13.2.1定义与命题-课件(共34张PPT)-数学沪科版（2024）八年级上册
文档属性
| 名称 | 13.2.1定义与命题-课件(共34张PPT)-数学沪科版（2024）八年级上册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 9.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-05 00:00:00 | ||
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文档简介
(共34张PPT)
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第13章 三角形中的边角关系、命题证明
13.2.1定义与命题
1
2
3
理解命题、真命题、假命题的意义，会区分命题的条件与结论；
通过具体实例，了解原命题及其逆命题的意义，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立；
了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的.
13.2.1 定义与命题 教学课件
一、教学基本信息
授课对象：七年级学生（已掌握三角形、线段、角等几何概念，具备初步逻辑思考能力）
核心目标：1. 理解定义、命题的含义，能区分命题的条件与结论；2. 掌握命题的表示形式，能将命题改写成“如果……那么……”的形式；3. 了解真命题、假命题的概念，能举例说明并判断简单命题的真假；4. 通过对几何概念的回顾与逻辑分析，培养严谨的数学思维习惯。
教学重难点：重点为命题的概念、条件与结论的区分；难点为将非标准命题改写成“如果……那么……”的形式及假命题的证明。
教学准备：PPT课件、几何概念卡片（如“三角形”“等腰三角形”“高”等）、命题辨析任务单。
二、教学过程设计（45分钟）
环节一：情境导入，唤醒认知（5分钟）
1. 对话情境设问：呈现师生对话片段——
师：“请同学们画出一个三角形。”
2. 生1：“老师，什么样的图形是三角形呀？”
3. 师：“由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。”
4. 生2：“那我画的这个等腰三角形，它的两个底角相等对吗？”
5. 师：“这个说法需要我们进一步判断它是否正确。”
6. 问题聚焦：提问“刚才老师的回答中，哪句话是在明确‘三角形’是什么？生2的说法有什么特点？”引导学生发现“明确概念的语句”和“判断一件事情的语句”，引出本节课主题——定义与命题。
设计意图：从学生熟悉的几何学习场景切入，通过对话自然分离出“定义”和“命题”的雏形，激发学生对“语句逻辑属性”的探究兴趣。
环节二：探究新知一——定义：明确概念的“标尺”（10分钟）
本环节通过回顾旧知、对比分析，理解定义的本质与作用。
1. 定义的含义
1. 实例回顾：呈现学生已学的几何概念描述，提问“这些语句有什么共同作用？”
① 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形；
2. ② 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线；
3. ③ 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
4. 概念提炼：师生共同总结——对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。强调定义的核心作用：明确概念的内涵，避免歧义（如“三角形”的定义明确了“三条线段”“不在同一直线”“首尾顺次相接”三个关键特征）。
2. 定义的应用
活动1：“概念配对”游戏——每组发放几何概念卡片（如“角平分线”“高”“等边三角形”）和对应的定义卡片，小组合作完成配对，并说明判断依据。
示例：“三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段”与“三角形的角平分线”配对。
设计意图：通过回顾旧知中的定义实例，让学生从“使用者”转变为“分析者”，理解定义的本质；游戏化活动强化对定义作用的认知，为后续命题学习铺垫。
环节三：探究新知二——命题：判断真假的“语句”（20分钟）
本环节分“命题的识别—结构分析—真假判断”三步，层层突破重点难点。
1. 命题的识别：判断一件事情的语句
1. 实例对比：呈现两组语句，让学生区分“是否在判断一件事情”：
第一组（判断事情）第二组（不判断事情）① 三角形的内角和是180°；① 什么是三角形的高？② 等腰三角形的两腰相等；② 画出一个钝角三角形；③ 对顶角相等；③ 三角形的中线真重要！
