS”判定的本质）；
- 对比四边形：四边形的四边长度确定后，内角可以任意变化，因此形状不固定，若分割成三角形，利用三角形稳定性即可固定形状。
3. 生活应用：稳定性的实际价值
PPT展示生活实例，学生识别并说明三角形稳定性的应用：
- 建筑类：屋顶钢架、自行车车架、篮球架支架（用三角形结构固定，防止变形）；
- 工具类：三角尺、摄影架（利用稳定性保持平衡）；
- 生活类：衣架（等腰三角形结构，既符合人体工学又稳定）。
小组讨论：“生活中还有哪些地方利用了三角形的稳定性？如果要让一个不稳定的结构变稳定，你有什么办法？”（如在摇晃的书架上斜钉一根木条，形成三角形）
设计意图：通过动手操作让学生直观感知稳定性，结合边关系分析本质，再联系生活实例，实现“感知—理解—应用”的闭环，体现数学与生活的联系。
环节四：技能应用，巩固提升（8分钟）
本环节分“基础巩固—综合拓展”，强化特殊三角形边关系与稳定性的应用。
1. 基础巩固：特殊三角形计算
例题2：(1) 等腰三角形的顶角对应的底边为8cm，腰长为5cm，求其周长和底边与腰的差；(2) 等边三角形的周长为36cm，求其边长及任意两边的和。
学生独立完成，教师点评：(1) 周长=5+5+8=18cm，底边与腰的差=8-5=3cm；(2) 边长=36÷3=12cm，任意两边的和=24cm。
2. 综合拓展：边关系与稳定性结合
例题3：某工厂要制作一批等腰三角形钢架，已知钢架的两边长分别为10dm和15dm，现有长度为40dm的钢材，一根钢材最多能制作几个这样的钢架（不计损耗）？
1. 分类计算钢架周长：情况一（腰10dm，底15dm）周长=35dm；情况二（腰15dm，底10dm）周长=40dm；
2. 分析钢材利用：40dm钢材可做1个周长40dm的钢架，或1个周长35dm的钢架（剩余5dm不足）；
3. 结论：一根钢材最多能制作1个这样的钢架。
- 教师引导：根据三边关系定理，“两边之差<第三边<两边之和”，即7-3
2. 变式拓展：实际应用与最值（7分钟）
例题3：一根长15cm的木棒，要截成三段围成一个三角形，截成的三段长度均为整数，有几种截法？
1. 分析：设三段长度为a≤b≤c，满足a+b+c=15且a+b>c。由a+b>c和a+b+c=15，得c<15/2=7.5，故c最大为7；又c≥15/3=5（因为c是最长边，至少不小于周长的1/3），所以c=5、6、7。
2. 列举：
c=5时，a+b=10，a≤b≤5，得a=5，b=5（5、5、5）；
3. c=6时，a+b=9，a≤b≤6，得a=3、b=6（3、6、6），a=4、b=5（4、5、6）；
4. c=7时，a+b=8，a≤b≤7，得a=1、b=7（1、7、7），a=2、b=6（2、6、7），a=3、b=5（3、5、7），a=4、b=4（4、4、7）。
设计意图：基础题巩固定理的基本应用，变式题提升学生的逻辑推理与分类讨论能力，结合实际问题让学生体会定理的应用价值。
环节五：总结升华，拓展延伸（5分钟）
1. 知识梳理：引导学生用思维导图总结：
2. 特殊三角形边关系：等腰（两腰相等，底边<2腰长）、等边（三边相等）；
3. 等腰三角形计算：分类讨论腰与底，先验证三边关系；
4. 三角形稳定性：本质是三边确定形状唯一，应用广泛。
5. 拓展思考：“等腰三角形中，若已知周长和一边长，如何求另外两边长？”（如周长20cm，一边长6cm，分“6cm是腰”和“6cm是底”两种情况）
6. 课后任务：
7. 必做：教材对应习题，完成等腰三角形边长计算及稳定性应用题目；
8. 选做：观察家里的三角形结构物品，记录其边的特征及稳定性作用，尝试用硬纸条制作一个稳定的三角形支架。
1. 知识梳理：引导学生用思维导图总结：
核心定理：三角形任意两边之和大于第三边；推论：任意两边之差小于第三边；
2. 关键技巧：判断能否组成三角形——验证较短两边之和>最长边；求第三边范围——两边之差<第三边<两边之和；
3. 思想方法：动手操作、分类讨论、数形结合。
4. 拓展思考：提问“为什么三角形的框架比四边形的框架更稳定？这与三角形的边有关系吗？”为后续学习三角形的稳定性铺垫。
5. 课后任务：
必做：教材对应习题，完成“判断能否组成三角形”和“求第三边取值范围”的题目；
6. 选做：找一找生活中利用“三角形三边关系”的实例，记录下来并和同学分享。
三、板书设计
13.1.2 三角形中边的关系（特殊三角形与稳定性）
一、特殊三角形的边关系
1. 等腰三角形：
核心：两腰相等（AB=AC）
底边范围：0 < 底边BC < 2×腰长
周长=2×腰长+底边长
2. 等边三角形：
核心：三边相等（AB=BC=AC）
周长=3×边长
二、等腰三角形计算：分类讨论
例：两边4cm、7cm→①腰4cm（周长15cm）②腰7cm（周长18cm）
关键：先验证三边关系，排除无效情况
三、三角形的稳定性
1. 本质：三边确定，形状大小唯一（与边关系直接相关）
2. 应用：屋顶钢架、自行车车架等
3. 技巧：不稳定结构→分割成三角形可固定
四、思想方法：分类讨论、实践探究
四、教学反思（课后填写）
1. 学生在等腰三角形分类讨论中，是否能主动先验证三边关系，排除不符合的情况？
2. 学生对三角形稳定性本质的理解是否到位，能否准确说出其与边关系的关联？
3. 综合应用中，学生能否将特殊三角形边关系与实际问题结合，形成完整的解题思路？
一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.