2. 概念定义：总结第一组语句的特征——判断一件事情的语句叫做命题。强调命题的核心：必须包含“判断”（肯定或否定），如“三角形的内角和不是180°”也是命题（否定判断）。
3. 即时练习：判断下列语句是否为命题：
① 直角三角形有一个角是90°（是命题）；
4. ② 请说出三角形的定义（不是命题，是祈使句）；
5. ③ 等边三角形是特殊的等腰三角形（是命题）。
2. 命题的结构：条件与结论
1. 标准形式分析：以命题“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”为例，分析结构——
“如果”引出的部分：两条直线都与第三条直线平行（已知事项，称为命题的条件，也叫题设）；
2. “那么”引出的部分：这两条直线也互相平行（由已知事项推出的事项，称为命题的结论）。
3. 非标准命题改写：针对没有“如果……那么……”形式的命题，引导学生补充关键词改写，明确条件与结论。
例题1：将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出条件和结论。① 三角形的内角和是180°；
改写：如果一个图形是三角形，那么它的内角和是180°；
条件：一个图形是三角形；结论：它的内角和是180°。
4. ② 等腰三角形两底角相等；
改写：如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等；
条件：一个三角形是等腰三角形；结论：它的两个底角相等。
5. ③ 对顶角相等；
改写：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
条件：两个角是对顶角；结论：这两个角相等。
3. 命题的真假：正确与错误的判断
1. 概念定义：
真命题：如果条件成立，那么结论一定成立的命题；
2. 假命题：条件成立时，不能保证结论一定成立的命题（只需举出一个“反例”即可证明其为假）。
3. 真假判断练习：
例题2：判断下列命题的真假，若是假命题，请举出反例。① 直角三角形的两个锐角互余（真命题，由内角和180°可推得）；
4. ② 所有三角形的三条高都在三角形内部（假命题，反例：钝角三角形有两条高在三角形外部）；
5. ③ 对顶角相等（真命题）。
6. 强调：真命题需要通过推理证明（后续学习），假命题只需一个反例即可推翻，体现数学的严谨性。
环节四：巩固提升，深化理解（7分钟）
活动2：“命题分类”任务——小组合作，将下列语句分类为“定义”“命题（真/假）”“非命题”，并说明理由。
1. 连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离（定义）；
2. 三角形有三条边（命题，真命题）；
3. 画出三角形的角平分线（非命题，祈使句）；
4. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（命题，真命题）；
5. 三角形的中线平分面积吗？（非命题，疑问句）；
6. 任意三角形都有外接圆（命题，真命题）；
7. 相等的角是对顶角（命题，假命题，反例：两直线平行，同位角相等但不是对顶角）。
设计意图：通过综合分类任务，强化定义、命题、真命题、假命题的概念辨析，提升学生的逻辑判断能力。
环节五：总结升华，拓展延伸（3分钟）
1. 知识梳理：引导学生用结构图总结核心内容：
语句分类：定义（明确概念）、命题（判断事情，含条件与结论）、非命题（疑问/祈使等）；命题分类：真命题（结论必成立）、假命题（有反例）。
2. 思想提炼：强调数学中“定义”是逻辑推理的基础，“命题”是推理的对象，“真假判断”体现严谨性，为后续“证明”学习奠定基础。
3. 课后任务：
必做：教材对应习题，完成“命题识别—改写—真假判断”系列题目；
4. 选做：收集3个生活中的“命题”（如“如果明天晴天，我们就去郊游”），区分条件与结论并判断真假。
三、板书设计
13.2.1 定义与命题
一、定义：明确名称和术语的含义
例：三角形的定义、中线的定义
作用：避免歧义，作为推理基础
二、命题：判断一件事情的语句
1. 结构：条件（题设）→ 结论
形式：如果……（条件），那么……（结论）
改写：补全关键词，明确条件与结论
例：等腰三角形两底角相等→如果…那么…
2. 分类：
真命题：条件成立，结论必成立（需证明）
假命题：条件成立，结论不一定成立（举反例）
例：真命题——对顶角相等；假命题——相等的角是对顶角
三、核心思想：严谨性、逻辑性
四、教学反思（课后填写）
1. 学生对“命题必须包含判断”的理解是否到位？能否准确区分命题与非命题？
2. 非标准命题改写时，学生是否能准确识别条件与结论？常见错误有哪些？
3. 假命题的“反例”举例是否恰当？需要加强哪些反例构造的引导？
观察下列语句，都有什么特点？
给我一个支点，我能撬动地球.
新的数学方法和概念往往比解决数学问题本身更重要.
当 p＝31时，231－1的结果是素数.
阿基米德
华罗庚
梅森
知识点1
命题及真命题、假命题的概念
问题1：请同学们读出下列语句，它们有什么特征？
①由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形.
②三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
③整数和分数统称有理数.
揭示了对象的特征性质.
明确了所指对象的范围
像这样，能明确界定某个对象含义的语句叫作定义.
你能再举出一些学过的定义的例子吗？
例如：
3. “在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫作一元一次方程” 是“一元一次方程”的定义.
2. “两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离” 是“两点之间的距离”的定义；
1.“具有中华人民共和国国籍的人，叫作中华人民共和国公民” 是“中华人民共和国公民”的定义；
问题2：在学习“三角形中角的关系”时，得到“三角形的内角和等于180°”，你还记得怎样得到的吗？
①测量
47°
73°
60°
②折叠
③剪拼
对于上面的结果，你有什么想法吗？
对于前面的结果，也许有同学提出疑问：
①在剪拼时，发现三个内角难以拼成一个平角，只是接近180°的某个值；
②度量三个角，然后相加，有的接近179°，有的接近181°，不是都得180°.
显然，通过观察、操作和实验等方法得出的结果不一定完全正确.
因此，学习几何需要观察和实验，同时也需要学会推理.
推理是一种思维活动.人们在思维活动中，常要对事物的情况作出种种判断. 例如：
(1) 北京是中华人民共和国的首都；
(2) 如果∠1 与∠2 是对顶角，那么∠1 =∠2；
(3) 1 +1 < 2；
(4) 如果一个整数的各个位上的数字之和是 3 的倍数，那么这个数能被 3 整除.
请判断语句的正误
都是在对一件事进行判断.
思考：上述这些语句有什么特征？
(1) 北京是中华人民共和国的首都；
(2) 如果∠1 与∠2 是对顶角，那么∠1 =∠2；
(3) 1 +1 < 2；
(4) 如果一个整数的各个位上的数字之和是 3 的倍数，那么这个数能被 3 整除.
★像这样，可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题.
★上面命题(1)(2)(4)经判断是正确的，这样的命题我们称之为真命题.
★命题(3)经判断是错误的，这样的命题我们称之为假命题.
易错提醒
1.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.
如：相等的角是对顶角.
2.如果一个语句不能判断真假，那么它就不是命题.
如：① 疑问句；你的作业做完了吗？
② 感叹句；欢迎前来参观！
③ 祈使句；以点 O 为圆心、3 cm长为半径画弧.
下列语句，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）对顶角相等；
（2）画一个角等于已知角；
（3）两直线平行，同位角相等；
（4）a、b两条直线平行吗？
（5）温柔的李明明；
（6）玫瑰花是动物；
（7）若a2＝4，求a的值；
（8）若a2＝b2，则a＝b.
命题是陈述句，疑问句、感叹句、祈使句等都不是命题.
虽然错误，但也作出了判断
练一练
问题3：观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？
知识点2
命题的构成及改写
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等；
（3）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
（4）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.
都是“如果……那么……”的形式.
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
条件(题设)
结论(题断)
命题的一般形式：
“如果 p，那么 q”，或“若 p，则 q”.
命题
条件( p )
结论( q )
已知事项
由已知事项推出的事项
命题的组成：
有时为了叙述简便，也可以省略关联词“如果”和“那么”.
对顶角相等
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意.
有些命题的条件和结论不明显，要经过分析才能找出条件和结论，从而将它们写成“如果……那么……”的形式.
例1 指出下列命题的条件与结论.
(1)如果∠A =∠B，那么∠A 的补角与∠B 的补角相等 ；
(2) 两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行.
解 ： (1)“∠A =∠B”是条件，“∠A 的补角与∠B 的补角相等”是结论.
(2)“两条直线都平行于同一条直线”是条件，“这两条直线平行”是结论.
知识点3
互逆命题及反例
问题4：指出下列命题的条件和结论，观察这两个命题有什么样的关系？并判断是真命题还是假命题.
（2）如果一个三角形是直角三角形，
那么这个三角形中有一个角是直角.
（1）如果一个三角形中有一个角是直角，
那么这个三角形是直角三角形.
条件
命题(1)的条件和结论分别是命题(2)的结论和条件.