【提示：本页有音频，单击三角形播放对应音频】
我是钝角三角形，我有一个钝角，我的内角和最大！
我是直角三角形，
我的形状最大，
我的内角和肯
定最大！
我是锐角三角形，我的形状最小，我的内角和也最小！
知识点1
三角形的内角和
问题1：在一个三角形中，三个内角之间有什么关系？
①测量
47°
73°
60°
60°+47°+73°=180°
几何画板度量三角形内角和
A
B
C
③剪拼
②折叠
B
C
A
A
B
C
探究：任意剪出一个三角形，折一折，再将它的内角撕下来拼合在一起.
折叠方法探究三角形内角和
剪拼方法探究三角形内角和
C
A
B
则有：∠A+∠B+∠C = 180°.
已知：△ABC.
应用格式：
归纳：
三角形的内角和等于 180°.
本结论将在13.2节中给出严格证明.
三角形中，任意一个内角都小于180°.
锐角
直角
钝角
例2 如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为D. ∠ABD=54°，∠DBC=18°. 求∠A和∠C的度数.
解析：可以从以下三个方面考虑，
①所求的角在哪个三角形内；
②所在三角形内其它两个角的度数；
③根据“三角形的内角和等于180°”进行求解计算.
例2 如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为D. ∠ABD=54°，∠DBC=18°. 求∠A和∠C的度数.
解：因为 BD⊥AC，
所以 ∠ADB =∠CDB = 90°.
在△ABC 中，
∠A +∠ABD +∠ADB = 180°.
又因为∠ABD = 54°，∠ADB = 90°，
所以∠A = 180°－∠ABD－∠ADB
= 180°－54°－90° = 36°.
同理，得∠C = 180°－∠DBC－∠CDB
= 180°－18°－90° = 72°.
(三角形的内角和等于180°)
在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的 3 倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C 的度数.
解：设∠B = x°，则∠A = (3x)°，
∠C = (x＋15)°， 从而有
3x＋x＋(x＋15)＝180.
解得 x＝33.
所以 3x＝99， x＋15＝48.
故∠A， ∠B， ∠C 的度数分别为 99°，33°，48°.
练一练
几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.
问题2：三角形按照角的大小分类，怎样分？
知识点2
三角形按角的大小分类
锐角
三角形
三个角都是锐角的三角形.
钝角
三角形
有一个角是钝角的三角形.
直角
三角形
有一个角是直角的三角形.
直角边
直角边
斜边
Rt△ABC
斜三角形
三角形按角的大小，可分为：
锐角三角形
直角三角形
三角形
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
如图.
(1)图中以AC为边的直角三角形有____个；
(2)BC是△ABC的______边，是△BCD的____边.
练一练
2
直角
斜
随堂练习
【教材P68 练习 T1】
1. 在△ABC中，
(1)若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠C= ；
(2)若∠A=105°，∠B–∠C=15°，则∠C= .
30°
75°
【教材P68 练习 T2】
2.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是点D.
(1)写出图中所有直角三角形，并指出它们的斜边；
(2)写出图中所有相等的锐角.
D
B
A
C
解：(1) Rt△ACB，
Rt△CDB，
Rt△ADC，
AB是斜边；
CB是斜边；
AC是斜边.
(2) ∠ACB=∠ADC=∠CDB，
∠CAB=∠DCB，∠ACD=∠B.
【教材P68 练习 T3】
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是点D，∠B=70°，∠BAC=46°.求∠CAD的度数.
B
A
C
D
解：在△ABC中，
∠B=70°，∠BAC=46°，
所以∠C=180°–70°– 46°=64°.
在Rt△ADC，
∠C=64°，∠ADC=90°，
所以∠CAD=180°– 64°– 90°=26°.
【教材P68 练习 T4】
4.三角形的三个内角中，最多只有一个直角或钝角，为什么？
如果有两个直角或钝角，则三角形的内角和大于180°，不符合三角形的内角和为180°，所以在一个三角形中，最多只可能有一个直角或钝角。
知识点1 三角形的内角和等于180°
（第1题）
1. ［2024德阳］如图是某机械加工厂加工的
一种零件的示意图，其中 ，
, ，则 等于( )
B
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. 如图，在 中，
， ，将其折叠使点
落在边上的点处，折痕为 ，则
( )
D
A. B. C. D.
返回
3.一副三角板按如图所示放置，点在上，点在 上，
若 ,则 ______.
（第3题）
【点拨】如图，由题意得 ,
, .因为 ,
所以
.
所以 .
所以 .
所以 .
返回
4.如图，点，分别在的边，上，且 ，
点在线段的延长线上，若 ， ，
则 ____.
（第4题）
返回
5.在中，，设的度数为 ， 的度
数为 .
（1）求关于的函数表达式（不需要写 的取值范围）；
【解】因为在中，,的度数为 ，所
以的度数为 .又因为的度数为 ，所以
.所以 .
（2）若是锐角三角形，请确定 的取值范围.
因为 是锐角三角形，
所以解得 .
所以的取值范围为 .
返回
三角形中角的关系
三角形的内角和等于180°
三角形按角的大小分类
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
谢谢观看！