结论
条件
结论
真命题
真命题
如果p，那么q
如果q，那么p
原命题
逆命题
这样的两个命题称为互逆命题
把条件设为“q”，结论设为“p”
原命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题吗？
问题5：写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假.
(1)同位角相等，两直线平行；
(2)等角的余角相等；
(3)如果a=b，则a2=b2.
两直线平行，同位角相等.
如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等.
如果a2=b2 ，那么a=b.
真命题
真命题
假命题
由此可知，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.
问题6：我们如何判断一个命题的真假？
要判断一个命题是真命题需要推理论证；要判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可.
反例：符合命题条件，但不符合命题结论的例子.
1
2
例如：相等的两个角是对顶角.
例2 写出下列命题的逆命题，并判断所得的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例.
(1)内错角相等，两直线平行；
(2)如果 a = 0，那么 ab = 0.
解 ： (1)逆命题是“两直线平行，内错角相等”，是真命题.
(2)逆命题是“如果 ab = 0，那么 a = 0” ，是假命题.
反例：当 a = 1，b = 0 时，ab = 0，而 a ≠ 0 .
随堂练习
1.列举2个本章学过的定义.
【教材P75 练习 T1】
①三条边互不相等的三角形叫作不等边三角形.
②有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.
【教材P75 练习 T2】
2. 把下列命题改写成“如果p，那么q”的形式：
(1)两条直线相交，只有一个交点；
(2)直线AB⊥直线CD，交点为O，有∠AOC=90°；
(3)两直线平行，同位角相等；
(4)互为相反数的两个数和为0.
解：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点.
(2)如果直线AB⊥直线CD，交点为O，那么有∠AOC=90°.
(3)如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等.
(4)如果两个数互为相反数，那么它们的和为0.
【教材P75 练习 T3】
3.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例.
(1)若|a|=|b|，则a=b；
(2)如果ab>0，那么a，b都是正数；
(3)两直线平行，同旁内角互补；
(4)两条直线与第三条直线相交，同位角相等.
真命题
假命题
假命题
假命题
反例：(1)当a = –1，b = 1时，满足|a|=|b|，但是a≠b.
(2)当a = –2，b = –3时，满足ab>0，但此时a，b都是负数.
(4)如右图.
a
b
l
【教材P76 练习 T4】
4.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假。
(1)如果a=b，那么a =b ；
(2)同位角相等，两直线平行.
解：(1)如果a =b ，那么a=b.原命题为真，逆命题为假.
(2)如果两条直线平行，那么同位角相等.原命题为真，逆命题为真.
1.下列句子中，属于定义的是______.
①两点确定一条直线；②同角或等角的余角相等；③两直线
平行，内错角相等；④有一个角是钝角的三角形是钝角三角
形；⑤三角形三条中线的交点是三角形的重心.
④⑤
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知识点2 命题的判断及形式
2. 有下列语句：①三角形的内角和等于 ;②如果两个角
的和是 ，那么这两个角互余；③请画出两条互相平行的
直线；④过直线外一点作已知直线的垂线.其中，是命题的是
( )
A
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④
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3. 下列命题中，是真命题的是( )
A. 内错角相等 B. 对顶角相等
C. 若，则 D. 若，则
B
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4. 以下命题是假命题的是( )
A
A. 的算术平方根是2
B. 有两边相等的三角形是等腰三角形
C. 三角形的一条中线将其面积平分
D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
返回
5.请将命题“三角形两边之和大于第三边”改写成“如果……那
么……”的形式：______________________________________
_________________.
如果一个图形是三角形，那么该三角形两
边之和大于第三边
返回
知识点3 互逆命题与举反例
6. 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正
确的反例是( )
C
A. , 的补角 ，
B. ， 的补角 ，
C. ， 的补角 ，
D. 以上都不正确
返回
7.命题“如果,那么, ”的逆命题是____命题.
（填“真”或“假”）
真
返回
8.用一组，，的值说明命题“如果，那么 ”是
假命题，这组值可以是___，___， _____________
_______________.
3
4
（答案不唯一）
返回
若原命题是“如果p，那么q”，则逆命题是“如果q，那么p”.
能明确界定某个对象含义的语句叫作定义.
可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题.
经判断是正确的命题我们称之为真命题.
经判断是错误的命题我们称之为假命题.
反例：符合命题条件，但不符合命题结论的例子.
谢谢观看！
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第13章 三角形中的边角关系、命题证明
13.2.1定义与命题
1
2
3
理解命题、真命题、假命题的意义，会区分命题的条件与结论；
通过具体实例，了解原命题及其逆命题的意义，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立；
了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的.
13.2.1 定义与命题 教学课件
一、教学基本信息
授课对象：七年级学生（已掌握三角形、线段、角等几何概念，具备初步逻辑思考能力）
核心目标：1. 理解定义、命题的含义，能区分命题的条件与结论；2. 掌握命题的表示形式，能将命题改写成“如果……那么……”的形式；3. 了解真命题、假命题的概念，能举例说明并判断简单命题的真假；4. 通过对几何概念的回顾与逻辑分析，培养严谨的数学思维习惯。
教学重难点：重点为命题的概念、条件与结论的区分；难点为将非标准命题改写成“如果……那么……”的形式及假命题的证明。
教学准备：PPT课件、几何概念卡片（如“三角形”“等腰三角形”“高”等）、命题辨析任务单。
二、教学过程设计（45分钟）
环节一：情境导入，唤醒认知（5分钟）
1. 对话情境设问：呈现师生对话片段——
师：“请同学们画出一个三角形。”
2. 生1：“老师，什么样的图形是三角形呀？”
3. 师：“由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。”
4. 生2：“那我画的这个等腰三角形，它的两个底角相等对吗？”
5. 师：“这个说法需要我们进一步判断它是否正确。”
6. 问题聚焦：提问“刚才老师的回答中，哪句话是在明确‘三角形’是什么？生2的说法有什么特点？”引导学生发现“明确概念的语句”和“判断一件事情的语句”，引出本节课主题——定义与命题。
设计意图：从学生熟悉的几何学习场景切入，通过对话自然分离出“定义”和“命题”的雏形，激发学生对“语句逻辑属性”的探究兴趣。
环节二：探究新知一——定义：明确概念的“标尺”（10分钟）
本环节通过回顾旧知、对比分析，理解定义的本质与作用。
1. 定义的含义
1. 实例回顾：呈现学生已学的几何概念描述，提问“这些语句有什么共同作用？”
① 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形；
2. ② 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线；
3. ③ 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
4. 概念提炼：师生共同总结——对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。强调定义的核心作用：明确概念的内涵，避免歧义（如“三角形”的定义明确了“三条线段”“不在同一直线”“首尾顺次相接”三个关键特征）。
2. 定义的应用
活动1：“概念配对”游戏——每组发放几何概念卡片（如“角平分线”“高”“等边三角形”）和对应的定义卡片，小组合作完成配对，并说明判断依据。
示例：“三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段”与“三角形的角平分线”配对。
设计意图：通过回顾旧知中的定义实例，让学生从“使用者”转变为“分析者”，理解定义的本质；游戏化活动强化对定义作用的认知，为后续命题学习铺垫。
环节三：探究新知二——命题：判断真假的“语句”（20分钟）
本环节分“命题的识别—结构分析—真假判断”三步，层层突破重点难点。
1. 命题的识别：判断一件事情的语句
1. 实例对比：呈现两组语句，让学生区分“是否在判断一件事情”：
第一组（判断事情）第二组（不判断事情）① 三角形的内角和是180°；① 什么是三角形的高？② 等腰三角形的两腰相等；② 画出一个钝角三角形；③ 对顶角相等；③ 三角形的中线真重要！
2. 概念定义：总结第一组语句的特征——判断一件事情的语句叫做命题。强调命题的核心：必须包含“判断”（肯定或否定），如“三角形的内角和不是180°”也是命题（否定判断）。
3. 即时练习：判断下列语句是否为命题：
① 直角三角形有一个角是90°（是命题）；
4. ② 请说出三角形的定义（不是命题，是祈使句）；
5. ③ 等边三角形是特殊的等腰三角形（是命题）。
2. 命题的结构：条件与结论
1. 标准形式分析：以命题“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”为例，分析结构——
“如果”引出的部分：两条直线都与第三条直线平行（已知事项，称为命题的条件，也叫题设）；
2. “那么”引出的部分：这两条直线也互相平行（由已知事项推出的事项，称为命题的结论）。
3. 非标准命题改写：针对没有“如果……那么……”形式的命题，引导学生补充关键词改写，明确条件与结论。
例题1：将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出条件和结论。① 三角形的内角和是180°；
改写：如果一个图形是三角形，那么它的内角和是180°；
条件：一个图形是三角形；结论：它的内角和是180°。
4. ② 等腰三角形两底角相等；
改写：如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等；
条件：一个三角形是等腰三角形；结论：它的两个底角相等。
5. ③ 对顶角相等；
改写：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
条件：两个角是对顶角；结论：这两个角相等。
3. 命题的真假：正确与错误的判断
1. 概念定义：
真命题：如果条件成立，那么结论一定成立的命题；
2. 假命题：条件成立时，不能保证结论一定成立的命题（只需举出一个“反例”即可证明其为假）。
3. 真假判断练习：
例题2：判断下列命题的真假，若是假命题，请举出反例。① 直角三角形的两个锐角互余（真命题，由内角和180°可推得）；
4. ② 所有三角形的三条高都在三角形内部（假命题，反例：钝角三角形有两条高在三角形外部）；
5. ③ 对顶角相等（真命题）。
6. 强调：真命题需要通过推理证明（后续学习），假命题只需一个反例即可推翻，体现数学的严谨性。
环节四：巩固提升，深化理解（7分钟）
活动2：“命题分类”任务——小组合作，将下列语句分类为“定义”“命题（真/假）”“非命题”，并说明理由。
1. 连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离（定义）；
2. 三角形有三条边（命题，真命题）；
3. 画出三角形的角平分线（非命题，祈使句）；
4. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（命题，真命题）；
5. 三角形的中线平分面积吗？（非命题，疑问句）；
6. 任意三角形都有外接圆（命题，真命题）；
7. 相等的角是对顶角（命题，假命题，反例：两直线平行，同位角相等但不是对顶角）。
设计意图：通过综合分类任务，强化定义、命题、真命题、假命题的概念辨析，提升学生的逻辑判断能力。
环节五：总结升华，拓展延伸（3分钟）
1. 知识梳理：引导学生用结构图总结核心内容：
语句分类：定义（明确概念）、命题（判断事情，含条件与结论）、非命题（疑问/祈使等）；命题分类：真命题（结论必成立）、假命题（有反例）。
2. 思想提炼：强调数学中“定义”是逻辑推理的基础，“命题”是推理的对象，“真假判断”体现严谨性，为后续“证明”学习奠定基础。
3. 课后任务：
必做：教材对应习题，完成“命题识别—改写—真假判断”系列题目；
4. 选做：收集3个生活中的“命题”（如“如果明天晴天，我们就去郊游”），区分条件与结论并判断真假。
三、板书设计
13.2.1 定义与命题
一、定义：明确名称和术语的含义
例：三角形的定义、中线的定义
作用：避免歧义，作为推理基础
二、命题：判断一件事情的语句
1. 结构：条件（题设）→ 结论
形式：如果……（条件），那么……（结论）
改写：补全关键词，明确条件与结论
例：等腰三角形两底角相等→如果…那么…
2. 分类：
真命题：条件成立，结论必成立（需证明）
假命题：条件成立，结论不一定成立（举反例）
例：真命题——对顶角相等；假命题——相等的角是对顶角
三、核心思想：严谨性、逻辑性
四、教学反思（课后填写）
1. 学生对“命题必须包含判断”的理解是否到位？能否准确区分命题与非命题？
2. 非标准命题改写时，学生是否能准确识别条件与结论？常见错误有哪些？
3. 假命题的“反例”举例是否恰当？需要加强哪些反例构造的引导？
观察下列语句，都有什么特点？
给我一个支点，我能撬动地球.
新的数学方法和概念往往比解决数学问题本身更重要.
当 p＝31时，231－1的结果是素数.
阿基米德
华罗庚
梅森
知识点1
命题及真命题、假命题的概念
问题1：请同学们读出下列语句，它们有什么特征？
①由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形.
②三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
③整数和分数统称有理数.
揭示了对象的特征性质.
明确了所指对象的范围
像这样，能明确界定某个对象含义的语句叫作定义.
你能再举出一些学过的定义的例子吗？
例如：
3. “在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫作一元一次方程” 是“一元一次方程”的定义.
2. “两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离” 是“两点之间的距离”的定义；
1.“具有中华人民共和国国籍的人，叫作中华人民共和国公民” 是“中华人民共和国公民”的定义；
问题2：在学习“三角形中角的关系”时，得到“三角形的内角和等于180°”，你还记得怎样得到的吗？
①测量
47°
73°
60°
②折叠
③剪拼
对于上面的结果，你有什么想法吗？
对于前面的结果，也许有同学提出疑问：
①在剪拼时，发现三个内角难以拼成一个平角，只是接近180°的某个值；
②度量三个角，然后相加，有的接近179°，有的接近181°，不是都得180°.
显然，通过观察、操作和实验等方法得出的结果不一定完全正确.
因此，学习几何需要观察和实验，同时也需要学会推理.
推理是一种思维活动.人们在思维活动中，常要对事物的情况作出种种判断. 例如：
(1) 北京是中华人民共和国的首都；
(2) 如果∠1 与∠2 是对顶角，那么∠1 =∠2；
(3) 1 +1 < 2；
(4) 如果一个整数的各个位上的数字之和是 3 的倍数，那么这个数能被 3 整除.
请判断语句的正误
都是在对一件事进行判断.
思考：上述这些语句有什么特征？
(1) 北京是中华人民共和国的首都；
(2) 如果∠1 与∠2 是对顶角，那么∠1 =∠2；
(3) 1 +1 < 2；
(4) 如果一个整数的各个位上的数字之和是 3 的倍数，那么这个数能被 3 整除.
★像这样，可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题.
★上面命题(1)(2)(4)经判断是正确的，这样的命题我们称之为真命题.
★命题(3)经判断是错误的，这样的命题我们称之为假命题.
易错提醒
1.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.
如：相等的角是对顶角.
2.如果一个语句不能判断真假，那么它就不是命题.
如：① 疑问句；你的作业做完了吗？
② 感叹句；欢迎前来参观！
③ 祈使句；以点 O 为圆心、3 cm长为半径画弧.
下列语句，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）对顶角相等；
（2）画一个角等于已知角；
（3）两直线平行，同位角相等；
（4）a、b两条直线平行吗？
（5）温柔的李明明；
（6）玫瑰花是动物；
（7）若a2＝4，求a的值；
（8）若a2＝b2，则a＝b.
命题是陈述句，疑问句、感叹句、祈使句等都不是命题.
虽然错误，但也作出了判断
练一练
问题3：观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？
知识点2
命题的构成及改写
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等；
（3）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
（4）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.
都是“如果……那么……”的形式.
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
条件(题设)
结论(题断)
命题的一般形式：
“如果 p，那么 q”，或“若 p，则 q”.
命题
条件( p )
结论( q )
已知事项
由已知事项推出的事项
命题的组成：
有时为了叙述简便，也可以省略关联词“如果”和“那么”.
对顶角相等
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意.
有些命题的条件和结论不明显，要经过分析才能找出条件和结论，从而将它们写成“如果……那么……”的形式.
例1 指出下列命题的条件与结论.
(1)如果∠A =∠B，那么∠A 的补角与∠B 的补角相等 ；
(2) 两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行.
解 ： (1)“∠A =∠B”是条件，“∠A 的补角与∠B 的补角相等”是结论.
(2)“两条直线都平行于同一条直线”是条件，“这两条直线平行”是结论.
知识点3
互逆命题及反例
问题4：指出下列命题的条件和结论，观察这两个命题有什么样的关系？并判断是真命题还是假命题.
（2）如果一个三角形是直角三角形，
那么这个三角形中有一个角是直角.
（1）如果一个三角形中有一个角是直角，
那么这个三角形是直角三角形.
条件
命题(1)的条件和结论分别是命题(2)的结论和条件.
结论
条件
结论
真命题
真命题
如果p，那么q
如果q，那么p
原命题
逆命题
这样的两个命题称为互逆命题
把条件设为“q”，结论设为“p”
原命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题吗？
问题5：写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假.
(1)同位角相等，两直线平行；
(2)等角的余角相等；
(3)如果a=b，则a2=b2.
两直线平行，同位角相等.
如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等.
如果a2=b2 ，那么a=b.
真命题
真命题
假命题
由此可知，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.
问题6：我们如何判断一个命题的真假？
要判断一个命题是真命题需要推理论证；要判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可.
反例：符合命题条件，但不符合命题结论的例子.
1
2
例如：相等的两个角是对顶角.
例2 写出下列命题的逆命题，并判断所得的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例.
(1)内错角相等，两直线平行；
(2)如果 a = 0，那么 ab = 0.
解 ： (1)逆命题是“两直线平行，内错角相等”，是真命题.
(2)逆命题是“如果 ab = 0，那么 a = 0” ，是假命题.
反例：当 a = 1，b = 0 时，ab = 0，而 a ≠ 0 .
随堂练习
1.列举2个本章学过的定义.
【教材P75 练习 T1】
①三条边互不相等的三角形叫作不等边三角形.
②有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.
【教材P75 练习 T2】
2. 把下列命题改写成“如果p，那么q”的形式：
(1)两条直线相交，只有一个交点；
(2)直线AB⊥直线CD，交点为O，有∠AOC=90°；
(3)两直线平行，同位角相等；
(4)互为相反数的两个数和为0.
解：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点.
(2)如果直线AB⊥直线CD，交点为O，那么有∠AOC=90°.
(3)如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等.
(4)如果两个数互为相反数，那么它们的和为0.
【教材P75 练习 T3】
3.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例.
(1)若|a|=|b|，则a=b；
(2)如果ab>0，那么a，b都是正数；
(3)两直线平行，同旁内角互补；
(4)两条直线与第三条直线相交，同位角相等.
真命题
假命题
假命题
假命题
反例：(1)当a = –1，b = 1时，满足|a|=|b|，但是a≠b.
(2)当a = –2，b = –3时，满足ab>0，但此时a，b都是负数.
(4)如右图.
a
b
l
【教材P76 练习 T4】
4.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假。
(1)如果a=b，那么a =b ；
(2)同位角相等，两直线平行.
解：(1)如果a =b ，那么a=b.原命题为真，逆命题为假.
(2)如果两条直线平行，那么同位角相等.原命题为真，逆命题为真.
1.下列句子中，属于定义的是______.
①两点确定一条直线；②同角或等角的余角相等；③两直线
平行，内错角相等；④有一个角是钝角的三角形是钝角三角
形；⑤三角形三条中线的交点是三角形的重心.
④⑤
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知识点2 命题的判断及形式
2. 有下列语句：①三角形的内角和等于 ;②如果两个角
的和是 ，那么这两个角互余；③请画出两条互相平行的
直线；④过直线外一点作已知直线的垂线.其中，是命题的是
( )
A
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④
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3. 下列命题中，是真命题的是( )
A. 内错角相等 B. 对顶角相等
C. 若，则 D. 若，则
B
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4. 以下命题是假命题的是( )
A
A. 的算术平方根是2
B. 有两边相等的三角形是等腰三角形
C. 三角形的一条中线将其面积平分
D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
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5.请将命题“三角形两边之和大于第三边”改写成“如果……那
么……”的形式：______________________________________
_________________.
如果一个图形是三角形，那么该三角形两
边之和大于第三边
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知识点3 互逆命题与举反例
6. 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正
确的反例是( )
C
A. , 的补角 ，
B. ， 的补角 ，
C. ， 的补角 ，
D. 以上都不正确
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7.命题“如果,那么, ”的逆命题是____命题.
（填“真”或“假”）
真
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8.用一组，，的值说明命题“如果，那么 ”是
假命题，这组值可以是___，___， _____________
_______________.
3
4
（答案不唯一）
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若原命题是“如果p，那么q”，则逆命题是“如果q，那么p”.
能明确界定某个对象含义的语句叫作定义.
可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题.
经判断是正确的命题我们称之为真命题.
经判断是错误的命题我们称之为假命题.
反例：符合命题条件，但不符合命题结论的例子.
谢谢观看！